Electromagnetismo 2018

Transcripción

1 Electromagnetismo 218

2 Electromagnetismo 218 Cuerpo docente: Ing. Juan C. Fernandez, Profesor Asociado Dr. Leonardo Rey Vega, Profesor Adjunto Ing. Pablo Granell, Ayud. 1ro. Ing. Julián Mateu Santos, Ayud. 1ro. Horario: Lunes hs., Aula 32 - jueves hs., Aula 313 Web: Fechas importantes: Desinscripción a cursada: 2/8 al 25/8. SÓLO SI ESTÁN SEGUROS DE NO CURSAR. NO SE PUEDE VOLVER A INSCRIBIR AL ALUMNO BORRADO 1er. parcial: 1ra. Instancia: Jueves 25/1 18 hs. 2da. Instancia: Sábado 17/11 9 hs. 3ra. Instancia: Semana del 1/12 Fecha, hora y aula a confirmar

3 Electromagnetismo 218 Contenidos: Parte 1 Modelos en baja frecuencia Electrostática y magnetostática, corrientes estacionarias Materiales magnéticos Electrodinámica y ecuaciones de Maxwell Líneas de Transmisión Métodos numéricos en alta frecuencia Parte 2 Modelos en alta frecuencia Propagación e incidencia de ondas electromagnéticas Ondas guiadas Radiación electromagnética y antenas Métodos numéricos en alta frecuencia Bibliografía: 1) Ingeniería Electromagnética I - Modelos estáticos y circuitales, Juan C. Fernandez, EUDEBA, Bs. As., ) Fields and Waves in Communication Electronics, Simon Ramo, John R. Whinnery and Theodore Van Duzer, 3rd. Ed., John Wiley and Sons, ) Electromagnetic Waves & Antennas, Sofocles Orfanidis, 216. Disponible en

4 Electromagnetismo Introducción Modelos generales Electrostática en el vacío 1

5 Plan de la clase: Electromagnetismo 218 Introducción 1 Ecuaciones de Maxwell 2 Representación en el dominio del tiempo y de la frecuencia 3 Ecuaciones de Maxwell. Soluciones generales: Vacío 4 Entornos de modelación en el dominio de la frecuencia Electrostática en el vacío 1 1 Carga eléctrica 2 Campo electrostático en el vacío 3 Principio de superposición 4 Campo de distribuciones de carga 5 Potencial electrostático 5

6 Introducción 1 Ecuaciones de Maxwell El electromagnetismo es una teoría de campos, es decir, las explicaciones y predicciones que provee se basan en magnitudes físicas cuya descripción matemática son campos vectoriales, esto es, funciones vectoriales que dependen de la posición en el espacio y del tiempo. Todos los fenómenos electromagnéticos clásicos (no cuánticos) se pueden describir a partir de las ecuaciones de Maxwell: D( r, t) ( r, t) Br (, t) Br (, t) Er (, t) t Dr (, t) H( r, t) J( r, t) t y la ley de fuerzas de Lorentz: (ley de Gauss eléctrica) (ley de Gauss magnética) (ley de Faraday) (ley de Maxwell-Ampére) F qe v B que expresa la fuerza sobre una carga q que se mueve con velocidad v respecto del referencial donde se observan los campos E y B. 6

7 1 Ecuaciones de Maxwell Introducción D( r, t) ( r, t) Br (, t) Br (, t) Er (, t) t Dr (, t) H( r, t) J( r, t) t Campos Problema directo Fuentes E: campo eléctrico (V/m), D: campo de desplazamiento (C/m 2 ), H: campo magnético (A/m), B: campo de inducción magnética (T) : densidad de carga eléctrica (C/m 3 ), J: densidad de corriente (A/m 2 ) e Problema inverso J( r, t) N( r, t) e v( r, t) Los campos están ligados entre sí. Las fuentes están ligadas entre sí: ( r, t) Jr (, t) (ecuación de continuidad). t 19 C ( r, t) N( r, t) e 7

8 Introducción 2 Representación en el dominio del tiempo y de la frecuencia En la representación en el dominio del tiempo campos y fuentes están expresados como funciones de la posición y del tiempo: F F( r, t) F( x, y, z, t) donde F es una componente cualquiera de los campos. Los métodos de resolución de las ecuaciones en el dominio del tiempo son escasos y complicados. Sólo recientemente se han desarrollado métodos numéricos eficientes de resolución de las ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo. Como las ecuaciones de Maxwell son lineales, una forma de simplificar su resolución es utilizar la llamada representación en el dominio de la frecuencia. Esta representación utiliza los métodos de Fourier, que son un caso particular de la representación de funciones por un conjunto de funciones ortogonales. 8

9 Introducción 2 Representación en el dominio del tiempo y de la frecuencia Representación en el dominio de la frecuencia. Esta representación utiliza los métodos de Fourier, que son un caso particular de la representación de funciones por un conjunto de funciones ortogonales. Funciones periódicas En el caso en que la función del tiempo sea periódica (la función se repite cada T segundos, T es el periodo), la representación de Fourier es una serie de Fourier: jn t F t F t e ( r, ) ( r, ) ( r, ) ( r) donde j es la unidad imaginaria y n un entero. En este caso el espectro consiste en el conjunto numerable (discreto aunque infinito) de coeficientes n (r) para cada armónica de frecuencia f n y frecuencia angular n : f es la llamada frecuencia fundamental del desarrollo. n 2 f : f n f con f 1 T n n n n 9

10 Introducción 2 Representación en el dominio del tiempo y de la frecuencia Representación en el dominio de la frecuencia. Funciones periódicas jn F( r, t) ( r, ) F( r, t) ( r) e Los coeficientes de la serie de Fourier se calculan con la expresión: 1 ( r) (, ) T r T jnt n F t e dt La representación de Fourier de una función periódica consiste entonces en un conjunto numerable de armónicas de frecuencia múltiplo de la frecuencia fundamental f. Funciones no periódicas En el caso en que la función del tiempo sea aperiódica (o no periódica) la representación de Fourier es una integral de Fourier: n 1 jt F( r, t) ( r, ) F( r, t) ( r, ) e d 2 n t 1

11 Introducción 2 Representación en el dominio del tiempo y de la frecuencia Representación en el dominio de la frecuencia. Funciones no periódicas 1 jt F( r, t) ( r, ) F( r, t) ( r, ) e d 2 Nuevamente la representación de Fourier presenta a la función F(r, t) como una suma o superposición de funciones armónicas, con una función de peso (r,) que depende de la variable frecuencia angular (ahora continua). La diferencia con la serie de Fourier es que ahora hay un conjunto no numerable de armónicas en la representación un continuo en frecuencia, lo que transforma la suma en una integral. La función de peso (r,) se conoce como la transformada de Fourier de la función F(r,t), que a su vez se llama antitransformada de Fourier de la función (r,). La transformada de Fourier de la función F(r, t) se puede calcular mediante la expresión inversa de la anterior: 1 jt F( r, t) ( r, ) ( r, ) F( r, t) e dt 2 Su módulo o amplitud (r,) se conoce como espectro de la señal. 11

12 Introducción 2 Representación en el dominio del tiempo y de la frecuencia Representación en el dominio de la frecuencia. La representación en el dominio de la frecuencia es útil porque los campos presentan relaciones materiales en medios: D( r, ) ( ) E( r, ) ( ) : permitividad B( r, ) ( ) H( r, ) ( ) : permeabilidad J( r, ) ( ) E( r, ) ( ) : conductividad donde los parámetros materiales dependen de la frecuencia. Además la derivadas temporales se transforman como: F F( r, t) ( r, ) j t las ecs. de Maxwell se escriben en el dominio de la frecuencia: D( r, ) ( r, ) Br (, ) E( r, ) j B( r, ) H( r, ) j D( r, ) J( r, ) 12

13 Introducción 2 Representación en el dominio del tiempo y de la frecuencia Representación en el dominio de la frecuencia. Cuando los parámetros materiales no dependen de la posición (medios homogéneos) ni del tiempo (que es la situación habitual), las ecs. de Maxwell se escriben: ( r, ) Er (, ) ( ) Hr (, ) E( r, ) j( ) H( r, ) H( r, ) ( ) j ( ) E( r, ) La representación en el dominio de la frecuencia reduce el número de incógnitas y elimina la dependencia temporal explícita de las ecuaciones diferenciales. Un caso particular importante es el medio vacío (el aire se puede considerarse como vacío, desde el punto de vista electromagnético) donde los parámetros constitutivos son constantes: F m 4 1 H m 12 7 lo que simplifica aún más la resolución de las ecuaciones de Maxwell. 13

14 Introducción 3 Ecuaciones de Maxwell. Soluciones generales: Vacío En el vacío es conveniente introducir los llamados potenciales electrodinámicos o potenciales retardados: vectorial A y escalar, para hallar una solución general de las ecuaciones de Maxwell. En función de estos potenciales se deduce que los campos se pueden expresar como: Ar (, t) 1 E( r, t) ( r, t) ; H( r, t) A( r, t) t Estos potenciales no son independientes entre sí, sino que están relacionados por la llamada calibración de Lorenz: (, t) (, t) r Ar t Las ecs. de Maxwell llevan a las siguientes ecs. diferenciales para los potenciales electrodinámicos: ( r, t) ( r, t) ( r, t) 2 2 c t 4 ; c A( r, t) J( r, t) Ar (, t) 2 2 c t 4 14

15 Introducción 3 Ecuaciones de Maxwell. Soluciones generales: Vacío Ar (, t) 1 E( r, t) ( r, t) ; H( r, t) A( r, t) t ( r, t) ( r, t) ( r, t) 2 2 c t 4 ; c A( r, t) J( r, t) Ar (, t) 2 2 c t 4 Estas ecuaciones tienen las soluciones particulares: 1 ( r, t) ( r, t) dv 4 V R ; t t R c ; R R r r Jr (, t) Ar (, t) dv 4 V R Los campos se miden u observan en el punto campo, definido por sus coordenadas espacio-temporales (r, t), mientras que las integrales se realizan sobre los puntos fuentes, de coordenadas (r', t'). Se usa esta doble notación para distinguir entre ambos conjuntos de coordenadas porque el denominador de los integrandos usa la distancia R entre punto fuente y punto campo. 15

16 Introducción 3 Ecuaciones de Maxwell. Soluciones generales: Vacío 1 ( r, t) ( r, t) dv 4 V R ; t t R c ; R R r r Jr (, t) Ar (, t) dv 4 V R La figura ilustra la notación de punto fuente y punto campo. La diferencia o retardo de tiempos t t se interpreta como el tiempo que tarda una perturbación en la fuente en producir el cambio en la posición de observación del campo. Este retardo se produce porque la perturbación viaja a la velocidad de las ondas electromagnéticas c. Maxwell obtuvo mediante elaboraciones teóricas este resultado en 1864 y 8 como: c m s 31 m s es un valor similar al valor medido de la velocidad de la luz en el vacío, formuló la tesis de que la luz era un fenómeno electromagnético. Recién en 1887 Hertz corroboró experimentalmente la existencia de las ondas electromagnéticas y además que su velocidad es la de la luz. 16

17 Introducción 4 Entornos de modelación en el dominio de la frecuencia Los modelos en el dominio de la frecuencia describen el comportamiento del campo dominante en un cierto ancho de banda. Hay tres entornos de modelado de interés: Modelo estático: fuentes y campos no dependen del tiempo. El espectro de Fourier se reduce a la frecuencia cero. E( r) ( r) E( r) Ecs. de Maxwell: H( r) H( r) J( r) Relación con los potenciales electrodinámicos: 1 E( r) ( r) H( r, t) A( r, t) Potenciales electrodinámicos: 2 ( r) 1 ( r) ( r) ( r) dv 4 R V 2 Jr ( ) A( r) J( r) A( r) dv 4 R Condiciones auxiliares (continuidad, calibración): V J( r) ; A( r) 17

18 Introducción 4 Entornos de modelación en el dominio de la frecuencia Modelo cuasi-estático: fuentes y campos dependen muy lentamente del tiempo. El espectro de Fourier se concentra en las frecuencias más bajas. Es ( r, ) s ( r, ) Es ( r, ) jh s ( r, ) Ecs. de Maxwell: Hs ( r, ) Hs ( r, ) j Es ( r, ) J s ( r, ) Relación con los potenciales electrodinámicos: E ( r, ) ( r, ) j A ( r, ) H ( r, ) A ( r, ) s s s s s Potenciales electrodinámicos: 2 s( r, ) 1 s( r, ) s( r, ) s( r, ) dv 4 R 2 Js ( r, ) As ( r, ) J s ( r, ) As ( r, ) dv 4 R V Condiciones auxiliares (continuidad, calibración): J ( r, ) j ( r, ) ; A ( r, ) j ( r, ) s s s s En el caso cuasiestático: : D 1 donde D es la máxima dimensión del equipo, sistema o dispositivo donde se observan los campos y la mínima longitud de onda del espectro del campo. 18 V

19 Introducción 4 Entornos de modelación en el dominio de la frecuencia Modelo cuasi-estático La siguiente tabla muestra algunos ejemplos de distintas situaciones y sus frecuencias típicas: Frecuencia Long. onda /1 Comentarios 5 Hz 6 Km 6 Km Frecuencia industrial 1 MHz 3 m 3 m Radios AM (MF) 1 MHz 3 m 3 cm Radios FM (VHF) 1 GHz 3 cm 3 cm Telefonía celular (UHF) Hz.56 m 56 nm Máxima respuesta del ojo (luz verde) El modelo cuasi-estático se puede aplicar para equipos e instalaciones hasta frecuencias de microondas, según el tamaño del sistema a analizar. En el caso de las aplicaciones de campos, se usan como aproximación las ecuaciones de los campos estáticos. 19

20 Introducción 4 Entornos de modelación en el dominio de la frecuencia Modelo cuasi-estático: Este modelo incorpora dos sub-modelos en sus aplicaciones circuitales: Si las tres dimensiones del sistema cumplen la condición se aplica la teoría de circuitos para modelar el sistema mediante elementos de parámetros concentrados (resistores, capacitores, inductores, etc.). Si dos de las tres dimensiones del sistema fuente de campo son pequeñas frente a la mínima longitud de onda del espectro de Fourier de la fuente, se modela al sistema como una cascada de elementos de longitud infinitesimal a lo largo de la dimensión que no cumple la condición cuasi-estática. Como cada elemento de la cascada cumple esta condición, se lo modela mediante un circuito equivalente. Se tiene entonces un modelo de parámetros distribuidos. El caso típico es el de las líneas de transmisión. Modelo general: fuentes y campos dependen del tiempo sin restricciones. El espectro de Fourier es cualquiera. Se deben resolver las ecuaciones generales, lo que requiere habitualmente modelos numéricos. 2

21 1 Carga eléctrica Electrostática en el vacío 1 Interacción eléctrica: Atracción o repulsión. Se describe por el signo de las cargas La carga de un cuerpo cargado es un múltiplo de la carga del electrón: Contacto entre cuerpos cargados -> transferencia de carga. Triboelectricidad No contacto: Inducción electrostática -> Redistribución de la carga. Conductores y aisladores (dieléctricos). e C 21

22 Electrostática en el vacío 1 2 Campo electrostático en el vacío En general: En el vacío: E( r) ( r) Er ( ) Unidades: [E] = V/m Ley de Gauss D( r) ( r) ; E( r) D r 12 ( ) E( r) ; Fm : sólo fuentes escalares : conservativo o irrotacional (sin fuentes vectoriales) E( r) ( r) D( r) n ds QV En el vacío: QV E () r n ˆ ds S ˆ S 22

23 Electrostática en el vacío 1 Ejemplo: Campo de carga puntual Noción de carga puntual Simetría esférica (las magnitudes físicas que describen el comportamiento de un sistema dependen sólo de la distancia a un punto (el comportamiento es isótropo en el espacio) se dice que el sistema tiene simetría esférica) Qrˆ Qr Aplicamos la ley de Gauss para obtener: Er () r 4 r Si elegimos un sistema de coordenadas donde la carga puntual no esté en el origen, la distancia entre la carga fuente y el punto de observación está dada por: R rr Entonces la expresión del campo eléctrico se transforma convirtiendo r R: Q Rˆ Q R E( r) R R 4 23

24 Electrostática en el vacío 1 3 Principio de superposición El efecto obtenido por la presencia simultánea de varias causas es la superposición o suma de los efectos causados por cada causa cuando actúa individualmente. E( r) E1( r) E2( r) Q R con E ( r) ; R R r r i i 3 i i i 4 Ri En general: N 1 Qi i E( r) R ; Ri Ri r ri 4 R i1 3 i 24

25 Electrostática en el vacío 1 4 Campo de distribuciones de carga Cuerpo extenso -> distribución de carga: dq densidad de carga ( r) rv dv Dividimos el cuerpo en volúmenes elementales dv, que modelamos como cargas puntuales. Cada elemento genera el campo eléctrico: 2 2 Aplicamos superposición sumando sobre todos los volúmenes elementales: r 1 dq( r) ˆ 1 ( r) de( r) R Rˆ dv ; R r r 4 R 4 R 1 ( r r) E( r) ( r) 3 r r 4 V dv Extensión a distribuciones superficiales y lineales de carga. 25

26 Electrostática en el vacío 1 Campos de distribuciones de alta simetría Esférica: Campo radial (coordenadas esféricas). Depende como 1/r 2. Ejemplo: carga puntual. Cilíndrica: Campo radial (coordenadas cilíndricas). Depende como 1/r. Ejemplo: línea recta cargada uniformemente. Plana: Campo constante. Ejemplo: plano cargado uniformemente. Estas dependencias se usan en la práctica para modelar aproximadamente los campos de distribuciones de carga cuasi-estáticas más complejas: Para distancias suficientemente alejadas, el campo de toda distribución real se parece al creado por una carga puntual de igual valor que la carga neta de la distribución. El campo creado por líneas eléctricas, trazas en circuitos impresos y otras estructuras de carga filiformes se parece al de una línea infinita en puntos cercanos a la distribución y alejados de codos, cortes y, en general, quiebres de la simetría cilíndrica. El campo creado por superficies conductoras cargadas, de curvatura no muy pronunciada, cerca de las mismas se parece al creado por un plano infinito cargado 26

27 Electrostática en el vacío 1 5 Potencial electrostático Campo irrotacional: E( r) E( r) ( r) -> (Potencial electrostático) Queda definido a menos de una constante aditiva: Unidades: [V] = V E( r) E( r) ( r) Como la constante Φ es arbitraria, sólo se pueden definir unívocamente diferencias de potencial entre dos puntos del espacio: B A E dr Para asignar un valor de potencial a un punto es necesario definir convencionalmente un punto de referencia de potencial. Para distribuciones de carga de extensión acotada, el punto de referencia convencional es el infinito o la conexión de tierra o masa del equipo. CA B 27

28 Electrostática en el vacío 1 Potencial electrostático creado por una carga puntual Potenciales de distribuciones de alta simetría Esférica: () r Q 4 R Potencial electrostático creado por un cuerpo extenso 1 ( r) R 1 ( r) E( r) dv ( ) ( ) con ( ) dv 3 4 E r r r R 4 V R V Potencial radial. Depende como 1/r. Ejemplo: carga puntual. Cilíndrica: Potencial radial. Depende como ln(r). Ejemplo: línea recta cargada uniformemente. Plana: Potencial lineal con la distancia normal. Ejemplo: plano cargado uniformemente. 28