Imágenes inversas de sectores de funciones en el espacio de Bergman con peso

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1 Revista Colombiana de Matemáticas Volumen ), páginas 7 25 Imágenes inversas de sectores de funciones en el espacio de Bergman con peso Fernando Pérez-González Universidad de La Laguna, España Julio César Ramos Fernández Universidad de Oriente, Venezuela Abstract. Let be the open unit disk in the complex plane. For ε > 0 we consider the sector Σ ε = {z C : arg z < ε}. We will prove that for certain classes of functions f in the weighted Bergman s space A p α ) such that f0) = 0, the A p α norm is obtained by integration over f Σ ε ), that is to say Z fz) p da α z) > δ f p α,p. f Σ ε ) This result extends a theorem of Marshall and Smith in [MS]. Keywords and phrases. Bergman s spaces, hiperbolic, metric, Bloch s lemma Mathematics Subject Classification. Primary: 30C25. Secondary: 30H05, 46E5. Resumen. Sea el disco unitario en el plano complejo. Sea ε > 0 y consideremos el sector Σ ε = {z C : arg z < ε}. Probaremos que para ciertas clases de funciones f en el espacio de Bergman con peso A p α ), que fijen el origen, la norma se obtiene por integración sobre f Σ ε), es decir, se cumple Z fz) p da α z) > δ f p α,p. f Σ ε) Este resultado extiende un teorema de Marshall y Smith [MS]. 7

2 8 F. PÉREZ-GONZÁLEZ & J. C. RAMOS FERNÁNEZ. Introducción Sea el disco unidad del plano. Para α > y p > 0, denotaremos por A p α = A p α) al espacio de Bergman con peso de las funciones holomorfas en tales que f p α,p = fz) p da α z) <, donde da α z) = α + ) z 2 ) α daz) = α + π r r2 ) α drdθ, con z = x + iy = re iθ. Para ε > 0, consideremos el sector Σ ε = {w C : arg w) < ε}. ado ε > 0, estamos interesados en encontrar valores de los parámetros α > y p tales que f z) p da α z) δ f z) p da α z), ) f Σ ε) para toda función f A p α con f0) = 0, donde δ > 0 es una constante que no dependa de la función f. Nuestro interés proviene de un artículo de. Marshall y W. Smith [MS] donde analizan la desigualdad ) para funciones en los espacios de Bergman sin peso) clásicos A p. e hecho, el principal resultado de [MS, Theorem.] asegura que para todo ε > 0 existe un δ > 0 de modo que la estimación ) vale para cualquier función de A univalente que fije el origen. Quedando pendiente la veracidad de esa proposición si omitimos la condición de que f es univalente. En el caso p > α = 0), Marshall y Smith encontraron un ángulo ε = ε p) > 0 tal que la desigualdad ) no vale, en general, para ε 0, ε ). La clave del contraejemplo es considerar, para n N, transformaciones de Riemann f n : Ω n, donde Ω n = C \ Σ εn + ), ε n = p p π α 2p π + n, 2) y normalizado de tal forma que f n 0) = 0, f n0) > 0. Aquí los parámetros α > y p, se seleccionan de tal manera que ε n > 0; también se asume que n es lo suficientemente grande para que ε n < π. Se comprueba que para 0 < ε ε, las integrales sobre la imágenes inversas de Σ εn, están uniformemente acotadas por una constante; mientras que lim f n n α,p =. En este ejemplo, vemos que dado p, debemos seleccionar α > tal que α < 2p 2; pero qué pasa si α 2p 2? Probaremos que a pesar del contraejemplo la desigualdad ) sigue siendo cierta para todo ε > 0 y para toda función univalente que fije el origen f A p α con p y α > 2p. Formalmente:

3 IMÁGENES INVERSAS E FUNCIONES EN EL ESPACIO E BERGMAN 9 Teorema.. Sean α > y p tales que α > 2p. Entonces para todo ε > 0, existe una constante δ > 0, que depende solamente de p, α y ε, tal que fz) p da α z) > δ fz) p da α z) 3) f Σ ε ) para toda función univalente f A p α que satisface f0) = 0. La sección 3 se ocupa de dar la demostración del Teorema. cuya prueba, además de bien conocidos resultados de aplicaciones conformes, requiere de una versión del Teorema de Bloch, el cual demostramos en la sección 2, y de un lema que se refleja una estimación que proviene de la abundancia de masa en el origen. Como corolario de la demostración de este Teorema, tenemos el siguiente resultado para funciones en la bola unidad de los espacios de Bergman: Corolario.2. Fijemos p > 0 y α >. Entonces para cada ε > 0 existe una constante δ = δα, p, ε) > 0 tal que fz) p da α z) > δ fz) p da α z). 4) f Σ ε) para cualquier f A p α univalente con f 0) = 0 = f 0) y f α,p. 2. Teorema de Bloch para funciones en la bola unidad de los espacios de Bergman Antes de dar la prueba del Teorema., vamos a recordar, a modo de preliminares, algunos hechos relativos a aplicaciones conformes que precisaremos. Para z, z 2, sea Γ la colección de todas las curvas en que conectan puntos z con z 2. La distancia hiperbólica de z a z 2, denotada por β z, z 2 ), se define como { } dz β z, z 2 ) := inf γ Γ z 2. En el caso que uno de los puntos sea el origen, dado que el ínfimo se alcanza cuando el arco γ es un segmento radial, se tiene β 0, z) = ) + z 2 log. 5) z Para un dominio simplemente conexo Ω, se define la distancia hiperbólica de dos puntos w, w 2 Ω por β Ω w, w 2 ) := β ϕ w ), ϕ w 2 )), donde ϕ es cualquier transformación conforme de Ω sobre el disco unidad. Esta definición en particular implica que la distancia hiperbólica es invariante bajo transformaciones conformes. Para z, denotamos por δ Ω f z)) a la distancia euclídea de f z) a Ω, la frontera de Ω. γ

4 20 F. PÉREZ-GONZÁLEZ & J. C. RAMOS FERNÁNEZ Ya que vamos a trabajar con funciones f holomorfas en que dejan invariante el origen, será útil emplear distintas notaciones para discos centrados en el origen que estén contenidos en o en f). Así, si R <, pondremos R := 0, R) y para r > 0, escribiremos B r := B0, r) f). A continuación recopilamos algunos teoremas de distorsión de Koebe que pueden verse, por ejemplo en la obra de Ch. Pommerenke [Po] que usaremos en las prueba de nuestros resultados. Teorema 2. Koebe). Sea g una transformación conforme del disco R, R <, sobre el dominio Ω con g0) = 0. Para cualquier z R se tiene que i) g z) R 2 g z 0) R + z ) 2. ii) R 2 g R z 0) iii) R + z ) 3 g z) 4 R δ Ω 0) e 3βΩ0,gz)). R 2 z 2) g z) δ Ω g z)) 4R R R 2 z 2) g z). Sea Ω un dominio simplemente conexo, sean w, w 2 Ω y denotemos por Γ la colección de arcos en Ω que conectan w con w 2. Se define la distancia cuasi-hiperbólica de w a w 2 como { } ds k Ω w, w 2 ) := inf. 6) eγ eγ eγ δ Ω s) La distancia cuasi-hiperbólica es más manejable que la distancia hiperbólica y tiene la gran ventaja de que ambas son comparables como probaron Gehring y Palka [GP]. Más precisamente se tiene que Teorema 2.2 Gehring-Palka). Sea Ω un dominio simplemente conexo del plano. Para w, w 2 Ω se verifica que 2 β Ω w, w 2 ) k Ω w, w 2 ) 2β Ω w, w 2 ). 7) En el siguiente lema se recoge una versión del teorema de Bloch para funciones en la bola unidad del espacio A p α con α >, p. Lema 2.3. Sean α > p. Existen constantes positivas ϱ y R, tales que si f A p α, con f 0) = 0, f 0) 0 y f α,p =, entonces f es univalente en el disco 0, R) y se verifica que B 0, R ) f 0, R)) B 0, ϱr). 6ϱ Además las constantes se pueden tomar como ϱ = 2 2 p α++2p) y R = 2 ϱ + ) f 0). 8)

5 IMÁGENES INVERSAS E FUNCIONES EN EL ESPACIO E BERGMAN 2 emostración. ado que f es analítica en el disco 0, 2), entonces por la fórmula integral de Cauchy para la derivada podemos escribir f z) R 2)α+ R2 2)α+) ) R 2 2 {R < w <R 2 } f w) da α w), 9) donde z < 2 < R < R 2 <. Si p >, podemos usar la desigualdad de Hölder y el hecho de que f es de norma igual a, para obtener que f z) R 2)α+ R2 2)α+) p ) R 2 2 para todo z < 2 < R < R 2 <. Fijando R = 3 4 y haciendo que R 2 obtenemos f z) 2 2 p α++2p) := ϱ, z < 2. 0) Nótese, además, que 0) también vale para p = en virtud de 9). Esta última desigualdad implica que f z) f 0) < ϱ+ para todo z < 2. Por el Lema de Schwarz resulta que f z) f 0) 2 ϱ + ) z, z 0, ). 2 Poniendo, R = 2ϱ+) f 0), se obtiene que f z) f 0) < f 0), z < R. En virtud de [Co, p. 293] se concluye que f es univalente en el disco 0, R). Por otra parte, tomenos z 0, R) y consideremos el segmento radial Γ de 0 a z. Podemos poner f z) = f s) ds f s) ds ϱ z < ϱr Γ donde hemos usado la estimación en 0). Se sigue que f 0, R)) B0, ϱr), y aplicando ahora el Lema.2 en [Co, page 293] resulta que f 0, R)) B 0, σ), donde La prueba está completa. Γ σ = R)2 6ϱR = R 6ϱ. ) Observación 2.4. En lo que resta del artículo, por simplicidad y salvo que se indique lo contrario, para α >, p > asumiremos que R y ϱ son constantes con los valores dados por 8). En consecuencia, en virtud de Lemma 2.3, cualquier función f A p α que verifique que f 0) = 0, f 0) 0, y f α,p = transforma conformemente el disco R := 0, R) sobre un dominio Ω f := f R ) y B0, σ) Ω f.

6 22 F. PÉREZ-GONZÁLEZ & J. C. RAMOS FERNÁNEZ 3. emostración del Teorema Principal La demostración de nuestro resultado principal, requiere del siguiente Lema técnico: Lema 3.. Fijemos un ε > 0, asumamos que f A p α, α >, p, f 0) = 0, f 0) 0 y f α,p =. Entonces existe un r > 0 tal que B r = B0, r) Ω f y se verifica que f z) p da α z) K α, p) ε f 0) p+2 ; 2) f B r Σ ε ) donde K es una constante positivas que dependen sólo de α y p. emostración. En efecto, tomemos r = R y veamos que tal r satisface lo que 7ϱ queremos probar en el lema. Ante todo, observamos que B r B0, σ) Ω f y f B r ) R. Consideremos ahora el anillo A = {w C : r } 2 < w < r. Si w = f z) A, entonces δ Ωf w) δ Ωf 0) r; en particular, δ Ωf s) δ Ωf 0) r para todo s en el segmento radial [0, w]. Teniendo en cuenta la desigualdad 7) en el Teorema 2.2, podemos poner ds β Ωf 0, w) 2k Ωf 0, w) 2 δ Ωf s) 2r δ Ωf 0) r 2, [0,w] donde hemos usado que r < 20 R 5 δ Ω f 0) y el Teorema 2.. Esta última desigualdad y la definición de distancia hiperbólica nos permiten encontrar una constante C 2 α) > 0 tal que z 2) α C2 α), 3) para todo z f A) y α >. Notemos también que, por el Teorema 2., vale la estimación Ahora como resulta f B r Σ ε ) f z) 4 R δ Ω f 0) e 3β Ω f 0,fz)) 4e 3 2, z f A). f z) p da α z) f B r Σ ε ) r 2) p f A Σ ε ) da α z), f z) p da α z) C 2 α) r ) p 6e 3 f z) 2 da z) 2 f A Σ ε ) = 3C 2 α) ε 2 p+6 e 3 rp+2 4) π que, junto con la definición de r y 8), da la conclusión del Lema.

7 IMÁGENES INVERSAS E FUNCIONES EN EL ESPACIO E BERGMAN 23 emostración del Teorema.. Sean p, α >, con α > 2p y β = α 2p, entonces se tiene β > ; además, si f A p α es univalente con f0) = 0, entonces el Teorema de distorsión 2. nos dice que f 0) z z )2 fz) z 2 ) 2 fz), z ; 4 elevando a la p-ésima potencia e integrando sobre el disco con respecto a la medida de probabilidad da β obtenemos f 0) ) α 2p + p f α,p. 5) 4 α + Por otra parte, para z, definimos gz) = f fz), entonces g es una α,p función que satisface las hipótesis del Lema Técnico 3. y por tanto, g z) p da α z) K α, p) ε g 0) p+2 ; 6) g B r Σ ε ) luego, sin más que sustituir y teniendo en cuenta que g B r Σ ε ) = f B r f α,p Σ ε ), se concluye que existe una constante C α, p) > 0 tal que y la prueba está completa. f B r f α,p Σε) f z) p da α z) C α, p) ε f p α,p 7) Observación 3.2. El Lema Técnico 3., nos asegura que la conclusión del Teorema. sigue siendo válida, para todo ε > 0, para cualquier clase de funciones en A p α, p, α > que dejen fijo el origen y tal que f α,p f 0) tenga una cota inferior. Corolario 3.3. Fijemos p > 0 y α >. Entonces para cada ε > 0 existe una constante δ = δα, p, ε) > 0 tal que fz) p da α z) > δ fz) p da α z). 8) f Σ ε ) para cualquier f A p α univalente con f 0) = 0 = f 0) y f α,p. emostración. Sea Ω = f), r = 5 δ Ω 0) y B r Ω el disco con centro en el origen y radio r. Note que r 20, ) por los teoremas de distorsión. Luego 5 con un argumento similar al de la prueba del Lema 3. encontramos que existen constantes positivas K 2 y K 3 dependiendo sólo de α y p tal que

8 24 F. PÉREZ-GONZÁLEZ & J. C. RAMOS FERNÁNEZ ) 2) f B r Σ ε ) f B r S ε ) f z) p da α z) K 2 α, p)ε f z) p da α z). f B r ) f z) p da α z) K 3 α, p) π ε); donde S ε = {w C : argw) ε}. ado que los sectores Σ ε crece con ε, podemos suponer, sin perder generalidad, que ε < ε 0, donde { ε 0 = ε 0 α, p) = min K 2 + πk 3 ), π 2 Entonces por la desigualdad ) arriba podemos escribir fz) p da α z) > δ fz) p da α z), f B r) f B r S ε) donde δ = K 2 ε >. Esta última observación junto con la desigualdad 2) arriba y la hipótesis f α,p implica f z) p da α z) = f z) p da α z) + f z) p da α z) f B r ) > δ ) f B r S ε ) δ ) K 3 π ε) luego existe una constante δ 2 0, ) tal que f z) p da α z) δ 2 f S ε) de donde seguiría que fz) p da α z) δ 2 que es precisamente 8) con δ = δ 2. }. f C\B r ) f z) p da α z) + f z) p da α z) f S ε) f z) p da α z) + f z) p da α z) ; f Σ ε) f S) f z) p da α z) fz) p da α z) Agradecimientos: La investigación del primer autor ha sido soportada parcialmente por el Proyecto de Investigación BFM del Ministerio de Ciencia y Tecnología, España y la Red Europea. El segundo autor agradece a la Universidad de Oriente su soporte financiero para cubrir parcialmente sus estancias en la Universidad de La Laguna.

9 IMÁGENES INVERSAS E FUNCIONES EN EL ESPACIO E BERGMAN 25 Referencias [Co] J. Conway, Functions of One Complex Variable, Springer-Verlag, New-York, 978. [S] S. jrbashian & F. Shamoian, Topics in the Theory of A p α Spaces, Teubner- Texte Zur Mathematic, Leipzig, 988. [u] uren, P., Theory of H p Spaces, Academic Press, New York, 970. [GP] F. W. Gehring & B. P. Palka, Quasiconformally homogeneous domains, J. Analyse, Math ), [HKZ] Hedenmalm, H., Korenblum B. and Zhu, K., Theory of Bergman Spaces. Springer-Verlag, New York, 2000 [MS]. Marshall & W. Smith, The angular distribution of mass by Bergman functions, Rev. Matematica Iberoamerica, 5 999), [OS] M. Ortel and W. Smith, The argument of an extremal dilatation, Proc. Amer. Math. Soc. 04, no 2988), [Po] C. Pommerenke, Boundary Behavior of Conformal Maps, Springel - Verlag, 992. Recibido diciembre de 2003) epartamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna 3827 La Laguna, Tenerife, Spain fernando.perez.gonzalez@ull.es epartamento de Matemáticas Universidad de Oriente 60 Cumaná, Edo. Sucre, Venezuela, jramos@sucre.udo.edu.ve