Electromagnetismo Radiación electromagnética 1 Introducción. Generalidades

Transcripción

1 Electromagnetismo 18 Introducción. Generalidades

2 Plan de la clase: Electromagnetismo 18 1 Ecuaciones de Maxwell en un recinto con fuentes Calibración 3 Ecuación de ondas para los potenciales electrodinámicos 4 Potenciales electrodinámicos radiados

3 1 Ecuaciones de Maxwell en un recinto con fuentes En un recinto del espacio vacío que contiene fuentes de campo, las ecs. de Maxwell son: ( r, t) E( r, t) ; H( r, t) H( r, t) E( r, t) E( r, t) ; H( r, t) J( r, t) t t Estas ecuaciones pueden reescribirse en función de los potenciales electrodinámicos (r,t) y A(r,t), que se definen a partir de ellas mismas: Ar (, t) Potencial vectorial: H( r, t) H( r, t) Potencial escalar: (, t) (, t) (, t) H r (, t) A r E r t E r t Ar (, t) E( r, t) ( r, t) t 3

4 Calibración A( r, ) (, ) (, ) t A r t H r t ; E( r, t) ( r, t) t El potencial vectorial no está unívocamente definido porque: 1) No hay en el EM clásico condición sobre A; ) Dos potenciales: A( r, t) y A( r, t) A( r, t) ( r, t) llevan al mismo H. Pero: A( r, t) A( r, t) ( r, t) E( r, t) ( r, t) ( r, t) t t t ( r, t) A( r, t) E( r, t) ( r, t) t t y los potenciales: A( r, t) y A( r, t) A( r, t) ( r, t) ( r, t) y ( r, t) ( r, t) ( r, t) t Llevan a los mismos campos y son indistinguibles desde el punto de vista experimental. Cada opción se denomina una calibración (gauge) y el hecho que distintas calibraciones lleven a los mismos resultados se denomina invariancia de calibración. 4

5 3 Ecuación de ondas para los potenciales electrodinámicos A( r, ) (, ) (, ) t A r t H r t ; E( r, t) ( r, t) t De la 1ra. ec. de Maxwell: ( r, t) A Er (, t) A t t De la 4ta. ec. de Maxwell: (, t) 1 (, t) E r (, t) A H r J r A J t t t reescribimos: y operamos algebraicamente: A A A t A A J t t A A A t J A 5

6 3 Ecuación de ondas para los potenciales electrodinámicos A A ; A A J t t t En estas ecuaciones no se conoce la divergencia de A. La elección de su valor se denomina también una calibración. Elegimos la llamada calibración de Lorenz: A t Con la que obtenemos sendas ecuaciones de ondas inhomogéneas para los dos potenciales: 1 A 1 A J ; ; c 1 c t c t Físicamente, las soluciones de las ecs. diferenciales homogéneas representan campos creados por fuentes fuera del recinto de integración. Las soluciones particulares corresponden a campos creados por las fuentes dentro del recinto. Soluciones particulares de estas ecs. diferenciales son las siguientes: 1 ( r, t) ( r, t) dv 4 V R con t t R c Jr (, t) Ar (, t) dv 4 V R 6

7 4 Potenciales electrodinámicos radiados 1 ( r, t) J( r, t) t dv t dv t t R c ( r, ) ; A( r, ) con 4 V R 4 V R Éstos se denominan potenciales retardados, porque hay un retardo entre el instante en que se produce un cambio en la fuente y el instante en que ese cambio se refleja en el valor del potencial creado. Este retardo proviene de la propagación de la perturbación que produce el cambio con la velocidad finita c. Estas ecuaciones representan la generación de ondas electromagnéticas a partir de sus fuentes. Las ondas EM transportan energía e información desde las fuentes hacia otros sistemas. En el dominio de la frecuencia, los potenciales y las fuentes se describen mediante funciones armónicas: jt jt ( r, t) s( r) e ( r, t) s( r) e ; jt jt J( r, t) Js( r) e A( r, t) As( r) e Como las funciones e jt son linealmente independientes para frecuencias diferentes, la frecuencia del campo radiado debe ser la misma que la de las variaciones de las fuentes. 7

8 4 Potenciales electrodinámicos radiados 1 ( r, t) J( r, t) t dv t dv t t R c ( r, ) ; A( r, ) con 4 V R 4 V R De la expresión de A se observa que existe generación de ondas cuando la densidad de corriente depende del tiempo. Una corriente dependiente del tiempo siempre implica cargas aceleradas. Es posible demostrar que hay emisión de radiación si y sólo si las cargas de la fuente están aceleradas. Debemos notar que la circulación de una corriente estacionaria (CC) en un conductor recto implica cargas en movimiento uniforme y no hay radiación, pero si circula en un conductor curvo implica cargas aceleradas y ahora sí hay radiación. Además de su aplicación a antenas, la emisión no intencionada de radiación de un circuito (habitualmente por falla del diseño y/o la implementación) es uno de los problemas más serios en la electrónica moderna porque puede interferir con el funcionamiento de otro equipo o instalación cercano. 8

9 Nuestro tratamiento de la emisión de radiación electromagnética tiene como principal objetivo el estudio de sistemas radiantes de uso práctico en la ingeniería eléctrica. Por una parte queremos describir sistemas que emiten radiación no intencional y que son posibles fuentes de interferencia sobre otros equipos y sistemas y por la otra analizar sistemas que emiten radiación intencional: equipos de comunicaciones, de telemetría, de control, etc. El dispositivo básico de los sistemas que usan campos EM radiantes se conoce como radiador o antena. Su objetivo es enviar o recibir energía y/o información a distancia en forma de ondas electromagnéticas. Se puede pensar una antena como un dispositivo para adaptar impedancias entre la línea o guía de alimentación y el espacio. Una antena es un transductor entre una onda guiada y una onda en el espacio libre 9

10 Resistencia de radiación Cuando la antena actúa como emisora, envía energía al espacio que la rodea. Se puede modelar esta entrega de energía con una analogía circuital donde la energía radiada se disipa por efecto Joule en una hipotética resistencia de radiación. La antena presenta al circuito al que está conectada una impedancia de antena ya que también habrá efectos reactivos a considerar. Esta impedancia, cuya parte real es la resistencia de radiación + la resistencia óhmica de los elementos metálicos de la antena, depende habitualmente de la frecuencia. La impedancia de antena es uno de los parámetros de importancia en el diseño de una antena, ya que se debe lograr una buena adaptación entre la antena y el sistema al que está conectada dentro de todo el ancho de banda necesario. 1

11 Diagrama de radiación Un parámetro importante de una antena transmisora es la distribución espacial de la radiación que emite. Sabemos que mediante interferencia de radiadores coherentes podemos obtener una distribución no uniforme de la radiación. Esto permite guiar ondas aún el espacio libre sin fronteras. Las gráficas de campo o densidad de potencia radiada según las direcciones del espacio son los llamados diagramas de radiación. Estos diagramas también describen las propiedades anisótropas de recepción de antenas receptoras, de forma que son características de gran interés en el diseño de un enlace de radiocomunicaciones. Habitualmente el diagrama de radiación de una antena es un diagrama tridimensional o un grupo de secciones sobre planos que definan las características de la antena. Normalmente se trata de un diagrama en coordenadas esféricas y secciones sobre planos horizontales (a constante) o verticales (a constante). 11

12 Diagrama de radiación En la figura se muestran diagramas polares horizontales del campo y la densidad de potencia radiados por un arreglo de radiadores ubicados sobre el eje vertical. También se pueden dibujar los diagramas en coordenadas cartesianas, con ordenada proporcional a la amplitud del campo o a la densidad media de potencia radiada, en escala normal o en escala logarítmica (en db), como se ilustra en las figuras para el mismo sistema de las gráficas polares. 1

13 Diagrama de radiación El diagrama de radiación consiste habitualmente en una serie de lóbulos. En general el diagrama de radiación de campo revela con más detalle la estructura lobular de la radiación, aunque el diagrama de densidad de potencia describe en forma más realista la distribución anisotrópa de la energía radiada. En lo que sigue, nos referiremos al diagrama de potencia. Hay lóbulos principales, en las direcciones de máxima radiación, y lóbulos secundarios, que se hacen más evidentes en diagramas logarítmicos. El lóbulo se define por su amplitud y su ancho de haz de potencia media para el cual la densidad de potencia cae a la mitad del valor máximo para el lóbulo, y los campos a. 1 13

14 Diagrama de radiación y potencia media radiada La densidad de potencia radiada por una antena transmisora se expresa en función de la posición mediante el vector de Poynting asociado a los campos emitidos. El vector de Poynting medio emitido por la antena será: 1 * N Re EH La potencia media radiada por la antena es el flujo del vector de Poynting medio a través de una superficie cerrada que contiene a la antena: nˆ ds La superficie de integración es cualquiera y entonces se elige por conveniencia matemática una esfera centrada en el centro de la antena: P N nˆ ds N r d S donde d es el ángulo sólido elemental subtendido por el elemento ds. 4 P r N S 14

15 Diagrama de radiación y potencia media radiada ˆ P N nds Nr r d S 4 A partir de este cálculo podemos hallar una expresión para el diagrama de radiación de potencia. La potencia media radiada por unidad de ángulo sólido por la antena es el integrando de la expresión hallada : d P d P r Nr f (, ) P d f (, ) d d d 4 4 La expresión f (, ) describe la anisotropía de la radiación emitida por la antena. Es una función de la dirección en el espacio descripta por los ángulos de un referencial esférico centrado en la antena. Se la denomina diagrama de radiación absoluto de la antena. 15

16 Diagrama de radiación y potencia media radiada d P d P r Nr f (, ) P d f (, ) d d d 4 4 En la mayoría de los casos no nos interesa el valor absoluto de la potencia media radiada en cada dirección, sino su valor relativo al máximo, esto es, a la potencia media en el máximo del lóbulo principal. Esta relación es el diagrama de radiación relativo que habitualmente se grafica para la antena: d P d Nr F(, ) ; F(, ) 1 d P d N max r max Entonces podemos escribir: d P d P P d F(, ) d d d 4 max 4 16

17 Área de haz Se define como área de haz A de una antena transmisora al ángulo sobre el cual se concentraría la radiación si la potencia fuera de valor igual al máximo dentro de este ángulo: d P P A d Pero: y tenemos: P d P d d P F(, ) d d P A d d d 4 max 4 4 El área de haz mide la anisotropía de la radiación. Es menor cuanto más concentrada se halla la radiación en un ángulo pequeño. En ocasiones se separa la contribución de lóbulos mayores y menores: lo que lleva a definir la eficiencia del haz principal como: max F(, ) d ; 4 A A M A m max M / M A 17

18 Directividad, ganancia y eficiencia La directividad de una antena transmisora es la relación entre la densidad de potencia máxima radiada y la densidad de potencia emitida promediada sobre una esfera. Resulta en un número igual o mayor que 1, que mide el grado de anisotropía de la radiación. Una antena muy directiva concentra su radiación en un ángulo sólido pequeño. d P d P / max A 4 Entonces, por definición: D P / 4 P / 4 y vemos que la directividad es inversamente proporcional al ancho de haz. Se denomina ganancia de la antena a: G k D donde k es la eficiencia de la antena, que está relacionada con las pérdidas por efecto Joule en los conductores de la antena. Si (idealmente) la antena no tiene pérdidas óhmicas, k = 1 y la ganancia coincide con la directividad. A 18

19 Impedancia de entrada La impedancia de entrada o impedancia de antena es la impedancia que la antena presenta al circuito de alimentación. En general es compleja: Z A = R A + j X A y la parte resistiva se puede descomponer en la parte R j que representa las pérdidas óhmicas en el circuito de la antena y la resistencia de radiación R r, asociada a la potencia emitida: R A = R j + R r. La impedancia de entrada de la antena es el parámetro fundamental en la adaptación de la antena al circuito alimentador y es frecuente que su variación con la frecuencia sea uno de los parámetros de diseño más importantes. Para máxima transferencia de potencia se puede demostrar que la potencia emitida por el generador conectado a la antena es el doble de la potencia que la antena recibe, parte de la cual se pierde en el metal de la antena y los circuitos asociados. Si idealmente la antena no tuviera pérdidas el generador debería suministrar el doble de la potencia que se quiere emitir en la condición de máxima transferencia de potencia. 19

20 Abertura o área efectiva (antenas receptoras) Cuando la antena es receptora, recibe una cierta densidad de potencia electromagnética, que convierte en energía eléctrica en un circuito. La relación entre la potencia eléctrica útil y la densidad de potencia recibida tiene dimensiones de área, y se denomina área o abertura efectiva de la antena: Ae Pe Ni La abertura efectiva de la antena significa el área efectiva que presenta a la radiación incidente, como si fuera una abertura por donde pasa toda la potencia recibida. La abertura efectiva de la antena resume dos características: la anisotropía o directividad de la antena receptora y la eficiencia de conversión de energía radiante en potencia eléctrica en un circuito. Si suponemos que esta eficiencia es máxima (unitaria, cuando no hay pérdidas), la abertura efectiva se denomina abertura efectiva máxima.

21 Abertura o área efectiva (antenas receptoras) Ae Pe Ni Por ejemplo, si la antena es un alambre recto cuya longitud es pequeña frente a la longitud de onda de la radiación, que incide normal al alambre, la abertura efectiva máxima es: P L Ae M N 4Rr Si la antena es una espira, nuevamente de dimensiones pequeñas frente a la longitud de onda de la radiación incidente, que incide según la normal a la espira, tenemos: P S Ae m N Rr Estos cálculos han usado numerosas aproximaciones que no son válidas en sistemas de antenas reales. En estos casos se deben usar métodos numéricos para obtener cifras adecuadas. Una misma antena puede utilizarse como transmisora y receptora. Por lo tanto, sus características de transmisión y recepción están ligadas. Las relaciones más importantes son: 4 4 Ae ; M A D A e G A M e 1