III. MODELACION MATEMATICA

Transcripción

1 III. MODELACION MATEMATICA El análisis matemático de Ferrorresonancia dista de ser sencillo cuando se busca una solución exacta y se desea tomar en cuenta todas las consideraciones que una inductancia "no-lineal" implica. No obstante, realizando simplificaciones apropiadas es posible aproximar satisfactoriamente a las variables de interés, en este caso, voltajes y corrientes. Dado que la Ferrorresonancia involucra resonancia en presencia de no linealidad y saturación magnética, conviene que primero se recuerden algunos conceptos importantes relacionados con estas características para posteriormente atacar el fenómeno. A) Los Transformadores como Elementos No-Lineales. Un transformador de núcleo ferromagnético es un dispositivo que se utiliza en los sistemas eléctricos para cambiar los niveles de voltaje. Su comportamiento se describe básicamente por la Ley de Faraday y por la Ley de Ampère; la necesidad del uso de material ferromagnético en el núcleo se debe a su alta permeabilidad, factor que permite direccionar el flujo magnético entre unas bobinas y otras. Una de las propiedades no deseables de los materiales ferromagnéticos es su característica "no-lineal" entre flujo e intensidad de campo magnéticos, misma que es multivaluada cuando se le aplican excitaciones senoidales a alguno de los devanados del transformador, presentando lo que comúnmente se conoce como "Característica de Histéresis" o "Lazo de Histéresis". La figura 3-a muestra un "Lazo de Histéresis" de estado estable, mismo que ocurre cuando se aplica al material ferromagnético una intensidad de campo magnético variante en el tiempo, con valor máximo H max y con ciclos positivos y negativos iguales. Existe un "Lazo de Histéresis" de estado estable para cada valor máximo de intensidad de campo H. Las uniones de los picos de todos los lazos de un material que se obtienen Pág. 10 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

2 al variar H max, forman la "curva de magnetización" de ese material tal como se muestra en la figura 3-b. Ya que la densidad de flujo es proporcional al flujo magnético y la corriente lo es a la intensidad de campo magnético, la curva de magnetización puede transformarse fácilmente en la "característica Ø-i", dependiendo de las dimensiones del núcleo de cada transformador y del número de vueltas que se hayan enrollado a éste. La "característica Ø-i" correspondiente a la curva de magnetización de la figura 3-b se presenta en la figura 3-c donde "Ø" representa el flujo máximo de la bobina en webers e "i", la corriente máxima instantánea en amperes. Figura 3. Obtención de la curva de magnetización a partir de los lazos de histéresis. (a) Lazo de histéresis de estado estable para una intensidad de campo H max. (b) Unión de los picos de los lazos de histéresis para obtener la curva de magnetización. (c) Curva de magnetización transformada a valores Ø-i. Efecto de la No-Linealidad en la Corriente de Excitación: Al observar la curva Ø-i de la figura 3-c se nota que mientras el flujo es menor que un flujo de saturación "Ø s " la relación entre el flujo y la corriente es casi lineal, pero a valores mayores que "Ø s " ya no existe una relación constante entre ambas variables y ante pequeñas variaciones de flujo magnético se tienen cambios muy notorios de corriente; cuando esto ocurre se dice que el transformador se ha saturado. Lo anterior sugiere que no es recomendable trabajar con valores de flujo superiores al flujo de saturación para no se obligue a la corriente a crecer abruptamente y así evitar los sobrecalentamientos que este efecto puede producir. Para comprender con claridad las consecuencias de la saturación, supóngase que se desea ver cómo es la corriente que circula por un transformador operando en vacío. Cuando no hay carga en el transformador, la única corriente que circula por las bobinas es la de excitación, Pág. 11 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

3 asociada con las corrientes de "eddy" que circulan en el núcleo debido al voltaje inducido en éste por el flujo variante en el tiempo que pasa a través del material ferromagnético. La figura 4-c presenta la característica Ø-i simplificada del transformador que aparece en la figura 4-a, en cuyo circuito equivalente se desprecian efectos resistivos, pérdidas en el núcleo y dispersión de flujo. Si se aplica un voltaje senoidal de magnitud y frecuencia constantes a las terminales del primario del transformador, el voltaje inducido en ellas está obligado a ser senoidal y en fase con el de la fuente de alimentación, asimismo, de acuerdo a la Ley de Faraday, el flujo producido en el material ferromagnético debe ser senoidal. Sea el voltaje aplicado al transformador v = 2 V rms cos (wt) V (1) donde V rms es el valor eficaz de voltaje de la fuente y w la frecuencia en rad/seg. Entonces, de acuerdo a la Ley de Faraday el voltaje inducido en las terminales de la bobina es: e = v = N (dø/dt) V (2) lo que obligará al flujo del núcleo en estado estable a ser: Ø = (1/N) e dt = (1/N) 2 V rms cos (wt) dt Ø = ( 2 V rms /w N) sen (wt) Wb (3) y si w = 2πf donde f representa la frecuencia de la fuente de votaje en Hz entonces: Ø = (V rms /4.44 f N) sen (wt) (4-a) Ø = Ø max sen (wt) (4-b) donde Ø max = (V rms /4.44 f N) (4-c) Pág. 12 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

4 Cuando el voltaje aplicado es el nominal, entonces el flujo máximo está en la parte lineal de la curva Ø-i y su forma se muestra en la figura 4-b. La onda de corriente (fig. 4- d) se obtiene gráficamente mediante el sencillo procedimiento de la figura 4. Cuando t=0, Ø=0 y de Pág. 13 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

5 la curva de magnetización i=0. En t = t 1, el flujo ha crecido a un valor Ø = Ø 1 y el valor instantáneo correspondiente de corriente se obtiene de la curva Ø-i y es i 1. A medida que el tiempo transcurre y mientras el flujo aumenta, la corriente también se incrementa de acuerdo a la curva de magnetización hasta que, eventualmente, el flujo alcanza su valor máximo Ø max, lo que ocurre después de un cuarto de ciclo con respecto a la referencia, esto es, en t = π/2w, tiempo para el cual la corriente también ha llegado a su valor máximo i max. A partir de este momento, el flujo comienza a disminuir y, por consecuencia, la corriente se reduce. Después de medio ciclo de flujo éste volverá a cero y en el mismo instante no circulará corriente en el circuito. El siguiente medio ciclo sucede en forma similar, pero ahora tanto el flujo como la corriente son negativos. En la figura 4 puede observarse un ciclo de flujo y su correspondiente ciclo de corriente en el transformador y, dado que se trabaja en la zona lineal, la corriente obtenida es casi senoidal y en fase con el flujo. Cabe recordar que se está utilizando la curva de magnetización para la obtención de la corriente y en la realidad el núcleo tiene un "Lazo de Histéresis", por lo que el análisis anterior es una aproximación. El efecto de considerar la histéresis haría que la corriente se adelantase un poco al flujo y que su forma no fuese perfectamente simétrica, lo que propiciaría que el núcleo tuviese un valor de flujo residual. Si en lugar de aplicar voltaje nominal se aplicase un voltaje 30% superior, entonces el procedimiento para encontrar la corriente de excitación sería el mismo, pero dado que este nuevo valor de voltaje produce un flujo 30% por arriba del de saturación, la corriente se incrementará excesivamente tal como se puede ver en la figura 5. Pág. 14 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

6 B) El Circuito "LC-Serie" Lineal. Cuando se conectan en serie una resistencia, una inductancia y una capacitancia lineales a una fuente de corriente alterna, existe la posibilidad de que se produzcan sobrevoltajes y sobrecorrientes en el circuito. Pág. 15 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

7 El caso más crítico ocurre cuando los valores óhmicos de la reactancia inductiva y la reactancia capacitiva coinciden, en este caso la corriente queda limitada tan sólo por la resistencia, puesto que las reactancias inductiva y capacitiva se cancelan por ser de signo contrario; si se considera que la resistencia corresponde al efecto resistivo de los elementos del circuito, entonces su valor será pequeño, propiciando que las corrientes aumenten considerablemente. Esto traerá como consecuencia que los potenciales de los elementos del circuito sobrepasen los valores normales que tendrían si se hubiesen conectado en otras condiciones o en diferentes combinaciones. Esta forma de operación es conocida comúnmente como "resonancia". Si la reactancia capacitiva no tiene el mismo valor que la reactancia inductiva, pero no son significativamente diferentes, aún prevalecerán las sobrecorrientes y los sobrevoltajes antes mencionados, a pesar de que el circuito no se encuentra en "resonancia". La figura 6 muestra un circuito "LC-serie" lineal con su respectivo diagrama fasorial suponiendo que el circuito es predominantemente inductivo; la corriente se encuentra atrasada 90 respecto al voltaje de la fuente; además se desprecia todo efecto resistivo con el objeto de facilitar los cálculos y la visualización del diagrama fasorial. Figura 6. (a). Circuito "LC-serie" predominantemente inductivo. (b). Diagrama fasorial correspondiente (no a escala). Pág. 16 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

8 Aplicando la ley de Kirchhoff de voltajes al circuito se tiene: E = V L + V C (5) o bien, para las magnitudes, considerando que es inductivo: V L = E + V C (6) lo cual indica que el voltaje de la inductancia es mayor en magnitud que el voltaje de la fuente y depende de la impedancia que presente el circuito. EJEMPLO 1. estado estable senoidal es E = 100 ang(90 ) Volts. Resolver el circuito de la figura 6 si X L = 10 Ω y X C = 2 Ω y el voltaje de la fuente en Solución: De la ecuación (5): E = jx L I - jx C I E = j(x L - X C ) I despejando la corriente I = E/ j(x L - X C ) substituyendo valores: I = 100 ang(9o )/j(10-8) I = 50 ang (0 ) A entonces los voltajes en la inductancia y el condensador son: V L = j X L I = (j10)(50) = j 500 V V C = -jx C I = (-j8)(50) = -j400 V o bien, las magnitudes de ambos voltajes son: V L = 500 V. y V C = V. Pág. 17 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

9 Nótese que a pesar de aplicar solamente 100 V. al circuito se han presentado voltajes de cuatro y cinco veces el de la fuente en la capacitancia y en la inductancia respectivamente. Si la conexión se hubiese realizado en paralelo, ambos elementos tendrían 100 volts aplicados y las corrientes a través de cada uno de ellos, así como la proporcionada por la fuente, se verían notoriamente disminuidas. Una alternativa para visualizar la solución de circuitos de este tipo consiste en graficar las características de los voltajes en cada elemento del circuito en un sistema de coordenadas y encontrar la solución intersectando éstas. La solución del circuito "LC-serie" en estado estable puede realizarse gráficamente. Para esto, primeramente se representa la relación entre el voltaje y la corriente eficaces de la inductancia, cuya ecuación es: V L = jx L I (7-a) donde X L = w L = 2π f L (7-b) L es el valor de la inductancia en henrys. La magnitud del voltaje de la inductancia entonces está dado por: V L = X L I (8) cuando el circuito es lineal, X L es constante por lo que la ecuación (8) corresponde a una línea recta que pasa por el origen (figura 7). De acuerdo a la ecuación (6), el voltaje en la inductancia debe ser igual a la suma del voltaje en la fuente más la caída en la capacitancia, esto es: V L = E + V C (6) La caída de voltaje en la capacitancia, de acuerdo a la ley de Ohm es: V C = -j X C I (9-a) Pág. 18 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

10 además X C = (1/w C) (9-b) y en magnitud el voltaje se puede expresar como: V C = X C I (10) si a esta ecuación se le suma el voltaje de la fuente, se tiene: V C + E = X C I + E (11) Puesto que la capacitancia es constante, la ecuación (11) corresponde a la ecuación de una recta que cruza al eje vertical en un valor E y se muestra graficada en la figura 7. La solución es, entonces, la intersección de las dos rectas que corresponden a las ecuaciones (8) y (11) en la figura 7, dando el punto de operación del circuito. En la figura se incluye el diagrama fasorial para el punto de operación encontrado. Figura 7. Solución gráfica del circuito "LC-serie" de la figura 6. Pág. 19 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

11 Cuando se aumenta la reactancia capacitiva X C, el punto de operación se recorre a la derecha, aumentando tanto los voltajes como las corrientes en los elementos. El peor de los casos ocurre cuando se ha aumentado la reactancia capacitiva de tal manera que X L = X C, pues esto hace que ambas pendientes sean iguales y, por lo tanto, que las rectas de la figura 7 sean paralelas y no se corten produciendo "resonancia". Si se continúa incrementando X C el circuito se torna predominantemente capacitivo y la ecuación (11) tiene mayor pendiente que la ecuación (8) provocando que el punto de operación esté en el tercer cuadrante, con la consecuente inversión de voltajes y corrientes (figura 8). Figura 8. Incrementando la capacitancia se logra un punto de operación diferente circuito predominantemente capacitivo. que corresponde al EJEMPLO 2. Determinar el punto de operación de un circuito "LC-serie" predominantemente capacitivo utilizando el método gráfico ilustrado en esta sección. Pág. 20 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

12 Solución: fasorial correspondiente será: Si el circuito es capacitivo entonces la corriente adelantará 90 al voltaje y el diagrama Figura Ej.2 Del diagrama fasorial se puede apreciar que ahora el mayor voltaje se encuentra en la capacitancia, mismo que se encuentra en fase con el de la fuente, mientras que la diferencia de potencial en la inductancia está 180 atrasada; al mismo tiempo, la corriente se ha desfasado 180 con respecto al caso inductivo, puesto que debe estar adelantada del voltaje ya que el circuito es capacitivo. La relación que existe entre las magnitudes de los voltajes es ahora: V C = E + V L (12) Si se grafica nuevamente el voltaje en la inductancia y se intersecta con la combinación de la fuente y la capacitancia, se tiene que la pendiente de la ecuación (11) es mayor que la de la ecuación (8) debido a que X C > X L como se aprecia en la figura 8. En este caso el punto de operación se encuentra en el tercer cuadrante y el voltaje de la inductancia V L es negativo, lo que coincide con las características del circuito. El análisis anterior permite visualizar las consecuencias de una conexión "LC-serie" cuando la inductancia es lineal, pero cuando se desea analizar transformadores eléctricos de núcleo ferromagnético se debe considerar el efecto de saturación del núcleo apropiadamente. Es este efecto el que da origen a la Ferrorresonancia. Pág. 21 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

13 C) El Circuito "LC-Serie" No Lineal. Los equipos eléctricos que tienen devanados enrollados en núcleos construidos con material ferromagnético, tienen el problema de que este material se satura si se excede un cierto nivel de flujo circulando por el núcleo; tal como se mostró con anterioridad. Debido a esta no linealidad, la relación existente entre el voltaje y la corriente presenta una característica en la cual la saturación estará dada de acuerdo al nivel de voltaje aplicado a las terminales de los devanados; lo cual se debe a que este voltaje es proporcional al flujo, de acuerdo a la ecuación 4. Razones económicas referentes al aprovechamiento del material ferromagnético han suscitado que los transformadores se diseñen para trabajar alrededor del punto de saturación, el cual se encuentra en la rodilla de la curva de voltaje contra corriente (figura 9), indicando que cualquier exceso apreciable de voltaje es capaz de saturar al transformador provocando aumentos en los niveles de corriente y deformaciones en las ondas de corriente y de voltaje. Esta no linealidad produce complicaciones muy interesantes en el análisis del circuito "LC-serie" y es este el caso en que un circuito puede operar en Ferrorresonancia. Pág. 22 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

14 Figura 9. Relación entre voltaje y corriente en un transfomador. Cuando en un sistema eléctrico se presenta la conexión en serie de un transformador y un capacitor, o algún efecto capacitivo, se tiene un circuito "LC-serie" no lineal. Este circuito puede aparecer tanto en sistemas monofásicos como en sistemas trifásicos. En el caso monofásico la solución gráfica descrita anteriormente ayuda a visualizar el circuito con relativa facilidad; en sistemas trifásicos, la solución por el método gráfico sería bastante complicada por lo que se analiza el problema desde un enfoque diferente. A continuación se modela el problema de Ferrorresonancia. Primeramente se resuelve el caso monofásico, esto es, un solo circuito "LC-serie" no lineal, considerando sólo las componentes fundamentales de las variables a calcular; en segundo término se ataca el problema en sistemas trifásicos bajo la misma consideración referente a las armónicas involucradas. Finalmente, se hace una descripción cualitativa de las alteraciones que causa la Ferrorresonancia en las ondas de voltaje y de corriente. 1) Ferrorresonancia en Circuitos Monofásicos. El circuito eléctrico equivalente mostrado en la figura 10 consta de una fuente de voltaje que representa un barraje infinito; una inductancia no lineal correspondiente a un transformador eléctrico de núcleo ferromagnético y un capacitor lineal, el cual equivale al efecto Pág. 23 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

15 capacitivo conectado en serie con el transformador. La relación entre el voltaje y la corriente en la inductancia no lineal corresponde a la que se mostró en la figura 9. Figura 10. El circuito LC-Serie No Lineal. Ahora bien, de acuerdo a la relación existente en el circuito entre las magnitudes de los voltajes para el caso inductivo, se tiene la ecuación (6), la cual se repite por conveniencia: V L = E + V C (6) el punto de operación queda definido como la intersección de la curva de voltaje del transformador con la curva que representa el efecto combinado de la fuente y la capacitancia, o sea, el término del lado derecho de la ecuación (6), el cual corresponde a la ecuación de una recta con pendiente 1/wC. La solución gráfica se muestra en la figura 11, en la que se incluye la parte negativa de la curva del transformador. En la figura 11 se tienen tres puntos de intersección que satisfacen la ecuación (6) y han sido definidos como puntos de operación. Pág. 24 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

16 Figura 11. Solución gráfica del circuito "LC-serie" no lineal. (3: Punto de operación en Ferrorresonancia) Si la capacitancia del circuito disminuye, entonces la reactancia capacitiva aumenta, lo cual obliga a la pendiente de la recta a incrementarse también. La figura 12 muestra cómo cambian los puntos de operación a medida que se disminuye la capacitancia del sistema; también se puede ver la parte negativa de la curva del transformador en donde existe otro posible punto de operación. Incrementado la reactancia capacitiva hasta un valor suficiente, que se define como capacitancia crítica C 2, los puntos de operación 1 y 2 se pueden eliminar, dejando sólo la solución en el punto de operación 3. Si esto sucede, entonces el circuito se encuentra operando en Ferrorresonancia y la corriente se encontrará adelantada del voltaje, por lo que el circuito se ha vuelto predominantemente capacitivo. Pág. 25 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

17 C 1 > C 2 > C 3 Figura 12. Efecto del aumento de capacitancia en el circuito. La aplicación de este método gráfico al sistema monofásico no lineal ha definido tres posibles soluciones e introducido el concepto de Ferrorresonancia. Un breve análisis cualitativo de estos puntos de operación permite visualizar en qué puntos de operación se podrá lograr una condición de estado estable, es decir, en qué puntos de operación se puede encontrar trabajando al circuito. i) Punto de operación ('1'): Si hay un incremento en la corriente, entonces V L aumenta más rápido que E + V C ; este incremento de voltaje no puede ser proporcionado por la fuente, de manera que la corriente I tiene que disminuir regresando al punto '1'. Un descenso de corriente provoca que E + V C exceda a V L lo cual obliga a la corriente a aumentar regresando al valor original; por lo tanto, este punto es un punto de operación ESTABLE. El diagrama fasorial que representa esta condición de operación es el de la figura 13a el cual cumple con la ecuación (6). Pág. 26 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

18 ii) Punto de operación ('2'): Si en este punto de operación se incrementa la corriente, entonces E + V C > V L y el exceso de voltaje obligará a la corriente a aumentar, no pudiendo regresar al punto de operación. En cambio si I disminuye, la fuente no podrá entregar la corriente demandada, por lo que el punto '2' es un punto de operación INESTABLE. iii) Punto de operación ('3'): En este punto la corriente se ha invertido de dirección y por tanto los voltajes de los elementos también se han desfasado 180, como en el diagrama fasorial de la figura 13-b. En este caso, un incremento de corriente será en la dirección contraria y hará que E + V C < V L ; el exceso de voltaje no podrá ser sostenido por la fuente, haciendo que la corriente regrese a su punto original. Si I disminuye, E + V C aumentan más rápido que V L y el exceso de voltaje hará que la corriente aumente provocando que el punto de operación sea ESTABLE. Este punto de operación ha sido definido como el de Ferrorresonancia. (a) inductivo (puntos 1 y 2) (b) capacitivo (punto 3) Figura 13. Diagramas fasoriales para los puntos de operación de la componente fundamental del circuito LC-serie no lineal. Por supuesto que existirán dos puntos de operación estables cuando la capacitancia es mayor que la capacitancia crítica C 2 mostrada en la figura 12, y sólo existirá el punto '3' de Ferrorresonancia cuando la capacitancia es menor que el valor crítico. Si en lugar de variar la capacitancia, se hubiese modificado el valor de la magnitud de la fuente de voltaje, entonces la pendiente de la recta E + V C no cambiaría, pero el Pág. 27 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

19 punto de cruce con el eje vertical variaría de acuerdo con la fuente, como se aprecia en la figura 14. De esta forma podemos también tener tres puntos de operación o uno solo, dependiendo de la magnitud de voltaje de la fuente. Figura 14. Efecto de aumentar la magnitud de voltaje de la fuente. (El incremento de voltaje provoca que la recta se encuentre más arriba) Para poder evaluar analíticamente los voltajes y corrientes, considerando sólo las componentes fundamentales de las variables eléctricas, se puede aproximar la curva de voltaje r.m.s. contra corriente r.m.s. del transformador con alguna ecuación que la represente adecuadamente tal como la ecuación de Frölich: V L = ( A I )/ ( B + I ) (13-a) donde A y B son constantes en unidades congruentes con las del Sistema Internacional. Estas constantes se determinan a partir de la curva del transformador asignando dos puntos de ésta a la ecuación (13-a) tal como se muestra en la figura 15, obteniendo de esta forma dos ecuaciones independientes que pueden ser resueltas simultáneamente. Pág. 28 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

20 Figura 15. Aproximación mediante la ecuación de Frölich. Una vez obtenido el modelo del transformador con la ecuación de Frölich, se pueden obtener los dos primeros puntos de operación (1 y 2), localizados en el primer cuadrante, resolviendo simultáneamente las ecuaciones (13) y (6), que representan la curva del transformador y la característica de los voltajes de la fuente en combinación con la capacitancia respectivamente. Despejando la corriente de la ecuación (13-a) se tiene: I = V L B/(A- V L ) (13b) substituyendo la ecuación (13b) en la ecuación (6) y resolviendo para el voltaje V L se tiene, después de reacomodar términos: V L = [ - k 1 ± ( k 2 1-4AE)] / 2 (14) donde k 1 = (B/wC) - A - E Si k 2 1 > 4AE, entonces existen dos soluciones reales para V L, que representan los puntos de operación 1 y 2, a partir de las que se pueden encontrar las soluciones para las corrientes correspondientes con la ecuación (13-b) y los voltajes en la capacitancia cuya magnitud está dada por la ecuación (10). Pág. 29 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

21 Por otra parte, si k 2 1 = 4AE, entonces sólo existe una solución en el primer cuadrante y ésta define el valor mínimo de capacitancia que necesita tener el sistema para que exista más de una solución (figura 16). Solamente se necesita substituir el valor de k 1 en la igualdad anterior y despejar para C obteniendo: C min = B/w(A+E+ (4AE)) (15) Figura 16. Valor crítico de capacitancia para obtener solución en el primer cuadrante. Finalmente si k 2 1 4AE, no hay solución real para el radical de la ecuación (14), indicando que no existe intersección de las curvas de la figura 16 para este primer cuadrante. Bajo estas circunstancias la única posible solución se encuentra en el tercer cuadrante y el circuito opera en Ferrorresonancia. La solución en el tercer cuadrante corresponde al caso capacitivo donde la corriente es adelantada y las magnitudes de los voltajes responden a la ecuación (12): V C = E + V L V L = V C - E = (1/wC)I - E (12) la cual respresenta una recta con pendiente (1/wC) y que cruza al eje vertical en un valor negativo de E como se ve en la figura 17. Pág. 30 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

22 Figura 17. Solución en el punto de operación de Ferrorresonancia. Esto se visualiza con más claridad imaginándose un espejo que proyecta la imagen del tercer cuadrante en el primero como se ilustra en la figura 18. Figura 18. Visualización del tercer punto de operación con la ayuda de un espejo imaginario que refleja el tercer punto de operación al primer cuadrante. Pág. 31 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

23 La solución analítica se logra substituyendo la ecuación de Frölich (13-b) en la ecuación (12) y resolviendo nuevamente para el voltaje en la inductancia, lo cual después de reordenar términos aparece así: V L = [ - k 2 ± ( k AE)] / 2 (16) en la cual k 2 = (B/wC) - A + E en esta ecuación el radical siempre será positivo y se tendrán dos soluciones, de las que se toma la positiva por ser la que interesa en congruencia con la figura (18). El procedimiento para evaluar la corriente y el voltaje en la capacitancia es similar al caso anterior para las magnitudes, ya que los fasores corresponden al caso capacitivo y, en este punto de operación, son los de la figura 13-b, por ser el caso capacitivo. Cuando sólo existe el punto de operación de Ferrorresonancia, el circuito está obligado a trabajar en él, soportando los sobrevoltajes consecuentes y los excesos de corriente producidos por la saturación del transformador. Si la capacitancia es mayor que la crítica, se tienen dos puntos de operación estables, y el sistema opera indistintamente en cualquiera de éstos. La selección del sistema por uno de éstos es un fenómeno aleatorio que depende de las condiciones iniciales del sistema; por ejemplo, el momento en que se produce la conexión LC-serie, o el flujo residual que tenga el núcleo, o la carga del capacitor, entre otras. En el apéndice A se presenta el listado del programa de computadora que se preparó para obtener el punto de operación en Ferrorresonancia. Este será utilizado posteriormente en las pruebas efectuadas para el circuito monofásico (IV. Experimentación en el Laboratorio). 2. Ferrorresonancia en Circuitos Trifásicos. Pág. 32 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

24 En sistemas trifásicos es más factible que se presente una conexión donde pueda ocurrir el fenómeno de Ferrorresonancia. El problema sobreviene cuando se desconectan uno o dos de los conductores que alimentan a un banco de transformadores trifásicos no aterrizado y existe efecto capacitivo de los alimentadores con un valor adecuado para producir el fenómeno. El banco de transformadores puede constar de tres unidades monofásicas o un solo transformador trifásico, con cualquier conexión en que no se aterrice el primario. En el desarrollo analítico que presenta Edith Clarke [2], se desprecia todo acoplamiento magnético entre bobinas de fases diferentes. Como es sabido, la Ferrorresonancia se presenta cuando existe una trayectoria "LC-serie" no lineal y se tiene cierta combinación de los parámetros del circuito. Para localizar visualmente estas trayectorias, la figura 19 muestra transformadores cuyo primario se conecta en (figs. 19-a y 19-b), y en Y (figs. 19-c y 19-d) señalando el camino de la corriente cuando se abre una fase (figs. 19-a y 19-c) y cuando se desconectan dos fases de la fuente (figs 19-b y 19-d). Pág. 33 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

25 Pág. 34 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

26 dos causas principales: En la figura 19 no se ha incluido el secundario de los transformadores por i) Existe mayor posibilidad de que un transformador opere en Ferrorresonancia cuando la carga es muy pequeña o nula, siendo más crítico el caso de operación en vacío. En este trabajo se analiza el caso más crítico. ii) Cuando el banco de transformadores opera en vacío, la conexión del secundario no tiene efecto en el cálculo de los voltajes y corrientes del primario. concentrado en las capacitancias C 1. El efecto capacitivo de las líneas a tierra se presenta como parámetro La fuente de alimentación se asume ideal porque se supone que el banco está conectado a un barraje infinito con reactancia equivalente despreciable. También se desprecian las reactancias de dispersión de los transformadores y los efectos inductivos de las líneas, esto se debe a que son pequeños comparados con las impedancias que presentan las reactancias de magnetización y los efectos capacitivos del sistema. Los voltajes entre líneas de la fuente corresponden a los nominales de los transformadores, puesto que son los que se aplican al banco en condiciones normales balanceadas y la fuente de voltaje se encuentra sólidamente aterrizada. En seguida se desarrolla un método que proporciona una solución aproximada para el cálculo de los voltajes de línea a tierra que aparecen en las fases desconectadas de la fuente [2]. El análisis se realiza considerando la conexión en el primario, y las conexiones o Y en el secundario, por ser las más comunes en los sistemas de distribución. El método también se puede extender para analizar conexiones diferentes, siguiendo pasos semejantes a los que aquí se presentan. Al igual que en el caso anterior el método utiliza solamente las componentes fundamentales de los voltajes y las corrientes. En el análisis se supone que los tres transformadores tienen curvas de saturación iguales y que el voltaje de la fuente es constante e igual al nominal. Se obtiene la Pág. 35 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

27 magnitud de los voltajes de las líneas abiertas en función de la capacitancia de línea a tierra y de la reactancia nominal de uno de los transformadores del banco. Debido a que se desprecia todo tipo de pérdidas, en el núcleo y en los devanados, y los efectos de las armónicas no se toman en cuenta; los resultados calculados no concordarán exactamente con los experimentales. Sin embargo, se tendrá una buena aproximación para el valor de las magnitudes de los sobrevoltajes en las líneas abiertas y la región donde ocurren; también se determina para qué valores de la razón X c1 /X m se tiene más de una solución, proporcionando una buena idea del valor crítico de la capacitancia. cuestión: Los términos que se definen a continuación son generales para el análisis en X m = la reactancia del transformador en condiciones normales de operación, es decir, a partir de los datos de placa. Este valor corresponde al valor de línea a neutro. X c1 = las reactancias capacitivas de secuencia positiva. X AB,X BC,X CA = la reactancia efectiva de los devanados AB, BC y CA conectados en, correspondiente al valor de voltaje aplicado a sus terminales. V AN, V BN y V CN = voltajes a tierra en las terminales del banco de notación fasorial. transformadores en V AN, V BN, V CN = magnitudes de los voltajes a tierra en las terminales del banco de transformadores. a) Caso I. Un conductor abierto (fase C desconectada). Conexión. Pág. 36 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

28 Cuando los interruptores de las fases A y B se encuentran cerrados, y por alguna causa la fase C no está conectada a la fuente, el circuito que se tiene es el que se muestra en la figura 20-a. Figura 20. Transformador trifásico sin carga que tiene efecto de Ferrorresonancia debido a que operó el fusible de la fase C. En la figura 20-b se muestra el circuito simplificado para este caso, donde fue eliminada la fuente de la fase C debido a que se encuentra desconectada del circuito y no tiene efecto alguno en el análisis. También han sido eliminados los efectos capacitivos, con respecto a tierra, que aparecen en las líneas A y B junto con el transformador X AB, ya que no afectan al Pág. 37 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

29 voltaje del nodo C; es importante mencionar que el transformador X AB y las capacitancias mencionadas no forman parte de las trayectorias ferrorresonantes LC y que siempre tienen aplicado el voltaje nominal. Esto se hace con el fin de facilitar la visualización y el análisis del circuito. Los voltajes aplicados a las terminales A y B del banco de transformadores son los voltajes normales de línea a tierra de la fuente, tienen igual magnitud y están desfasados 120 entre sí, esto es: V AN = V AN ang (-120 ) = V AN [-1/2 - j (3/2) ] y V BN = V BN ang (120 ) = V BN [-1/2 + j (3/2)] además V AN = V BN mientras que el voltaje V CN, en la terminal C del banco, es el que se trata de encontrar. El voltaje que aparece en la fase abierta depende de la corriente I CN que fluye hacia tierra a través de la capacitancia X c1 de la figura 20-b. Esta corriente puede ser analizada a partir de las componentes de los voltajes aplicados al circuito. La parte real de los voltajes aplicados es: Re{ V AN } = Re{ V BN } = -(1/2)V AN Debido a que las fuentes "reales" son iguales y las reactancias X AC y X BC también son iguales, se encuentra un circuito más simplificado para la parte real del circuito de la figura 20-b, y éste se muestra en la figura 21-a. Pág. 38 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

30 Figura 21. Uso de superposición para calcular V CN a partir de las componentes de voltajes de las fuentes. La parte imaginaria de los voltajes aplicados es: Im{ V AN } = - j (3/2) V AN Im{ V BN } = + j (3/2) V BN En este caso, las componentes imaginarias de los voltajes de las fuentes son de signo contrario y la simplificación anterior no se puede realizar, sin embargo, dado que las magnitudes son iguales, la componente imaginaria del voltaje V AN produce corriente de la tierra hacia la fuente por ser de valor negativo, mientras que la componente imaginaria del voltaje V BN produce igual corriente, pero de la fuente hacia tierra, por ser de valor positivo, a causa de la simetría del circuito, la corriente neta que pasa por la capacitancia debida a las componentes imaginarias de los voltajes es cero; esto se aprecia con claridad en la figura 21-b. Por lo anterior, se puede concluir que la única corriente que fluye hacia tierra a través de la reactancia X c1 es debida a las parte real de los voltajes aplicados a las terminales A y B del banco y será la única que pueda producir voltaje a través de esta reactancia y, por lo tanto, en el nodo C con respecto a tierra. Pág. 39 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

31 El voltaje del V CN tiene, entonces, sólo la componente debida a la parte real de la fuente de voltaje y, por división de voltajes, su valor es, a partir del circuito de la figura 21-a: V CN = (-1/2) V AN [ - X c1 /( X eq - X c1 )] donde V AN es la magnitud del voltaje normal de línea a tierra y es conocida e igual al valor nominal de cada transformador dividido entre 3; en la figura 21, como las reactancias de los transformadores son iguales: X eq = X BC /2 substituyendo X eq y rearreglando: X c1 / X BC = V CN /(2V CN + V AN ). (17) Pero debido a la no linealidad existente entre voltaje y corriente en un transformador, X BC no puede ser conocida sino hasta que se tenga el voltaje V BC y éste depende de V CN, que tampoco se conoce. Para un banco de transformadores con una curva de excitación dada, se puede obtener una gráfica del voltaje en la línea abierta V CN contra la relación X c1 /X m. Con la gráfica se puede obtener el voltaje V CN partiendo de la relación mencionada. El procedimiento para obtener la gráfica es como sigue: V CN = n V AN ). i) Asumir un valor de voltaje para V CN con respecto a V AN (por ejemplo sea: ii) Substituir el valor asumido en la ecuación (17) para obtener X c1 / X BC, o X c1 / X BC = nv AN /(2nV AN + V AN ) X c1 / X BC = n/(2n +1) iii) Calcular V BC de la ecuación: V BC = mag (V BN - V CN ) = mag{ [-(1/2)-n] - j (3/2)] V AN } Pág. 40 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

32 ={ [0.5 + n] } 1/2 (V AN ) (18) la ecuación (18), cuya razón determina: iv) De la curva de excitación, leer la corriente I BC correspondiente a V BC de X BC = V BC / I BC (19) v) Determinar el número de veces que X BC es 3X m,(el factor 3 se debe a que X m de línea a neutro se compara con X BC entre líneas), entonces: k = X BC /3 X m despejando: vi) Encontrar X c1 /X m con los resultados de los pasos ii y v: X c1 /X BC = n/(2n + 1) = X c1 / (3 k X m ) X c1 /X m = 3 k n / (2n +1 ) (20) Con este paso, se ha encontrado X c1 /X m para el valor de V CN supuesto. proceder a graficar resultados. vii) Si se desea obtener otro punto de la gráfica, volver al paso i; si no, Para tener una mejor comprensión del procedimiento y la aplicación de cada uno de los pasos que lo componen, se presenta el siguiente ejemplo. EJEMPLO 3. Obtener la gráfica de voltaje V CN vs. X c1 /X m cuando se abre una fase de un banco trifásico de transformadores conectados en cuya curva de excitación se presenta en la figura ej3-1. Asumir que el voltaje entre líneas de la fuente es el nominal y es igual a 120 volts. Pág. 41 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

33 Transformador "timbre" V r.m.s I r.m.s. Figura Ej 3.1. Curva de excitación para el ejemplo 3 (V en volts, I en miliamperes) Solución: Se deberá aplicar el procedimiento ilustrado tantas veces como puntos de la gráfica se deseen. La fuente de voltaje se mantiene a 120 volts entre líneas, por tanto el voltaje de las líneas A y B a tierra es: V AN = V BN = 120/ 3 = V. del voltaje nominal de la figura ej3-1, esto es: La reactancia normal de magnetización de cualquier transformador se obtiene a partir X m = 120/0.077 = 1, Ω Aplicando los pasos i a vi se tiene: i) Suponer V CN = 2 V AN = 2 x 70.0 = V ; ( n = 2). ii) Aplicando la ecuación (17) Pág. 42 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

34 X c1 /X BC = 2/(2x2 + 1) = 0.4 iii) De la ecuación (18): V BC = {( ) } 1/2 (70) = V. iv) De la curva de excitación (fig. ej3), para V BC = I BC = A por tanto X BC = /0.925 = 200 Ω v) La relación X BC /3X m será, entonces: k = X BC /3X m = 200/1, = 0.12 vi) Finalmente, aplicando (20) se tiene que para V CN = 140: X c1 /X m = (3x0.12)(0.4) = 0.14 valores repitiéndolo para diferentes valores de V CN. Este procedimiento ha determinado un punto de la gráfica. Se pueden obtener más Debido a que el procedimiento es repetitivo y debe ser aplicado muchas veces para poder graficar, se elaboró un programa de computadora que permite realizar los pasos rápidamente y cuyo listado aparece en el apéndice B. A este programa se le alimentan puntos de la curva de excitación, entre los que efectúa una interpolación lineal en el paso iv, por lo que el programa será más confiable si se tienen muchos puntos de la gráfica. la tabla 1. Ejecutando el programa para el ejemplo, se obtienen los resultados que se presentan en FERRORRESONANCIA EN UN TRANSFORMADOR DELTA-ESTRELLA CON DOS FASES ENERGIZADAS VOLTAJE NOMINAL ENTRE LINEAS = VOLTS V CN X c1 /X BC V BC X BC /X m X c1 /X m Pág. 43 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

35 NO PUEDE EXISTIR VALOR DE VCN = -30 NO PUEDE EXISTIR VALOR DE VCN = -20 NO PUEDE EXISTIR VALOR DE VCN = Tabla 1. Tabulación obtenida del programa del apéndice B para el ejemplo 3. La primera y última columnas de los resultados de la tabla 1 indican el voltaje de la línea abierta a tierra y su relación X c1 /X m correspondiente. A partir de esta tabulación se grafica V CN contra X c1 /X m en la figura ej3-2. Pág. 44 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

36 En la gráfica se puede observar que para ciertas relaciones X c1 /X m existen tres valores de V CN, y corresponden a los tres puntos de operación que existen en circuitos "LC-serie" no lineales. A partir de la gráfica puede, entonces, obtenerse el valor crítico de capacitancia para tener tres puntos de operación o solamente uno. De la gráfica: X c1(crítica) = 1.06 X m = (1.06)(1,558.44) = 1, cuya capacitancia correspondiente es: C 1(crítica) = C 1(mínima) = 1/(w X c1(crítica) ) a f=60 Hz, w = 377 rad/seg, substituyendo se obtiene: C 1(crítica) = C 1(mínima) = 1.6 µf También se observa que conforme la relación X c1 /X m disminuye, lo que corresponde a aumentos de C 1, el voltaje de la línea abierta aumenta en magnitud en la parte negativa, correspondiente al punto de operación de Ferrorresonancia. Este aumento de capacitancia está asociado con incrementos en la longitud de la línea de alimentación, por lo que se concluye que el efecto es más nocivo entre más larga sea la línea o entre más apreciable sea el efecto capacitivo. Pág. 45 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

37 Vcn (Escala semilogarítmica) Xc1/Xm Fig. Ej 3-2. Variación del voltaje en la línea abierta con respecto a tierra (Obtenida del programa con el procedimiento señalado en esta sección y los valores corresponden a la primera y la última columnas de la tabla 1) La curva de excitación presentada en el ejemplo anterior corresponde a la de uno de tres transformadores reales del tipo de los que se usan en los timbres y fue medida en el laboratorio; con estos transformadores se experimentó con la finalidad de poder comprobar si los resultados obtenidos mediante el presente método concuerdan con los de laboratorio; los resultados de los experimentos se presentarán posteriormente. b) Caso II. Dos conductores abiertos (fases B y C desconectadas) Conexión Cuando se tiene una conexión y se mantiene sólo la fase A conectada a la fuente de alimentación trifásica, existen dos trayectorias a tierra a través de las capacitancias Pág. 46 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

38 equivalentes de los alimentadores desconectados de las fases B y C, tal como se ilustra en la figura 22. En esta conexión no se ha incluido el efecto capacitivo de la línea A, ni los efectos capacitivos entre líneas, debido a que no forman parte de ninguna trayectoria "LC-serie" y son independientes. Figura 22. Conexión Delta con dos fases del banco desconectadas de la fuente y dos trayectorias a tierra independientes. Si los efectos capacitivos de las líneas B y C a tierra son iguales y si los transformadores X AB y X AC son idénticos, entonces las corrientes que fluyen de la línea A hacia tierra por las trayectorias I y II, deben ser exactamente iguales, por lo que el potencial en los puntos B y C tiene que ser el mismo, ya que corrientes iguales producen caídas iguales en capacitancias iguales. Esto hace que la diferencia de potencial en el transformador X BC sea cero, provocando que no circule corriente por este transformador, pudiéndose quitar del circuito y simplificar así el análisis. Los dos circuitos "LC-serie" por donde se han creado las trayectorias I y II son equivalentes y están conectados al mismo voltaje, de manera que se pueden analizar por separado obteniendo resultados similares en cada uno de ellos. Pág. 47 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

39 Figura 23. Circuito para resolver la trayectoria I o la trayectoria II del circuito de la figura 22. El circuito de la figura 23, siendo un solo circuito "LC-serie", se puede analizar por el método gráfico que se ha detallado con anterioridad. No obstante, si se desea utilizar el método que se aplicó en el caso I, también se pueden obtener gráficas de los voltajes de las líneas abiertas a tierra contra la relación X c1 /X m con un procedimiento bastante similar, en el que solamente se hacen los cambios pertinentes al nuevo circuito bajo estudio. Si se toma al voltaje de alimentación como referencia: V AN = V AN ang (0 ) V. por división de voltajes en el circuito se tiene que: V BN = V CN = V AN (- X c1 )/[ X eq - X c1 ] substituyendo X eq = X AB y rearreglando: X c1 /X AB = V BN / [ V BN - V AN ] (21) reemplazando la ecuación (21) por la ecuación (17) se pueden aplicar los pasos del procedimiento del caso I: i) Suponer un voltaje para las líneas abiertas V CN = V BN = n V AN ii) Calcular la relación X c1 /X AB a partir de la ecuación (21), esto es: Pág. 48 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

40 X c1 /X AB = nv AN / [ n V AN - V AN ] simlificando X c1 /X AB = n/(n-1) iii) Obtener el voltaje en el transformador equivalente: V AB = V AC = mag ( V AN - V BN ) = mag ( V AN - n V AN ) V AB = V AC = [ 1 + n 2 ] V AN (22) ecuación (22) y determinar: iv) De la curva de excitación encontrar I AB con el valor obtenido de la X AB = V AB /I AB v) Determinar el número de veces que X AB es 3X m : k = X AB /3 X m o bien X AB /X m = 3 k vi) Calcular la relación X c1 /X m a partir de los resultados de los pasos ii y v: X c1 /X m = ( X c1 /X AB )( X AB / X m ) substituyendo X c1 /X m = (3 k) [n/(n-1)] vii) Se ha obtenido un punto de la gráfica correspondiente al valor supuesto de voltaje en cualquiera de los nodos B o C; para calcular más valores ir al paso i) Pág. 49 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo

41 En este segundo caso, los valores de los voltajes de las líneas abiertas a tierra son mayores que cuando sólo una fase está desconectada de la fuente, y, en ocasiones pueden llegar a ser hasta de cuatro veces el voltaje normal de línea a neutro del sistema, dependiendo de las características del circuito. La aplicación del método aquí presentado, ayuda a determinar los valores de capacitancia que deben tener las líneas para que se presenten sobrevoltajes considerables. A partir del conocimiento de los valores de estas reactancias capacitivas se puede determinar qué voltajes máximos aparecerán en determinado banco de transformadores cuando se desconecte una o dos de las terminales del alimentador principal. 3. Análisis Cualitativo del Transitorio de Ferrorresonancia. La no linealidad en el núcleo de los transformadores causa, bajo ciertas conexiones, que se pueda combinar la saturación magnética con efectos resonantes dando lugar al fenómeno de Ferrorresonancia. La primera consecuencia que origina la saturación de transformadores es la deformación de la forma de onda de la corriente de excitación, incrementando excesivamente los valores máximos de ésta. Si existe deformación en la forma de onda de corriente, entonces también las ondas de voltaje de los elementos del circuito "LC-serie" se alteran. Dado que la fuente de alimentación es parte de un sistema muy sólido, su voltaje permanece constante en forma, frecuencia y magnitud independientemente de lo que ocurra en el circuito. En esta subsección se analizan cualitativamente las formas de las ondas de los voltajes y de la corriente en el circuito "LC-serie" no lineal [3]. Las simplificaciones que se efectúan a continuación facilitan el planteamiento de las ecuaciones diferenciales y la apreciación de las soluciones correspondientes. Las aproximaciones bajo las que se estudia el transitorio que precede al estado estable son: Pág. 50 Análisis de Ferrorresonancia en Transformadores Eléctricos 1987, Salvador Acevedo