UN ESTUDIO SOBRE LA DESARTICULACIÓN ENTRE LA SEMEJANZA Y LA TRIGONOMETRÍA EN EL BACHILLERATO

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1 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar UNESTUDIOSOBRELADESARTICULACIÓNENTRELASEMEJANZAYLATRIGONOMETRÍA ENELBACHILLERATO PatriciadelCarmenNavarro,MarthaCristinaVillalvaGutiérrez UniversidaddeSonora México Campodeinvestigación: PensamientoGeométrico Nivel: MedioSuperior Resumen. Se reporta parte de una investigación que trata sobre el estudio local de la proporcionalidadgeométricaysuarticulaciónconelrestodelostemas particularmentela trigonometría queconformanelcursodematemáticasiiidelplandeestudiosdeescuelas preparatoriasincorporadasalauniversidaddesonora.enesteextracto,seproponenalgunos constructosdelateoríaantropológicadelodidáctico(tad)quefundamentaronelestudio,y queenestedocumentotienenelpropósitodedarlesentidoalapresentacióndelmarco EpistemológicodeReferencia,elcualfuepiezaclaveenelestudiomencionado,tantopara determinarelniveldearticulaciónexistente,comoparacontarconunabaseparaproponer accionesespecíficasacordesalaarticulaciónpropuesta,detalmodoquemedianteellasfuera factibleunaconstrucciónfuncionaldelosconocimientosgeométricos. Palabrasclave:articulación,semejanza,trigonometría,teoríaantropológicadelodidáctico Elproblema Lainstitucióneducativaenlaqueseubicóelanálisisespecíficosobreladesarticulaciónexistente entre los temas de semejanza y función trigonométrica, pertenece al sistema de escuelas preparatorias incorporadas a la Universidad de Sonora. En particular se centra en el área de GeometríayTrigonometría quecorrespondealcursodematemáticasiii. EnelcursodeGeometríayTrigonometría,lasemejanzaquedaabandonadadespuésdeestudiarse brevemente.nopareceserelprincipiodeunacadenadeconocimientoquellegaalafunción trigonométrica,éstaparecesurgirespontáneamentecomoorganizaciónautotecnológica.pero formalmentelafuncióntrigonométricaestáestrechamentevinculadaconlasemejanza. Tal vez un motivo para esta desarticulación se debe a que históricamente la relación trigonométricaaparecióposterioralasemejanzayenuncontextodiferente.lasemejanzaestá documentada como objeto de estudio en Los Elementos de Euclides. En cambio, la relación trigonométricaparecesurgircomoherramientaparacálculosastronómicosenlostrabajosde Hiparco(190120a.C.),quienelaborótablasmostrandolarelaciónarcocuerda,pararealizarel cálculodelaposicióndeunplaneta.otrosastrónomosgriegosynavegantesislámicosutilizaron lascuerdascomoherramientas,sinelaborarunateoríamatemáticaquelascontuviera.(boyer, 287 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

2 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa ). Posteriormente, Ptolomeo ( d.c. aprox.) utilizó los elementos de Euclides para mejorarlastablasdehiparco.despuéstrabajóentriángulosplanos.enesteprocesosegestóla ideaderelacionestrigonométricasinversas.así,introdujolasrelacionesentrecuerdasyarcos comocuestionesdeestudiomatemáticoademásdeusarlascomoauxiliarlesensustrabajosde astronomía. Lo cierto es que en la matemática sabia la geometría y la trigonometría están relacionadas indisolublemente,yelhechodequeseestudienenlainstituciónescolardemaneradesvinculada redundaenperjuiciodelarazóndeexistirdeambasenelcurrículo. Seproponeentonces,unaorganizaciónmatemáticaquetomeencuentalaarticulaciónformalde lasemejanzaylatrigonometría,sinqueestosignifiqueofrecerunatransposiciónmáscercanaala matemáticasabiaymenosdidáctica.elpropósitoesmantenerlasecuencialógicadelostemas paraquelasemejanzaconservesurazóndeexistirenelcurrículo Desdelaópticadelatransposicióndidáctica,comoloexpresaJavierGarcía(2005),unprimer referenteinstitucionalparaelanálisisdelaorganizaciónmatemáticaexistente,loconstituyenlos PlanesyProgramasdeEstudio.Unobstáculoimportanteenelanálisisinicialdeestainvestigación, loconstituyólaausenciadeuncurrículodetalladoparalosestudiosdematemáticaseneste sistemadepreparatorias,puesenlosexistentes,nosedescribenlaposicióninstitucionalentorno alosmismos:losobjetivosocompetenciasadesarrollar,lasáreas,sectoresytemasenlosquese organizaelestudiodelasmatemáticas,lametodologíasugeridaoloscriteriosdeevaluación. Alcarecerdeunreferenteinstitucionalvíalosprogramasdeestudioparaanalizarlaorganización matemáticainstitucional,sepropusolocalizarlovíaelanálisisdelostextossugeridosporlas escuelas incorporadas a la Universidad de Sonora, considerándolos como una fuente de informaciónalternayaquesonmásqueproveedoresderecursosdidácticos:sonlainstitución quedictalasorganizacionesaestudiarydeterminalaspraxeologíasqueseguiránelprofesorylos alumnos. Componentesteóricos AcontinuaciónedescribenbrevementealgunosdelosprincipalescomponentesdelaTeoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) de Ives Chevallard, la cual se enmarca en el Programa 288 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

3 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar EpistemológicodeInvestigacióndelaEscuelaFrancesaenlaquecontribuyen,desdelavisión española,josep GascónyMariannaBosch(Chevallardetal.1997;Chevallard1999).De esta manera, esperamos que el breve reporte que en este documento se expone adquiera cierta claridad. La Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) parte de que toda actividad humana puede describirseconunmodeloúnico:lapraxeología.(gascónetal,2004). Estoes,pararealizarunalaborhayquesabercómohacerla,esdecir,utilizarunatécnica,la praxis.sinoseconocelatécnicaesnecesariocrearla.lacreacióndelatécnicaosuusocontinuo puedellevar onoaunconocimientodeporquéfunciona,estoes,unatecnología.latecnología esellogos,elsabersobrelapraxis.elsaberhaceryelsaber,formanlapraxeología. Elestudioesunadelasactividadeshumanasypuede,portanto,examinarsetomandocomo unidaddeanálisislapraxeología. Tareas(t i ).Lanocióndepraxeologíaseclarificaapartirdelaagregacióndetareasentiposy géneros: Alaslaboresespecíficasarealizar,enparticularalasrelacionadasconelestudiodelas matemáticaslesllamamostareas.unatareaeslaacciónsobreunobjetoparticular,como demostrarelteoremadetales. Untipodetareas(T)eslaacciónquepuederecaersobreundiversotipodeobjetos: Demostrarteoremasdegeometría. Losgénerosdetareassonaquellasenlasquelasquesemencionalaacciónperonose especificaelobjetosobreelqueéstarecae.ej.:demostrar. Técnica(ô i).asociadaauntipodetareasexisteunamaneraderealizarlas,unatécnica.latécnica puedefuncionarparaunapartedeltipodetareas,estoes,tieneunalcancedeterminado.cuando seagotaunatécnicaesnecesariocrearotramáscompleja,hacerlaevolucionar. 289 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

4 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 Tecnología(.Latecnologíapermiteexplicarporquéunatécnicaescorrectayjustificarsuuso. Además,sisemanejaadecuadamente,puededarlugaranuevastécnicas. Teoría().Lateoríaexplicalastecnologíascomolatecnologíaexplicalatécnica.Esunnivelmás profundodeexplicación,máscercadelsabersabio. Praxeologías.Comosedijoantes,larelaciónentretiposdetareas,técnica,tecnologíayteoría constituyeunapraxeologíalacualtienedoscomponentes:elsaberyelsaberhacer.elprimero tienerelaciónconlatecnologíaylateoría,elsegundoconlapráctica. Podemosclasificarlaspraxeologíassegúnelpredominiodelsaberquesemanifiesteenellas: Puntuales.Lapraxeologíasellamapuntualsiserefiereaunsolotipodetareasenlaque raravezsehaceusodelatecnología. Locales.Laagregacióndeestasorganizacionespuntualesalrededordeunatecnologíada lugaraunapraxeologíalocal. Regionales.Cuandoserefierendiversastareas,técnicasytecnologíasqueestáncentradas enunateoría,laspraxeologíassonregionales. Globales.Lacombinacióndepraxeologíasregionalesqueintegravariasteoríasenuna institucióndada. LaconstruccióndelMER Enunainstituciónescolardada,existesiempreunamaneradetrasladarelsabersabioalos estudiantes.alaconcreciónresultantededichaacción,lateoríaantropológicadelodidácticole daelnombredemodeloepistemológicodereferencia(mer),elcualpodráserexplícitooquedar sobrentendido.peroparaelinvestigadorqueencuentraunproblemayquiereproponeruna solución,esindispensabletenerestemodeloclaramenteformulado.deotramaneranotieneuna basefirmetantoparaanalizarlasorganizacionesdidácticasqueleinteresancomoparaproponer una organización alternativa. Igualmente, el modelo es necesario para estudiar el saber matemáticoantesdetransformarloensaberaenseñar. 290 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

5 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar Estemodeloesunaactividaddeestudiohipotética.EnpalabrasdeBoleaetal: es hipotética enelsentidodequenoexistenihaexistidonuncacomoorganizaciónmatemáticaescolar (Bolea etal,2001). Enconsecuencia,conelfindeanalizarlasorganizacionesmatemáticasdesemejanzadetriángulos ydelafuncióntrigonométrica,sepropusounmodeloepistemológicodereferencia(meren adelante).elmerconstituyótambiénunapropuestaalternativaalaspraxeologíasvigentes,así como un referente para el diseño de una actividad de estudio con la que se ejemplificó la aplicacióndelasaportacionesdelateoríaantropológicaeneltrabajodocente: Sepropusodiseñarunasecuenciadetareasqueserealizarancontécnicasquefuerandesdela semejanza entre triángulos hasta la función trigonométrica. Esta conexión se pudo conseguir manteniendolaigualdadentrelosánguloscomoelcentrodelaatención. Estasecuenciadiseñadatienelacaracterísticadequelastécnicasutilizadasvancreciendoen complejidadyrespondiendosiemprealateoríadelasemejanza.además,pudoserampliada hastacubrirunnúmerodetareaslosuficientementegrandecomoparallegarageneralizarla constanciadelarazónentrelosladosdeuntriángulorectángulocuandoelánguloagudose mantienesinvariación. Loanteriorresultóenuncampodeproblemasquerequierenmásdeunatécnicaperorespaldadas porlamismatecnología.esdecir,enunapraxeologíalocal.laintenciónfuéqueseestableciera una conexión permanente entre la semejanza y la razón trigonométrica de manera que el estudiante fuera capaz de distinguir las situaciones en las que el uso de esta función sea la herramientaadecuadaaunqueseanproblemasqueenfrenteporprimeravez. Semejanza entre triángulos Semejanza entre triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual Razón constante, dependiente únicamente del ángulo. (Función trigonométrica) Elesquemapropuestoesmuysencillo: Tareasqueseresuelvancontécnicasdesemejanza. Tareasquesepuedanresolvercontécnicasdesemejanzaperoenlasqueéstasresulten muycostosas. 291 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

6 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 Tareasenlasqueseidentifiquelaconstanciadelarazónentretriángulosrectánguloscon unánguloagudoigual. Tareasqueseresuelvanconusodelarazóntrigonométrica. Lamodelizacióndelastareasnosediferenciamuchodelasclásicas.Laaportaciónqueintenta estapropuestaestribamásbienenelordendelasecuencia,quetienelacaracterísticadevincular semejanza y trigonometría. Esto da una razón de ser al estudio de estas organizaciones matemáticas y la posibilidad de reconocer situaciones en las que éstas faciliten la técnica adecuadapararesolverlas. Es necesario partir de tareas que llamen a las técnicas que proporciona la tecnología de la semejanza.elsiguientedesarrolloesquematizalapropuesta: 1. Sisetienendostriángulossemejantesysideunodeellossedesconoceunlado,sepuede utilizarlaproporciónentresusladoscorrespondientesparacalcularsumedida. t 1 Utilizarlaproporcionalidaddelosladosdedostriángulossemejantesparaencontrarla medidadeunladodesconocido ô 1 La técnica para resolver esta tarea es plantear las ecuaciones derivadas de la proporcionalidadentrelosladosdelostriángulossemejantes. 292 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

7 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar Latécnicaanterioresrespaldadaporlatecnologíadeloscasosdesemejanzaentre triángulos.dostriángulossonsemejantessitienen: a)dosángulosiguales. b)dosladosproporcionaleseigualelánguloentreellos. c)tresladosproporcionales. Enestaorganizacióndidáctica,elpasosiguienteesunaactividad(tareat 2 )queutilicelatécnica anteriorperoaplicadaalcasoparticulardetriángulosrectángulos.deestamanera,latecnología siguesiendo t 2 Calcularlamedidadelladodeuntriángulorectángulodadounodesusángulosagudos. Paraelcasodelostriángulosrectángulos,lasemejanzaquedaestablecidasitienenunángulo agudoigual.entonces,paracadaánguloagudoyparacadapardelados,existeunarazónfija. Latécnicaessimilarylatecnologíaeslamismadet 1,peroparacada : 293 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

8 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 a d c b a d =constante, =constante =constante e f e f c b Locualpermitequelatécnicaevolucioneaunamenoscostosaqueô 1 yaqueeliminalanecesidad detenerdostriángulossemejantes. ô 2 : Una vez establecido que la razones entre los lados de un triángulo rectángulo permanece constanteparaunángulodado,tienesentidodarleunnombreacadaunadeestasrazonesyse puedemanejarunatécnicaquelasutilice: Sean k 1 =sen k 2 =cos y k 3 =tan ô 3 :,, Enesteprocesodeevolucióndetécnicasparalastareasdelmismotipo(T 2 ),sepuedeapreciar quelapraxeologíatienesiemprecomoteoríalasemejanzaentretriángulos(,sutecnologíaesel conocimientodeloscasosdesemejanza(.elusodelasfuncionestrigonométricasaparece comounaeconomíadeprocedimiento,dadoquesehareconocidocomouncasoparticulardelos casosdesemejanza.además,alcanzaunagranvariedaddecuestionesproblemáticas.enotras palabras,sehaconstruidounapraxeologíalocal,[t 2 /ô 2 /ô ]. Esta praxeología local puede evolucionar hacia una regional, que dejará de lado su origen geométricounavezquehayasidopuestaenfuncionamientoenunespectroampliodeproblemas. Resultadosdelanálisisdetextos Ademásdelaseparacióndelostemasdesemejanzaytrigonometríaendiferentescapítulos,enel desarrollodecadatema,loslibrosqueseanalizaron,fuenlabrada(2004)yguzmán(2005), exhiben primero la tecnología, después exponen y ejemplifican la técnica ya construida y finalmenteaparecenlastareas.seidentificanalgunaspraxeologíaspuntuales,sinembargo,los problemas o tareas siempre se pueden resolver con la técnica dada, no hay lugar para la exploraciónyespocoprobablequeocurraelmomentodelaevaluación.enotraspalabras,este 294 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

9 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar ordendetieneeltiempodidácticoyaqueentorpecelaconcatenacióndelosdiferentesmomentos deestudio. Esposiblequeladesarticulacióndesemejanzaytrigonometríaenloslibrosestérelacionadaconla necesidaddeutilizarlaprimeraenlademostracióndeteoremasquetratanlaspropiedadesdelos polígonosyqueapareceninmediatamentedespuésdeltemadetriángulos.estapuedeseruna razónválidaparasepararlostemas.perolasemejanzadetriángulostendríaqueserretomada paradarleunsustentotecnológicoalafuncióntrigonométrica.noserequieremuchotiempopara abordarporsegundavezlasemejanzayenfatizarlosteoremasquejustificanelcarácterfuncional delarazóntrigonométrica.deestamaneraseresolveríaelproblemaoperativodelcursoyse salvaríalaarticulación. Referenciasbibliográficas Bolea,M.,Bosch,M.yGascón,J.(2001)Recherchesendidactiquedesmathématiques21(3), Bosch,M.yGascón,J.(2004).Lapraxeologíalocalcomounidaddeanálisisdelosprocesos didácticos,universitatramónllull,universitatautónomadebarcelona.enprensa Boyer, C. (1991). A History of Mathematics. Recuperado el 2 de noviembre de 2008 en Chevallard,Y.,Bosch,M.yGascón,J.(1997).EstudiarMatemáticas.Eleslabónperdidoentre enseñanzayaprendizaje.madrid:horsori. Chevallard, Y. (1999), El análisis de las prácticas docentes en la teoría antropológica de lo didáctico.recherchesendidactiquedesmathématiques19(2), Fuenlabrada,S.(2004)Geometríaytrigonometría.México:McGrawHill. García,J.(2005),Lamodelizacióncomoherramientadearticulacióndelamatemáticaescolar.De laproporcionalidadalasrelacionesfuncionales.tesisdoctoralnopublicada.universidaddejaén. Gascón,J.(2002).ElproblemadelaEducaciónMatemáticayladoblerupturadelaDidácticadelas Matemáticas.UniversitatAutónomadeBarcelona.Enprensa 295 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

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