UTILIZACION DEL MODELO DE LAGRANGE PARA LA ENSEÑANZA DE EXTREMOS CONDICIONADOS

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1 Categoría1Análisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticas UTILIZACIONDELMODELODELAGRANGEPARALAENSEÑANZADEEXTREMOS CONDICIONADOS MarthaBeatrizFascella,HugoVíctorMasía UniversidadNacionaldeRosario Argentina Campodeinvestigación: ModelosMatemáticos Nivel: Superior Resumen.ExistegrancantidaddepublicacionesquetratandelrolquecumplelaMatemática en la Economía. Este tema, nos lleva a reflexionar sobre el papel que debe cumplir la Economía en las clases de Matemática y de qué manera debe enseñarse Matemática a estudiantesdeeconomíaparafacilitarlaconstruccióndelpensamientológiconecesariopara organizar,seleccionar,sistematizarlainformaciónquesenossuministraypararelacionar, integrar,inferirconceptos,ideasyprincipiosmatemáticos. EnestetrabajoseutilizaelModelodeLagrangeconelobjetodemotivarelaprendizajede ExtremosCondicionadosparaestudiantesdeEconomía,aunquetieneplenavalidezparaser aplicadoenotrasdisciplinas. Palabrasclave:extremoscondicionados,utilidad,modelos,economía Encuadreteórico ConsideramosquelaMatemáticaesunadisciplinacomplejayabstracta,características que se manifiestan en la dificultad que su aprendizaje significa para estudiantes de carrerasparalascualeslamatemáticaesunaherramientainstrumentaly,comoseñala Hawkins(1997),muchasvecesnoseesconscientedeloabstractoqueeselconocimiento queseconsidera"básico",detalmaneraqueloqueessencilloparaeldocentepuedeser inaccesibleparaalgunosalumnos. Según Chevallard (1997), un aspecto esencial de la actividad matemática consiste en construirunmodelomatemáticodelarealidadquesequiereestudiar,trabajarcondicho modeloeinterpretarlosresultadosobtenidosparacontestaralascuestionesplanteadas inicialmente.granpartedelaactividadmatemáticapuedeidentificarseentonces,conuna actividaddemodelizaciónmatemática.secaracteriza"elhacermatemática"comoun trabajodemodelización.estetrabajoconvierteelestudiodeunsistemanomatemático 457 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

2 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 en el estudio de problemas matemáticos que se resuelven utilizando adecuadamente ciertosmodelos. Demodoquelacomprensióndeconceptosselogramediantelaproposiciónyelanálisis deproblemasafinesconlaespecialidad.así,efectuamoslaspresentacionesenforma geométrica,numéricayalgebraica,teniendoencuentaquelasrepresentacionesvisuales, la experimentación numérica y gráfica producen cambios en la forma de aprender el razonamientoconceptual.elusodecalculadorasycomputadorasesuncomplementoala hora de lograr una mejor calidad de la enseñanza pues el uso de software permite inmediatasverificacionesdepropiedades,representacionesgráficas,asícomoresolución de problemas en situaciones reales, constituyendo una ayuda importante para la exploracióninductivadelconocimientoporlainmediatezdelarespuestadelprocesador. Mostramoseneltrabajounaexperienciaquepartedelestudiodeunmodelo(Lagrange) generador,deotromodelo(extremoscondicionados).conestoqueremosindicarquea partirdeunproblemaprocedentedeuncampoajenoalamatemáticaesposiblepensar sobre las relaciones abstractas de otro campo conceptual en términos de nociones y propiedadesmatemáticas. Metodología LaexperienciadidácticaseenmarcaenelProyecto Lacomprensióndelasecuaciones diferencialescomoherramientasdemodelización,queseinscribeasuvezenelprograma EnseñanzadelaMatemáticaparanomatemáticos,cuyoobjetivoesdesarrollarformas depensarcreativas,deconstantebúsquedaparalatomadedecisionescorrectasenel ámbitoprofesional.estetrabajoformapartedeestudiospreliminaresdelproyectopicto: LaEducaciónMatemáticacomoCienciadeDiseñoenlaFormaciónInicialTerciaria,que trata del diseño, seguimiento e investigación de unidades de enseñanza en tópicos 458 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

3 Categoría1Análisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticas específicosincluidosenloscontenidoscurricularesdelallamadamatemáticabásicaenel nivelinicialterciario. LaexperienciaserealizaenelcursoMatemáticaIIIdesegundoañodelacarrerade Licenciatura en Economía, de la Facultad de Ciencias Económicas y Estadística, de la Universidad Nacional de Rosario, involucrando alrededor de ochenta alumnos semestralmente. Encuadrada enuna investigación aplicada,se enfoca laatención sobre la solución de problemas.enestecasoelejedeldesarrollodelamismaeslapropuestadeunproblema relativoaláreadeaplicacionesdelamatemáticaalaeconomía. Para el seguimiento y análisis se trabaja metodológicamente bajo un paradigma cualitativo con técnicas de observación participante, consignando las situaciones didácticasaquedalugarlainteracciónconelcomputador. Laobservacióndesignalafasedelainvestigaciónconsistenteenfamiliarizarseconuna situaciónofenómenodeterminado,endescribirlo,enanalizarloconelfindeestablecer una hipótesis coherente con elcuerpo de conocimientos anteriores ya establecidos y concierne a un grupo particular de individuos refiriéndose a resultados inmediatos interesando el perfeccionamiento de los implicados en el proceso, que así mismo involucraalosdocentes. Elproblemayeltrabajodeaula Partimosdelsupuestodequeunalumnodesegundoañodelacarreraqueyahaseguido almenosuncursodeeconomía,puedeinteresarseenproblemasvinculadosasufutura profesión.elegimoselsiguienteproblema: Unaempresafarmacéuticarequiereparalaelaboracióndeproductosmedicinalesdos tiposdesustanciasquímicas,ay B.Llamemosconxe y alascantidadesrequeridasdelas sustanciasay B,respectivamente,yconU(x,y) lautilidad obtenidaalfabricarun 459 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

4 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 productocuyasíntesisrequieredistintascantidadesdelassustancias,segúnelproceso aplicado.lasustanciaatieneunpreciode2 u.m.(unidadesmonetarias)elgramo,la sustanciabtieneunpreciode1 u.m.elgramo,yelmontototalasignadoparalacompra deambassustanciasesde400 u.m.silafuncióndeutilidadestádadaporlafórmulau(x,y) xy 2x,laadministracióndelaempresadeseamaximizarsuganancia.Se pretende,enconsecuencia: Hallarlascantidadesdexe y quemaximizanlafunciónu,yelmáximoniveldeutilidad quealcanza. Dibujar en un mismo gráfico la recta presupuestaria y las curvas de indiferencia correspondientesalosnivelesdeutilidadu(x,y)18000yu(x,y) Mostrargráficamenteelequilibriodelconsumidor,considerandoalaempresacomo consumidoradelassustancias. Presentadalasituaciónproblemática,losalumnosreconocenlanecesidaddeincorporar conceptos y procedimientos para responder a la misma que tiene que ver con el requerimiento de hallar valores máximos y/o mínimos de una función de dos o más variablesrealesquedejandeserindependientesporestarsujetasacondicionesquelas vinculan. Desarrollamosacontinuaciónlateoríaeconómicanecesariaparasuresolución. ElmodelodeLagrangepermitemaximizarominimizarunafuncióndedosvariablescon unarestricción,ypuedeseraplicadoadossituaciones:labúsquedadelequilibriodel consumidordadaunarestricciónpresupuestariaylaminimizacióndecostosparaunnivel determinado de producción de una empresa. En nuestro caso será aplicado para determinarelequilibriodelconsumidor. Curvasdeindiferencia:Dadosdosbienes,Ay B,puederepresentarsegráficamentela utilidadqueéstosdanalconsumidoratravésdeunmapadecurvasdeindiferencia.enel ejedeabscisasserepresentalacantidadx delbiena,y eneldeordenadaslacantidady 460 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

5 Categoría1Análisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticas delbienb.,queelconsumidorestarádispuestoaadquirir.unacurvadeindiferenciaesla gráficadeunarelaciónquevinculatodoslosposiblesvaloresdexe y paraundeterminado niveldeutilidad.cadacurvadeindiferenciadelmapacorrespondeaunniveldeutilidad, teniendounaforma"descendente"yaqueparamantenerunmismoniveldeutilidad,el compradorestarádispuestoaadquirircadavezmenosdelbiena porcadaunidadextrade B queadquiere, yviceversa.lascurvasseráncomolasrepresentadasenlafigura1. Figura1 Lasecuacionesdelascurvassondelaforma: U(x,y)U 0, (1) dondexe yrepresentanlascantidadesvariablesdeay B,respectivamente.Laecuación( 1) correspondealacurvadeindiferenciaparaelniveldeutilidadu 0. Manteniéndonosenlamismacurvadeindiferencia, lafunciónu(x,y) esconstante, yel cambioenlautilidadtotaldebeser0.esdecirdebeverificarse du U x dx U dy 0. (2) x 461 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

6 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 dondedxy dyrepresentanlasvariacionesdelascantidadesdeay B,respectivamente. Sielconsumidordisponedeunmontom,paragastarenlosbienesAy B,setendrá: pax pby m. (3) Estaecuación,enlaquep A yp B sonlospreciosdeay Brespectivamente,ycuyagráfica esunsegmentoderecta,imponeunarestricciónpresupuestaria quevinculatodaslas posiblescantidadesdeay Bquepuedensercompradasconelniveldepresupuestom. Figura2 Equilibriodelconsumidor:Lacondicióndeequilibriodelconsumidorsedaentonces cuandolarectapresupuestariatocaenunsolopunto,esdecirestangenteaunacurvade indiferencia,quecorresponderáalascantidadesdeaydebconmayornivelposiblede utilidadconelpresupuestom.así,enelpuntodeequilibriolapendientedelacurvade indiferenciaesigualalapendientedelarectaderestricciónpresupuestaria.verfigura ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

7 Categoría1Análisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticas Figura3 Maximizacióndeutilidad:Elproblemaconsisteenhallarelvalormáximodelafunción deutilidadu(x,y),llamadafunciónobjetivo, sujetaalarestricciónpresupuestaria pax pby m 0. Elproblemaqueseplanteaesllamadounproblemadeextremoscondicionados,yparasu resoluciónsedefinelallamadafunciónlagrangeana L: L U(x,y)(pAxpBym). Elambientedeinterésprovocadoenelaulaesaprovechadoparadesarrollarlateoría matemática necesaria para dar solución a problemas de esa clase, y a continuación aplicarloalaresolucióndelproblemaplanteado.omitiremosenestetrabajoeldesarrollo dedichateoríacomoasítambiénlaresoluciónnuméricadelproblema. Reflexionesamododeconclusión Laexperienciaenelaulanospermiteconcluirquelosalumnosparticiparonactivamente en el proceso de aprendizaje, relacionaron los conceptos matemáticos con los económicos.porotrapartealutilizarunsoftwarequelespermitiódesviarlaatenciónde 463 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

8 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 laresoluciónhaciaelanálisisdelproblema,mostraronunmayorinterésenlostemas matemáticos y profundizaron los mismos con la finalidad de resolver problemas económicosmáscomplejosrelacionadosconelproblemapropuestoinicialmente.como consecuenciadeello,señalamoscomounlogro,lapresentacióndevariosaspirantespara desempeñarsecomoayudantesalumnosenlaasignatura. Apartirdeestosresultados,podemoscitaraJaimEtcheverry(1999)quienapuntaque paraquelosalumnosaprendan,debenestarinteresadosenloqueaprendenyaquela razónsecultivamejorcuandoestáasentadasobreunasólidabaseemocional;deben comprenderqueexisteunasecuenciaenelaprendizajeyqueelaprendizajesignificativoy duraderoselograhaciéndolointeresante,nodivertido. Es por ello que el carácter específico del conocimiento matemático y la importancia particulardelassituacionesqueseempleenenlaenseñanzaylagestióndelasmismas porpartedelprofesor,subrayadasporbrousseau(1986),hacenimprescindiblecentrarlas en el grupo de alumnos así como en el medio didáctico, que incluye los problemas, materialeseinstrumentosqueelprofesorproporcionaalosalumnosconelfinespecífico deayudarlosareconstruirunciertoconocimiento. Brousseau,ensuTeoríadelasSituacionesDidácticas,atribuyeunlugarpreferencialala resolucióndeproblemas.enrelaciónconelsaber,ladidácticaplanteaqueéstesurgea partirdepreguntasoproblemasalosqueelalumnosevenecesitadodedarrespuesta. Además,señalaque laconstitucióndelsentido,talcomolaentendemos,implicauna interacciónconstantedelalumnoconsituacionesproblemáticas,interaccióndialéctica (porqueelsujetoanticipa,finalizasusacciones),dondeélcomprometeconocimientos anteriores,lossometealarevisión,losmodifica,loscompletaolosrechazaparaformar concepcionesnuevas.sostienetambiénque elinterésdeunproblemavaadepender esencialmentedeloqueelalumnocomprometaahí,deloqueahísometeráaprueba,de loqueinvertirá,delaimportanciaparaéldelosrechazosqueseráconducidoahacerde lasconsecuenciasprevisiblesdeesosrechazos,delafrecuenciaconlacualarriesgaría 464 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

9 Categoría1Análisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticas cometeresoserroresrechazadosydesuimportancia.asílosproblemasmásinteresantes seránaquellosquepermitiránfranquearunverdaderoobstáculo. Referenciasbibliográficas Blanchard,O.,PérezEnrri,D.(2000).Macroeconomía.BuenosAires:PrenticeHall. Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. RecherchesenDidactiquedesMathématiques7,(2) Chevallard, I., Bosch, M., Gascon, J. (1997). Estudiar Matemáticas. El eslabón perdido entreenseñanzayaprendizaje.cuadernosdeeducación.22.barcelona,españa:horsori. Jaim Etcheverry, G. (1999). La tragedia educativa. Buenos Aires: Fondo de Cultura Económica. Chiang,A.C.,(2006).MétodosFundamentalesdeEconomíaMatemática(4ªEdic.).Madrid, España:McGrawHill. García, A., Martínez, A., Miñano, R. (1995). Nuevas tecnologías y enseñanza de las Matemáticas.Madrid,España:Síntesis. Hawkins,A.,(1997).Forwardtobasics!Apersonalviewofdevelopmentsinstatistical education.internationalstatisticalreview. Jagdish,A.yLardner,R.W.(2002).MatemáticasAplicadasalaAdministraciónyala Economía.(4ª.Edic.).México,México:PearsonEducación. Purcell,E.,Varberg,D.yRigdon,S.(2001).Cálculo(8ªEdic.).México,México:Pearson Educación. Samuelson,P.A.(2003).Economía.Madrid,España:McGrawHill. 465 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.