Inversas Aproximadas usando el producto escalar de Frobenius

Transcripción

1 Inversas Aproximadas usando el producto escalar de Frobenius E Flórez, MD García, L González, G Montero Instituto Universitario de Sistemas Inteligentes y Aplicaciones Numéricas en Ingeniería Universidad de Las Palmas de Gran Canaria CMCE4 p9

2 Contenido Introducción Inversa aproximada Inversa aproximada sparse Efecto de la reordenación Experimentos Numéricos Conclusiones CMCE4 p9

3 Introducción Resolver: Métodos de Krylov Métodos de Métodos de Métodos basados en ortogonalización biortogonalización la Ecuación Normal ORTHOMIN Vinsome 76 BiCG Fletcher 76 CGN Hestenes & Stiefel 5 ORTHORES Young & Jea 8 CGS Sonneveld 89 CGNE Craig 55 ORTHODIR Young & Jea 8 BiCGSTAB Van der Vorst 9 LSQR Paige & Saunders 8 FOM Saad 8 QMR Freund & Nachtigal 9 GMRES Saad & Schultz 86 TFQMR Freund 93 FGMRES Saad 93 QMRCGSTAB Chan et al 94 VGMRES Galán et al 94 CMCE4 p39

4 Introducción Formas de precondicionamiento Técnicas de Precondicionamiento Por la izquierda Por la derecha Por ambos lados Precondicionadores Implícitos Explícitos Diagonal SSOR ILUT ILU Inversa Aproximada sparse Inversa Aproximada sparse SPAI, Grote Inversa Aproximada Factorizada AINV, Benzi Generalización de la SPAI Flórez Diagonal Óptimo CMCE4 p49

5 Introducción 3 Técnicas de Reordenación Objetivo: Mejorar el efecto del precondicionamiento en métodos iterativos Referencias Efecto de la reordenación Otros algoritmos de reordenación en el precondicionamiento Laura Dutto Michelle Benzi Lewis Galán Elizabeth Flórez CMCE4 p59

6 -,, CMCE4 p69 Inversa Aproximada Definición Problema de minimización: Norma Frobenius: Razones teóricas: #" % #" &%! escalar producto un de proviene ie prehilbertiana es + -, - Producto escalar de Frobenius #" % #" &%! - - Razones computacionales: 4 3 " %

7 Inversa aproximada Problema de Minimización Teoría de Aproximación en espacios prehilbertianos Teorema de existencia y unicidad de la mejor aproximación en conjuntos convexos y cerrados Subespacio de dimensión finita Teorema de la proyección ortogonal Sea ie Además, Sea ie Además, CMCE4 p79

8 Inversa Aproximada 3 Proyección ortogonal en espacios prehilbertianos % viene dada por, entonces, y Sea Sea con " % será, al subespacio y la mínima distancia de " &% Teorema &% Sea Sea Entonces, la solución al problema de minimización es, &%! y! " &% " % CMCE4 p89

9 Inversa Aproximada 4 Teorema de base una % y Sea Sea Entonces, la solución al problema de minimización es, y " &% " % CMCE4 p99

10 Inversa Aproximada 5 Teorema 3 Sea Sea % y Sea Entonces, la solución al problema de minimización es, % % % % de % base la para Teorema del los son y donde, % % CMCE4 p9

11 Inversa Aproximada 6 Precondicionador con sparsidad dada Sea, cuya única entrada no nula es Sea Entonces, la solución al problema de minimización es, " % " " % " son los del Teorema para la base de % donde y CMCE4 p9

12 Inversa aproximada 7 Análisis de la eficiencia del precondicionador Concentración de valores singulares " % Número de condición Concentración de valores propios #" % Desviación de la normalidad " % CMCE4 p9

13 Inversa Aproximada sparse Precondicionador Inversa Aproximada sparse Partiendo de, " % Problema de minimización Sea {entradas llenas de } {entradas llenas de } {posiciones candidatas a llenar en Para cada posición candidata se calcula, } " % con donde,,, respecto al producto escalar euclídeo, la matriz es la matriz de Gram de las columnas de con es la matriz que resulta de reemplazar la última fila de, con por CMCE4 p39

14 ! Inversa Aproximada sparse Precondicionador Inversa Aproximada sparse Se selecciona el índice que minimiza el valor de se busca en el conjunto, " % donde es el vector con entradas no nulas Cada una de ellas se obtiene evaluando el determinante correspondiente que resulta de reemplazar la última fila de por, con CMCE4 p49

15 Inversa aproximada sparse 3 Experimentos numéricos convdifhor: matriz obtenida de un problema convección-difusión en dos dimensiones resuelto mediante elementos finitos con una malla adaptativa refinada, de tamaño y entradas no nulas oilgen: matriz de simulación de una reserva de petróleo para una malla completa de tamaño y, sherman: simulador del almacenamiento de petróleo en medio con paredes de lajas, con malla, de tamaño y pores: matriz no simétrica de tamaño y isla: matriz de tamaño y, obtenida en un problema de convección - difusión en un dominio bidimensional definido en la costa de la isla de Gran Canaria, resuelto mediante el método de elementos finitos, usando una malla adaptativa CMCE4 p59

16 Inversa aproximada sparse 4 convdifhor 44 max Resultados de convergencia para convdifhor con BiCGSTAB precondicionado por la izquierda CMCE4 p69

17 Inversa aproximada sparse 5 convdifhor 44 - "Unprec" "ILU" "Tol=5_nz=" "Tol=5" "Tol=" "Tol=3" "Tol=4" "Tol=5" log r b Number of iterations Comportamiento de los precondicionadores con BiCGSTAB para convdifhor, CMCE4 p79

18 Inversa aproximada sparse 6 convdifhor 44 Patrón de sparsidad de e inversas aproximadas para convdifhor, CMCE4 p89

19 Inversa Aproximada sparse 7!! Orsreg Orsirr Orsirr Pores Pores Sherman Sherman Sherman Sherman Sherman Coste computacional del precondicionador inversa aproximada y resultados de convergencia CMCE4 p99

20 Efecto de la reordenación Reordenación: con matriz de permutación del algoritmo de reordenación y Resolver con tolerancia de SPAI entonces, donde y subespacios de matrices con igual cantidad de entradas no nulas Sea subespacio cualquiera con igual cantidad de entradas no nulas que y entonces, Conclusión: Para una tolerancia de la SPAI, la cantidad de entradas no nulas de SPAI reordenada es menor o igual que las de SPAI sin reordenar CMCE4 p9

21 Efecto de la reordenación Análisis de eficiencia de SPAI reordenada : Concentración de valores singulares " % Número de condición Concentración de valores propios " % Desviación de la normalidad #" % CMCE4 p9

22 Efecto de la reordenación 3 ALGORITMO DE GRADO MÍNIMO MDG - Construir el grafo asociado a la matriz,, donde es el conjunto de nodos y - Mientras : - Elegir un nodo de grado mínimo en y reordenar como nodo siguiente - Definir: Siendo, el conjunto de nodos conectados a en el grafo y Hacer y 3 - Fin CMCE4 p9

23 Efecto de la reordenación 4 ALGORITMO DE MÍNIMO VECINO MN - Construir el grafo asociado a la matriz,, donde es el conjunto de nodos y - Mientras : - Elegir un nodo de grado mínimo en y reordenar como nodo siguiente - Definir: y Hacer y 3 - Fin CMCE4 p39

24 Efecto de la reordenación 5 ALGORITMO DE CUTHILL-MCKEE INVERSO RCM - Construir el grafo asociado a la matriz,, siendo el conjunto de nodos y - Determinar un nodo inicial pseudo-periférico y renumerarlo como 3 - Renumerar los nodos conectados a 4 - Efectuar el ordenamiento inverso 5 - Fin en orden ascendente de grado CMCE4 p49

25 Efecto de la reordenación 6 ALGORITMO DE GEORGE PARA LA BÚSQUEDA DE NODOS PSEUDO-PERIFÉRICOS - Elegir un nodo arbitrario de Generar una estructura con niveles enraizada en siendo 3 - Elegir un nodo de grado mínimo en, 4 Generar una estructura con niveles enraizada en 5 - Si, establecer, en un grafo : distancia entre dos nodos : longitud de la trayectoria más corta que une ambos nodos excentricidad de un nodo : e y volver al paso Caso contrario tomamos 7 - Fin como nodo inicial CMCE4 p59

26 Efecto de la reordenación 7 Cuaref 75 Patrón de sparsidad de la matriz SPAI3 con diferentes reordenaciones para cuaref, CMCE4 p69

27 Efecto de la reordenación 8 cuaref: Matriz correspondiente a un paso de refinamiento de una malla no estructurada de elementos finitos con y 5 entradas no nulas Precondicionador OO Iter MDG Iter RCM Iter MN Iter Sin Precondicionar SPAI ILU Resultados de convergencia para cuaref con diferentes renumeraciones y BiCGSTAB precondicionado por la izquierda CMCE4 p79

28 Efecto de la reordenación 9 Cuaref 75 SPAI SPAI-mdg SPAI-rcm SPAI-mn - Logerror Iterations Comparación del comportamiento de BiCGSTAB-SPAI con reordenación para cuaref, CMCE4 p89

29 Conclusiones Se desarrollan expresiones explícitas para el cálculo de la mejor inversa aproximada en cualquier subespacio de matrices cuadradas reales y Se aplican los resultados anteriores al caso de los precondicionadores sparse obteniéndose expresiones cuyos cálculos son inherentemente paralelos, donde el patrón de sparsidad del precondicionador se captura automáticamente Se demuestra de forma teórica y práctica la eficacia de el precondicionador SPAI en la mejora de la convergencia de ls Métodos iterativos Los experimentos numéricos muestran que la renumeración reduce, o al menos no aumenta, el número de entradas no nulas del precondicionador inversa aproximada CMCE4 p99