COMPETENCIAS PARA EL ANÁLISIS COGNITIVO DE TAREAS SOBRE RAZONAMIENTO ALGEBRAICO ELEMENTAL POR PROFESORES EN FORMACIÓN

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1 COMPETENCIAS PARA EL ANÁLISIS COGNITIVO DE TAREAS SOBRE RAZONAMIENTO ALGEBRAICO ELEMENTAL POR PROFESORES EN FORMACIÓN Walter F. Castro, Juan D. Godino, Patricia M. Konic y Mauro Rivas Universidad de Antioquia. (Colombia) Universidad de Granada. (España) Universidad Nacional de Río Cuarto. (Argentina) Universidad de los Andes. (Venezuela) wfcastro82@gmail.com, jgodino@ugr.es, pkonic@gmail.com, rmauro@ula.ve Palabras clave: análisis cognitivo, razonamiento algebraico elemental Key words: cognitive analysis, elementary algebraic reasoning RESUMEN Elobjetivodelpresentetrabajoesinformarsobreeldesarrollodecompetenciasparaelanálisisdeconfiguraciones cognitivasdetareassobrerazonamientoalgebraicoelementalefectuadaspormaestrosenformaciónsobretareas resueltasporniñosdeescuelaelemental.elmarcoteóricousadofueelenfoqueontosemióticodelacogniciónyde lainstrucciónmatemática.losprofesoressuelenasociarelálgebracontécnicasdemanipulaciónsimbólicaenlugar deasociarlaconel razonamientoalgebraico quesueleestarpresenteendiversasramasdelasmatemáticas.el desarrollodecompetenciasdeanálisiscognitivodetareasdenaturalezaalgebraicapuedeserunavíaparapromover un cambio en la concepción que los maestros tienen sobre el álgebra y su presencia en el currículo escolar. Los análisiscognitivosdesarrolladosporlosmaestrospermitieronponerenevidenciasusconocimientosentornoala naturalezaontológicadelálgebra. ABSTRACT The objective of this communication is to report on the assessment of the development of preservice teachers cognitive analysis competencies of elementary algebra tasks, when discussing algebraic tasks solved by primary students.theontohsemioticapproachtocognitionandmathematicalinstructionprovidedthetheoreticalframeto develop the study. The preservice teachers usually link algebra to symbolic manipulation instead of linking it to algebraic reasoning that characterizes some mathematics branches. The development of cognitive analysis competenciesofearlyalgebrataskscouldbeawaytofosterachangenotonlyinthebeliefsthatteachersholdon algebrabutalsoinpromotingitsinclusiononprimarycurriculum.thecognitiveanalysisdevelopedbytheteachers allowedshowingtheirknowledgeinregardtotheontologyofalgebra. 1152

2 Introducción Algunosinvestigadores(WagneryKieran,1989;Bednarz,KieranyLee,1996)haninformadosobrelas dificultadesdelosniñoseneltránsitodesdelaaritméticahastaelálgebraenelcontextocurriculardela escuela secundaria. Kaput (2000) hizo una propuesta denominada algebra' for' all, en la que sugiere tomaracciónparapromoveralálgebracomofacilitadoradeunamejorcomprensióndelasmatemáticas enlugardeserinhibidora.sinembargo,lainclusióndelrazonamientoalgebraicoenlaescuelaprimaria requiere de maestros preparados para reconocer el álgebra y promoverla en la escuela primaria. La pregunta Pueden los maestros de primaria enseñar álgebra? formulada por Carraher y Schlieman (2007, p. 675) motiva el objetivo general del presente trabajo: la evaluación y desarrollo de competenciasdeanálisiscognitivodetareassobrerae. Marcoteóricoymetodología ElmarcoteóricousadofueelEnfoqueOntoHSemióticodelaInstrucciónylaCognición(EOS)(Godino, BataneroyFont,2007).LasherramientasteóricasusadasparaefectuarelanálisisepistémicoHcognitivo (Godino,Rivas,CastroyKonic,2008)permitieronllevaracaboelanálisis,específicamenteseutilizaron las entidades primarias: lenguaje, conceptos, procedimientos, propiedades, y argumentos para desarrollar el análisis cognitivo. El análisis de estos elementos y las relaciones entre ellos permiten determinar el nivel de comprensión que los maestros adquieren sobre los objetos matemáticos presentes y emergentes de las tareas desarrolladas por niños de escuela elemental. La metodología adoptada para abordar el problema fue cualitativa. La indagación se realizó con dos poblaciones: la primera refiere a niños de escuela elemental, quienes resolvieron algunas tareas matemáticas con algunosrasgosalgebraicos,ylasegundarefiereamaestrosenformación,quienesvaloraronlastareas resueltasporlosniños. SeacudióauninstitutomixtodeeducaciónprimariasituadoenGranada(España),quepermitiótomar datossobrelascompetenciasderesolucióndetareas,queincluyeranelementosderae,porniñosde sextogrado(11a13añosdeedad)deescuelaelemental.losmaestrosseagruparonvoluntariamenteen seis grupos para analizar las tareas de los niños. Por razones de espacio, en este documento solo se muestran segmentos de la entrevista de dos grupos de maestros. Del conjunto de 24 documentos escritosporlosescolares,escogimosnuevequeteníaneltextoescritodelasolución.soloreportamos unadelastareaspropuestas.valedecirquemuchassolucionesdadasporlosniñosnoofrecíanni el procedimientonilajustificaciónysolodabanlarespuestafinal.enestedocumentotansolomostramos unadelastareaspropuestasalosniñosyunasoluciónataltarea. Unasolucióndadaporlosniños El enunciado de la tarea (Tomada de Ferrero, Luelmo, Gaztelou, Martin y Martinez, 2007 ; p. 25) se muestraenlafigura1.unaposiblesoluciónalatareaseexhibeacontinuación:laprimeracondición afirmaque Pedro'es'más'viejo'que'Pablo,portantoseubicaaPedroaladerechadePablo.Latercera condiciónafirmaque Antonio'es'más'viejo'que'Pedro,asíqueseubicaAntonioaladerechadePedro. De tal suerte que Pablo es el más joven y Antonio es el más viejo. La segunda condición afirma que Pablo'es'más'joven'que'Antonio ;porlotanto,estanoofreceinformaciónadicionalquelacontenidaen lascondicionesprimeraytercera.valedecirqueningunodelosniñosodelosmaestrosenformaciónse percatódeestehecho. 1153

3 Figura1:UnaSolucióndelosniñosalaTareadelasEdades. Lassolucionesdelosniñosseagrupanendoscategorías:Lasquedansólolarespuestaylasquedanun procedimientodesolución.elprimergruponoseconsideróenestainvestigación.delsegundogrupose escogióunasoluciónen laque losniños usan elementos pictóricos como parte del procedimientode solucióndelatarea.laconfluenciadeelementospictóricosylaausenciadeunajustificaciónescritaen español hacen de la tarea una buena actividad para que los maestros en formación reconozcan los objetosmatemáticosylossignificadospuestosenjuegoentantoqueesusualquelosniñosdeneste tipoderespuestas.lapropuestadesoluciónalatareaquesediscutióconlosmaestrosseilustraenla Figura1. El procedimiento de solución del niño contempla el uso de cuatro elementos pictóricos relacionados entresí: Viñetaquerepresentanalosamigos:Pablo,PedroyAntonio. Letrasquerepresentanlosnombresdelosamigos:PparaPablo,PrparaPedroyAparaAntonio. Lossignosmenos(H)ymás(+)puestosenlapartesuperioreinferiordelasviñetas. Arcosqueconectanalasviñetasdelosamigosyquesecorrespondenconlascomparacionesdadas entrelasedades. Latareaesespecialmenteinteresanteentantoquecontempladosprocedimientosimbricadosqueestán enlabasedelarelacióncomunicativaentreniñoymaestro.elprocesode codificación delasolución porpartedelniñoyelprocesode descodificación queelmaestrodeberealizarcomopartedelalabor dereconocimientodelosobjetosysignificadospuestosenjuegoporelniño.laidentificacióndeobjetos ysignificadosimbricadosenlasoluciónpictóricadadaporlosniñosesunretoparaelmaestro;benh Chaim, Lappan y Houang (1988) y Presmeg (1986) consideran que los niños no tienen dificultad para generarimágenesvisuales;sinembargo,losmaestrossuelenmanifestardificultadespararazonarsobre lopictórico(eisemberg,1994).acontinuación,secomentalainterpretacióndadaalasolucióndelniño. Elniñorepresentaalossujetosdelatareamedianteviñetasalasqueasocialasinicialesdesusnombres 1154

4 medianteunaasignaciónunívoca.posteriormenterepresentalasrelacionesentresusedadesmediante elusodedosrecursosgráficos:elsignomenos(h)paraindicarqueelsujetosobreodebajodelcualseha escrito,es másjoven yelsignomás(+)paraindicarquees másviejo,lascomparacionesentredos sujetossesimbolizanmedianteunarcoqueconectalasdosviñetascorrespondientesalosnombresde losamigoscuyasedadessecomparan. Laidentificacióndelasrelaciones,susimbolizaciónyelusoquesehacedeestaparadarlarespuestaala tarea estaría en la base del RAE. Es posible identificar una regla de signos : La viñeta a la que se le asignandossignos menos correspondealamigoqueesmásjoven,laviñetaquetieneasignadosun signo menos yunsigno más correspondeaquientienelaedadintermediayfinalmente,laviñeta quetieneasignadoslosdossignos más correspondealamigoquetienemásedad.laindeterminación tambiénseapreciaenesteejercicio:hayunarelacióndeordenquepuedeserestablecidaapartirdelas condicionesdadasenelproblema.apartirdecondicionessehallaunarelación. Análisisrealizadosporlosmaestrosenformación EnestasecciónsemostraránlosanálisisepistémicoHcognitivosquelosmaestrosenformaciónrealizaron delatareadelasedades,resueltaporlosescolares(figura1).losanálisisrealizadossehicierondurante unareunióndetrabajosostenidaalfinaldelperiodoescolaruniversitario;lastranscripcionesmuestran las opiniones de los maestros en formación que fueron extraídas del audio de dicha reunión y de las notas de campo del investigador. Las transcripciones revelan los análisis hechos por los maestros, los cualesmuestrandiversasconcepciones.seinformasobresesionesdediscusiónsostenidasconmaestros degruposdiferentessobrelamismatarea;estonospermitirácontrastarlasopinionesdelosmaestros. Luego se exhibirán los análisis epistémicohcognitivos que dos grupos de maestros en formación realizaronsobrelatarea.acontinuación,seexhibirálatareayposteriormentelasdiscusionessostenidas conlosmaestrosenformación.seaplicóelmétododeentrevistasemiestructurada.losestudiantesson identificadosconlaletra E seguidadeunnúmero;elinvestigadorseidentificaconlaletra I. AnálisisepistémicoLcognitivorealizadoporlosmaestros EnestasecciónseexhibiráelanálisisepistémicoHcognitivo que dos grupos de maestros en formación realizaronsobrelatareadecomparacióndelasedades. GrupoG4 Losmaestrosenformaciónalserinterrogadossobrelanaturalezaalgebraicadelatarea,semuestran indecisos.elinvestigadorcontinúaconelcuestionamiento: I: Esderazonamientoalgebraicoelemental? E4:hmmm creoqueno,puesnohaynúmerosaunquesihayvariables E5:Tienequeasignarvariable,porejemplox'esPedro. I: xespedro? E5:SixesPedro E6:xeslaedaddePedrooqueesmásviejoojoven. Losestudiantesvaloranlanaturalezaalgebraicadelatareaenfuncióndelconceptode variable,quees asociadoporlosmaestrosenformación,convaloresdesconocidosenlatarea.kücheman(1981,p.104) 1155

5 estableceladiferenciaentreincógnitasyvariables;paraesteautorunaincógnitaesunaletracuyovalor numéricopuedeserdeterminado,mientrasqueunavariablesevecomo letra'que'representa'un'rango' de'valores'no'especificados,'y'como'una'relación'sistemática'entre'tales'valores. GrupoG5 SeentregalasoluciónqueapareceenlaFigura1.Elinvestigadorcontinúaconelcuestionamiento: I:Laniñadaestarespuestayofreceestosdibujos.Porfavor,resuélvanloparaversilasolucióndadaporla niñaescorrecta. I: Cómoloresuelvenustedes? E2:Igualqueestáresueltoaquí. I:EstasrayasqueunenaPedroconAntonio,yaPabloconPedro, Quésignifican? E2:PedroesmásmayorquePablo,queesmásjoven;poresoaquíponemosmásyunmenos,luegoPedro esmásviejoquepablo,pabloesmásjovenqueantonio,entoncespablotambiénesmásjovenqueantonio yantonioasuvezesantoniomásviejoquepedro. I:Entonces,estasrayassignificanqueseestárelacionandoy estesignomás? E2:Quieredecireso,jovenyviejo. I: Ustedesvenalgomásenlasolución,venmássímbolos,algomásquepodamosinterpretar? E2:Alverqueaquíesmásyaquíesmás,pueseselmásmayor[Elestudianteseñalalosímbolos+y+que estánarribaydebajodelaviñetaquerepresentaaantonio].luegoalverqueaquíesmásyaquíesmenos porqueeselmedianodigamos,yaquísonlosmenos[señalalaviñetaquecorrespondeapablo]. Losestudianteshanasignadounsignificadoplausiblealossignos + y H usadosporlosniños. I: Ustedescreenqueestedibujo,estarepresentaciónde[lasolución]delproblemalopodríaunodefender ante un colega maestro de primaria como que representa una solución algebraica o que pone en juego elementosdeálgebra? E2:Yonoséquédecirtesinceramente;alomejorporlarelacióndesignos esquenolosé. Losmaestrossemuestranindecisosfrentealcarácteralgebraicodelarepresentacióndelatarea.Desde laconcepcióninstitucionaldominantedelálgebradelasecundariaesdifícilvalorarlasolucióndelatarea anteriorcomo algebraica,sinembargo,desdeunavisiónampliadadelálgebra,esposibleidentificar algunos elementos matemáticos que aparecen en la estrategia de solución dada por el niño, como algebraicosennaturaleza. Conclusiones CreenciassobrelainclusióndelRAE LoshallazgosseñaladosenestetrabajoindicanqueexisteunamarcadatendenciaaidentificarelRAE con:encontrarvaloresdesconocidoscualitativosocuantitativos,mismosqueseasocianconelconcepto de incógnita o variable ;simbolizarrelacionesnuméricasyresolvertareasverbales,reemplazarletras pornúmerosyencontrar valoresfaltantes,losprocedimientosefectuadossobreletras,laprecedencia delaaritméticasobreelálgebra,lacerraduradelasoperacionesenaritméticacontralanocerraduraen álgebra. 1156

6 Sobrelosanálisisrealizadosporlosmaestros Los análisis realizados por los maestros en formación ponen en evidencia su comprensión de las solucionesdadasporlosniños,logranidentificarloserroresdelosniñosyconjeturanlasposiblescausas delosmismos.losobjetosmatemáticosquelosmaestrosenformaciónidentificansuelencoincidircon las entidades primarias correspondientes a elementos lingüísticos, conceptos y procedimientos. Sin embargo,seobservaciertodistanciamientoentrelasestrategiasdesolucióndadasalastareasporlos maestrosenformaciónyaquellasdadasporlosniños.losmaestrosmanifiestanlatendenciaavalorar las estrategias de los niños desde su propia solución. Hines y McMahon (2005) reportan que los maestrosenformaciónsemuestranpocoinclinadosaconsiderarlosmétodosmenosavanzadosdelos niños y consideran que las estrategias de los niños deben ser reemplazadas por las estrategias correctas quelosmaestrosproponenyconlascualesestánmásfamiliarizados.enalgunoscasos,los maestrosnologranproponerhipótesisfactiblesenrelaciónconlasestrategiasoerroresdelosniños.sin embargo,sedebedecirqueenalgunoscasoslosniñosofrecensolucionespocoelaboradasentérminos delaescritura;talvezestodificultalalabordereconocimientodeconocimientosmatemáticosusados porlosniños,porpartedelosmaestros.durantelassesionesseintentóquelosmaestrosenformación expresaransuscreenciasenrelaciónconlosrasgosalgebraicosquepodríanseratribuidostantoalas tareas como a las estrategias de solución dadas por los niños. Estos hallazgos coinciden con los resultadosdestumpybishop(2002),quienesencontraronquelasconcepcionesalgebraicassostenidas porlosmaestrosenformaciónsonbastantelimitadasydescribenalálgebraentérminosdesoluciónde ecuaciones,delhallazgodevaloresdesconocidosocomounaherramientaparalaresolucióndetareas. Referenciasbibliográficas Bednarz, N., Kieran, C. & Lee, L. (Eds.). (1996). Approaches' to' algebra:' Perspectives' for' research' and' teaching.dordrecht:kluweracademicpublishers. BenHChaim,D.,Lappan,G.,&Houang,R.T.(1988).Theeffectofinstructiononspatialvisualizationskills ofmiddleschoolboysandgirls.american'educational'research'journal25(1),51h71. Carraher,D.W.&Schlieman,A.D.(2007).Earlyalgebraandalgebraicreasoning.EnF.Lester,K.Jr(Ed.), Second'Handbook'of'Research'on'Mathematics'Teaching'and'Learning:'A'project'of'the'National' Council'of'Teachers'of'Mathematics'2,669H705.Charlotte,NC:InformationAgePublishing. Eisemberg, T. (1994). On understanding the reluctance to visualize. Zentralblatt' fur' Didaktik' der' Mathematic26,109H113. Ferrero,L;Gaztelou,I.,Luelmo,M.J.,Martin,P.&Martinez,L.(2007).Matemáticas'para'sexto'grado. EditorialAnaya. Godino,J.D.,Batanero,C.&Font,V.(2007).TheontoHsemioticapproachtoresearchinmathematics education.zdm.'the'international'journal'on'mathematics'education'39(1h2),127h135. Godino, J. D., Rivas, M., Castro, W. F. & Konic, P. (2008). Epistemic and cognitive analysis of an arithmetichalgebraic problem solution. En De Bock, D; Søndergaard B.D., GómezHAlfonso B. & LitwinCheng,.C.(Eds.)ICME'11.Morelia:ICME. Hines, E. & McMahon, M. T. (2005). Interpreting middle school students proportional reasoning strategies: Observations from preservice teachers. School' Science' and' Mathematics 105(2),

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