UNA ACTIVIDAD PARA EL APRENDIZAJE DE LA PROBABILIDAD, DISEÑADA CON EL MÉTODO HISTÓRICO CULTURAL DE VYGOTSKI Y LA TEORÍA DE LA ACTIVIDAD DE LEONTIEV

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1 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 UNAACTIVIDADPARAELAPRENDIZAJEDELAPROBABILIDAD,DISEÑADACONEL MÉTODOHISTÓRICOCULTURALDEVYGOTSKIYLATEORÍADELAACTIVIDADDE LEONTIEV JorgeGómezArias EscuelaSuperiordeFísicayMatemáticasdelIPN México Campodeinvestigación: Pensamientorelacionadocon Nivel: MedioySuperior probabilidad,estadística Resumen. Se comienza viendo qué es la Zona de Desarrollo Próximo y qué convierte un material didáctico y tecnológico en una herramienta semiótica, aclarándose la intima conexióndelpensamientodevygotskiconeldeleontiev.luegosedescribelaestructura, aplicaciónyresultadosdeunexamendiagnóstico,usadocomoherramientasemióticapara introducir el tema de la probabilidad: su dialéctica con el azar y la incertidumbre, sus modalidadesmetodológicasyproblemasbásicosdemodelaciónmatemática,susdefiniciones informales.losresultados,puedeapreciarse,fueronmuysignificativos. Palabrasclave:ZonadeDesarrolloPróximo,herramientassemióticas,probabilidad,actividad, examendiagnóstico Introducción En los últimos decenios han surgido nuevas propuestas para la enseñanza de las matemáticas,comolasbasadasenlatecnologíaeducativaolasconstructivistas.desdesu respectivoenfoquemetodológicohanmejoradolasposibilidadesdelaprácticadocente peroningunahasuperadosatisfactoriamentelosproblemasdelaprendizaje.losfactores sociales(económicos,familiares,condicionesdelasescuelaspúblicas)pesandemasiado en el rendimiento de los alumnos. Por eso, es importante comenzar este reporte planteandoquelapropuestadidácticadevygotskiyleontievconstituyeunaherramienta teóricamuyadecuadaparalascondicionesenquetrabajamosennuestromedio.dentro delaestructurapsicológicadelaactividad,sonlasinteraccionesdelosalumnosconlos profesores,consuscompañeros,consigomismos(sulenguajeinterno),siempreusando lasherramientassemióticas,elfactorprincipalenestaconcepción,yesleontievquien proporcionaunateoríaconsistenteyviabledelaactividadescolar. 416 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

2 Categoría1Análisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticas Enestecaso,lametainicialesqueelalumnoconstruyaunacaracterizaciónadecuadadel conceptocentraldeladisciplinaqueeselobjetodeaprendizaje:laprobabilidad.asíque laprimeraactividaddelcursoestáenfocadaaesaconstrucción,paralocualseemplea unaherramientasemióticadenominada ExamenDiagnóstico (ED).Setratadequelos alumnos reconozcan varios de los aspectos más característicos de la probabilidad, su objetodeestudioysumetodología, Antecedentesteóricos LaZonadeDesarrolloPróximo(ZDP)sedefineporladivergenciaentreelnivelrequerido paralasolucióndelastareasquesonaccesiblesalniñoconayudadelosadultosoparael jovenconayudadelosprofesoresoexpertos(nivelpotencialnp)yelniveldesoluciónde lastareasquepuederesolverensuactividadautónoma(nivelactualna). Loquehoyel niñohaceconayudadelosadultosmañanalopodráhacerenformaautónoma (Vygotski (1989)p.217).Porello, sóloesbuenaaquellaenseñanzaqueseadelantaaldesarrollo (Idem.p.218).Laenseñanza eselmomentointernonecesarioyuniversalenelproceso deldesarrolloinfantil(oencualquierotraedaddelapersona)peronodelascapacidades naturalessinodelascapacidadeshistóricasdelhombre (Idem.,p.219). Elprofesortienequeoptimizarlapeculiaridadesencialdelainstrucciónescolar,aquella quelaconvierteenunazdp,sucaráctersocial.elpotencialdelazdpdependedelnivel potencialdedesarrollopsicológicodelalumno,desucapacidaddellegaragradosde generalidadtodavíanomadurosperoyaposiblesenélyacapacidadessuperioresdeligar logeneralconloparticular.paraquelaactividadseacapazdeaprovecharalmáximoese potencialesprecisoquelaactividadestéestructuradadeacuerdoconlasleyesgenerales delapsicologíaevolutiva. Leontievretomavariosconceptosesencialesdelmétodohistóricoculturalvygotskiano: 417 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

3 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 El reconocimiento de la actividad organizada en el ámbito escolar como el mecanismoidóneoparaquelosalumnosaproximensussentidospersonales(na) vinculadosasusexperienciasprácticas,asusconocimientosyadominadosoasu intuiciónpersonaldelosconceptosyoperacionesquesonobjetodelaprendizaje alossignificadosobjetivos,teóricos,dedichosconceptosyoperaciones(np). Paraello,elámbitoescolarfacilitaelempleodeherramientassemióticasenforma dematerialesdeapoyo. Asimismo,laescuelaproporcionalaoportunidaddecrearunaZonadeDesarrollo Próximo(ZDP). Elpropósitocentralesirrecorriendocadavezmáshacia arriba,hacianivelescadavez másaltosdehabilidadesintelectuales,elintervalodelazdp,locualsignificaqueno debemossubestimarlaspotencialidadesdelestudiante,comosuelenhacerlobastantes maestrosquenoseatrevenairmuchomásalládetópicosbásicoselementales,pero tampocodemandarlesmásalládelorazonable,comopretendenhacerlolosprofesores empeñados en ver los temas matemáticos en un nivel rigurosamente formal. La enseñanza no sólo exige una o varias metodologías didácticas con una buena base científicaytecnológica todoprofesorconexperienciasabequeeducarestambiénun arte,queprecisacierto toque ysensibilidaddeldocenteparasaberaplicarencadacaso específicoelgradodedificultadydeproblematizaciónrequeridoporlascondicionesde cadagrupoespecífico. Leontievcreasumodelopsicológicodelaactividad,conelcualesposibleestructurarcon uncriteriosistémicolasactividadesescolaresenelmomentodediseñarlas,paraquelos postuladosvygotskianosyaenunciadosseanpuestosenpráctica. Debesubrayarselagranimportanciaquesereconoceenestemodeloalprofesorcomo diseñadoryorientadordelasactividades(envezdetransmitirinformacióncomoenlas leccionestradicionales),elprofesorvasugiriendoenloposibleobjetivosparticularesy 418 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

4 Categoría1Análisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticas procedimientosparaquelosalumnosnosedesvíenyseaproximenalossignificados objetivos de un tema dado); en segundo lugar, Leontiev utilizó su modelo para ir construyendosistemasdemotivosmáscomplejosyelevados.enestetrabajo ysindejar de reconocer la importancia fundamental de los motivos nos centraremos en la estructurapsicológicadelaactividaddeleontievcomofundamentodeldiseñodelos cursos. Laactividad,encuantoestructurapsicológicabasadaenlaevolucióndelascapacidades cognoscitivasdelosjóvenesalumnos,esunprocesocompuestoporunaseriedeacciones, cadaunaconsuspropiosmotivos,operacionesyfinesparciales,procesounificadoen tornoaunoovariosfinesgeneralescompartidosporelconjuntodeacciones.sudiseño debeincluireltipodemotivosquesebuscaproducirenlosestudiantes,lascondiciones de trabajo (que incluyen la selección o elaboración de herramientas semióticas); su ejecucióndebehaberprevistolosmecanismosyloslineamientosgeneralesparaqueel profesorvayaorientandoconstanteysistemáticamenteeltrabajodelosjóvenesparaque envezderesolverporelloslosproblemaslesdépistasparaqueellosbusquensuspropias solucionesynosedesvíendemasiadodelostemas.laactividadsóloadquieretodosu sentidoparaelestudiantecuandoéstedescubrelarelaciónentrelosmotivosylosfines delamismaactividad(nocomounavivenciadesusnecesidadessinocomounatomade concienciadesuobjeto). Esclaveenestaconcepciónlanocióndesignificado:lossignificadossonlosformadores primordialesdelaconciencia;trasellosestánlosmodosdeacciónsocialmenteelaborados u operaciones que tienen siempre un valor cognoscitivo. El significado es la conceptualizacióndelosprocesosoperativosdebidamenteinsertadosenunaactividad bien orientada. Ese significado sólo puede ser estudiado dentro del contexto de la actividadapartirdelacreacióndelosfinesymotivosquehangeneradolaactividad misma. Los significados se convierten en conocimiento sólo cuando sistematizan las acciones de la actividad como resultado de la sistematización de los conceptos. El 419 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

5 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 pensamiento consiste en usar los significados para obtener nuevos conocimientos y resolvernuevosproblemas. Diseñodelaactividad Paraquelosalumnoslleguenaladoblecaracterizacióndelaprobabilidadencuanto medidadelaocurrenciadeunevento (alusivaalaspectoobjetivodelaprobabilidad)y medida de la incertidumbre sobre la ocurrencia de un evento (correspondiente al aspectosubjetivo)elobjetivoinicialdelaactividaddebeserquelosalumnosempiecen porreconocerelobjetodeestudiodelaprobabilidad,oseaelcarácteraleatoriodecierto tipodesucesos,naturalesosociales,paraluegoirreconociendolasdiversasmanerasen que puede ser medida la probabilidad, según las características de las situaciones planteadas. Con estos elementos, y con la adecuada orientación del profesor que debe pedirles ejemplosdeaplicacionesdelaprobabilidadconlascualessetopanadiarioensuvida personal, la actividad se iniciará con un examen diagnóstico (ED) para reconocer los sentidos personales que los alumnos poseen de la probabilidad y sus diversas modalidadesenelmomentodeiniciarelcurso. PerolasfuncionesdelEDdebenirmásalládelastradicionales,debidoasucarácterde herramientasemióticaconquesedebediseñar,permitiendoquelosalumnostomen concienciade: o Losdiversosmodosexistentesparaasignarprobabilidadauneventodado. o Lanecesidaddeunrazonamientológicoprecisoparadeterminarlasposibilidades deocurrenciaenundeterminadosucesoysihayonoequiprobabilidadentreellas paralaasignacióndelaprobabilidad. o Modelos matemáticos diferentes en la modelación de un mismo suceso y viceversa,sucesosdiferentesmodeladosconunmismomodeloprobabilístico. 420 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

6 Categoría1Análisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticas o Lanecesidaddeanalizarlassituacionesparadiferenciarelcarácterobjetivoy subjetivo,asícomodiferenciarloempíricoyloteóricodelosmétodos. o Determinarmedianteunanálisissubjetivo,coneltratamientodescriptivodela información,cuáldelassimulaciones(enrelaciónalnúmeroderepeticiones)tiene unamejoraproximaciónconloteórico. o Construirunamedidadeladiscrepanciaentreloempíricoyloteóricoparalatoma dedecisionesobjetiva. Lapeculiaridadepistemológicadelasnocionesdeprobabilidadimplicasituacionesdonde ellenguaje(llenodetérminosempíricos)ylascondiciones(tambiénempíricas,debidoala génesis histórica de la probabilidad) no son las que tradicionalmente se dan en las matemáticas.poresto,cuandolaenseñanzaaprendizajedeestadisciplinaespuramente algorítmica y operativista, omitiendo ver los aspectos conceptuales de lo probable, entonces suele tener malos resultados para el alumno cuando éste se ve obligado a resolver problemas distintos a los vistos en clase. Por supuesto, hay que memorizar fórmulasydefinicionesperousandounamemorialógica(alaquevygotskibasaenla comprensión,noenlasustitución,delsignificadodelosconceptos),nounamemoria mecánica Desarrolloyaplicacióndelaactividad ElEDesunaherramientasemióticaporqueconectaelcódigointuitivodelosalumnoscon elteóricooperativodelaprobabilidad,haciéndolodemanerasistemáticaalinsertarloen eldesarrollodeunaactividaddidáctica.conlossentidospersonalesdelalumnointegrala lógicadelapsicologíadelaprendizajeconlalógicadeladisciplina,compuestaporlos significadosteóricos. El ED está estructurado así: las preguntas iniciales aluden a situaciones de certeza absoluta,portratarsedeuneventoimposibleydeuneventoseguro.laspreguntastresa 421 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

7 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 siete se refieren a situaciones donde se emplea la probabilidad clásica en diversas modalidades;lapreguntatresabordalasituaciónopuestaaladelaspreguntasanteriores, la de máxima incertidumbre, donde la probabilidad tiene un valor igual a 0.5. Las preguntas cuatro y cinco plantean la situación en la que se reduce el grado de incertidumbreaumentandoeldecerteza,loquepermiteobservarelcarácterdialécticode la incertidumbre y lacerteza. La seis requiere de unaargumentación correcta en la construccióndelespaciomuestralylaséptima,lamáscomplejadeestabatería,exigela utilización de todo lo anterior, además de combinar lógicamente los elementos del espaciomuestralparaconstruirelespaciomuestraldeunatransformaciónqueseaplicaa losresultadosdelsuceso.laspreguntasochoadieztratanloreferentealaprobabilidad frecuencial,ladiezescomplicadaporquerequieredelconceptodeindependenciaydela leydelcomplemento delaprobabilidad;la onceyladocellevanalestudianteala probabilidadsubjetivaysefinalizapidiendoalestudiantequedésuprimeracercamiento aunsignificadológicodelconcepto probabilidad. Así,sepasaalaaccióndeaplicacióndelEDalosestudiantes.Despuéssiguelaaccióndel análisisdelasrespuestasysusrespectivasargumentaciones,estosehacemedianteel diálogogrupaldirigidoporelprofesor.dedichoanálisisresultóque: Loserroresmáscomunesenlasrespuestasfueron: o Noreconocerlaequiprobabilidadenlaasignaciónclásicadelaprobabilidad. o Asignarprobabilidadde0.5aeventosqueguardansimetríasinserexhaustivos. o Argumentosilógicosfueradecontextoenrelaciónalsucesoyeventoinvolucrado. Sedesarrollaelconceptodelodeterminísticoyloaleatorioconlossignificadosde certezaabsoluta y máximogradodeincertidumbre.elanálisisdelaspreguntasunoa tressesintetizaenelsiguienteesquema: 422 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

8 Categoría1Análisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticas Enlaspreguntascuatroycincosevequedisminuyelaincertidumbreyaumentalacerteza enambasdirecciones(hacialoimposibleyhacialoseguro),asísellegaalareciprocidad dialéctica de estas categorías. Con la sexta se hace explícita la presuposición de la equiprobabilidadyenlamodelacióndelsucesosecalculalaprobabilidadcondosmodelos probabilísticosdiferentes.ademásseinicialaacciónderealizarysimularelsucesodando estimaciones de la probabilidad para diferentes repeticiones y para que con esto el alumnopuedavalorarelgradodeconfianzaensusestimacionesdelaprobabilidadcon baseenlaregularidadestadísticamostradaengráficascomolasiguiente: Laséptimaesunageneralizacióndelasexta,loquepermiteelevarelgradodeobjetividad enlasestimacionesdelaprobabilidadfrecuencialdebidoaqueseconstruyeunamedida deladiscrepanciaentrelaprobabilidadfrecuencialylaclásica,llegandoasíaunnivelmás altodeabstracción,puestoqueseelevaconsiderablementesuniveldepensamientoyde lenguajeprobabilístico,queesloesencial:porencimadelaprendizajedeladisciplinaestá laevolucióndelascapacidadescognoscitivasdelosjóvenesalumnos. Laoctavaylanovenarefuerzanlaimportanciadeladefiniciónfrecuencialalnoser aplicableladefiniciónclásica,yladécimaesunageneralizacióndelanovenaendondela 423 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

9 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 formanaturaldecalcularlaprobabilidadesconjugandoladefiniciónfrecuencialylasleyes de la teoría de la probabilidad, así en este ejemplo la única forma de asignar una probabilidadaestasalturasdelcursoessimulandoelsuceso. Laspreguntasonceydocesonparaqueelalumnotomeconcienciadequehaysucesosen loscualeslaúnicaformadeasignarunaprobabilidadauneventoesempleandoelcriterio personalyquesiestosevaahacerparatomadedecisionesdichaasignacióndebeser efectuadaporpersonasexpertasenladisciplinaalaqueperteneceelsuceso. Conlaúltimapreguntasellegaaunodelosobjetivosprincipalesdelaactividad:elestudio de los dos aspectos epistemológicos de la probabilidad: el objetivo medida de la ocurrenciadeunevento yelsubjetivo medidadelaincertidumbresobrelaocurrencia deunevento. Ensuma,elEDdesarrollaenformadeintroduccióngenerallossignificadosbásicosdel tema,queluegoseránvistosdemaneramásdetallada,paraquelosalumnosnoentren enfrío (comosuelenhacerlo)alaspropiedadesdelaprobabilidad,asusaplicaciones conjuntivistasyasusmodalidadesteóricas(conleyesoaxiomas).losaspectosfilosóficos lespermitenademásenriquecersusexperienciasprobabilísticasysobretodoconectanlos doscódigos,elempíricointuitivoyelteórico,implicadoseneled. Resultados Apartedequelosnivelesdeparticipaciónenclaseseelevaronsustancialmenteporque apareció un nuevo motivo en los alumnos cotejar sus propias respuestas y argumentacionesconlosresultadoscorrectos,sushabilidadesparamodelarsituaciones aleatorias(oprobabilísticas)mejorarondemanerasistemática,yalaumentareltrabajo extraclasesehizoevidentequeempezóagenerarseunsistemademotivos,comolo establecelaestructurapsicológicadelaactividaddeleontiev,dichosmotivosfueronla necesidaddemanejarunrazonamientológicoprecisoparaelcálculodeprobabilidades 424 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

10 Categoría1Análisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticas clásicasyelusodelacomputadoraparaasignarprobabilidadesenformasimultáneafue elaspectodetonante. Alestaratentoatrabajarcontinuamenteenlaparte alta delazdpypendientedequeel logrodelosfinesparcialesdelasaccionesseconvirtieranenoperacionescomoloestipula laestructurapsicológicadelaactividaddeleontiev,segeneróunprocesocontinuode evaluacióndelestudiante.seconcluyóelestudiodelaunidaddeprobabilidadconuna evaluaciónsumariaconstituidapordosexámenes:elprimerofuedenuevoelpropioedy elsegundofuerelativoalaprendizajedelasignificaciónyalaaplicacióndelateoríadela probabilidadqueconformalasegundapartedelaunidaddeestudio. ConestasegundaaplicacióndelEDseobservóencasitodoslosalumnos,enlosgrupos endondesellevóacaboestametodologíadidáctica,ungranavancetantoenelcálculode lasprobabilidadescomoenellenguajeutilizadoensusargumentaciones. Elreportedelainvestigaciónacercadelasegundapartedelaunidaddeprobabilidadyde susresultadosesmotivodeunsegundotrabajoquedécontinuidadalpresente. Referenciasbibliográficas Castillo Padilla, J. y Gómez Arias, J. (1998). Estadística inferencial básica. México, Iberoamérica. DíazGodino,Juan,BataneroBernabeu,Ma.delC.yCañizaresCastellanos,Ma.deJesús. (1987).Azaryprobabilidad.(Fundamentosdidácticosypropuestascurriculares).Madrid, Síntesis. Hacking,Ian.(1991)Ladomesticacióndelazar.Madrid,Gedisa. Leontiev, A.N. (1978) Actividad, conciencia y personalidad. Buenos Aires, Ciencias del Hombre. Petrovski,A.V.(1985)Psicologíaevolutivaypedagógica.México,CartagoArgentinay LetrasMéxico. 425 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

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