TRABAJO Y ENERGÍA. F r

Transcripción

1 TRABAJO Y ENERGÍA. Trabajo mecánico... Trabajo de una fuerza constante... Trabajo de una fuerza variable.. Energía... Energía cinética... Energía potencial.... Energía potencial gravitatoria.... Energía potencial elástica..3. Fuerzas conservativas. Características..4. Energía mecánica. Conservación..5. Fuerzas no conservativas. Rozamiento. 3. Potencia..- TRABAJO MECÁNICO El concepto de trabajo, al igual que vimos con el concepto de fuerza, en la vida diaria es algo intuitivo que solemos asociar con una actividad que requiera esfuerzo, bien físico o intelectual. En Física, en cambio, el concepto de trabajo tiene un significado que no siempre coincide con el del lenguaje común. Para que digamos que se realiza trabajo deben producirse interacciones que produzcan modificaciones en los cuerpos. Nosotros nos centraremos en el trabajo mecánico que se realiza cuando se aplica una fuerza y se produce un desplazamiento. A.. Indica si se está desarrollando trabajo en las siguientes actividades: a) Empujamos fuertemente sobre una pared. b) Levantamos un saco de cemento de 50 kg. c) Un ventilador conectado a un enchufe comienza a girar. d) Clavamos un clavo golpeándolo con un martillo... TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE El trabajo de una fuerza constante cuyo punto de aplicación se mueve sobre una trayectoria rectilínea es el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento: r r W = F. r = F r cos θ θ ( I ) F r El trabajo, por tanto, es una magnitud escalar cuya unidad en el S.I. se llama julio (en honor del científico británico James P. Joule), y es el trabajo que realiza una fuerza de un newton cuando su punto de aplicación se desplaza un metro en la misma dirección y sentido que la fuerza. J = N. m pág.

2 A.. Puede ser nulo el trabajo si se realiza fuerza y hay desplazamiento?. A.3. Puede ser negativo el trabajo que realiza una fuerza?. A.4. Qué trabajo se realiza al sostener un cuerpo de 8 kg de masa a,5 m sobre el suelo durante minuto?. A.5. Un albañil coge un saco de 0 kg de yeso del suelo y lo levanta cargándoselo a la espalda, lo traslada hasta la obra que está a 0 m y una vez allí lo descarga y lo deja en el suelo. En qué caso realiza más trabajo, al levantarlo, al trasladarlo o al bajarlo, suponiendo en todos los casos que lo realiza con velocidad constante?. A.6. Un caballo tira de un carro con una fuerza de.500 N en una dirección que forma 60º con la horizontal. Calcula el trabajo realizado cuando el carro ha recorrido 00 m. Sol: J A.7. Calcula el trabajo que se realiza al elevar un cuerpo de kg de masa hasta una altura de m, con velocidad constante, si: a) Se eleva verticalmente. b) Se eleva por un plano inclinado 30º (considera despreciable el rozamiento). Sol: a) 39, J, b) 39, J A.8. Ahorran trabajo las palancas, las rampas o las poleas?. Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas el trabajo total realizado es la suma de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas y coincide con el trabajo realizado por la fuerza resultante. W T = W ( R v ) = W ( F r ) + W ( F r ) +... De la expresión ( I ) se deduce que el trabajo realizado por una fuerza es igual al trabajo que realiza su componente en la dirección del desplazamiento o componente tangencial ( F t ): r r W( F) = F. r = F r cosθ = F.cosθ. r = Ft. r = W ( F r t ) ; también se puede deducir: W ( F ) = W ( F r t ) + W ( F r n ) = W ( F r t ) + 0 = W ( F r t ) ; ( F r n no realiza trabajo, ya que θ = 90º ) Si representamos gráficamente ( figura ) la componente tangencial frente a la posición ( x ), el trabajo coincide con el área del rectángulo de la gráfica (Ft - x): F t F r n F r W = F X Figura θ F r t t F t = F. cosθ X 0 X A.9. a) Calcula el trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo de 5 kg de masa que desliza 3 m sobre un plano inclinado 30º, siendo 0, el coeficiente de rozamiento. b) Comprueba si el trabajo total coincide con el trabajo realizado por la fuerza resultante. Sol: 48,036 J pág.

3 r r r r Problema resuelto. Un cuerpo experimenta un desplazamiento = 3 i + j + k m bajo la r r r r acción de la fuerza F = 0 i + j 4 k N. Determina el trabajo realizado en ese desplazamiento. r r r r r r r r Solución: W = F. ; W = (0 i + j 4k) (3 i + j + k) = = 3 J.. TRABAJO DE UNA FUERZA VARIABLE En muchas ocasiones varía el módulo (o la dirección) de la fuerza a lo largo del desplazamiento. En estos casos el trabajo realizado no se puede calcular aplicando directamente la ecuación ( I ), y hay que recurrir al cálculo integral o a un método gráfico, que no siempre es fácil, como se observa en la figura (el trabajo coincide con el área encerrada bajo la curva y el eje de abcisas): F t F W W X (posición) X 0 X 0 X L (alargamiento) Figura Figura 3 En otros casos, como el trabajo realizado al estirar o comprimir un muelle una longitud X a partir de su posición de equilibrio, aunque la fuerza es variable ya que depende del alargamiento (según la ley de Hooke: F = k. L = k.x), el método gráfico es sencillo porque el área a calcular corresponde a la de un triángulo (figura 3)..- ENERGÍA W = X F = X k X = k X El concepto de energía también es muy habitual en el lenguaje común. Se suele decir que los cuerpos tienen energía cuando son capaces de realizar un trabajo (transformaciones), y también que la realización de un trabajo supone un consumo de energía. En Ciencia se considera que energía es la capacidad que tienen los cuerpos para realizar transformaciones (realizar un trabajo) en ellos mismos o en otros cuerpos. La unidad de energía en el S.I. será, por tanto, la misma que la de trabajo, es decir, el julio. Cuando un cuerpo realiza trabajo sobre otro, este último adquiere una energía que antes no tenía; por ejemplo, si levantamos un cuerpo hasta una cierta altura, adquiere una capacidad para realizar trabajo cuando nosotros lo soltemos. A.0. Calcula el trabajo que debe hacer un hombre para elevar 5 m con velocidad constante un cuerpo de 0 kg de masa. Calcula ahora el trabajo realizado por la fuerza de gravedad al soltar el cuerpo y volver al suelo. Sol: 980 J pág. 3

4 Observamos en la actividad anterior que el trabajo que puede realizar el cuerpo al soltarlo y, por tanto, la energía que adquirió al elevarlo, coincide con el trabajo que el hombre realizó sobre él. Ejemplos como este nos llevan a establecer que el trabajo realizado sobre un cuerpo (sistema) por fuerzas externas al mismo es igual a la variación de energía que experimenta el cuerpo: Wext = E Como indica esta ecuación, si el trabajo desde el exterior es positivo aumenta la energía del sistema y si es negativo disminuye la energía del sistema. W > 0 W < 0 E >0, E > E o E < 0, E < E o Si un cuerpo realiza un trabajo positivo sobre otro pierde energía, mientras que éste gana energía, de lo que se concluye que la realización de un trabajo supone la transferencia de energía de un cuerpo a otro. A.. Cuando ejercemos una fuerza para comprimir un muelle, qué signo tiene el trabajo que realizamos y el que realiza la fuerza elástica?. Y cuando soltamos el muelle?. A pesar de que a la energía suelen añadírsele diferentes calificativos (eléctrica, térmica, etc.), de hecho puede hablarse únicamente de dos formas de energía: la energía de movimiento y la que un sistema posee debido a la existencia de fuerzas propias del sistema (gravitatorias, electromagnéticas o nucleares). Vamos a estudiar ahora algunos de estos tipos de energía... ENERGÍA CINÉTICA A.. Sabemos que al lanzar un proyectil, éste puede realizar trabajo (por ejemplo, perforar un objeto ). A qué puede atribuirse esa capacidad?. De la experiencia cotidiana observamos que los cuerpos pueden realizar un trabajo al adquirir una velocidad. Esta energía asociada al movimiento de un cuerpo recibe el nombre de energía cinética, y la representaremos por E c. A.3. De qué propiedades del cuerpo crees que dependerá su energía cinética? Para deducir el valor de la energía cinética consideremos un cuerpo de masa m apoyado en una superficie horizontal con velocidad v o sobre el que actúa una fuerza F r, constante y horizontal, que va a desplazar al cuerpo una distancia x hasta adquirir una velocidad v. ( figura 4) N r v o v F r F r Figura 4 P r x pág. 4

5 Observando la figura deducimos que F r es la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo ( P r y N r se contrarrestan), y por aplicación de la ª ley de Newton el cuerpo adquiere una aceleración constante, por lo que el cuerpo llevará un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y aplicando las correspondientes ecuaciones del movimiento, obtenemos: v v o Calculando el trabajo que realiza la fuerza resultante sobre el cuerpo se obtiene: W(Fresultante) = a x x = v v = F x cos0 = F x = m a a o = m v m v Por otra parte sabemos que el trabajo realizado sobre el cuerpo sirve para incrementar su energía, y como en este caso sólo se ha modificado su velocidad, y la energía asociada a la misma se llama energía cinética, podemos poner: W(Fresul.) = Ec Ec v v a o = Ec o comparando ambas expresiones se deduce que: Ec = m v La ecuación W (F resultante) = Ec es conocida como: teorema de las fuerzas vivas o teorema de la energía cinética: el trabajo realizado sobre un cuerpo por la fuerza resultante se invierte en variar su energía cinética. Aunque no lo veremos, se puede demostrar que este teorema es completamente general y no depende de la naturaleza ni de la dirección de las fuerzas que actúan (exterior, rozamiento, peso.), se aplica a la resultante de todas ellas. N r F r N r F r R Problema resuelto P r Una fuerza constante de 5 N actúa durante s sobre un cuerpo de,5 kg que lleva una velocidad de,5 m/s en la misma dirección y sentido que la fuerza. Calcula la energía cinética final por aplicación del teorema de las fuerzas vivas. Solución: Como la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección, podemos resolverlo usando únicamente los módulos de los vectores. P r F = m.a x = v 0.t + a.t W = F. x.cosθ W = Ec ; Ec 5 = ;,5. a ; ; x =, ; W = = 6750 J 6750 = Ec a = 6 m/s,5.,5 ; ; x = 450 m Ec = 675,8 J pág. 5

6 Problema resuelto Un coche lleva una velocidad de 30 m/s cuando su conductor quita la marcha y lo pone en punto muerto. Si el coeficiente dinámico de rozamiento entre sus ruedas y el suelo es de 0,5. Cuál es la distancia que recorre hasta pararse?. Solución: W(Fresul. ) = Ec = Ec Ec ; La fuerza resultante es la fuerza de rozamiento que tiene sentido contrario al desplazamiento, por lo que el coseno del ángulo (80º) es -: W = Fr. r.cos θ = µ. N. r. cos θ = 0,5. m. 9,8. r. (-) = - 4,9. m. r Julios sustituyendo: 4,9 m r = 0 m.30 ; r = 9,8 m A.4. Puede ser negativa la energía cinética de un cuerpo?. Por qué?. A.5. Un automóvil de.000 kg de masa circula a 90 km/h cuando acelera para realizar un adelantamiento. Si el motor realiza un trabajo de J, calcula la velocidad del automóvil después del adelantamiento. Sol: 0,78 km/h A.6. Un vehículo de.00 kg de masa circula a 7 km/h cuando frena uniformemente, parándose cuando ha recorrido 30 m. Calcula la fuerza aplicada para detenerlo. Sol: N A.7. Desde la base de un plano inclinado 30º se lanza un cuerpo de kg de masa hacia arriba con una velocidad de 5 m/s. Calcula la velocidad que lleva el cuerpo después de recorrer 5 m por el plano inclinado. Sol: 3,7 m/s.. ENERGÍA POTENCIAL A.8. En qué caso puede realizar más trabajo un muelle, cuando está relajado o cuando está comprimido?. Podemos encontrarnos sistemas de partículas (de cuerpos) que son capaces de realizar trabajo aunque estén en reposo, por ejemplo un cuerpo que está a una cierta altura, un tirachinas con las gomas tensionadas, un muelle comprimido, etc.. En todos estos casos los sistemas poseen una energía asociada a la posición de sus partículas, que recibe el nombre de energía potencial. La energía potencial es debida a las fuerzas que actúan entre las partículas de un sistema, de modo que, para modificar la posición de las partículas, es necesario realizar un trabajo en contra de dichas fuerzas. Así, para comprimir un muelle hay que hacer un trabajo exterior venciendo las fuerzas elásticas. Para elevar un cuerpo a una cierta altura hay que vencer las fuerzas gravitatorias de atracción Tierra-cuerpo. Vamos a ver precisamente estos dos tipos importantes de energía potencial: gravitatoria y elástica. pág. 6

7 ... ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA La energía potencial gravitatoria es la energía que poseen los cuerpos por el hecho de estar a una cierta altura sobre la superficie terrestre (u otro astro). F r h Vamos a considerar el cuerpo de masa m de la figura 5, que inicialmente está a una altura h o y lo elevamos hasta una altura h, con velocidad constante, mediante una fuerza F r. Suponemos que no hay rozamiento con el aire. h o Figura 5 El trabajo realizado sobre el sistema será : r r W = F r = F r cosθ como: F = P = m g, cos = W = m g θ, r = ( h ) ( h h0 ) = m.g.h m.g. h0 h o Por otra parte sabemos que el trabajo realizado sobre el cuerpo sirve para incrementar su energía, y como en este caso sólo se ha modificado la altura del cuerpo, y la energía asociada a la misma se llama energía potencial, podemos poner: Wext = Ep = Ep Ep 0 comparando ambas expresiones se deduce que: Ep = m. g. h Notas importantes: - Se habla de energía potencial gravitatoria de un cuerpo cuando en realidad se debería decir energía potencial gravitatoria del sistema Tierra-cuerpo, ya que si la Tierra no ejerciese una atracción sobre el cuerpo, éste no tendría por sí mismo energía potencial. Pero al sobreentenderse este hecho se omite mencionar la Tierra. - En la fórmula de la energía potencial, h se toma como la altura sobre la superficie terrestre, aunque en realidad es la distancia entre el centro de la Tierra y el cuerpo (el radio de la Tierra más la altura), ya que un cuerpo tiene energía potencial 0 en el centro de la Tierra. Sin embargo, si trasladamos el cero de la energía potencial de un cuerpo a la superficie terrestre, entonces h representa la altura sobre la superficie terrestre. - En la fórmula Ep = m. g. h se toma g = 9,8 m/s, pero sólo es válido si nos movemos en pequeñas alturas sobre la superficie terrestre que no supongan una variación apreciable en el valor de g (valor que, como vimos en el tema de dinámica, disminuye con la altura), debiendo en caso contrario calcular g a partir de la expresión de la ley de Gravitación Universal de Newton y aplicar el cálculo integral.. A.9. Puede ser negativa la energía potencial de un cuerpo?. Qué significado tiene?. pág. 7

8 A.0. Un cuerpo de 0 kg de masa se encuentra sobre una mesa de m de altura en una habitación que tiene una altura de 0 m sobre la calle. Calcula: a) E p del cuerpo respecto de la calle y del suelo de la habitación. b) Si el cuerpo cae de la mesa al suelo de la habitación, calcula la variación de su energía potencial respecto a la calle y a la habitación. Sol: a) 078 J, 98 J ; b) -98 J A.. Un cuerpo situado a m de la superficie, dónde tendrá más energía potencial gravitatoria, en la Tierra o en la Luna?.... ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA Es la energía que poseen los cuerpos elásticos cuando están deformados (alargados o comprimidos). Vamos a analizar el caso de un muelle de longitud L 0 que se comprime (Figura 6). Suponemos que inicialmente el muelle está comprimido X bajo la acción de una fuerza F (según la ley de Hooke: F = k. X ), y ejercemos una fuerza F hasta conseguir una compresión X (según la ley de Hooke: F = k. X ). Como la fuerza no es constante, calculamos el trabajo gráficamente, que coincide con el área del trapecio señalado en la figura: F + F kx + kx Wext = (x x ) = (x x ) Figura 6 W = ( k x + k x ) ( x x) k ( x + x ) ( x x) k ( x x ) = = = k x k x Como en este caso el trabajo se ha invertido en aumentar la energía potencial elástica: W ext = E = Epe Epeo ; comparando ambas expresiones se deduce que: p E pe = k x.3.- FUERZAS CONSERVATIVAS. CARACTERÍSTICAS. Hemos visto la variación de energía potencial gravitatoria que se produce en un cuerpo (sistema) debido al trabajo realizado por una fuerza exterior venciendo las fuerzas propias del sistema, pero es conveniente también analizar qué ocurre si las únicas fuerzas que actúan son las gravitatorias, propias del sistema Tierra-cuerpo (fuerzas internas). Si el cuerpo de la figura 5 lo dejamos libre cuando está en la altura h, de modo que la única fuerza que actúe sea la gravitatoria, es decir, el peso (fuerza interior), el trabajo realizado por esta fuerza será: W int y como: P = m g, cos = r r = P = P r cos θ θ, r = ( h ) h 0, entonces : Wgravit. ( h h0 ) = m.g.h m.g.h0 = Ep Ep0 = m g = - Ep W = E gravit. p pág. 8

9 * De igual forma, al dejar libre un muelle comprimido, se puede demostrar que la fuerza recuperadora realizaría un trabajo tal, que se cumpliría: Welástica = E p Por tanto, se concluye que los sistemas abandonados a las fuerzas propias del sistema evolucionan siempre de modo que su energía potencial disminuya, es decir, las fuerzas interiores realizan un trabajo a expensas de la energía potencial que poseía el sistema. En estos dos casos de sistemas de cuerpos en los que las fuerzas internas son fuerzas gravitatorias o elásticas, podemos concluir que el trabajo exterior que se ha realizado para vencerlas, lo acumula el sistema en forma de energía potencial, que luego puede recuperarse íntegramente al dejarlo libremente. Las fuerzas que poseen esta característica se denominan fuerzas conservativas y llevan asociada una energía potencial propia del sistema. Problema resuelto Calcula el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (peso): a) Al elevar un cuerpo de 5 kg a 3 m de altura. b) Al dejarlo caer desde esa altura. c) Cuál es el trabajo total?. r r r Solución: Fg = P = m. g r r r r a) W = Fg. = 5. ( 9,8 j). 3 j = 47 J = Ep r r r r b) W = F g. = 5. ( 9,8j). ( 3 j) = 47 J = - Ep c) W = W + W = TOTAL SUBIDA BAJADA = Características de las fuerzas conservativas. Consideremos para ello los ejemplos que se ilustran en las figuras: Desde una misma altura h, una misma bola de masa m es, en primer lugar, lanzada horizontalmente; luego se la deja caer por un plano inclinado, y, por último, es dejada caer libremente. Supongamos que no hay rozamiento en ninguna de estas situaciones. Cuál es el trabajo que ha realizado en cada ocasión la fuerza gravitatoria sobre el cuerpo al llevarlo desde la misma altura h hasta el suelo?. Caso a: la trayectoria descrita es una semiparábola. h x Sean, por ejemplo, ( 0, h) las coordenadas del punto de lanzamiento y ( x,0) las del punto de aterrizaje en el suelo. La fuerza actuante es la fuerza gravitatoria que incide sobre el objeto (su peso, dirigido verticalmente hacia abajo). Como, el peso y el desplazamiento no coinciden en dirección durante el movimiento debemos aplicar la definición de trabajo como producto escalar para calcularlo: pág. 9

10 r r r Fuerza actuante: F = P = m.g j r r r r r Desplazamiento: = - = x i h j 0 Por tanto, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria será: r r r r r W = F. = m.g j x i h j = 0 m.g( h) + 0 = Caso b: la trayectoria descrita es una recta con inclinación [ ] m.g.h h α L En esta ocasión, la fuerza que realiza el trabajo es la componente del peso en la dirección del plano inclinado (Px = m g sen α), y su dirección coincide con el desplazamiento (cuyo valor es la longitud L del plano). Así pues, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando el cuerpo desciende por el plano inclinado vale: W = Px. r. cosθ = m. g. senα. L.. ; como L.sen α = h el trabajo viene a valer lo mismo que en el caso a: W = m.g.h Caso c: la trayectoria descrita es una recta vertical. h La fuerza que actúa es el peso (m.g) y su dirección coincide con el desplazamiento (cuyo valor es h), por lo que el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando el cuerpo cae en caída libre es también: W = P. r.cosθ = m.g.h. = m.g.h En conclusión, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando un cuerpo cae desde una altura h hasta el suelo es independiente de la trayectoria seguida en la caída y sólo depende de la posición inicial (altura a la que se encuentre) y de la final (suelo). Pues bien, ésta es una de las características que tienen las fuerzas conservativas: El trabajo realizado por las fuerzas conservativas sólo depende de la posición inicial y final del cuerpo y es independiente de la trayectoria seguida para pasar de un punto a otro. De lo anterior se deriva otra importante propiedad de las fuerzas conservativas: si la posición final coincide con la inicial después de haber seguido una trayectoria cíclica o de «ida y vuelta», el trabajo realizado por ellas a lo largo de toda la trayectoria es cero. El trabajo realizado por las fuerzas conservativas a lo largo de una trayectoria cíclica, o de ida y vuelta, es nulo. Además, dicho trabajo equivale a la variación negativa de la energía potencial: W int = E P Pues bien, fuerzas como la gravitatoria, la elástica y la electrostática, son conservativas. pág. 0

11 .4. ENERGÍA MECÁNICA. CONSERVACIÓN Una consecuencia importante de lo visto hasta ahora es que los diferentes tipos de energía estudiados pueden ser convertidos en trabajo mecánico; pues bien, se llama energía mecánica de un cuerpo a la energía total que puede transformarse íntegramente en trabajo y, por tanto, es la suma de la energía cinética y las diferentes potenciales que posea el cuerpo (gravitatoria, elástica,...). Em = Ec + Ep Teorema de conservación de la energía mecánica: Supongamos un cuerpo que se mueve bajo la acción de diferentes fuerzas: W total = W ( F r resultante) = W ( F r conserv.) + W ( F r ext.) Si el W ( F r ext.) = 0 W ( F r resultante) = W ( F r conserv.) como W ( F r resultante) = Ec y W conserv. = E P, resulta: Ec = - Ep ; Ec + Ep = 0, Em = 0, es decir: Em = Em Ec + Ep = Ec + Ep lo que constituye el teorema de conservación de la energía mecánica: En un sistema aislado (no actúa ninguna fuerza exterior sobre él) la energía mecánica del sistema permanece constante. En conclusión, en un sistema aislado la energía puede transformarse de unas formas a otras (de cinética a potencial o viceversa), pero la energía total permanecerá constante. Por esta razón las fuerzas gravitatorias y la elásticas se llaman fuerzas conservativas (la Em se conserva). Problema resuelto Desde lo alto de un plano inclinado de m de longitud y 30º de inclinación se deja resbalar un cuerpo de 500 g de masa al que se le imprime una velocidad inicial de m/s. Suponiendo nulo el rozamiento, calcula la velocidad con que llega al suelo. Solución: Al no haber rozamiento y como W(N) = 0, se puede considerar que no hay fuerzas exteriores, por lo que se conserva la energía mecánica: La altura inicial del cuerpo es: h L.sen30 =. 0,5 = = () m La altura final es h = 0 L Em = Em ; mgh + mv = mgh + mv 0,5.9,8.+ 0,5. = 0 + 0,5.v ; v = 4,54 m/s h α () pág.

12 * También se puede resolver de esta otra forma: W RESULTANTE = E C ; La fuerza que le hace bajar es la componente del peso paralela al plano: P X = mgsenα = 0,5.9,8.0,5 =,45 N ; El desplazamiento r = m, y el ángulo formado es 0º W = F. x.cosθ =,45.. cos 0 = 4,9 J ; Como W result. = Ec Ec Problema resuelto Un cuerpo de 500 g lleva una velocidad de 5 m/s cuando choca contra un muelle de K = 300 N/m. Calcula la deformación que se produce en el muelle. Solución: 4,9 = 0,5.v 0,5. ; v = 4,54 m/s El sistema muelle-cuerpo se puede considerar un sistema aislado, por lo que la energía mecánica se conserva. La Ec del cuerpo se transforma en energía potencial elástica del muelle. (Em sistema) = (Em sistema) ; (Em muelle) + (Em cuerpo) = (Em muelle) + (Em cuerpo) Epe + Ec + Ep = Epe + Ec + Ep 0 + 0, = 300. x ; x = 0,0 m = 0 cm A.. Un cuerpo de kg está a una altura de 0 m sobre el suelo y se deja caer. Calcula la E p, E c, y E m en cada uno de los siguientes puntos: a) En la posición inicial. b) Cuando se encuentra a 5 m del suelo. c) Al llegar al suelo. d) Si el cuerpo es elástico y rebota, calcula hasta que altura subirá si pierde una energía de 00 J debido al choque. Sol: a, b, c) Em = 39 J ; d) 4,9 m.5.- FUERZAS NO CONSERVATIVAS.ROZAMIENTO. En los sistemas físicos reales no sólo participan las fuerzas internas conservativas del sistema (gravitatorias, elásticas..); por el contrario, lo habitual es que existan también fuerzas exteriores entre ellas el rozamiento que hacen que no se conserva la Em, por lo cual se llaman no conservativas. Un ejemplo típico lo constituye la caída de un objeto en la que además de la fuerza gravitatoria actúa la fricción con el aire. En estos casos: Wext = Em = Ec + Ep El trabajo realizado por el rozamiento es negativo, por lo que se produce una disminución de la energía mecánica del sistema. Parte de la energía mecánica del sistema se disipa en forma de calor; por ello, las fuerzas como el rozamiento se llaman disipativas. pág.

13 Problema resuelto Desde lo alto de un plano inclinado de m de longitud y 30º de inclinación se deja resbalar un cuerpo de 500 g de masa al que se le imprime una velocidad inicial de m/s. Si el coeficiente de rozamiento con el plano es 0,, calcula la velocidad con que llega al suelo. h 0 L α Solución: La altura inicial es: h 0 = L.sen30 = 0,5. = m Al existir rozamiento no se conserva la energía mecánica. Debido a la fricción, la Em (final) es menor que la Em (inicial). Parte de la Em (inicial) se transforma en calor. W Rozamiento = Em (final) Em (inicial) ; W(roz) = Fr. r.cosθ = µ.m.g.cosα. L. (-) µ.m.g.cos α. L = ( m.v f + m.g.h f ) ( mv 0 + m.g.h 0 ) ; 0,.0,5.9,8.0,866. = ( 0,5.v f + 0) ( 0,5. + 0,5.9,8.) ; v f = 3,7 m/s 3. POTENCIA A.3. Una grúa levanta un conjunto de 0 sacos de cemento de 50 kg cada uno hasta un 5º piso, situado a una altura de 5 m, durante 0 segundos. La grúa de la obra de enfrente hace lo mismo en medio minuto. Qué máquina realiza más trabajo?. Cuál crees que es más eficaz? En muchos sistemas capaces de realizar un trabajo, como ocurre con muchas máquinas, no sólo es importante el trabajo que desarrollan, sino también la rapidez con que lo efectúan, por lo que es conveniente definir una nueva magnitud que llamamos potencia y que es el trabajo realizado en la unidad de tiempo. W P = t La unidad de potencia se denomina vatio (W) en honor del ingeniero escocés James Watt (736-89). Con frecuencia se suelen utilizar múltiplos del vatio como son el kilovatio (kw) y el megavatio (MW), y también el caballo de vapor (CV) unidad que equivale a 735,5 vatios. A.4. Define la unidad de potencia en el sistema internacional. A.5. Calcula la potencia desarrollada por las máquinas de la actividad 3. Sol: 7350 W, 4900 W A.6. Calcula el tiempo empleado en llenar un depósito de agua de 0 m 3 de capacidad situado a una altura media de 5 m, si se emplea un motor de 0 CV. Sol: 6 min 40 s pág. 3

14 Un caso interesante y sencillo es el cálculo de la potencia de una fuerza motora cuando el móvil se mueve con velocidad constante. Por ejemplo, la potencia que desarrolla el motor de un automóvil para mantener a éste con velocidad constante venciendo la fuerza de rozamiento. Como realiza una fuerza constante contraria a la de rozamiento, desarrollará la siguiente potencia: W F r cos 0º r P = = = F = F v t t t P = F. v Esta expresión es muy útil en algunas aplicaciones, pudiendo observar que la potencia desarrollada depende de la rapidez del movimiento, o a la inversa, de ahí que cada vehículo tenga una velocidad límite en función de la potencia que puede desarrollar. Problema resuelto Durante un día, la energía solar incide sobre una casa a razón de 400 W/m durante 8 h. Cuánta energía es captada por un ventanal de 5 m?. Expresa el resultado en Kwh. Solución: W Energía P = m = 000 W ; P = ; m tiempo 7 kwh Energía = 5,76.0 J. = 6 kwh 6 3,6.0 J 7 Energía = P. t = 000 W. 8800s = 5,76.0 J A.7. Calcula la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento de un vehículo que alcanza una velocidad de 00 km/h cuando desarrolla una potencia de 30 CV. Sol: 794,34 N A.8. A la vista de la definición de potencia, de qué magnitud será unidad el kilovatio-hora (kwh)?. Cuál es su equivalencia en unidades del S.I.?. A.9. Calcula la potencia que debe desarrollar un ciclista para subir una rampa del % con una velocidad constante de km/h, si la masa del ciclista más la bicicleta es de 80 kg y el coeficiente de rozamiento es 0,. Sol: 570,7 W pág. 4

15 ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS.- Calcula la fuerza de rozamiento que actúa entre un cuerpo de 0 kg de masa y el suelo, si al lanzarlo con una velocidad de 0 m/s, se detiene tras recorrer 5 m. Sol: 00 N.- Un cuerpo de 00 g de masa está sujeto a un muelle y apoyado sobre un plano horizontal. Separamos el conjunto 0 cm de su posición de equilibrio y lo soltamos. Sabiendo que la constante elástica del muelle es 000 N/m, calcula: a) Velocidad del cuerpo cuando pase por la posición de equilibrio. b) Velocidad del cuerpo cuando se encuentre a 5 cm de la posición de equilibrio. Sol: a) 0 m/s ; b) 8,66 m/s 3.- Una pistola de juguete tiene un muelle de 00 N/m de constante. Para cargarla con una bola de 0 g se comprime el muelle 5 cm. Calcula la velocidad con que la bola sale de la pistola. Sol: 7,07 m/s 4.- Un cuerpo de 4 kg de masa se mueve hacia arriba por un plano inclinado 0º. Sobre el cuerpo actúan, además del peso, las siguientes fuerzas: una horizontal de 80 N en el sentido del movimiento, una paralela al plano de 00 N en el sentido del movimiento y la de rozamiento de 0 N. Calcula el trabajo de cada fuerza, así como el trabajo resultante al desplazarse 0 m. Sol: W p = -68,4 J ; W = 503,5 J ; W = 000 J ; W Fr = -00 J ; W total = 3035,35 J 5.- Un vehículo de 000 kg de masa está subiendo una cuesta de 0º de inclinación con una velocidad de 7 km/h. Cuando faltan 00 m para llegar a la cumbre se le acaba la gasolina. Determina la velocidad con que llegará al final de la cuesta (si es que llega): a) Considerando despreciable los rozamientos b) Suponiendo un coeficiente de rozamiento de 0, Sol: a) 7,7 m/s ; b) No llega 6.- Un muelle cuya constante es 500 N/m es comprimido 0 cm por una masa de kg. A continuación se deja libre el muelle. Suponiendo que no existe rozamiento, calcula: a) La velocidad con que la masa se separa del muelle b) La altura que alcanza el cuerpo si tras abandonar el muelle asciende por un plano inclinado 45º. Sol: a) 3,6 m/s ; b) 0,5 m 7.- Una pelota de 30 g es capaz de rebotar hasta una altura que es el 90 % de la altura inicial. Cuánta energía pierde cuando la pelota rebota dos veces si se suelta desde 3 m de altura?. Sol: 0,68 J 8.- Desde qué altura del plano inclinado hay que dejar caer un cuerpo para que al llegar al final del plano pueda describir un rizo?. (Supón que no hay rozamientos) h R Sol: h = 5 R pág. 5

16 9.- Un cuerpo desciende m por un plano inclinado 30º y coeficiente de rozamiento 0,, después entra en una superficie horizontal de idéntico rozamiento. Calcula: a) velocidad del cuerpo al final del plano y b) distancia que recorre sobre el plano horizontal hasta pararse. Sol: a) 3,6 m/s ; b) 3,3 m 0.- Una piedra de 00 g se deja caer desde una ventana situada 0 m sobre el suelo, llegando al suelo con una velocidad de 0 m/s. Calcula la energía disipada por rozamiento y la fuerza media que el aire ha opuesto a la caída de la piedra. Sol: 9,6 J ; 0,96 N.- Un péndulo simple está constituido por una masa m que cuelga de una cuerda de masa despreciable y de m de longitud. Si desplazamos lateralmente dicha masa de modo que la cuerda forme un ángulo de 30º con la vertical, y la dejamos en libertad, con qué velocidad pasará por el punto más bajo (posición inicial)?. Sol:,6 m/s.- Sobre un cuerpo de kg de masa apoyado en el suelo se ejerce una fuerza vertical de 30 N. Calcula la velocidad del cuerpo cuando está a m de altura. Sol: 4,56 m/s 3.- Un cuerpo de kg de masa se encuentra en reposo en la base de un plano inclinado 30º. Si se ejerce una fuerza de 5 N en la dirección del plano, calcula la velocidad del cuerpo cuando ha recorrido m: a) sin rozamiento, b) si el coeficiente de rozamiento es 0,. Sol: a) 3, m/s, b),65 m/s 4.- La duración del programa de un lavavajillas es 50 minutos. Si la potencia del lavavajillas es.500 W y el precio del kilovatio-hora es 0,3 euros más IVA (6%), calcula el coste de la ejecución del programa entero. Sol: 0,34 euros pág. 6