IX.- ANÁLISIS DE VARIANZA

Transcripción

1 IX- ANÁLISIS DE VARIANZA Las técnicas de Diseño Experimental basadas en la estadística son particularmente útiles en el mundo de la Ingeniería en lo que corresponde a la mejora del rendimiento de los procesos de manufactura Estas técnicas también tienen una extensa aplicación en el desarrollo de nuevos procesos Muchos procesos pueden describirse en términos de varias variables controladas o controlables, tales como temperatura, presión, Ph, concentración, etc Mediante el empleo de experimentos diseñados, los ingenieros pueden determinar el subconjunto de variables del proceso que tienen mayor influencia sobre el rendimiento de éste Los resultados de estos experimentos pueden conducir a: 1- Mejorar el rendimiento del proceso 2- Reducir la variabilidad del proceso y acercarlo a los requerimientos nominales 3- Disminución de los tiempos de diseño y desarrollo 4- Disminución de los costos de operación Los métodos de diseño experimental también son útiles en las actividades de ingeniería de diseño, donde se desarrollan nuevos productos y se mejoran los existentes Algunas aplicaciones representativas de los experimentos diseñados de manera estadística en la ingeniería de diseño incluyen: 1- Evaluación y comparación de configuración de diseños básicos 2- Evaluación de materiales diferentes ocupados con un mismo fin 3- Selección de parámetros de diseño de modo que el producto funcione bien bajo una amplia gama de condiciones de campo o de operación ( diseño robusto ) 4- Determinación de los parámetros de diseño importantes del producto que tienen impacto sobre el funcionamiento de éste El empleo del diseño experimental en el proceso de diseño puede dar como resultado productos que son más fáciles de fabricar, productos que tienen un desempeño y una confiabilidad mejores que los de la competencia, y productos que pueden diseñarse, desarrollarse y producirse en menor tiempo Los experimentos diseñados se utilizan, de manera usual, secuencialmente Esto es, el primer experimento con un sistema complejo (quizás un proceso de fabricación) que tiene muchas variables controladas es, a menudo, un experimento de diagnóstico diseñado para determinar qué variables son las más importantes Los experimentos que siguen a éste se utilizan para refinar la información y determinar los ajustes que deben hacerse a las variables críticas para mejorar el proceso Finalmente el objetivo del experimentador es la optimización, es decir, la determinación de los niveles que deben tener las variables críticas para obtener el mejor desempeño del proceso Todo experimento implica una secuencia de actividades : 1- Conjetura : La hipótesis original que motiva el experimento 2- Experimento : Prueba efectuada para investigar la conjetura 3- Análisis : Análisis estadístico de los datos obtenidos del experimento 4- Conclusión : Lo que se ha aprendido de la conjetura original con la realización del experimento A menudo, éste conduce a una nueva conjetura y a un nuevo experimento, y así sucesivamente Los experimentos diseñados estadísticamente permiten eficiencia y economía en el proceso experimental, y el empleo de los métodos estadísticos para el análisis de los datos brinda objetividad científica al obtener conclusiones 184

2 Uno de los métodos estadísticos para analizar los experimentos diseñados estadísticamente es el Análisis de Varianza 91- Experimento completamente aleatorizado, de un solo factor Es evidente que en una investigación determinada podemos estudiar el efecto o la respuesta que se produce en la unidad de experimentación por el hecho de haberles aplicado alguna variable independiente controlable En diseño, particularmente estas variables reciben el nombre genérico de tratamientos ( o combinación de tratamientos ), que implica el conjunto particular de condiciones experimentales que deben imponerse a una unidad experimental dentro de los marcos en que se efectúa el diseño La combinación de tratamientos y su acción combinada recibe el nombre de interacción En muchas oportunidades el término tratamiento se indica o denomina como Factor, el cual puede ser: 1- Cualitativos: Como máquinas diferentes, operarios, ubicación geográfica, tipo de material utilizado, etc 2- Cuantitativos: Como temperatura, presión, dosificación de reactivos, concentración, Tiempo de residencia, etc Debido a su simplicidad, este diseño es ampliamente utilizado Sin embargo, el ingeniero o investigador debe ser cauteloso de que su uso debe limitarse a aquellos casos en que se dispone de material o unidades experimentales lo más homogéneas posibles, y el número de tratamientos es pequeño (menor o igual que 5 ) La matriz de datos obtenidos de un diseño experimental a un factor, el que tiene k niveles o tratamientos, generalmente presenta la siguiente estructura Tratamientos k Y 31 Y 41 Y 11 Y 12 Y 13 Y 14 Y 15 Y 21 Y 22 Y 23 Y 24 Y 25 Y 32 Y 33 Y 34 Y 35 Y 42 Y 43 Y 44 Y 45 Y k2 Y k3 Y k4 Y k5 Y Y Y n Y n Y n n n k k Y k1 Totales por tratamientos Promedios por tratamientos 185

3 En el Análisis de Varianza a un Factor en interés está centrado en probar la igualdad de los promedios μ 1, μ 2, μ 3,, μ k Las observaciones de la tabla anterior pueden describirse con el Modelo estadístico Lineal Y ij = μ + τ i + ε ij i = 1, 2, 3,k ; j = 1,2, 3, n i Donde Y ij = Es una variable aleatoria que denota la (ij)-ésima observación μ es una parámetro común a todos los tratamientos denominado Media Global τ i es un parámetro asociado con el i-ésimo tratamiento denominado efecto del i-ésimo tratamiento ε ij es un componente de error aleatorio que se comporta según el modelo normal de probabilidades, con promedio igual a cero y varianza σ 2 constante, y no Correlacionados entre sí La prueba de hipótesis consiste en probar H 0 de que no existen diferencias estadísticamente significativas, en los efectos promedios de los distintos niveles del factor contra la hipótesis alternativa H 1 de que existe algún efecto promedio que difiere significativamente de los demás Es decir: H 0 : τ 1 = τ 2 = = τ k v/s H 1 : τ i τ j para algún i j El procedimiento de cálculo lo haremos usando un software estadístico De aquí podemos obtener: 1- Intervalos de confianza para los efectos medios de los tratamientos (niveles del Factor 2- Análisis de los residuos (errores) y verificación de la adecuación del modelo 3- Diversas pruebas de comparaciones múltiples sobre los promedios de los Tratamientos 4- Diagramas de cajas para analizar el comportamiento de las respuestas en cada tratamiento 5- Prueba no paramétrica de Kruskall - Wallis para analizar los datos De los procedimientos que están contenidos en la opción Opciones tabulares " del software aplicado, obtendremos en primer lugar una tabla denominada ANOVA Table ( Análisis of Variance) La penúltima columna de esta tabla aparece denominada como " F - Ratio ", que representa el cuociente entre los cuadrados medios de las filas entre grupos e Intra Grupos Un valor de " F- Ratio " grande, Junto al valor del " P-Value " que entonces será pequeño (relación inversa entre ambos) nos permite decidir que los efectos medios de los distintos niveles del factor difieren de manera estadísticamente significativa 186

4 Sin embargo, es posible que el valor "F-Ratio" sea un valor bastante menor que 1, pero el valor recíproco del mismo (1/ F-ratio) llegue a ser un valor grande y resultase significativo En este caso parece razonable rechazar el modelo estadístico planteado Algunos de los pasos a seguir pueden ser: 1- El procedimiento experimental deberá ser revisado para ver si se satisfacen los diferentes supuestos En el caso de no cumplimiento debido a la aleatorización de la asignación de tratamientos a unidades experimentales y por lo tanto la validez de la suposición de independencia es dudosa 2- Si se dispone de suficientes observaciones, la suposición de normalidad Estadística podría ser revisada utilizando la representación gráfica de los datos o tests adecuados 3- La suposición de varianzas homogéneas (homocedasticidad) deberá revisarse, lo que requiere un importante número de observaciones por cada tratamiento(variance Check) 4- El fenómeno básico debería re-estudiarse para ver si el modelo lineal supuesto es una buena aproximación a la verdad de los hechos En el caso de ser rechazado el Modelo Lineal, debería buscarse un nuevo modelo que describa mejor los datos obtenidos y el fenómeno bajo investigación Ejemplo : Se están investigando cuatro catalizadores que pueden afectar la concentración de un componente en una mezcla líquida Se obtuvieron las siguientes concentraciones Catalizador ,2 57,2 58,4 55,8 54,9 56,3 56,3 54,5 57,0 55,3 54,8 50,1 52,3 54,6 51,3 53,7 52,9 49,9 50,0 51,7 50,8 48,4 50,2 Desarrollo: a) Las hipótesis a probar son: H 0 : No existen diferencias estadísticamente significativas en las concentraciones promedios de los catalizadores utilizados H 1 : Existe algún catalizador que produce un efecto promedio en la concentración, que difiriere significativamente de los demás 187

5 b) Debe crear un archivo en Statgraphics que contenga dos columnas o variables Una de ellas debe contener el número del catalizador y la otra el valor de la medición Por ejemplo: Catali Concent 58,2 57,2 58,4 56,3 54,5 50,1 52,3 54, ,4 50,2 c) Ubique la punta de flecha del mouse ventanas comparación Análisis de la varianza Anova simple Tendrá la siguiente pantalla 188

6 Una vez que se ha completado la pizarra de diálogo, utilizando la ventana opciones tabulares podemos obtener: Resumen del procedimiento Resumen estadístico Tabla Anova Tabla de medias Contraste múltiple de rango Contrastes de varianza Contraste de Kruskal Wallis Para decidir si rechazamos o aceptamos la Hipótesis H 0, debemos seleccionar Tabla Anova Para este ejemplo, la tabla referida es Tabla ANOVA para Concent según Catali Análisis de la Varianza Fuente Sumas de cuad Gl Cuadrado Medio Cociente-F P-Valor Entre grupos 152, , ,61 0,0000 Intra grupos 39, , Total (Corr) 192, Dado que la columna del P-valor, que es el cuociente entre el Cuadrado Medio Entre Grupos y el Cuadrado Medio Intra Grupo [ 50,9713 / 2,0708 ] resulta ser menor que 0,05, entonces esto nos lleva a concluir de que debemos aceptar la hipótesis alternativa H 1 Es decir, existe algún catalizador que produce un efecto promedio significativamente diferente a los demás d) Los intervalos de confianza para los valores de concentración promedio para cada uno de los catalizadores, se obtienen Tabla de medias en el icono Opciones Tabulares En este caso los intervalos son 189

7 Tabla de Medias para Concent según Catali con 95,0 intervalos LSD Error Estándar Catali Frec Media (s agrupada) Límite inf Límite sup ,8 0, , , ,58 0, , , ,4 0, , , ,5571 0, , ,3621 Total 23 53,678 e) Esta tabla se puede visualizar desde una grafica Para ello debe ubicar el icono de opciones graficas y seleccionar dentro de la ella, la ventana gráfico de medias, que entrega para este caso el siguiente gráfico f) Al observar el gráfico, vemos que los intervalos de confianza de los catalizadores 1 y 2 tienen una importante zona de intersección A si mismo, pero en valores más bajos, tienen un poco intersección los catalizadores 3 y 4 La situación anterior queda reflejada en las denominadas pruebas Contraste múltiple de rango, que están dentro de Opciones tabulares 190

8 Contraste Múltiple de Rango para Concent según Catali Método: 95,0 porcentaje LSD (Diferencia Mínima significativa) Catali Frec Media Grupos homogéneos ,5571 X ,4 X ,58 X ,8 X Contraste Diferencias +/- Límites ,22 1, *4,4 1, *6, , *3,18 1, *5, , *1, , indica una diferencia significativa g)- Una manera de comprobar si la decisión dada por la Tabla de Análisis de la varianza, ANOVA, es tener la opinión de otro test estadístico que no requiere de los supuesto de normalidad estadística para la variable respuesta Esta prueba de se denomina Contraste de Kruskal Wallis, que se obtienen de Opciones tabulares En este caso los resultados de esta prueba son: ANOVA Simple - Concent según Catali Contraste de Kruskal-Wallis para Concent según Catali Catali Tamaño muestral Rango Promedio , , , , Estadístico = 17,5802 P-valor = 0, Dado que el valor del P-valor = 0, y por lo tanto es menor que 0,05 ( 5%), llegamos a concordar con lo que obtuvimos en la tabla de Análisis de varianza (ANOVA) Para completar el análisis y verificar si los supuestos del modelo se cumplen, es necesario analizar dos puntos que resultan fundamentales 1- Que la variabilidad de los diferentes grupos o niveles del tratamiento experimental no difiera de manera muy significativa 2- Que los errores (residual) se comporten según el modelo de probabilidad normal 191

9 El primer punto se puede verificar seleccionando del icono Opciones Tabulares, la ventana Contraste de Varianza Obtenemos para este caso la siguiente información: Contraste de Varianza Contraste C de Cochran: 0, P-valor = 0, Contraste de Bartlett: 1,06288 P-valor = 0, Contraste de Hartley: 2,97174 Test de Levene: 0,43106 P-valor = 0, El cuarto estadístico mostrado en esta tabla, comprueba la hipótesis nula de que la desviación típica de la variable Concentración, dentro de cada uno de los 4 niveles de los Catalizadores es la misma Resulta de mucho interés observar los tres P-valores Dado que el menor de los p-valores es superior o igual a 0,05, ello implica que no hay diferencia estadísticamente significativa entre las desviaciones típicas para un nivel de confianza del 95,0% Por lo tanto, el primer supuesto del análisis de varianza ha sido satisfecho El segundo punto se puede verificar haciendo primero que el software guarde los residuos para que los incorpore al archivo y luego ir a Descripción Datos numéricos Análisis unidimensional El la pantalla de diálogo, ingresar en el campo Data, la variable Residuals En el icono opciones gráficas, seleccionar gráfico de probabilidad Se obtiene en este caso, Esto nos permite verificar que efectivamente los errores tiende a distribuirse como el Modelo de Probabilidad Normal Otra forma es ajustando a los residuals o errores un modelo de probabilidad normal, que requiere de las siguientes instrucciones a aplicar: Descripción Distribuciones Ajuste de distribuciones (datos no censurados) 192

10 En la pantalla de diálogo que aparece, en el campo Data, ingrese la variable residuals La primera distribución que se propone a ajustar es la Distribución Normal En el icono Opciones Tabulares selecciones las ventanas: Test para normalidad, Test de Bondad de Ajuste Aquí obtendrá la siguiente información: Tests para la Normalidad para RESIDUALS Estadístico chi-cuadrado de bondad de ajuste = 4,69565 P-valor = 0,91056 Estadístico W de Shapiro-Wilks = 0, P-valor = 0, Puntuación Z para asimetría = 0, P-valor = 0, Puntuación Z para curtosis = -1,02859 P-valor = 0,30367 Como podemos ver, todos los P-valor son mayores que 5 %, con lo que debemos concluir que los errores se distribuyen según el modelo de probabilidad normal Un segundo tabulado para este punto, puede ser la bondad del ajuste Tests de Bondad de Ajuste para RESIDUALS Contraste Chi-cuadrado Límite Límite Frecuencia Frecuencia Inferior Superior Observada Esperada Chi-cuadrado menor o igual -1, ,83 0,18-1, , ,83 0,36-0, ,47826E-7 5 3,83 0,36 3,47826E-7 0, ,83 0,88 0, , ,83 0,88 mayor 1, ,83 1, Chi-cuadrado = 3,8696 con 3 gl P-Valor = 0,

11 Estadístico DMAS de Kolmogorov = 0, Estadístico DMENOS de Kolmogorov = 0,10796 Estadístico DN global de Kolmogorov = 0,10796 P-Valor aproximado = 0, Estadístico EDF Valor Forma Modificada P-Valor Kolmogorov-Smirnov D 0, , >=010* Anderson-Darling A^2 0, , ,5805* *Indica que el p-valor se ha comparado con las tablas de valores críticos especialmente construido para el ajuste de la distribución actualmente seleccionada Otros p-valores están basados en tablas generales y pueden ser muy conservadores Por lo tanto el segundo supuesto, de normalidad estadística, para nuestro ejemplo, ha sido satisfecho Dado entonces que los dos supuestos fundamentales del análisis de varianza se han cumplido, ello significa entonces que esta metodología está siendo bien aplicada Todos los ejercicios propuestos en el taller de aplicaciones, deberán de seguir los diferentes puntos e interrogantes antes desarrollados 92- Análisis de la varianza de experimentos con dos factores controlables Con frecuencia interesa examinar los efectos de dos tipos de Factores,cada uno con varios niveles de medición Por ejemplo un Factor A con niveles de medición A 1, A 2, Aj Además un factor B con niveles de medición B 1, B 2, BBk, Se supone que para cada combinación conjunta entre los niveles de los factores, se hacen dos o más observaciones ( la misma cantidad para todos )Este requisito se hace para que pueda efectuarse un contraste respecto de la existencia del efecto de interacción Las observaciones se registran en una tabla, cuya estructura es la siguiente: Factor B BB1 BB2 B K A 1 A 2 A J 194

12 El modelo estadístico lineal que lo describe es: Y ij = μ + τ i + β j + (τβ) ij ε ijk i = 1, 2, 3,a ; j = 1,2, 3, b ; k = 1,2, n Donde Y ij = Es una variable aleatoria que denota la ij-ésima observación μ es una parámetro común a todos los tratamientos denominado Media Global τ i es el efecto del i -ésimo nivel factor τ β j es el efecto del j-ésimo nivel del factor β (τβ ) ij es el efecto de interacción de los factores τ y β ε ij k es un componente de error aleatorio que se comporta según el modelo normal de probabilidades, con promedio igual a cero y varianza σ 2 constante, y no correlacionados entre sí En este modelo se deben probar tres hipótesis a saber: 1- En primer lugar debe establecerse si es significativo es el efecto de interacción entre los factores principales 2- Si existen diferencias significativas en los efectos promedio del factor A 3- Si existen diferencias significativas en los efectos promedio del factor B Para discutir o analizar las hipótesis planteadas se necesita una base de datos empírica que contenga los datos maestrales que represente a los efectos planteados en las hipótesis Para ello, se descompone la medida de la variabilidad total, en términos que recojan la variabilidad debido a los tratamientos o niveles del Factor A La variabilidad debida debido a los tratamientos o niveles de medición del factor B, la variabilidad debida a la interacción entre los factores, y por último, la ocasionada por el error aleatorio muestral ε ij k Por ejemplo, en la investigación de mercados, se pueden clasificar los vendedores por dos factores, tales como el segmento o intervalo de edad (A) y su nivel de escolaridad (B) El objetivo podría ser determinar si la edad y el nivel de escolaridad o formación alcanzada tiene algún efecto significativo sobre el volumen de ventas Tal vez interese no solo el efecto individual de cada uno de estos dos factores sino también el efecto conjunto o interacción Otro ejemplo, en la investigación educacional para mejorar lo niveles de aprobación en los cursos, puede ser deseable investigar el efecto de diferentes métodos de enseñanza y las distintas materias enseñadas, sobre el rendimiento de los estudiantes Aquí también puede haber interacción, porque ciertos métodos específicos de enseñanza pueden ser especialmente eficaces aplicados a la enseñanza de cierta materias Cabe destacar que cada uno de los factores involucrados puede tener niveles de medición cuantitativos o bien cualitativos Los cálculos fundamentales del análisis de varianza se realizarán utilizando un software estadístico En todo caso a continuación se plantea un problema para visualizar mejor los aspectos enunciados 195

13 Ejemplo Un ingeniero diseña una batería para su uso en un dispositivo que será sometido a ciertas variaciones extremas de temperatura El único parámetro de diseño que el puede seleccionar en este punto es el material de la cubierta de la batería, y tiene tres alternativas Cuando el dispositivo se manufactura y se envía al campo de prueba, el ingeniero no tiene control sobre las temperaturas extremas a que será expuesto el dispositivo, y sabe por experiencia que es probable que la temperatura influya en la duración efectiva de la batería Sin embargo, si es posible controlar la temperatura en el laboratorio de desarrollo del producto para los fines de ensayo El ingeniero decide probar los tres materiales de la cubierta a tres niveles de temperatura (15, 70 y 125 ºF ) consistentes en el entorno del uso final del producto Se prueban cuatro baterías en cada combinación de material de material de la cubierta y temperatura Las 36 pruebas se ejecutan al azar Se registra el tiempo de duración, en horas, de las baterías Temperatura º F Tipo de material A B C Metodología de solución y análisis del problema 1º Paso: Para resolver este tipo de problemas o ejemplos, debe crear un archivo en Statgraphics que contenga tres columnas o variables Es decir, construir la Base de Datos Una de ellas deben contener el tipo de material ( Factor ) Otra columna de contener los niveles de temperatura (Factor B ) Una tercera columna debe contener el valor de la medición (respuesta cuantitativa) Por ejemplo: Tip_ Mat Temp Duración A A A A A A A A A A A A B B B

14 B C C C C º Paso: Redactar las hipótesis a probar, en el contexto del enunciado del problema H 0 : No existen diferencias estadísticamente significativas en la duración de las baterías, según el tipo de material utilizado H 1 : Existe algún tipo de material utilizado en la fabricación de las baterías que produce una duración promedio significativamente diferente a los demás H 0 : No existen diferencias estadísticamente significativas en la duración de las baterías, según la temperatura de trabajo a la que sean sometidas H 1 : Existe alguna temperatura de trabajo a la que se someten las baterías de las baterías que produce una duración promedio significativamente diferente a las demás H 0 : No existe una interacción significativa entre tipo de material utilizado y la temperatura de trabajo, que produzca duraciones promedios significativamente diferentes en la duración de las baterías H 1 : Existe una interacción significativa entre algún tipo de material utilizado y alguna temperatura de trabajo, que producen duraciones promedios significativamente diferentes en la duración de las baterías 3º Paso : Utilizar el siguiente procedimiento en Statgraphics, para procesar los datos: Ubique la ventana Comparación Análisis de la varianza Anova Factorial Tal como lo indica la siguiente pantalla 197

15 Proceda a llenar los campos solicitados en la siguiente pantalla de diálogo En el campo variable dependiente, ingrese las respuestas que se obtienen En este caso es la variable duración En el campo Factores, ingrese los factores que se consideraron como fuente o base de la observación En este caso son el factor tipo de Material (Tip_Mat) y el Factor Temperatura (Temp) 4º Paso : El análisis de los informes o pantallas que proporciona el software permitirá ir obteniendo diverso tipo de información para sacar las conclusiones y posterior toma de decisiones Ubicando el icono Opciones tabulares, seleccione la ventana Tabla Anova Una vez que aparezca la respectiva pantalla, pulse el sector derecho del ratón y en el cuadro de diálogo que aparecerá,seleccione Opciones de Análisis y seguidamente en el recuadro máximo orden de interacción, ingrese un 2Esto debido a que en este ejemplo hay dos Factores Si hubiesen tres factores, el número a ingresar sería por lo tanto un 3 ANOVA Factorial - Duración Análisis de la Varianza para Duración - Sumas de Cuadrados de Tipo III Fuente Suma de cuadrados GL Cuadrado Medio Cociente-F P-Valor EFECTOS PRINCIPALES A:Temp 40110, ,2 53,58 0,0000 B:Tip_ Mat 6772, ,03 9,05 0,0010 INTERACCIONES AB 12948, ,19 8,65 0,0001 RESIDUOS 10105, , TOTAL (CORREGIDO) 69937, Los cocientes F están basados en el error cuadrático medio residual Al analizar la tabla anterior concluimos que los efectos principales, que son la temperatura y el tipo de material, producen, por separado, efectos promedios que son significativamente diferentes A si mismo, la interacción entre ambos factores resulta ser significativamente importante 198

16 Ubicando el icono Opciones tabulares, seleccione la ventana Tabla de medias Tendrá una pantalla que contiene información de Media Total, valores promedio por niveles de temperatura, valores promedio por tipo de material utilizado y los valores medios de las combinaciones de temperatura y tipo de material utilizado Además un intervalo de confianza, del 95%, donde según los datos obtenidos, oscilará cad uno de los valores promedio Tabla de Medias e intervalos de confianza del 95,0 % Error Límite Límite Nivel Frecuencia Media Estándar Inferior Superior Media Total ,528 Temp ,167 5, , , ,75 5, , , ,6667 5, , ,1259 Tip_ Mat A 12 94,0 5, , ,459 B ,0 5, , ,459 C ,583 5, , ,043 Temp según Tip_ Mat 15 A 4 159,75 9, , , B 4 155,75 9, , , C 4 144,0 9, , , A 4 57,25 9, , , B 4 117,25 9, , , C 4 145,75 9, , , A 4 65,0 9, , , B 4 57,0 9, , , C 4 93,0 9, , , Ubicando el icono Opciones tabulares, seleccione la ventana contraste múltiple de rango Esto permite obtener una tabla que nos entrega información a cerca de que valores promedio resultan significativamente diferente Contraste Múltiple de Rangos para Duración según Temp Método: 95,0 porcentaje LSD Temp Recuento Media LS Sigma LS Grupos Homogéneos ,6667 5,58485 X ,75 5,58485 X ,167 5,58485 X Contraste Diferencias +/- Límites *46, , *81,5 16, *35, , * indica una diferencia significativa Estando dentro de esta pantalla y con el lado derecho del ratón, usted tendrá la posibilidad de seleccionar opciones de ventan y puede cambiar al otro Factor involucrado en el experimento 199

17 Contraste Múltiple de Rangos para Duración según Tip_ Mat Método: 95,0 porcentaje LSD Tip_ Mat Recuento Media LS Sigma LS Grupos Homogéneos A 12 94,0 5,58485 X B ,0 5,58485 X C ,583 5,58485 X Contraste Diferencias +/- Límites A - B -16,0 16,2058 A - C *-33, ,2058 B - C *-17, , * indica una diferencia significativa Todas las tablas anteriores se pueden acompañar de gráficos que son muy aclaratorios para la discusión y análisis de la información entregada Gráficos para los valores promedios, en cada uno de los niveles del factor 200

18 Gráficos para los valores promedio de las interacciones o combinaciones de niveles de los factores involucrados 5º Paso : Verificación el comportamiento de los errores Que los errores (residuals) se comporten según el modelo de probabilidad normal Este punto se puede verificar haciendo primero que el software guarde los residuos para que los incorpore al archivo y luego ir a Descripción Datos numéricos Análisis unidimensional El la pantalla de diálogo, ingresar en el campo Data, la variable Residuals En el icono opciones gráficas, seleccionar gráfico de probabilidad Se obtiene en este caso 201

19 Otra forma es ajustando a los residuals o errores un modelo de probabilidad normal, que requiere de las siguientes instrucciones a aplicar: Descripción Distribuciones Ajuste de distribuciones (datos no censurados) Tests para la Normalidad para RESIDUALS Estadístico chi-cuadrado de bondad de ajuste = 9,33333 P-valor = 0, Estadístico W de Shapiro-Wilks = 0, P-valor = 0, Puntuación Z para asimetría = 0, P-valor = 0,78072 Puntuación Z para curtosis = -0, P-valor = 0, En este caso todos los Teste estadísticos para probar normalidad tienen P-valor superiores significativamente especto del 0,05 (5 %) Ello significa entonces que los errores se comportan según el modelo de probabilidad normal También esto es refrendado aplicando un test de bondad del ajunte, cuyo resultado entregado por Statgraphics es Tests de Bondad de Ajuste para RESIDUALS Contraste Chi-cuadrado Límite Límite Frecuencia Frecuencia Inferior Superior Observada Esperada Chi-cuadrado menor o igual -18, ,14 0,00-18,1404-9, ,14 0,00-9, , ,14 0,00-3, , ,14 0,00 3, , ,14 0,00 9, , ,14 0,14 mayor 18, ,14 0, Chi-cuadrado = 0, con 4 gl P-Valor = 0, Estadístico DMAS de Kolmogorov = 0, Estadístico DMENOS de Kolmogorov = 0, Estadístico DN global de Kolmogorov = 0, P-Valor aproximado = 0,99899 Estadístico EDF Valor Forma Modificada P-Valor Kolmogorov-Smirnov D 0, , >=010* Anderson-Darling A^2 0, , ,9251* *Indica que el p-valor se ha comparado con las tablas de valores críticos especialmente construido para el ajuste de la distribución actualmente seleccionada Otros p-valores están basados en tablas generales y pueden ser muy conservadores 202