PROPUESTA PARA LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO DE DERIVADA, UN ACERCAMIENTO VISUAL CON GEOGEBRA

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1 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 PROPUESTAPARALAENSEÑANZADELCONCEPTODEDERIVADA,UNACERCAMIENTO VISUALCONGEOGEBRA ArmandoLópezZamudio C.B.T.i.s.No.94 México Campodeinvestigación: TecnologíaAvanzadayVisualización Nivel: Medio Resumen.EnunartículoescritoporlahistoriadoraGrabiner(1983)destacaqueladerivada fueprimeroutilizada,despuésdescubierta,luegodesarrolladayfinalmentedefinida.este análisisnosayudaaentenderlasdificultadesdelconceptoylostropiezosquesedieronensu desarrollohistórico,dándonospautaparasuenseñanza.laprimeraetapaenqueladerivada fueutilizadademanerainconsciente,grabinerserefierealmétododemáximoymínimosde Fermat,yestapropuestaretomadichométodocomounprimeracercamientoplausibleal conceptodederivada,utilizandoelsoftwaregeogebradehohenwarterm.(2007)ysus bondadesvisuales,comounrecursodidácticoquepermitealosestudiantesdebachillerato apropiarsedelconceptoencuestión. Palabrasclave:visualización,derivada,GeoGebra Introducciónyobjetivo Unadelastareasesencialesdeldocenteeseldiseñodeestrategiasdeaprendizajeque incluyadiferentesambientesoespacioseducativos,estasestrategiasenmatemáticas debenincluirmétodosbasadosenlaresolucióndeproblemas,lasimulación,eltrabajoen equipo y el uso de las tecnologías. El software de geometría dinámica como lo es GeoGebra es un excelente recurso que nos permite modelar y simular diferentes problemas matemáticos de tópicos de las materias de Algebra, Geometría y trigonometría,geometríaanalíticaycálculo.enesteambientelosestudiantespueden inspeccionar un rango muy amplio de ejemplos geométricos, de esta manera ellos extienden sus habilidades para formular y explorar conjeturas, así como para juzgar, construirycomunicarargumentosmatemáticosapropiadamente.parawolfgang(1997) elusodesoftwaredematemáticasapoyaalestudianteenelprocesodeaprendera visualizar.lasfigurasgeométricasseconceptualizancomoresultadosdeconstrucciones, cuyaspropiedadessondefinidasporlasrelacionesestablecidasentresuspartes.esta 1166 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

2 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas visiónesmásdifícildetransmitirpormediodeconstruccioneshechasconlápizypapel, entonceslaobservacióndelaspropiedadesquesemantieneninvariablesalmodificarla formayeltamañodelasfiguras,motivalaexplicaciónporpartedelestudianteenun ambientedelageometríadinámica. EnestetenorproponemoselusodelsoftwaredegeometríadinámicaGEOGEBRAcomo unespacioeducativoquefacilitalosprocesosdeaprendizaje,enparticulardelconcepto de derivada del cual tradicionalmente privilegiaba los procesos algorítmicos y no el conceptual.estapropuestapretenderevertirestasituación.lareformacurriculardadaa conocerporelcosnet(2004)nossugiereelusosecuenciasdidácticas: Esunconjunto deactividades,organizadasentresbloques:apertura,desarrolloycierre (SEIT,2004,p. 12) Es apremiante la elaboración de estas secuencias didácticas, que rescaten la experienciadelprofesorperoquecuentenconunrespaldocientífico. Objetivo Elaborarunapropuestadidácticaatravésdeunasecuenciadidácticaqueinvolucreel softwaregeogebraparaeltratamientodelcálculodiferencialenelbachillerato,que posibilitealosestudiantescomprenderlosconceptosfundamentales,particularmenteel conceptodederivadaqueesimprescindibleparalamodelacióndefenómenosysu aplicaciónenelcursodematemáticaaplicada. Antecedentes LaenseñanzadelCálculoDiferencial(CD)enelNivelMedioSuperior,enmuchospaíses, seenfrentaaunproblemageneralizado:losestudiantesescasamentecomprendensus ideasbásicas,especialmentelasrelacionadasconladerivada.lasevidenciasmostradas encongresosespecializadosylaexperienciamismadelosprofesoresdeestaasignatura soncoincidentes:alterminarsuscursosdecdcantidadessignificativasdeestudiantes 1167 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

3 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 logran un dominio aceptable de los algoritmos algebraicos para calcular límites y derivadas,perodifícilmentecomprendenelsignificadodeesosprocedimientos.incluso, difícilmentelogranreconocerlasideasasociadasalconceptodederivadaenlaresolución de problemas elementales sobre la rapidez de la variación a pesar de que en los problemasdeestetiposeencuentralaesenciadeesteconcepto.hayungrantrabajopor desarrollar, para crear secuencias didácticas, en particular en el curso de cálculo diferencialymatemáticaaplicada,paraarcavi&hadas laherramientatecnológicaen símismaesdepocovalorsinoesacompañadaporsituacionesproblemaqueledan significado (Arcavi&Hadas,2000,p.26).Vinner(1992)presentaunestudioacercadel usodelasconsideracionesvisualesenloscursosdecálculo.muestracondospreguntas: unasobreunteoremarelacionadoconelvalormediodelcálculointegralyotrasobreel teoremadelvalormediodelcálculodiferencial,loscualessonsusceptiblesdeverificarse geométricamente, resaltandoprecisamentequeaestaverificacióndebieraconsiderar comounademostraciónmatemáticaenlaenseñanzaaestudiantes,lapreferenciadelos estudiantes por el aspecto algebraico de las demostraciones y su evitación de las consideraciones visuales. Sugiere el autor de este artículo basado en los resultados obtenidos en este experimento llevado acabo con estudiantes de primer año universitario que debiera enfatizarse el acercamiento visual en las demostraciones y resolucióndeproblemasyquedebieraconsiderarseatalesinterpretacionesgeométricas, como demostraciones matemáticas. Y siempre que sea posible, enseñar las interpretacionesvisualesdenocionesalgebraicas.vinner,(1992)intentanserbastante específicosacercadeporquémuchosestudiantesquehanllevadouncursouniversitario decálculoadquierenunconocimientoconceptualdeficientedelcurso.sobreunestudio amplioconcientotreintaestudiantes,aquienesselesaplicouncuestionariocononce preguntas,presentanunamuestradetalladadeltipodeanálisiscualitativoquerealizan. Observaron que aunque hay elementos que indican una buena comprensión sobre cálculo diferencial por parte del estudiante, en cuestiones algorítmicas rutinarias, 1168 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

4 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas encontraronotroselementosenlaresolucióndeproblemasconceptualesnorutinarios, que muestran serías conceptualizaciones erróneas. Existen obstáculos para la comprensióndelconceptodederivada,conlapalabra tangente entendidacomoel nombre de una línea recta que toca en un punto a una curva, en contraste con su significadocomofuncióntrigonométricausadaparadefinirlapendientedeunalínea recta.asícomoelconceptodederivadapuntual.paraarcos(2006)elenfoquedelcálculo infinitesimal, en su versión más próxima a la presentación de Leibniz debería de considerarseenlaenseñanzasobretodoenlasescuelasdeingeniería,yconsiderael enfoqueformalparalasescuelasdeciencias.vinner(1992)muestralapreferenciadelos estudiantesporelaspectoalgebraicodelasdemostracionesfracasandoenellas,ysu evitación de las consideraciones visuales en donde los problemas a resolver podían verificarsegeométricamente.enunartículoescritoporlahistoriadoragrabiner(1983) destacaqueladerivadafueprimeroutilizada,despuésdescubierta,luegodesarrolladay finalmentedefinida.esteanálisisnosayudaaentenderlasdificultadesdelconceptoylos tropiezosquesedieronensudesarrollohistórico,dándonospautaparasuenseñanza. Laprimeraetapaenqueladerivadafueutilizadademanerainconsciente,Grabinerse refiere al método de máximo y mínimos de Fermat, y esta propuesta retoma dicho métodocomounprimeracercamientoplausiblealconceptodederivada,utilizandoel softwaregeogebraysusbondadesvisuales,comounrecursodidácticoquepermitealos estudiantesdebachilleratoapropiarsedelconceptoencuestión. Lapropuesta Lasecuenciasellevaacaboenunaula,quecuentaconunacomputadorayunproyector, donde seutilizaracomo un pizarrón electrónicoparainteractuarcon los alumnos, el docenteylasecuenciadidáctica.agrandesrasgoslasetapasdelasecuenciasonlas siguientes: 1169 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

5 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 Etapadeapertura(Tiempo4horas)Aquíseplanteanunaproblemaqueinvolucrela necesidaddeencontrarunmáximo,esdecirencontrarlaecuacióndelarectatangentea una curva con pendiente cero, para luego usando GeoGebra visualizar las diferentes manerasenqueseconstruyohistóricamentelarectatangenteaunacurvadesdelos griegoshastaelmétododedescartes. EtapadeDesarrollo:(Tiempo8horas)AquísedaaconocerelmétododeFermatpara encontrartangentesacurvas,seejemplificanunoodoscasosdefunciones,algebraicasy trascendentes,usandoacercamientosvisualescongeogebradeunarectasecanteauna curvahastaqueseaunarectatangentealacurvaencuestiónenunpuntofijo. EtapadeCierre:(4horas)Seplanteancasosvisualesenquesedalagraficadelafunción derivadaysepideunbosquejodelafunciónprimitiva,seresuelveporestemétodoel problemaquedioorigenalestudiodelastangentesdependientecero. Metodología Lametodologíaquesellevaacaboenestainvestigaciónesdetipocuantitativa,hemos consideradolanecesidaddelestudioapartirdedatosobtenidosporanálisiscurriculardel cursodecálculoymatemáticasaplicadasqueseimparteenlaeducaciónmediasuperior tecnológica.elestudiosesitúaenelcentrodebachilleratotecnológicoydeservicios número 94 (CBTIS Nº 94) de Pátzcuaro, Michoacán. Los pasos a desarrollar en este estudiosonlossiguientes. Seleccióndeunamuestra. Aplicacióndelmismoexamenaungrupodeexpertos. Diseñoeimplementacióndelasecuenciadidáctica. Aplicacióndeunaevaluaciónalgrupodeestudio. Análisisderesultados ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

6 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas Conclusiones. Delamuestra:Grupopiloto Lamuestraesseudoaleatoria,yfueseleccionadadeuntotalde10grupos,alumnosdel CBTIS No. 94, consta de 190 alumnos pertenecientes a 5 grupos (38,34,47,42 y 29 alumnos)delsextosemestredelnivelmediosuperiorconedadesentre1718años.estos alumnoshabíancursadoálgebra,geometríaplanaeuclidiana,trigonometríaygeometría analítica,uncursodecálculoenelqueabordaronelconceptodederivadahastaalgunas desusaplicacionescomoesobtenermáximosymínimosdeunafunción.dosgruposson del bachillerato físico matemáticas cursando paralelamente la especialidad de computación,ytresdequímicobiológicascursandoparalelamentelaespecialidadde puericultura.lasecuenciaseaplicaradentrodeloscontenidosdelasegundaunidaddel cursomatemáticaaplicadaquecorrespondeaaplicacionesdelcálculodiferencial. GrupoControl Estegrupodeexpertosconstade17profesoresdematemáticasdediferentesniveles,2 nivel medio, 10 nivel medio superior, 5 nivel superior. Todos ellos inscritos en un programademaestríaenmatemáticaeducativa,dondecomopartedelcursosoftware Educativosqueincluyeelprogramaseleaplicoelmismoexamendiagnósticoqueal grupodeestudio. ExamenDiagnostico El examen consta de cuatro preguntas, la primer pregunta fue tomada del examen EducationTestingService(1997)mejorconocidoscomoexámenesGRE(preguntano.5) quedemandadeldominioprofundodelconceptodeladerivada.lasegundapregunta investiga si el estudiante conoce el concepto de recta tangente a una función, y el 1171 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

7 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 dominiodelconceptodependiente.latercerapreguntainvestigasisesaberelacionarla pendientecerodeunalínearectatangentecomoposiblesmáximosymínimos.ylacuarta pregunta es muy explicita Cuál es su interpretación de la derivada de f(x) geométricamenteenelpunto(x 1,f(x 1 ))? Resultados La siguiente tabal muestra los resultados del examen diagnóstico, donde podemos observarqueelreactivo4tuvosolamente2aciertosyelreactivo3fueelquemás aciertostubo23,sinembargolacalificaciónpromediodetodalamuestrafuede7/100es decir0.07unacalificaciónquedejamuchoquedesearyaquedebemosconsiderarque estosalumnosyacursaronunamateriadecalculodiferencial.podemostambiénobservar queelgrupobtuvounmejordesempeñoquelosotrosgrupossinembargosucalificación promedioesde1.6quedeningúnmodoesalentador. Grupo Reactivo1 Reactivo2 Reactivo3 Reactivo4 Promedio B /100 C /100 E /100 F /100 G /100 TOTAL Tabla1.Examendiagnósticoaplicadoagrupoexperimenta Paravalidarelexamenycompararlosaprovechamientosdelgrupoexperimentalse aplicoelexamenaungrupodeexpertoselcualyasedescribióaliniciodelametodología, losresultadosaparecenacontinuaciónenlatabla2. Reactivo1 Reactivo1 Reactivo1 Reactivo Tabla2:Examendiagnósticoaplicadoaexpertos 1172 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

8 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas Elpromediodelgrupodeexpertosesde65/100esdecir6.5enlaescaladeunoadiez. Porloquepodemosconsiderarvalidoelexamen. Losresultadosqueseobtuvierondespuésdequeelgrupofuesometidoalasecuencia didáctica,(cabeseñalarqueelexamenaplicadofuesimilaraldiagnostico,sinembargono fueronlosmismosreactivos)semuestranenlatabla3. GRUPO Reactivo1 Reactivo2 Reactivo3 Reactivo4 Promedio B /100 C /100 E /100 F /100 G /100 TOTAL Tabla3.Examenaplicadoalgrupoexperimentaldespuésdelasecuenciadidáctica Elpromediogeneraldelamuestrafue54de100esdecirun5.4queesmuchomayordel 0.07 que se obtuvo antes de la experimentación en consideración con el grupo de expertospodemosconsiderarquelasecuenciafueunéxito. Conclusiones Seelaborounapropuestadidácticaatravésdeunasecuenciadidácticaquerecurrióalas ideas de Fermat y al uso el software de geometría dinámica GeoGebra para el tratamientodelconceptodederivadacomounacercamientobastanteplausiblesobre todo si hablamos de estudiantes de bachillerato, particularmente el concepto de DERIVADAqueesimprescindibleparalamodelacióndefenómenosysuaplicaciónenel cursodematemáticaaplicada.podemostambiénseñalarquelahipótesisdeseacepta pueslamayoría86%delosestudiantesinteriorizaronelconceptodederivada,asícomo deotrosconceptossubyacentescomoeseldependiente,línearecta,tangente,secante. Losalumnospudieroninterpretargeométricamenteelconceptodederivadaasícomosu 1173 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

9 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 aplicación en la resolución de problemas de optimización. En los resultados pudimos observarque164alumnosde190pudieroncontestarlapregunta4quedirectamente cuestiona el concepto de la derivada, lo que antes de la secuencia didáctica sólo 2 alumnoscontestaroncorrectamente.porotrapartepodemosobservarquelosalumnos delgrupobqueeneliniciomostrarontenermayoresconocimientoseneltema,después de la experimentación superaron en la calificación promedio a los expertos, ya que debemosrecordarqueelpromediodelosexpertosfuede6.5mientrasquelosalumnos delgrupobfuede7.4,unasdelasexplicacionesaestediferenciaesqueestegrupotiene conocimientosdecomputaciónysubachilleratoesdefísicomatemáticas,encambiolos otrosgrupossondelaespecialidaddepuericulturayelbachilleratoesquímicobiológicas. Esteacercamientosindudaserádegranayudaparaeldesempeñodelosalumnosy alumnasensuestudiodelaintegral.elpromediogeneralfuede5.4quenoesdeseable perosuperaenmuchoaloobtenidoenelexamendiagnóstico. Quenosquedaenel horizonte?mejorarlassecuenciasdidácticas,yexperimentarconalumnosusandouna metodología donde los estudiantes puedan contar con una computadora para que puedaninteraccionarmásconelsoftware,porloqueesimportantediseñaractividades enesesentido. Referenciasbibliográficas ArcaviA.,HadasN.(2000)Computermediantedlearnig:Anexampleofanapproach; InternationalJournalofComputersforMathematicalLearning, ArcosQuezadaJ.I.(2006)ElcálculoinfinitesimalylaenseñanzadelcálculoenelsigloXXI. EnSepúlveda,L.A.,García,P.R.,Guerrero,M.L.(Eds.).Memorias.XIVEncuentrode ProfesoresdeMatemáticas,5157Morelia:UMSNH ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

10 Categoría4.Usodelatecnologíaenelprocesodeaprendizajedelasmatemáticas ConsejodelSistemaNacionaldeEducaciónTecnológica(COSNET)(2004)Modelodela EducaciónMediaSuperiorTecnológica, Ed. Editores e impresores FOC S. A. De C. V. México. Wolfgang,F.(1997)TriángulosyCuadriláterosInscritosenunCírculo,Unaaplicacióndel softwareeducativo CabriGéometre EducaciónMatemática9(2) Grabiner,J.V.(1983).TheChangingConceptofChange:ThederivatefromFermatto Weierstrass.MathematicsMagazine,56(4) Education Testing Service (1997) Graduate Record Examinations Mathematics Test, Author.PrincetonN.J Hohenwarter M. (2007) GeoGebra (Versión 3.0) [Software de cómputo] Salzburgo, Austria. Subsecretaria de Educación e Investigación Tecnológicas (SEIT) SEP (2004) Reforma CurriculardelBachilleratoTecnológicoProgramadeEstudios.México. Vinner,S.(1992)TheAvoidanceofVisualConsiderationsinCalculusstudentsFocuson LearningProblemasinMathematics,11(1989) ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.