LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE ÁNGULO EN ESTUDIANTES DE SECUNDARIA. APORTACIONES PARA UN DISEÑO ESCOLAR

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1 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar LACONSTRUCCIÓNDELCONCEPTODEÁNGULOENESTUDIANTESDESECUNDARIA. APORTACIONESPARAUNDISEÑOESCOLAR RosaAraceliRotaeche,GiselaMontiel ColegioBadenPowell,CICATAIPN,Legaria México Campodeinvestigación: Teoríadesituacionesdidácticas Nivel: Básico Resumen.Elpresentedocumentopresentaloselementosteóricosquefundamentanuna secuenciadidácticaorientadaalaconstruccióndelanocióndeángulo,particularmentesus significadoscomopartedevueltaygiro,yalgunosresultadosdelapuestaenescenaenun contextoescolarizado.enelmarcodelateoríadesituacionesdidácticas,contemplamosenla componentecognitivaelmodelodeabstracciónydelconocimientosituadodemitchelmorey White(2000)yenlacomponenteepistemológicalanaturalezacualitativa(porsuforma), cuantitativa(porsumedida)ycomorelación(porcómosedefine)delanocióndeánguloque semanejaenelnivelbásicosecundariadelsistemaeducativomexicano.lacomponente didácticarescataalgunosposiblesefectosdeldiscursoescolarenlossignificadosrelacionados conlamediciónangular,perobásicamenteeldiseñorompeconlaprogramaciónescolarpara trabajarconestanoción. Palabrasclave:nociónescolardeángulo,ingenieríadidáctica Introducción La Noción escolar de ángulo ha jugado un papel ambiguo en la escuela, sus definiciones, caracterizacionesyaplicacionespuedenencontrarseenasignaturascomomatemáticas,físicay dibujotécnico.latradiciónescolarasumequecuandosedefine,secaracteriza,seexponesu tipologíaysemanipulaelconceptoenlaclasedematemáticas,suuso,aplicaciónointerpretación enotrasasignaturasnodebierarepresentarunadificultadparalosestudiantes.contrarioaloque seasume,esenlasotrasasignaturasdondesepuedenlocalizarlosconflictosmáscomunesenel manejodeestanoción. Lanaturalezadelconceptodeángulohasidotemadedebatepormásde2000añosyladiscusión aún no termina (Matos, 1990). Quizá por ello no hay una única definición aceptada por la comunidad matemática y su transposición didáctica de ninguna manera se convierte en un procesotrivial. Comotema,elánguloseabordaporprimeravezenelsalóndeclasesenel4 Gradodela EducaciónPrimaria.Esunconceptoencuyoaprendizajesehandetectadodiversasdificultadespor partedelestudianteyéstashansidodeinterésendiversasinvestigaciones.algunasdificultades, 25 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

2 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 denominadasmalentendidos,fueronreportadosporbosch,ferrari,marványrodríguez(2003). Losautoreshacenunanálisisdelapresentaciónescolaryeltipodeactividadesquepudieran detonar tales malentendidos y señalan el desequilibrio que existe entre los 2 temas que pertenecenalamedicióndeánguloylos81relacionadosconotrotipodemediciones,como indicadordelapocaimportanciaqueseledaaltema. La experiencia de aula nos mostró además, conflictos al usar la noción de ángulo en otras asignaturas,particularmenteenlamateriadedibujotécnicodondeelalumnodebemanejarel juegodegeometríaparalaconstrucciónytrazodediferentesfiguras.lamanipulaciónincorrecta delanociónescolardeánguloesvisibleenelmanejodelasescuadrasyeltransportador. Fundamentosteóricosymetodología Son muchas las explicaciones que existen alrededor de los fenómenos relacionados a la enseñanzaaprendizajedelángulo.particularmenteprofundizaremosenaquellasquereflexionan sobrelosactoresdelsistemadidáctico,puesnosinteresaintervenirenelaulaenuncontexto escolarizadoconsiderandolasvariablesoelementosquepuedansercontroladosparaeldiseñode unaprimerasecuenciadidáctica. Una Teoría que considera elementos epistemológicos (el saber), cognitivos (el alumno) y didácticos (el profesor) tanto paralaexplicacióndelfenómenocomola intervención didáctica a través de su metodología de diseño, es la Teoría de situacionesdidácticas.portalmotivola metodologíautilizada,fuelaingeniería didáctica. FasesdelaIngenieríaDidáctica, tomadasde(lezama,2003) Dada la extensión del presente documento expondremos la fase de planeación a detalle, la integración sistémica de las consideraciones teóricas, algunos elementos del diseño y la experimentación, y finalmente expondremos la validación como parte de las conclusiones generales.másdetallespuedenconsultarseenrotaeche(2008). 26 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

3 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar Análisispreliminar,consideracionesepistemológicas ApartirdelanálisisdeMatos(1990y1991),sereconocen3etapasenlaevoluciónhistóricadel concepto:unmomentodeuso,otrodedefiniciónclasificaciónyfinalmenteeldediscusióndesu naturaleza. Cuando hablamos de uso del ángulo entendemos que juega un papel importante en ciertas actividadesalniveldenoción,esdecir,queaúnnosedefineonoseidentificacomoconcepto. Definirelconcepto,clasificarloydebatirsobresunaturalezasonaccionesquesedesarrollanenun contextomatemáticofilosófico,nonecesariamenteasociadoasituacionesprácticas. Apartirde aquíseextraenelementosparausarelánguloensituacionesprácticasdondese favorezcasusignificadocomoforma,comogiro,comopartesdevuelta,comoinclinaciónocomo porción,quepuedanasociarseconlosdiferentesconceptosescolaresqueelestudianteenfrentará desdeelnivelprimariohastaelniveluniversitario. Sin embargo, sin importar el significado que se favorezca se debe considerar la naturaleza estática/dinámicadelángulocomocualidad(relacionadoconlasformasderepresentarse),como cantidad (por ser susceptible de medirse) y como relación (al definirse con otros elementos geométricos). Análisispreliminar,consideracionescognitivas LateoríacognitivadeMitchelmoreyWhite(2000)consideralaformacióndelánguloapartirdelas experienciasfísicasquevivenlosestudiantes,esdecir,partedelagénesisdelasabstracciones necesariasparaentenderlossignificadosasociadosalconceptodeángulo.además,interpretane integran otras investigaciones a las etapas que proponen en su teoría. Esta teoría toma las nocionesdeclasificación,similitud,abstracciónyconcepto;planteadasyaporskemp(1986,citado pormitchelmoreywhite,2000). Sedescribentresetapasdeabstracciónquerepresentanunaclasificación,progresivamentemás refinadadelaexperienciadelosestudiantes.laprimeraetapasedenominaconceptosdelángulo situado y se limita a las situaciones físicas asociadas con el ángulo, de forma implícita. Los 27 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

4 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 conceptosformadosenestaetapasegeneralizaráneneltiempoconformesepongaatenciónen lasituaciónfísicaylasaccionesejecutadasymenosenlascircunstanciassociales. Lasegundaetapasedenominaconceptoscontextualesdelángulo.Enellaelalumnoclasificalas situacionesfísicasencontextosfísicos,esdecir,tieneciertoestadodereconocimientodelas similitudesquehayentrelassituacionesdiversasquehaenfrentado.estoscontextosfísicosse formansobrelabasedeconfiguracionesgeométricascomunesydeaccionesfísicassimilares. Finalmente, en la tercera etapa denominada conceptos abstractos del ángulo, se da el reconocimientodelassimilitudesqueexistenentreloscontextosdelángulo.estoconstituyeel principiodelconceptomatemáticoelementaldeángulo. Las similitudes entre contextos no son del todo obvias, por lo que reconocerlas requiere regularmentedeaccionesfísicasomentalesporpartedelaprendiz,esunprocesoconstructivo querequieredeabstracciónreflexiva. Unaclasedecontextosfísicosdelánguloqueelniñoreconocecomosimilaresrecibeelnombrede dominioabstractodelángulo.cuandolasimilitudseabstraeparaformarunconceptoentoncesse habladelconceptoabstractodeángulo.dentrodeestosconceptosmitchelmoreywhite(2000) reconocenunconceptoestándarqueserelacionacontodosloscontextosfísicosdelánguloyesel máscomúnentrelasconstruccionesdelestudiante:aqueldelasdoslíneasinclinadasquese encuentranenunpunto.asumenqueelconceptotieneundesarrollolento,aptoparaestudiantes desecundariayqueaúnserequeriríadeunacuartaetapaparallegaralconceptomatemático formal. Análisispreliminar,consideracionesdidácticas Las investigaciones de Casas (2002) y Mitchelmore y White (2000) reportan la relación que guardan la naturaleza multifacética (refiriéndose más a los diferentes tipos de definiciones escolaresqueexisten)delconceptoconlasdiferentesdificultadesqueelalumnopresentaenlas experienciascotidianasyenelaula. Seconsideranentonceslosantecedentesescolaresdelángulomismoydelasnocionesescolares 28 de fracción, porción, área, triángulo equilátero, cuadrado, triángulo isósceles, circunferencia, ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

5 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar polígonos regulares, triángulo rectángulo; tanto al nivel de concepciones como de posibles dificultades en su manejo. Se rescataron algunos posibles efectos del discurso escolar en los significados relacionados con la medición angular versus medición de longitudes, pero básicamenteeldiseñorompeconlaprogramaciónescolarparatrabajarconestanoción,detal suertequelodidácticoloconcentramosenlaorganizacióndeclase:apartirdeldiseño,elalumno debetransitarporlasfasesescolaresdeacción,formulaciónyvalidación,mientrasquelafasede institucionalizaciónrecaeporcompletoenlaexposicióndeldocente. Integraciónsistémicayfasediseño Contemplandoquenuestromarcoteóricopresuponeunavisiónsistémica,lasconsideraciones teóricas del análisis preliminar fueron modificadas, especialmente en la Teoría Cognitiva de Mitchelmore y White (2000). Así, a diferencia de lassituacionesfísicas que ellos trabajaron, nosotrosconsideramoscomoexperienciacotidianaelescenariodelaescuelayloqueelloimplica. Lasrestriccionesdetiempoyespacio,losconocimientospreviosdelosalumnos,lasherramientas demedición,etc.estassituacionesfísicasseestablecieronconelprincipiodelamanipulacióna travésdematerialesconcretosyactividadesparailuminar,recortar,superponerfiguras,almismo tiempoqueserespondíaelcuestionarioqueguiabalaactividad.lassituacionesserelacionaron conelusodeobjetosescolaresenloscualeselánguloestápresenteyenlosqueelalumno trabajacotidianamente,comosonelcuadrado,eltriánguloequilátero,eltriánguloescalenoyel triánguloisósceles. Lasecuenciaconsisteensuperponermicascirculares,dediferentestamaños,sobrelasfiguras geométricascuadradoytriánguloequilátero,detalmaneraqueelcentrodelcírculocoincidacon un vértice de la figura. Al sombrear la porción que se superpone, el alumno identifica las fracciones1/4y1/6delcírculo,respectivamente.alrecortar,alamitad,elcuadradoyeltriángulo equiláteroelalumnoidentificalasfracciones1/8y1/12delcírculo,respectivamente. 29 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

6 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 C B Loscontextosseestablecieronporfigurageométricatrabajada,esdecir,cuandoelalumnologra generalizarlarelaciónentrelapartedevueltaogiroconlapartedelcírculoporfigurageométrica sinimportareltamañodelafigurageométricaoelcírculosobreelquegira. El diseño consideró trabajar los dominios abstractos estático (al sombrear las porciones superpuestas)ydinámico(algirarparavalidarlapartedevuelta)entodosloscontextos,puesse reconocencomointrínsecosenlanaturalezadelángulo. Laetapadeabstracciónsedividióenunageneralizaciónporpartedelestudianteyunafasede institucionalizaciónporpartedeldocente.lageneralizaciónbuscóqueelalumnovisualizarala divisióndelacircunferenciaen360partesyleasociaraunobjetocotidiano,elreloj.ademásde construir, un elemento de medición escolar, que ahora tendrá significado para él: el transportador. Conlainstitucionalización,eldocenteintroduceeltérminoángulo,lodefineyleasociasumedida engrados,conbaseenlasdivisionesconstruidasenelcírculo. Experimentación Lasecuenciaseaplicóa34alumnosde1 desecundaria(13añosaproximadamente)deuncolegio privadoenelestadodeméxico.setrabajóenhorariosdeclase,dentrodelcalendarioescolar ,enuntotalde4sesionesde45minutoscadauna. Cadaalumnorecibiólasecuenciaimpresaylosmaterialesnecesariospararesolverlasactividades enformaindividual,sinembargo,eldiseñoylaorganizacióndeclasegeneraronmásactividad comogrupo. 30 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

7 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar Lasecuenciainiciósinqueelalumnotuvieraideadeltemaamanejar,perolasecuencialehizo pensar que estaba trabajando con fracciones. Para él fue un descubrimiento paulatino del conceptoatratar,usóelángulosinsaberlo. Enlasetapasde ángulosituado y conceptoscontextuales lasaccionesdelalumnoconsistieron ensuperponerlasfiguras,delimitarysombrearzonas;paralosdistintostamañosdelasfiguras; sus formulaciones consistieron relacionar la parte de vuelta que le correspondía a la zona sombreadaylovalidaronconlosgirosdelafigurasobreelcírculo. Enlafasedegeneralizacióndelaetapade conceptosabstractos lasaccionesserealizabansobre lacircunferenciadivididaenpartes,yanosobrelosmaterialesconcretos,ylasformulaciones fueronlasrespuestasapreguntascomo: Qué pasaría si cada doceavo lo dividimos en 30 partes?, Cuántas habríaen1/12? Cuántas partes habría en una vueltacompleta? SidesdeA,girolaflechahastaE, a cuántoequivaleelgiro? El giro cambia si se modifica la longituddelaflecha? Sóloelgiroseconservacomolaformadevalidartalesformulaciones. Ladireccióndelprofesorentodalasecuenciafuedesumaimportancia,puesladinámicade trabajodiferíadeltipodeactividadesacostumbradasporlosestudiantes.sinembargo,secuido nohablarde ángulo hastalafasedeinstitucionalización,dondesehizoexplícitoeltérminoyla unidaddemedida. Fasedevalidaciónyconclusiones A partir de las consideraciones teóricas asumidas, los estudiantes a quienes fue dirigida la secuenciaylascondicionesescolaresquecontextualizaronlaexperiencia,lavalidacióndenuestro 31 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

8 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 trabajodebevalorarlaconstruccióndelsignificadocomopartedevueltaycomogiro,delanoción escolardeángulo,másnoelconceptocomotal.paralograrlo,apoyandoamitchelmoreywhite (2000),haríafaltaunaetapamásoquizámásdeunadondelanociónconstruidaevolucionecon nuevossignificados. Alpreguntar Quéesparatiunángulo?esposibleobservarlafuerzadeloscontratospedagógicos yescolaresenalgunasrespuestas(verr1),puesserelacionanmásalasdefinicionesescolaresmás clásicas;sinembargo,tambiénesposiblereconocerlaconstruccióndenuevossignificados(ver R2). R1 R2 En consecuencia, no podemos hablar de aprendizaje del concepto de ángulo, pues no es un conceptoqueseaprendedeunavezyportodas,sinoquesecontextualizasegúnelusoquesele da. La secuencia se guió por la metodología, pero es evidente que hace falta mucha más experimentacióneinvestigaciónparaconsiderarlaunasituacióndidáctica. Lasconsideracionescognitivasy/odidácticasdeotrasinvestigacionesdieronluzdelasdificultades queenfrentanlosestudiantesconelmanejodelanociónescolardeángulo.sinembargo,ambas perspectivas quedan condicionadas por el saber. Solo considerando su naturaleza, sus usos y representaciones;ylosvínculosentreestos,esquesepuedehablardelaconstruccióndela nocióndeángulo. Referenciasbibliográficas Brousseau, G. (1997). Theory of Didactical Situations in Mathematics: Didactique des mathematiques, (Traducido al inglés y editado por Balacheff, N., Cooper, M., Sutherland,R.yWarfield,V.).Dordrecht,TheNetherlands:KluwerAcademicPublishers. 32 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

9 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar Bosch,C.,Ferrari,V.,Marván,L.yRodríguez,P.(2003).DiplomadodelaCienciaentuEscuela. Módulo de Matemática. Correo del Maestro, 88. Obtenido el 17 de abril de 2009 de Casas,L.(2002).Estudiodelaestructuracognitivadealumnosatravésdelasredesasociativas Pathfinder.AplicacionesyposibilidadesenGeometría.Tesisdoctoralnopublicada.Institutode CienciasdelaEducación,UniversidaddeExtremadura,Badajoz. Lezama,J.(2003).Unestudiodereproducibilidaddesituacionesdidácticas.Tesisdedoctoradono publicada.dme,cinvestavipn. Matos, J. (1990). The historical development of the concept of angle. The mathematics Educator1(1),4 11. Matos,J.(1991).Thehistoricaldevelopmentoftheconceptofangle(2).Themathematics Educator2(1), Michelmore, M. y White, P. (1995). Development of the angle concept by abstraction from situated knowledge. Paper presentado en la Annual Meeting of the American Educational ResearchAssociation. Mitchelmore,M.yWhite,P.(2000).Developmentofangleconceptsbyprogressiveabstractions andgeneralization.educationalstudiesinmathematics41, MitchelmoreM.yWhiteP.(2003)Teachinganglesbyabstractionfromphysicalactivitieswith concrete materials. Proceedings of the Conference of the 27th International Group for the PsychologyofMathematicsEducation.Vol.4,(pp ).Hawaii. Rotaeche,A.(2008).Laconstruccióndelconceptodeánguloenestudiantesdesecundaria.Tesisde maestríanopublicada.cicataipn,legaria. Nota.EstetrabajodeinvestigaciónsellevaacabobajoelapoyodelproyectodeinvestigaciónSIP Didácticadelarazóntrigonométrica:suincorporaciónaldiscursomatemáticoescolar. 33 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.