Resolución de la ecuación de advección-difusión en 2-D utilizando diferencias finitas generalizadas. Consistencia y Estabilidad.

Transcripción

1 XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones XI Congreso de Matemática Aplicada Ciudad Real, 1-5 septiembre 009 (pp. 1 8) Resolución de la ecuación de advección-difusión en -D utilizando diferencias finitas generalizadas. Consistencia y Estabilidad. F. Ureña 1, J.J. Benito, L. Gavete 3 1 Dpto. de Matemáticas, Universidad de Castilla-La Mancha, Ciudad Real. francisco.urena@uclm.es. Dpto. de Construcción y Fabricación, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid. jbenito@ind.uned.es. 3 Dpto. de Matemática Aplicada a los Recursos Naturales, Universidad Politécnica de Madrid. lu.gavete@upm.es. Palabras clave: diferencias finitas generalizadas, advección-difusión, método explícito, estrella. Resumen En esta comunicación se presenta la utilización del Método de Diferencias Finitas Generalizadas para la resolución de la ecuación de advección-difusión, para -D. La comunicación se inicia con la obtención de las expresiones explícitas en diferencias finitas generalizadas. A partir de estas expresiones se estudia el error de truncamiento, consistencia, estabilidad y convergencia. En la comunicación se incluyen algunos resultados, de entre los numerosos casos analizados, como ejemplos representativos de la resolución de la ecuación de advección-difusión que pretenden ilustrar el buen comportamiento del método. 1. Introducción El método de diferencias finitas generalizadas (GFDM), como generalización del método de diferencias finitas, permite la aplicación en dominios irregulares. Al desarrollo de este método han contribuido los trabajos de Benito, Ureña y Gavete [1, ]. Los artículos [3, 5] muestran la aplicación del método de diferencias finitas generalizadas a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales dependientes del tiempo. 1

2 F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete Figura 1: Estrella con nodo central (x 0, y 0 ). Diferencias finitas generalizadas y método explícito Se considera la resolución numérica de la ecuación de advección-difusión para la función U(x, y, t) t + c x x con la condición inicial y la condición de contorno + c y y = α( U(x, y, t) x + U(x, y, t) y ) t > 0, (x, y) Ω R (1) U(x, y, 0) = f(x, y) () au(x 0, y 0, t) + b U(x 0, y 0, t) n = g(t) in Γ (3) siendo f(x, y) y g(t) dos funciones conocidas, a, b son constantes y Γ la frontera del dominio Ω, donde α > 0 es el coeficiente de difusión y c x > 0, c y > 0 son velocidades constantes. A continuación se van a obtener las fórmulas explícitas en diferencias finitas generalizadas para la aproximación de las derivadas parciales en los puntos del dominio. En primer lugar, se discretiza el dominio Ω Γ. Se define el nodo central con un conjunto de nodos a su alrededor, al conjunto de dichos nodos se le denomina estrella, estableciendo una relación entre una estrella y su nodo central. De esta forma, a cada nodo en del dominio tiene asociada una estrella, en la cual es el nodo central (ver figura 1). Si U 0 es el valor de la función en el nodo central de la estrella y U j son los valores de las funciones en el resto de los nodos, con j = 1,, 8, entonces, de acuerdo con la serie de expansión de Taylor U 0 U j = U 0 + h j x + k U 0 j y + h j U0 x + k j U0 y + h U0 jk j x y + (4) donde (x 0, y 0 ) son las coordenadas espaciales del nodo central, (x j, y j ) las coordenadas del nodo j en la estrella, h j = x j x 0, k j = y j y 0.

3 Resolución de la ecuación de advección-difusión en -D utilizando GFDM Si en la ecuación 4 los términos de orden superior al segundo son eliminados, se obtiene la aproximación de segundo orden para U j, si se representa este valor por u j, entonces es posible definir B(u) = 8 j=1 [(u 0 u j + h j u 0 x + k j u 0 y + h j u 0 x + k j u 0 y + h U0 jk j x y )w(h j, k j )] (5) donde w(h j, k j ) es la función de ponderación. Si la expresión 5 es minimizada con respecto a las derivadas parciales, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales AD u = b (6) Resolviendo el sistema 6 y teniendo en cuenta que h j = k j = h, se obtienen las siguientes fórmulas finitas generalizadas para las derivadas parciales u n 0 x = 1 0h [8un 1 + u n u n 4 8u n 5 u n 6 + u n 8 ] (7) u n 0 y = 1 0h [un + 8u n 3 + u n 4 u n 6 8u n 7 u n 8 ] (8) u n 0 x + u n 0 y = 1 6h ( 0un 0 + 4u n 1 + u n + 4u n 3 + u n 4 + 4u n 5 + u n 6 + 4u n 7 + u n 8 ) (9) Aproximando la derivada respecto del tiempo en el nodo central de la estrella por la derivada de avance, y designando por u n 0 y un+1 0 los valores aproximados de la función U(x, y, t) en el nodo central de coordenadas espaciales (x 0, y 0 ) para los tiempos n t y (n + 1) t respectivamente, se tiene U(x 0, y 0, n t) t = un+1 0 u n 0 t (10) Sustituyendo las ecuaciones 7, 8, 9 y 10 en la ecuación 1, se obtiene la ecuación lineal u n+1 0 u n 0 1 +c x t 0h [8un 1 +u n u n 4 8u n 5 u n 6 +u n 1 8 ]+c y 0h [un +8u n 3 +u n 4 u n 6 8u n 7 u n 8 ] + α 1 6h ( 0un 0 + 4u n 1 + u n + 4u n 3 + u n 4 + 4u n 5 + u n 6 + 4u n 7 + u n 8 ) (11) La expresión 11 relaciona el valor aproximado de la función en el nodo central de la estrella, en el paso de tiempo n + 1, con los valores aproximados de la función en los nodos de la estrella, en el paso de tiempo n. 3. Convergencia De acuerdo con el teorema de equivalencia de Lax [4], si la condición de consistencia es satisfecha, la estabilidad es necesaria y suficiente para la condición de convergencia. 3

4 F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete 3.1. Error de truncamiento El error de truncamiento es la suma de los errores de truncamiento debido a las fórmulas en diferencias finitas empleadas para las derivadas parciales temporales y espaciales. Si se designan T E t y T E (x,y) dichos errores de truncamiento, respectivamente, se tiene T E t = t U(x, y, t 1 ) t + Θ(( t) ), n t < t 1 < (n + 1) t (1) Para obtener el error de truncamiento para las derivadas espaciales, en la serie de expansion de Taylor se incluyen los términos hasta de cuarto orden. Si se designa por B (u) la expresión 5 en la cual se han incluido los nuevos términos, y minimizando dicha expresión respecto de las derivadas parciales de primer y segundo orden, se obtiene h h T E (x,y) = { c x, c y, α, α, 0} 5h h h SY M 0 3 h 1 6h (5 x x y ) 1 4 (0) 1 6h (31 x + 5 x y 3 ) 1 4 (0) 1 1 (0) 1 48 (5 4 U(x 1, y 1, t) x U(x 1, y 1, t) x y U(x 1, y 1, t) y 4 ) 1 1 (0) 1 48 (1 4 U(x 1, y 1, t) x U(x 1, y 1, t) x y U(x 1, y 1, t) y 4 ) 1 6 (0) 1 4 (41 4 U(x 1, y 1, t) x U(x 1, y 1, t) y x y 3 ) (13) h 4 T E (x,y) = c x 5 [ 1 6h (5 x c y h 4 5 [ 1 6h (3 x y x y ))] + 5 y 3 ))] α h 1 ( 4 U(x 1, y 1, t) x U(x 1, y 1, t) x y + 4 U(x 1, y 1, t) y 4 ) + Θ (h 4 ) (14) donde (x 1, y 1 ) es un punto del interior del dominio definido por la estrella. La ecuación 14 es el error de truncamiento para las derivadas espaciales. 4

5 Resolución de la ecuación de advección-difusión en -D utilizando GFDM Por tanto, el error de truncamiento total, T T E, viene dado por T T E = T E t + T E (x,y) = t + 3 h 4 x y ))] c 5 [ 1 6h (3 3.. Consistencia U(x, y, t 1 ) t + Θ 1 (( t) ) c x h 4 5 [ 1 x y + 5 6h (5 x 3 y 3 ))] α h 1 ( 4 U(x 1, y 1, t) x U(x 1, y 1, t) x y + 4 U(x 1, y 1, t) y 4 ) + Θ (h 4 ) (15) De acuerdo con la expresión 15 se tiene lím T T E 0 (16) ( t,h) (0,0) Por tanto, el método es consistente. A continuación se estudia la estabilidad utilizando el análisis de von Neumann Estabilidad Si se define u n 0 = ξ n e iνt x 0 ; u n j = ξ n e iνt x j (17) donde ν = (ν x, ν y ) T es el vector columna de los números de onda, x 0 = (x 0, y 0 ) es el vector de las coordenadas del nodo central de la estrella y x j = (x j, y j ) son las coordenadas del resto de los nodos de la estrella, con x j = x 0 + h j. además, ξ es denominado factor de amplificación. Si el módulo del factor de amplificación es mayor que la unidad, ( ξ > 1, el método es inestable. Sustituyendo 17 into 11, se tiene ξ n+1 e iνt x 0 = ξ n e iνt x 0 ξ n e iνt x 0 t 1 0h [c x(8e ihνx + e ih(νx+νy) e ih( νx+νy) 8e ihνx e ih(νx+νy) + e ih(νx νy) ) + c y (e ih(νx+νy) + 8e ihνy + e ih( νx+νy) e ih(νx+νy) 8e ihνy e ih(νx νy) )] + ξ n e i{ν j} T {x 0 } α 6h t[ 0 + 4eihνx + e ih(νx+νy) + 4e ihνy + e ih( νx+νy) + 4e ihνx + e ih(νx+νy) + 4e ihνy + e ih(νx νy) ] (18) Simplificando por ξ n e i{ν j} T {x 0 } y operando se obtiene ξ = 1 i t 5h [c x sen hν x (4 + cos hν y ) + c y (sen hν y (4 + cos hν y )]+ α t 6h [ cos hν x + 8 cos hν y + 4 cos hν x cos hν y )] (19) 1 Re(ξ) α t 6h [ cos hν x + 8 cos hν y + 4 cos hν x cos hν y )] t 1 α 0 6h (0)

6 F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete El módulo del factor de amplificación ξ = 1 α t 6h [16(sin ( hν x ) + sin ( hν y )) + 4(sin ( h(ν x + ν y ) ) + sin ( h(ν x ν y ) ))] i t 5h [c x sen hν x (4 + cos hν y ) + c y sen hν y (4 + cos hν x )] (1) imponiendo la condición de estabilidad, se tiene ( t 5h [c x sen hν x (4 + cos hν y ) + c y sen hν y (4 + cos hν x )]) + ( α t 6h [16(sin ( hν x ) + sin ( hν y α t 6h [16(sin ( hν x ) + sin ( hν y )) + 4(sin ( h(ν x + ν y ) )) + 4(sin ( h(ν x + ν y ) ) + sin ( h(ν x ν y ) ))]) ) + sin ( h(ν x ν y ) ))] () y operando, se tiene t[c x + c y ] 10 (3) α 3 Por tanto el valor del paso de tiempo, t, para que el método sea estable viene dado por t = min{ 4. Resultados numéricos 1 10α α 0, 3[c x + c y ] } (4) 6h En esta sección se muestran dos ejemplos de resolución numérica de ecuaciones de advección-difusión en -D. En ambos casos, la función de ponderación utilizada ha sido w(h j, k j ) = 1 (h j + k j )3 (5) y el criterio de selección de los nodos el del cuadrante. El error global ha sido calculado para cada paso de tiempo usando la siguiente norma NT j=1 (sol(j) exac(j)) NT Error global = 100 (6) exac max where sol(j) es el valor de la solución aproximada en el nodo j, exac(j) es la valor de la solución exacta en el nodo j, exac max es el máximo valor de la solución exacta en los nodos interiores de de la malla considerada y NT es el número de nodos del interior Ejemplo 1 t + x + y = 0,1( U(x, y, t) x + U(x, y, t) y ) t > 0, 0 < x, y < 1 (7) 6

7 Resolución de la ecuación de advección-difusión en -D utilizando GFDM Figura : Error global versus n o nodos ; Error global versus t con la condición inicial U(x, y, 0) = e x+y (8) y las condiciones de contorno Dirichlet, siendo la solución exacta U(x, y, t) = e 1,8t+x+y (9) En la figura se muestra, manteniendo fijo el paso de tiempo ( t = 0,0001), la disminución del error global al aumentar el número de nodos en la malla. También, en la figura se muestra la disminución del error global al disminuir el paso de tiempo para la malla de 441 nodos. 4.. Ejemplo La resolución de la ecuación 7 con la condición inicial U(x, y, 0) = sen(x y) (30) y las condiciones de contorno Dirichlet, siendo la solución exacta U(x, y, t) = e 0,t sen(x y) (31) En la figura 3 se muestra, manteniendo fijo el paso de tiempo ( t = 0,0001), la disminución del error global al aumentar el número de nodos en la malla. También, en la figura 3 se muestra la disminución del error global al disminuir el paso de tiempo para la malla de 441 nodos. 5. Conclusiones En esta comunicación se ha obtenido el error de truncamiento y, por tanto, la consistencia ha sido demostrada. Igualmente, se ha obtenido el criterio de estabilidad utilizando el análisis de von Neumann. Los ejemplos resueltos, de los numerosos a los que se ha aplicado el GFDM, muestran su buen comportamiento. 7

8 F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete Figura 3: Error global versus n o nodos ; Error global versus t Agradecimientos Los autores agradecen la ayuda recibida del Ministerio de Ciencia e Innovación de España en el proyecto TISMANCA, Ref.: CGL /CLI. Referencias [1] J.J. Benito, F. Ureña, L. Gavete, Influence of several factors in the generalized finite difference method. Applied Mathematical Modelling,51, (001). [] J.J. Benito, F. Ureña, L. Gavete, R. Alvarez, An h-adaptive method in the generalized finite differences. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 19, (003). [3] J.J. Benito, F. Ureña, L. Gavete, Solving parabolic and hyperbolic equations by Generalized Finite Difference Method. Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol 09, Issue, 15 December 007, Pages [4] A.R. Mitchell, D.F. Griffiths, The Finite Difference Method in Partial Differential Equations. International Journal for Numerical Methods in Engineering (1980). [5] F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete, R. Alvarez, Resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales dependientes del tiempo de segundo orden utilizando Diferencias Finitas Generalizadas. Revista Internacional de Métodos Numéricos para cálculo y diseño en ingeniería. Vol. 19, 3, (003). 8