CÁLCULO I. Guía de aprendizaje

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1 DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA A LA I.T. DE TELECOMUNICACIÓN E.U.I.T. TELECOMUNICACIÓN UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID Ctra. De Valencia, Km Madrid (España) Teléfono CÁLCULO I Guía de aprendizaje CRÉDITOS EUROPEOS: 6 CARÁCTER: Asignatura Obligatoria TITULACIÓN: Grado en Ingeniería Electrónica de Comunicaciones Grado en Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación Grado en Ingeniería de Sonido e Imagen Grado en Ingeniería Telemática CURSO ACADÉMICO: PERIODO DE IMPARTICIÓN: Otoño y Primavera Profesorado Profesor Despacho Teléfono Ignacio Álvarez Rocha 3107 igalvar@euitt.upm.es Jorge Bonache Pérez 5107 jbonache@euitt.upm.es Raúl Fernández Recio 5108 rfrecio@euitt.upm.es Antonio Fernández Fernández 4105 affernan@euitt.upm.es Raquel López Zazo 3105 rlzazo@euitt.upm.es Jerónimo López-Salazar 5108 jlsalazar@euitt.upm.es Arístides Martínez Viñas 3104 amartinez@euitt.upm.es Carmen Ortiz Martínez 3106 cortiz@ euitt.upm.es Juana Sendra Pons 5109 jsendra@ euitt.upm.es Coordinador: Jorge Bonache Pérez Objetivos de Aprendizaje Competencias Generales Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmicos numéricos; estadísticos y optimización.

2 Capacidad para expresarse correctamente de forma oral y escrita y transmitir información mediante documentos y exposiciones en público. Capacidad de abstracción, de análisis y de síntesis y de resolución de problemas. Competencias específicas Capacidad de aplicar las técnicas de cálculo I en la resolución de problemas en la Ingeniería de Telecomunicación. Capacidad de utilizar los conceptos básicos de cálculo I en la Ingeniería de Telecomunicación. Resultados de Aprendizaje. Aplicar las propiedades básicas y operar con números reales y complejos Identificar y manejar las funciones elementales y las que resultan de operar con ellas (multiplicación, suma, composición, etc.) y en particular, de aquellas de uso frecuente en la carrera (trigonométricas, periódicas, pulsos etc.) Calcular límites de funciones reales de una variable real. Comprender el concepto de límite Analizar y aplicar los conceptos de continuidad y derivabilidad de funciones reales y los teoremas fundamentales asociados. Aplicar el teorema de Taylor en el estudio local de una función Expresar el concepto de primitiva de una función y su relación con la derivada. Aplicar algunos métodos de integración básicos Enunciar y aplicar las propiedades de la integral Riemann y su interpretación geométrica y el teorema fundamental del cálculo Calcular integrales impropias sencillas Reconocer las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y resolver los ejemplos básicos de de EDPs utilizando los métodos elementales clásicos. Analizar la convergencia de series numéricas y clasificar algunos tipos de series numéricas. Calcular el radio e intervalo de convergencia e integrar y derivar una serie de potencias. Desarrollar funciones en series de potencias y aplicarlas al estudio local y al cálculo de sumas de series numéricas. Calcular los coeficientes de la serie de Fourier de funciones periódicas. Analizar si una función periódica es desarrollable en Serie de Fourier mediante el teorema de Dirichlet, aplicándolas al cálculo de sumas de series numéricas. Contenidos Específicos Tema 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS Propiedades básicas de los números reales Operaciones elementales con números complejos Representación de los números complejos en forma binómica, trigonométrica y polar Potencias de un número complejo. Fórmula de Moivre Raíces de un número complejo Forma exponencial de un número complejo. Tema 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.1. Límites, Continuidad. Teoremas fundamentales. 2.2.Derivabilidad. Teoremas de funciones derivables. 2.3.Teorema de Rolle. Teorema del valor medio.

3 2.4.Teorema de Cauchy. Regla de L Hôpital Infinitésimos. 2.6.Teorema de Taylor. 2.7.Consecuencias del teorema de Taylor. Tema 3. INTEGRAL DEFINIDA 3.1. Concepto de integral definida Propiedades Funciones integrables Teorema del valor medio Teorema fundamental del cálculo integral Cálculo de primitivas Integrales impropias. Definición y cálculo. Tema 4. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 4.1. Definición de ecuación diferencial. Soluciones Ecuación de variables separables Ecuación homogénea Ecuación reducible a homogénea Ecuación lineal. Tema 5. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 5.1. Sucesiones. Definición. Límite y carácter de una sucesión Sucesiones monótonas Series numéricas. Definición. Convergencia de una serie Propiedades Serie geométrica y telescópica Condición necesaria para la convergencia de una serie Serie de términos positivos. Criterios de convergencia Series alternadas. Criterio de Leibniz Series absolutamente convergentes. Tema 6. SERIES DE POTENCIAS 6.1. Definición. Intervalo de convergencia Integración y derivación de una serie de potencias Series de Taylor. Desarrollo de funciones en serie de Taylor. Tema 7. SERIES DE FOURIER 7.1. Serie de Fourier de una función periódica de período 2π Condiciones de Dirichlet Series de Fourier de funciones pares e impares Series de Fourier de una función periódica de período T cualquiera. Métodos de enseñanza empleados Clases de teoría.

4 Clases de problemas. Trabajos autónomos: Resolución de problemas. Estudio del temario. Trabajos en grupo. Tutorías: Tutorías individuales y colectivas. Recursos didácticos Plataforma Institucional Moodle. Hojas de problemas. Material de refuerzo de base matemática. Ejercicios de autoevaluación. Exámenes resueltos. Ejercicios y problemas resueltos. Estructura de impartición Aproximadamente, durante 14 semanas se imparten 5 horas semanales de teoría y resolución de problemas en el aula. Conocimientos previos Los conocimientos básicos de Cálculo contenidos en las asignaturas de matemáticas del bachillerato. Temporalidad de las actividades presenciales Tema 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS: 4 horas Tema 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: 11 horas Tema 3. INTEGRAL DEFINIDA: 15 horas Tema 4. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN: 7 horas Tema 5. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS: 8 horas Tema 6. SERIES DE POTENCIAS: 5 horas Tema 7. SERIES DE FOURIER: 5 horas Primer parcial: 2 horas Segundo parcial: 2 horas Examen Final: 3 horas Nota: El número de horas es aproximado y susceptible de modificaciones Sistema de Evaluación El sistema de evaluación continua será el que se aplique en general a todos los estudiantes matriculados en la asignatura. El alumno que desee seguir el sistema de evaluación mediante examen final deberá comunicarlo, mediante solicitud dirigida a los profesores de la asignatura y entregada en la Secretaría del Departamento, en el plazo de tres semanas a contar desde el inicio de la actividad docente de la

5 asignatura. La nota de evaluación continua no se guarda para otras convocatorias. En las convocatorias extraordinarias la evaluación se realizará mediante un examen final. Evaluación continua Para la nota de evaluación continua se realizan y se tienen en cuenta (con los porcentajes indicados): Primer parcial (P1, 25%) Segundo parcial (P2, 25%) Actividades complementarias (A, 15%) Examen Global Común (EGC, 35%) Si aplicando los porcentajes Actividades complementarias (A, 15%), Examen Global Común (EGC, 85%) se obtiene una nota mayor, ésta será la nota final. Es decir, la nota de Evaluación Continua (NEC) se obtiene mediante la fórmula: NEC = Máximo { 0,25 P1 + 0,25 P2 + 0,15 A + 0,35 EGC, 0,15 A+0,85 EGC } Evaluación mediante examen final La nota será la obtenida en un examen final (100%) Bibliografía Básica: Larson, R. Hosteller, R.P. y Edwards, B.H.(2002) Cálculo I. Ed. Pirámide. Spivak, (2012).Calculus. Ed. Reverté. Stewart,J. (2002) Cálculo de una variable. Ed. Thomson. Ross, S.L. (1981) Ecuaciones Diferenciales. Ed. Reverté. Complementaria: Apostol, T.M. (1991) Calculus. Vol. I y II. Ed. Reverté. Bradley, G.L. y Smith, K.J. (1998) Cálculo de una variable. Ed. Prentice Hall. Garcia, A. García, F. Gutierrez, A. López, A. Rodríguez, G. y Villa, A. (1993) Calculo I. Ed.CLAGSA. Kreyszig,E. (2001) Matemáticas avanzadas para la ingeniería. Limusa Krasnov, M. Kiseliov, A. Makarenko, G. y Shikin, E. (1990) Curso de Matemáticas Superiores para Ingenieros. Tomos I y II. Ed. Mir.