3. MÉTODO DE LA RESISTENCIA ÚLTIMA

Transcripción

1 3. MÉTODO DE LA RESISTENCIA ÚLTIMA Los problemas se pueden considerar de dos tipos: 1. De Análisis: Se da la sección, el refuerzo, esfuerzos en el concreto y acero, para calcular la resistencia y comparar con unos esfuerzos admisibles.. De Diseño: Se evalúan las cargas, la luz o la geometría, para seleccionar la sección y el refuerzo. La ecuación de diseño es: φ Mn Mu Donde: Mn: Resistencia nominal o momento nominal resistente. φ: Factor de reducción de resistencia (C.9.3 del NSR-10) Mu: Momento producido por las cargas mayoradas. El factor de reducción de resistencia φ se basa de acuerdo al CR9.3 en: Probabilidad de existencia de elementos con una resistencia baja debida a variaciones en la resistencia de los materiales y las dimensiones. Inexactitudes en las ecuaciones de diseño. El grado de ductilidad y la confiabilidad bajo los efectos de la carga bajo consideración Importancia del elemento en la estructura El ACI 318 del 005, los factores de reducción de resistencia fueron ajustados para hacerlos compatibles con las combinaciones de carga del SEI/ASCE7, y que son los mismos del NSR TEORÍA DE LA FLEXIÓN. Se hacen las siguientes suposiciones: 1. Las secciones transversales de la viga, perpendicular al plano de flexión, permanecen planas durante la flexión. (Ver Figuras 3.1).. La deformación en el acero es igual a la del concreto en el mismo nivel. 3. Los esfuerzos en el concreto y en el acero, se calculan de la curva esfuerzo deformación del concreto. La distribución lineal de los esfuerzos, deja de ser válida para vigas peraltadas y con una luz menor a 4 veces la altura del elemento. 4. Se supone que el concreto no resiste esfuerzos de tensión, ya que la resistencia a la tensión f R 0. f c para concretos de peso normal (C ), es muy baja comparada con la del acero, por lo tanto la capacidad del concreto para resistir esfuerzos de tensión puede ser despreciada. 44

2 5. Se asume que el concreto falla cuando alcanza el valor límite. Esto ocurre cuando la pendiente en el diagrama Momento Curvatura dm /dφ es negativa, correspondiente a una formación de una rotula y decremento de carga. (Ver Figuras 3.1) Figura 3.1 Diagrama M φ. Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor.. La deformación máxima unitaria en la fibra extrema sometida a compresión del concreto reforzado, obtenida de ensayos de vigas es: ε (C del NSR-10) (Ver Figura 3.) cu Figura 3. Deformación compresión límite en el concreto. Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor 45

3 7. La relación esfuerzo deformación, para el concreto se puede asumir rectangular, trapezoidal, parabólica, etc Esfuerzos en el Concreto Reforzado Los esfuerzos en el concreto, son los esfuerzos de compresión y tensión. Los esfuerzos de compresión adoptan una forma geométrica llamada el bloque de Whitney. Para facilidad de cálculos se ha transformado esta figura en un cubo. Fuerza Compresión Fuerza Tensión La forma del bloque de esfuerzos de los ensayos en una viga sometida al momento último, se puede expresar en términos de 3 constantes k 1, k y k 3 4

4 k 3 : Relación entre el máximo esfuerzo f c de compresión de una viga en flexión y el esfuerzo de compresión f c en el cilindro de concreto. k 3 f c f c k : Relación entre la distancia desde la fibra extrema en compresión, hasta la resultante de la fuerza de compresión y la distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el eje neutro. a / k β c k 1 : Relación del esfuerzo promedio en compresión y el máximo esfuerzo. k 1 Area sombreada Area del rectángulo Para una viga rectangular de ancho b, la fuerza resultante en compresión es: Para simplificar, se puede usar un rectángulo equivalente como distribución de esfuerzos en el concreto, conocido como el bloque de esfuerzos de Whitney. CR10..7 Para el diseño, el Título C del Reglamento NSR-10 permite el uso de una distribución rectangular de esfuerzos de comprensión (bloque de esfuerzos) como reemplazo de distribuciones de esfuerzos más exactas. En el bloque rectangular equivalente de esfuerzos, se utiliza un esfuerzo promedio de 0.85 fc con un rectángulo de altura a β 1 c. Se ha determinado experimentalmente un valor β 1 igual a 0.85 para concreto f c<8 MPa y menor en 0.05 por cada 7 MPa de f c sobre 8 MPa. 47

5 En el suplemento de 197 del ACI , se adoptó un límite inferior de β1 igual a 0.5 para resistencias delconcreto mayores de 55 MPa. Los datos obtenidos en ensayos con concreto de alta resistenciac.10.1,c.10. respaldan el uso del bloque de esfuerzos rectangular equivalente para resistencias del concreto que excedan los 55 MPa, con un β1 igual a 0.5. El uso de la distribución rectangular equivalente de esfuerzos especificada en el ACI sin límite inferior para β1, tuvo como resultado diseños inconsistentes para concreto de alta resistencia en elementos sometidos a cargas axiales y de flexión combinadas. El bloque rectangular de esfuerzos es descrito por dos constantes α 1 y β 1 (C ), pero β1 no debe ser menor a 0.5. Isométricamente el bloque de esfuerzos queda: Sección transversal Sección transversal. 48

6 Vista lateral viga La distribución rectangular de esfuerzos tiene las siguientes características: 1. El esfuerzo uniforme de compresión α 1* f c, se asume distribuido sobre una zona de compresión limitado por los bordes de la sección y una línea paralela al eje neutro, localizada a una distancia a β 1* c medida desde la fibra extrema en compresión.. La distancia c se mide desde la fibra extrema en compresión hasta el eje neutro 3. β 1 se toma en el sistema inglés como: 3.1 β para f c hasta 8 MPa o 4000 psi. f c 3. β 1 1, para 4000 < f c 8000 psi β para f c > 8000 psi En el SI es: β 1 0,85 para f c 8 MPa β 1 1,09 0, 008f c para 8MPa < f c 5 MPa β 1 0,5 para f c > 5 MPa Ensayos para cargas sostenidas en vigas y columnas, han dado como resultado que α 1 se puede tomar como La resistencia a compresión debe ser mayor a f c > 17 MPa, según C1.1.1 del NSR

7 Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor En la figura anterior, la línea del contorno inferior corresponde a α y β 1, el cual se toma de la ecuación anterior. Se presenta una buena correlación para α y β 1 de la ecuación anterior con k 1, k y k 3 en vigas. En columnas la correlación es buena hasta f c 000 psi y se puede usar: α 1 0,85 para f c 8000 psi f c 8000 α 1 0,85 0, para f c > 8000 psi β 1 0,85 para f c 4000 psi β f c ,85 0,15 0, 7 para f c > 4000 psi

8 3.1. Falla en el concreto Reforzado Dependiendo de las propiedades geométricas de la sección, cantidad de acero y resistencia de los materiales, la falla puede ocurrir por: Falla en tensión o subrefrozada: El refuerzo fluye antes que el concreto falle en compresión. La viga es subreforzada Falla en compresión o sebrerefrozada: El concreto falla antes que el acero alcance la fluencia, la viga es sobre reforzada. Falla balanceada: El concreto falla simultáneamente cuando el acero alcanza la fluencia Ductilidad Este comportamiento se presenta cuando la relación en el diagrama Momento Curvatura, Carga Deflexión, Torque Giro, etc. tiene una gran región plástica. Una falla dúctil avisa, ya que los ocupantes se dan cuenta por deflexiones excesivas y la aparición de grietas. Para un sistema elastoplástico se tiene que la ductilidad al desplazamiento se define como: Uu µ Uy µ: Ductilidad solicitada o demanda de ductilidad. Corresponde a la máxima ductilidad que se le puede exigir al sistema. Cuando el sistema no es elástoplástico, el límite de fluencia no está definido y debe ser conservador, la ductilidad µ se denomina coeficiente de daño. Según el A.13.1 del NSR-10, se define la ductilidad y algunos tipos de ductilidad. Ductilidad - Capacidad que tiene un material estructural de resistir, sin fallar, deformaciones que lleven al material estructural más allá del límite elástico, o límite donde las deformaciones son linealmente proporcionales al esfuerzo o fuerza aplicada. Dependiendo del parámetro que describe las deformaciones, la ductilidad puede hacer referencia, entre otras, a: (a) ductilidad de curvatura φ - cuando la ductilidad se mide con respecto a la curvatura de la sección del elemento estructural. La curvatura se define como el cociente entre el momento flector aplicado y la rigidez de la sección 51

9 (b) ductilidad de rotación θ - cuando la ductilidad se mide con respecto a la rotación que tiene un sector longitudinal del elemento estructural. La rotación se define como la pendiente de la línea elástica del elemento medida con respecto a la posición original del eje longitudinal del elemento. (c) ductilidad de desplazamiento δ - cuando la ductilidad se mide con respecto al desplazamiento o deflexión que tiene el elemento estructural. El desplazamiento se mide con respecto a la posición original del eje longitudinal del elemento. (d) ductilidad de deformación ε - cuando la ductilidad se mide con respecto a la deformación unitaria de una fibra paralela al eje neutro de la sección Tenacidad Se define como el área bajo la curva esfuerzo deformación de un material que se lleva hasta la falla. Es una medida de la cantidad de energía por unidad de volumen que puede absorber o disipar un elemento hasta la falla Capacidad de disipación de energía. Si se tiene un sistema elástico y uno plástico. El coeficiente de reducción de resistencia se define como: Ro Fe Fy Fe Fy Ro Ue Uy Ro Ue Uy Fe kro Uy: Desplazamiento en el nivel del fluencia Ue: Desplazamiento máximo del sistema elástico Ro Fe Fy Fe Fy Ro Ue Uy Ro Ue Uy Fe kro Ro: Coeficiente de reducción de resistencia para un sistema de un grado de libertad, indicado por el subíndice o. La capacidad de disipación de energía de un sistema inelástico de un grado de libertad, corresponde a la capacidad que tiene el sistema para reducir la fuerza elástica Fe producida por una carga externa, a una fuerza necesaria para producir fluencia Fy. 5

10 De acuerdo al NSR-10 Capítulo A.13.1 Definiciones y nomenclatura del Título A, se tiene: CAP A.13.1 Capacidad de disipación de energía Es la capacidad que tiene un sistema estructural, un elemento estructural, o una sección de un elemento estructural, de trabajar dentro del rango inelástico de respuesta sin perder su resistencia. Se cuantifica por medio de la energía de deformación que el sistema, elemento o sección es capaz de disipar en ciclos histeréticos consecutivos. Cuando hace referencia al sistema de resistencia sísmica de la edificación como un todo, se define por medio del coeficiente de capacidad de disipación de energía básico R0, el cual después se afecta debido a irregularidades de la estructura y a ausencia de redundancia en el sistema de resistencia sísmica, para obtener el coeficiente de disipación de energía R (R φa φp φr Ro). El grado de capacidad de disipación de energía se clasifica como especial (DES), moderado (DMO) y mínimo (DMI). Capacidad de rotación de la sección - Es la capacidad que tiene una sección de un elemento estructural de admitir rotaciones en el rango inelástico sin perder su capacidad de resistir momentos flectores y fuerzas cortantes. Se mide en términos de su capacidad de disipación de energía a la rotación A continuación se presentan 4 vigas con la misma sección, pero con variación en el refuerzo 53

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13 Las vigas 3 y 4 desarrollan una falla en tensión y tiene un diagrama Momento - Curvatura dúctil, mientras que en las Vigas 1 y el concreto en la fibra extrema a compresión alcanza el agrietamiento más rápido, aunque el acero fluye mucho después, y el diagrama momento curvatura no tiene una respuesta dúctil, aunque la resistencia es mucho mayor que en las vigas 3 y VIGAS RECTANGULARES CON REFUERZO EN TENSIÓN Para satisfacer las condiciones de análisis y diseño, se debe cumplir que los esfuerzos en cualquier punto deber ser siempre proporcionales a las deformaciones y debe existir equilibrio entre las fuerzas internas y externas. Para vigas cortas y peraltadas, lo anterior no se cumple. La fuerza en compresión es: C0.85 f c* b*a donde a β 1 c La fuerza en tensión es: T As fy Del equilibrio: T C As fy 0.85 f c b a Asfy a 0.85 f cb Profundidad del rectángulo de esfuerzos equivalente en compresión 5

14 As Se define ρ como la cuantía o porcentaje de acero en la sección efectiva. Reemplazando As bd ρbd se obtiene: ρbdfy ρdfy a (1) 0.85 f cb 0.85 f c El par interno en la sección es: Mn Tjd a Mn Asfy d El par interno en la sección también es: Mn Cjd a Mn 0.85 f cba d φ C La resistencia de diseño proporcionada por un elemento, sus conexiones con otros elementos, así como sus secciones transversales, en términos de flexión, carga axial, cortante y torsión, deben tomarse como la resistencia nominal calculada de acuerdo con los requisitos y suposiciones del Título C del Reglamento. C Secciones controladas por tracción como se define en CR9.3.. Con anterioridad a la edición de 00, el Reglamento ACI 318 especificaba la magnitud del factor φ para los casos de carga axial o de flexión, o ambos, en términos del tipo de carga. Para estos casos, el factor φ queda ahora determinado por las condiciones de deformación unitaria en las secciones transversales, en el estado de resistencia nominal. Se usa un factor φ más bajo para las secciones controladas por compresión que para las secciones controladas por tracción porque las secciones controladas por compresión tienen menor ductilidad, son más sensibles a las variaciones en la resistencia del concreto y, en general, se presentan en elementos que soportan mayores áreas cargadas que los elementos con secciones controladas por tracción. A los elementos con espirales se les asigna un φ más alto que para las columnas con estribos ya que poseen mayor ductilidad o tenacidad. Para secciones sometidas a carga axial con flexión, se determina las resistencias de diseño multiplicando tanto Pn como Mn por un único valor apropiado de φ. Las secciones controladas por compresión y controladas por tracción se encuentran definidas en C y C como aquellas con deformación unitaria neta de tracción en el acero extremo en tracción, en el estado de resistencia nominal, menor o 57

15 igual al límite de deformación unitaria de secciones controladas por compresión, e igual o mayor a respectivamente. Para las secciones con deformación unitaria neta a tracción ε t en el acero extremo en tracción, en resistencia nominal, entre los límites anteriores, el valor de φ puede ser determinado por interpolación lineal, como se aprecia en la figura CR9.3.. El concepto de la deformación unitaria neta de tracción en el acero extremo en tracción, ε t, se discute en CR Como en C se supone la deformación unitaria a la compresión del concreto, en el estado de resistencia nominal, igual a 0.003, los límites de deformación unitaria neta de tracción para los elementos controlados por compresión también pueden ser establecidos en términos de la relación c/dt, donde c es la distancia desde la fibra extrema en compresión al eje neutro cuando se llega a la resistencia nominal, y dt es la distancia desde la fibra extrema en compresión hasta la fibra extrema del acero en tracción. Los límites de c/dt para las secciones controladas por compresión y controladas por tracción son 0. y respectivamente. El límite de 0. se aplica a las secciones reforzadas con acero Grado 40 y a las secciones preesforzadas. En la figura CR9.3. también se presentan las ecuaciones para φ como una función de c/dt. CURVA DE VARIACION DE φ CR3.. a φ Mn φasfy d () Ecuación básica de capacidad en flexión de vigas a φ Mn φ0.85 f cba d (3) Reemplazo (1) en (3) 58

16 ρdfy φ Mn φρbdfy d (0.85) f c fy φ Mn φρbd fy ρ f c Solución: f c ρ *0.59* fy f c *0.59* fy Mu * f c bd φ * 0.59* fy Ecuación de diseño para encontrar la cuantía en una sección de concreto con refuerzo a tensión Diseño Balanceado Se debe revisar que fs fy. Se supone que el concreto falla cuando el acero empieza a fluir. Para la siguiente viga, la profundidad del eje neutro c b se define para falla balanceada. C La condición de deformación balanceada existe en una sección transversal cuando el refuerzo en tracción alcanza la deformación unitaria correspondiente a fy al mismo tiempo que el concreto en compresión alcanza su deformación unitaria última supuesta de C Las secciones se denominan controladas por compresión si la deformación unitaria neta de tracción en el acero extremo en tracción, ε t, es igual o menor que el límite de deformación unitaria controlada por compresión cuando el concreto en compresión alcanza su límite de deformación supuesto de El límite de deformación unitaria controlada por compresión es la deformación unitaria neta de tracción del refuerzo en condiciones de deformación unitaria balanceada. Para refuerzo Grado 40, y para todos los refuerzos preesforzados, se permite fijar el límite de deformación unitaria controlada por compresión en CR La resistencia nominal a la flexión de un elemento se alcanza cuando la deformación unitaria en la fibra extrema en compresión alcanza el límite de deformación unitaria asumido de La deformación unitaria neta de tracción ε t es la deformación unitaria de tracción en el refuerzo de acero extremo en tracción en el estado de resistencia nominal, sin considerar las deformaciones unitarias debidas 59

17 al preesforzado, flujo plástico, retracción y temperatura. La deformación unitaria neta de tracción en el refuerzo de acero extremo en tracción se determina a partir de una distribución de deformaciones unitarias lineal en el estado de resistencia nominal, como se aprecia en la figura. CR10.3.3, usando triángulos semejantes. Con anterioridad al desarrollo de estas disposiciones, el límite de deformación unitaria por tracción para los elementos sometidos a flexión no estaba establecido, pero se encontraba implícito en la cuantía máxima de refuerzo a tracción dada como una fracción deρ b, que dependía de la resistencia a la fluencia del refuerzo. El límite de deformación unitaria neta de tracción de para las secciones controladas por tracción se eligió de manera que fuera un valor único para todos los tipos de refuerzo de acero (preesforzado y no preesforzado) permitidos por este Título C del Reglamento NSR-10. De la semejanza de triángulos ε cu εy + ε c d c b b d cu ε cu ε y + ε cu ε y Multiplicando por Es MPa y se tiene que ε (C del NSR 10) cu d c b 00 fy + 00 Si el eje neutro c c b, la deformación en el acero excede ε y entonces se toma fs fy. Donde fs es el esfuerzo en el acero. Como a β 1 c, es la profundidad del bloque equivalente de esfuerzos, para diseño balanceado se tiene: a b β 1 c b a c b b β 1 a b 00 β 1 fy en MPa d fy + 00 Para diseñar se revisa que fs (esfuerzo en el acero) fy (Esfuerzo de fluencia) y se debe cumplir que: a d ab d b a β 1*c b 0

18 NSR-10 C Los elementos sometidos a flexión en general son controlados por tracción, mientras que los elementos en compresión en general son controlados por compresión. La resistencia nominal a la flexión de un elemento se alcanza cuando la deformación unitaria en la fibra extrema en compresión alcanza el límite de deformación unitaria asumido de Cuando la deformación unitaria neta de tracción en el acero de refuerzo extremo en tracción es suficientemente grande (igual o mayor a 0.005), la sección se define como controlada por tracción donde se puede esperar un claro aviso previo de falla con deflexión y agrietamiento excesivo. Cuando la deformación unitaria neta en tracción en el refuerzo de acero extremo en tracción es pequeña (menor o igual al límite de deformación unitaria controlada por compresión), se puede esperar una condición de falla frágil, sin un claro aviso de una falla inminente. Gráficamente: A continuación se calculará la cuantía balanceada. Para diseño balanceado se tiene que fs fy; se puede usar c b, donde c d b es la profundidad del eje neutro balanceado. ρbdfy ab Para a b c b β f c ρbdfy cbβ f c cb ρb fy Pero d.85β f c 0 1 Igualamos las expresiones c b d ε cu εy + ε cu 1

19 0.85β 1 f c ε cu ρ b fy ε y + ε cu 0.85β1 f c b (00000 MPa) fy y ρ ε β 1 f c 00 ρ b fy fy + 00 Donde f c y fy en MPa. ρ b se compara con la cuantía ρ de la ecuación de diseño y se puede asumir según NSR-98, pero para NSR-10 usar ρ max 0. 5ρb. ρ 0. 75ρ, max b 1. Problema: Hallar el momento nominal resistente de una viga de concreto simplemente reforzado, con f c 1 MPa, As 3φ7/8 y fy 40 MPa. 1. Se asume que fs fy en tensión T As f y As 3(3,87) 11,1 cm fy 40 MPa 11.1 T As * fy * 40* kn 100 Si el acero ha fluido, se soluciona normalmente, sino, es una solución más compleja.. Cálculo del área del bloque a compresión El bloque de esfuerzos en compresión, consiste en una carga uniformemente distribuida de altura a β 1 c y base 0.85 f c. C T 487. kn C 0.85f c β 1 c b C c 0.85 f cβ b 1 Para f c < 8 MPa β

20 *10 c 8.03* cm 0.85* 1*10 * 0.85*0.40 a β 1 c 0.85 (8,03),83 cm 3. Revisión fs fy. Por triángulos semejantes. ε c cu ε s ε t d c d ct ε t d ct ε c cu *10 * * *10 m Para un acero grado 0 ε y 40 *10 00 * Por lo tanto ε y fs fy, es decir que el acero fluye S 4. Cálculo del Momento nominal resistente φmn Mu jdt jd: distancia entre la fuerza resultante a tensión y la fuerza resultante a compresión a.83 jd d cm a φ Mn φ Asfy d φ: Coeficiente de reducción de resistencia igual a 0,9 para flexión. (C.9.3 del NSR98) φmn 0,9 [487, *10 3 *0,4159] 18,5 kn.m Momento nominal de diseño o resistente. Problema: Calcular el momento nominal resistente φmn para la siguiente Viga, fc1 MPa y fy 40 MPa 3

21 Calcular a Asfy a 0.85 f cb As 3(5,10) 15,3 cm 15.3/100 * 40*10 a 0. 1m 0.85* 1*10 *0.3 Revisar fs fy a d a b * 0.5 β 1 * * * d fy + 00 fy + 00 a ab Por lo tanto fs fy d d Calculo del momento nominal a φ Mn φ Asfy d 15.3 φ Mn 0.9 (40 *10 )( ) 83.4 Kn. m 100 4

22 3.. Diseño de Vigas Rectangulares 4 K1wl La deflexión máxima en una viga es de la forma: δ MAX La Tabla C.9.5..del NSR- EI 10, se especifican los espesores mínimos de losas y vigas en una dirección para que no haya necesidad de calcular deflexiones. C.7.7 Recubrimientos: Se debe recubrir el acero de refuerzo con un espesor de concreto para: 1. Evitar que la carbonatación (Electrolito) producida por el CO del medio ambiente sobre el concreto llegue al refuerzo y se produzca corrosión en el acero. El recubrimiento varía dependiendo del medio ambiente.. Que actué como un solo material. 3. Protección contra el fuego y pérdida de resistencia de las barras de acero. En el C.7.7 del NSR 10 se dan los recubrimientos mínimos para concreto vaciado en sitio. A continuación se transcribe lo que dice el reglamento al respecto. C RECUBRIMIENTO DEL REFUERZO C CONCRETO VACIADO EN SITIO (NO PREESFORZADO) - Las barras del refuerzo deben tener los recubrimientos mínimos dados a continuación. En ambientes agresivos deben utilizarse recubrimientos mayores que los mencionados, los cuales dependen de las condiciones de exposición. Recubrimiento mínimo (a) Concreto colocado directamente sobre el suelo y en contacto permanente con la tierra mm (b) Concreto expuesto a la intemperie o en contacto con suelo de relleno: Barras Nº (3/4") y 18M (18 mm) a Nº 18 (-1/4") y 55M (55 mm) mm Barras Nº 5 (5/8") y 1M (1 mm) y menores mm (c) Concreto no expuesto a la intemperie, ni en contacto con la tierra: 5

23 Todos los tipos de refuerzo en losas, muros y viguetas: Barras Nº 14 (1-3/4"), 45M (45 mm), Nº 18 (-1/4") y 55M (55 mm)...40 mm Barras Nº 11 (1-3/8") y 3M (3 mm) y menores... 0 mm En vigas y columnas: Refuerzo principal...40 mm Estribos y espirales mm En cascarones y losas plegadas Barras Nº (3/4") y 18M (18 mm) y mayores... 0 mm Barras Nº 5 (5/8") y 1M (1 mm) y menores mm Para ver los recubrimientos de elementos prefabricados ver el numeral C.7.7. y para pre esforzado ver el C Refuerzo mínimo a Flexión: Si el momento de falla es excedido por el momento actuante en una viga, puede ocurrir una falla súbita y colapsar, por esto es necesario las normas sismo resistentes NSR 98, que limita la cantidad de refuerzo a tensión. Según el C.10.5 del NSR 98, el As suministrado para un elemento a flexión, no debe ser menor a: As min f c 1.4 ρ min dbw dbw dbw f c en M Pa 4 fy fy 1.4 Para fy 40 MPa ρ min 0, 0033 fy 3. Problema: Diseñar una viga de luz exterior que carga su propio peso, una carga muerta de 10 kn/m, una carga viva de 5 kn/m. f c 1 MPa y fy 40 MPa, y la planta se presenta a continuación. 1. Pre dimensionamiento Se supone inicialmente b 0,30 m b 0,5 m (C.1.3) l 8.0 h m, Usaremos 0.5m Sección de vigas: 40cm*50cm

24 Separación Viguetas Smax Smax.5hlosa.5(0.5m) Smax 1.5m Smax 1.0m 8/1..7 vigas 8m/(7vigas) 1.14m Utilizaremos separación de 1.14m de centro de vigueta a centro de vigueta hloseta Luz libre entre viguetas/0 hloseta 1.14/0 0.0 No de Viguetas 8/1.5.4 viguetas 7 viguetas Separación de eje a ejeluz / viguetas 8/71.14m h (Altura de viguetas ) h 5b w h 5(0.1) 7

25 h 0. Para efectos prácticos se utilizara una altura igual a la losa. Evaluación de Cargas. Viguetas..(4kN/m 3 )*0.1*( )/(Separación entre viguetas) kn/m Muros. 3.5kN/ m Baldosa 1.0 kn/m Cielo raso. 0.3 kn/m Alistado.. ( kn/m 3 )* kn/m Casetón. 0.3 kn/m kn/m Carga muerta 7.34*L aferente 7.34*4 9.3 kn/m Peso propio( 4 KN/m 3 )*0.4* kn/m Carga viva(vivienda ) : 1.8kN/m Peso carga viva ( 1.8 KN/m )*4 7. kn/m Se realiza el avaluó de la carga ultima mediante combinaciones, el primero es 1.4D (Carga Muerta) y la otra es 1.D (Carga Muerta) + 1.L(Carga viva), de estos combos se deja el que arroje mayor carga. (NSR-10) Combo #1 1.4( ) kn/m Combo # 1.( )+1.(7. KN/m) 5.5 kn/m Utilizare Wu 5.5 kn/m. Utilizaremos f c 8MPa. 0.85β1 f c 00 ρ b fy 00 + fy ρ 0.015* max ρ max (8mpa)

26 +, 9 +, 1 wl 9 3. Calculo del refuerzo 3.1 Refuerzo positivo en centro de la luz fy φ Mn φρbd fy ρ f c wl wl kn-m 40.1 kn-m kn-m 1 f c ρ *0.59* fy f c *0.59* fy Mu * f c bd φ *0.59* fy Luz Larga L 8,0 m, b 0,40, d 0,4 φ Mn Mu(-) kn-m φ Mn Mu(+) kn-m 40.1 ρ ( ) ρ (+) As (-) [cm ] As (+) [cm ] Refuerzo superior #8 + 1#7 3# 4#8 + 1#7 Refuerzo inferior 3# #8 + #7 3# Separación 1.7cm 1.14cm 4.8 cm 1.14cm 9.4cm 1.14cm Separación S ( (! )#$ %á' ) (()' *' ) 9

27 4. Refuerzo balanceado (C ) 4.1 Cuantía 0.85β1 f c 00 ρ b fy 00 + fy ρ 0.015* < max No cumple 4. Alternativamente se puede usar: Borde con mayor refuerzo (Si cumple la fluencia para el extremo con mayor acero requerido, cumplirá para el centro de la luz y el otro extremo de la viga ya que requieren menor acero lo que mantendrá el diseño dúctil ).1 Asfy a 100 * 40 * cm 0.85 f cb 0.85 * 1*10 * 0.4 a d ab d ε cu 00 β * , E S ε cu + fy 0.1<0.35 a ab *0.5 Por lo tanto fs fy d d 3.3 VIGAS T Resultan de fundir monolíticamente el ala y el alma, o deben estar efectivamente unidas entre sí dando como resultado la viga T. En el C.8.1 Sistemas de vigas T, del NSR-10 se presentan las reglas para estimar el ancho de losa efectivo. 70

28 3.3.1 Análisis de Vigas T Cuando el centroide del área de compresión, cae dentro del alma, se tiene: Para evitar localizar el centroide, se pueden asumir vigas: Viga 1: Las alas resisten la compresión. Un área de compresión Asf, que corresponde al área de las alas que resiste la compresión, bajo esfuerzos de 0.85f`c, y cuya resultante es Cf. El área del acero que resiste la tensión es Asf. Asf: Área de acero que resiste la tensión. Tf: Resultante fuerza en tensión. Cf: Resultante fuerza en compresión. Mnf: Momento resistente de la viga. 71

29 Cf 0,85 f c( b bw) hf Tf Asf fy F 0 Asf fy 0,85 f c( b bw) hf 0,85 f c( b bw) hf Asf fy Mnf Tjd Cjd jd d hf Mn As / Mnf 0,85 f c( b bw) hf ( d hf f fy( d hf Tf Cf / ) / ) Viga : El alma resiste la compresión AswAs-Asf. Acero que resiste tensión correspondiente a compresión en el alma Tw: Fuerza en tensión. Cw: Fuerza en compresión. F 0 Asw fy 0,85 f cabw Asw fy a 0,85 f cbw Pr ofundidad M 0 Mnw Tjd Cjd jd d a / Mnw 0,85 f cb Mnw As w Tw Cw rectángulo w a( d a / ) fy( d a / ) compresion El momento nominal resistente en la sección es 7

30 φmn φ( Mnf φ 0,9 + Mnw) φmn φ0,85 f c( b bw) hf ( d hf φmn φas f fy( d hf / ) + φas 3.3. Diseño balanceado fs fy w / ) + φ0,85 f cbwa( d a / ) fy( d a / ) C La máxima deformación unitaria del concreto es cb d ab d ε cu ε + ε cu β 1 y fy fy Limite del refuerzo en vigas T. Según el C C del NSR-10, en todo elemento sometido a flexión el refuerzo no debe ser menor que el mínimo obtenido con: 0.5 f c As min b fy 1.4 As min b fy w d w d Para los elementos estáticamente determinados con el ala en tracción, As min debe ser mayor que el valor dado por la ecuación anterior usando bw o el ancho del ala, el que sea menor. Para asegurar el comportamiento dúctil, el NSR-10 en el C determina que las secciones se definen controladas por tensión o compresión. Las secciones se denominan controladas por compresión si la deformación unitaria neta de tracción en el acero extremo en tracción, εt, es igual o menor que el límite de deformación unitaria controlada por compresión cuando el concreto en compresión alcanza su límite de deformación supuesto de Cuando la deformación unitaria neta de tracción en el acero de refuerzo extremo en tracción es suficientemente grande (igual o mayor a 0.005), la sección se define como controlada por tracción donde se puede esperar un claro aviso previo de falla con deflexión y agrietamiento excesivo. 73

31 Para asegurar el comportamiento dúctil el NSR-10 en el C exige que b ρ 0, 75ρ, donde ρ es la cuantía balanceada para elementos sometidos a flexión sin fuerza axial. El NSR-10, para que la sección sea controlada pro tracción, se puede usar ρ 0. 5ρ aproximadamente. Se puede revisar de 3 maneras: 1. Si la zona de compresión es rectangular, fs fy y si a/d<0.5*a b /d y ρ 0.5ρ b entonces a / b 0.5( a / d). b. Si la zona de compresión tiene forma de T..1 El área de acero corresponde a la balanceada C As b b fy El área máxima de acero es 0.5As b. Cb: Fuerza resultante del rectángulo de compresión con profundidad a b.. Para fs fy y ρ 0, 5ρb, se puede usar una modificación para viga T. bw ρ bt ( ρbr + ρ f ) b b b ρ br : Cuantía balanceada para rectángulo en compresión donde b bw y ρ f A sf bwd 4. Problema: Analizar una viga T interior que tiene una luz libre de m, f c1mpa y fy 40 MPa. Corte transversal 1. El Cálculo del ancho efectivo b de la losa debe cumplir con el C.8.1., y no debe exceder 1/4 de la luz de la viga, y el ancho sobresaliente efectivo del ala a cada lado del alma no debe exceder:- (a) 8 veces el espesor de losa (b) la mitad de la distancia libre a la siguiente alma 74

32 Según el C en vigas que tengan losa a un solo lado, el ancho efectivo del ala debe ser menor a: (a) 1/1 de la luz de la viga, (b) veces el espesor de la losa, y (c) la mitad de la distancia libre a la siguiente alma., en el centro de la luz.momento positivo b l1 1. 5m b bw 8t 8* 0,10 0,80 b 1,85 m. 1.3 b bw l b.0m. Usar el menor valor de b 1.50 m.. Cálculo de a: Profundidad del rectángulo de esfuerzos en el centro de la luz (Momento Positivo). Asfy *3.87 /100 * 40*10 a 0. 03m 0,85 f cb 0.85* 1*10 *1.50 Como a ,10 m, La zona de compresión es rectangular. 3. Revisión de As As min 1,4 1.4 As * 5* < 3. fy 40 dbw cm cm Cumple 0.5 f c 0.5* 1 As < fy 40 dbw * 5* cm 3.cm Cumple 4. Revisar que fs fy. Diseño balanceado. 75

33 a d 0.5 ab β 1 0, d 00 + fy a ab Como < 0.5 diseño subreforzado d d 5. Momento nominal resistente φ Mn φ [ Asfy( d a / ) ] 3. φmn 0,9 * 40* φmn 03.3kN. m ( / ) 5. Análisis del momento negativo. Calculo del ancho efectivo. b5cm. Cálculo de a: Asfy a 0,85 f cb 7. Revisión w 4*.84/100 * 40* * 1*10 * m 1,4 1.4 As * 5* 5.1 < fy 40 dbw cm cm Cumple 0.5 f c 0.5* 1 As < fy 40 dbw * 5* 5 1.7cm 17.04cm Cumple 8. Revisión fs fy Diseño Balanceado a d ab 0.43 < d 9. Momento nominal resistente *0.5 0,5 *

34 φmn φ [ Asfy( d a / ) ] /100 [ * 40*10 ( / ] φmn 84.KN. m 5. Problema: Calcular el momento nominal positivo de diseño de la viga mostrada si f c1 MPa, fy 40 MPa C En vigas aisladas, en las que solamente se utilice la forma T para proporcionar con el ala un área adicional de compresión, el ala debe tener un espesor no menor de 1/ del ancho del alma, y un ancho efectivo no mayor de 4 veces el ancho del alma. 1. Calculo profundidad efectiva d Y d 3*5,10*,7 + *5,10*11,35 8,3cm 5*5,10 0 8,3 51,70cm. Cálculo de la profundidad del bloque de esfuerzos (Se supone viga rectangular): Asfy 5*5,10 /100 * 40x10 a 0, 13m 0,85 f cb 0,85* 1x10 * 0,45 Como a 0,13 > 0, 10 el rectángulo de esfuerzos cae en el alma. 3. Se divide la viga en dos, Viga 1 y 77

35 3.1 Viga 1. 0,85 f ' c( b bw) hf Asf fy 0,85* 1 10 (0,45 0,5)0,10 Asf 40x10 5 Asf 85x10 m 8,5cm Mnf 0,85 f ' c( b bw) hf ( d hf / ) Mnf 0,85* 1x10 (0,45 0,5)0,1(0,517 0,1/ ) Mnf 1,7kN. m 3. Viga : Asw fy a 0,85 f ' cbw Asw As Asf 5,5 8,5 17cm 17 * 40x10 a 100 0,1m 0,85* 1x10 *0,5 o Mn As f fy( d hf / ) Mn Mn Mn Mn Mn w w w w w 0,85 f `cbwa ( d a / ) 0,85* 1x10 31,0KN. m Asw* fy( d a / ) 31,0kN. m * 0,1*(0,517 0,1 / ) * 40x10 (0,517 0,1 / ) 4. Momento nominal resistente φ M n φ M n φm nf + φm nw 0,9 *1,7 + 0,9 *31,0 430,8kN. m 5. Revisar As As min o ρ ρ min 78

36 As min As min f `c dbw 7,05cm fy f `c dbf 4 fy,35cm < 5,5cm < 5,5cm. Diseño balanceado. Revisar fs fy a b ab 0.39 < d 0.5* Problema: Diseñar la viga T del eje B para el sistema viga placa mostrado. La viga forma parte de una luz interior de 10 m f c1mpa, fy40mpa. 1. Pre dimensionamiento: 79

37 1.1 Viga b 0,30 m h ln / 1 0,48 Usar 0,50 m (Tabla C.9.5 del NSR 10). 1. Placa maciza. Espesor de la placa t Ln / 8 3,70m / 8 0,13 Usar 0,15 m Ln: Luz libre. Ancho efectivo b. (C.9.5. NSR 10) Usar 1 10 b ln.50m 4 4 b bw 8t 1,0 b,7m b bw l 3,70 1,85m b 4,0m b.0m 1. Calculo de profundidad efectiva d 50-8,0 4cm suponiendo filas de acero. Evaluación de cargas sobre la viga usando el método del área aferente. 80

38 Carga Muerta (No hay muros divisorios) Peso propio de la viga 4*0,50*0,30 3, kn/m Peso propio de la losa 4*0,15*3,70 13,07 kn/m Alistado superior e inferior *0,08*4, kn/m Baldosa cemento 1,0kN/m *4,0 4,0 kn/m Total w cm 8 kn/m Carga Viva (vivienda) w cv 1,80 kn/m * 4,0 m 7, kn / m Carga última w u 1,*7,5 + 1, * 7, 45.1 kn /m La Viga T es: 81

39 3. Calculo de As fy φ Mn φρbd fy ρ f c wu * ln Mu 1 ρ.017 *10 As 18.8cm Usar : 5# * cm kN. m 4. Revisión Asmin Asmin (1,4 / fy )*dbw *40*433. cm Usar 7#8 35.7cm Calculo de a (Se supone viga rectangular) /100 * 40x10 a 0.018m 1. 8cm 0,85* 1x10 *.4 Viga rectangular ya que 1.8cm<15cm 5. Diseño Balanceado. Revisión fs fy a/d 1.8 / 4 0,043<0.5a b /d 0,35 Bien 8

40 . Cálculo φ M n φm φm φm n n n φ [ Asfy( d a / ) ] * 40* kN. m ( / ) 3.4 VIGA CANAL Isometría de Viga Canal en El Apoyo Se hace un corte transversal 83

41 Viga I As w *fy 0.85f c*b w* a fy Mnw φρ bd fy ρ f c a Mnw 1.7 f c* bw* a * d a Mnw As Asf * fy * d Viga II ( ) ( 9)h 3 M nf (As f* fy (d-h f /) M nf 0.85f cfy (b-b w ) Mn Mnf + Mnw ISOMETRIA DE VIGA CANAL (CENTRO DE LA LUZ) Se hace un corte transversal 84

42 7. PROBLEMA: Diseñar la viga canal que se muestra a continuación L m CM 5 kn m CV 5 kn m W.5 kn m Peso propioγ A Peso propio4 kn m (0.5m 0.35m 0.3m 0.3m) Peso propio.04 kn m W ) 1. (CM+PP)+1. CV+0.8 W W ) 1. S5 kn m +.04kN m T+1. 5kN m kN m W ) 4.45 kn m M ' U V W M ' 15.8 kn.m X M ' Z W ) l M 14 ' Z kn.m 85

43 Refuerzo Negativo 15.8 Nm 10 A N m 14cm m m Por tratarse de un refuerzo que debe ser colocado en las aletas de la viga, el refuerzo tiene que colocarse en pares. Usar 3#+#7 N ^ a m ^ N 0.0m.0cm m 0.5 A * N ^ m (0.5m 0.1m) 0.05m.4cm 40 M * 0.75 f (b b b ) h * dd f g h M 4.9kN.m (Este es el momento resistido por el hf sin contar el espesor de las aletas), Gráficamente: El resto de la compresión será absorbida por el par de aletas. Gráficamente: A b A A * A b 1.83cm.4cm A b.45cm a i.jkl p mnn W ox Xi l W.q. X i p 7.59cm lw X. Como la profundidad es mayor que los 5 cm de alma. El comportamiento mecánico es de viga canal en los apoyos. 8

44 M b Asw*fy *(d-a/) M b kn.m M r M b + M * M r 73.19kN.m+4.97kN.m M r kn.m Isométricamente el diseño a flexión nos queda así: un par de varillas #7 en cada aleta 3.5 VIGAS CON REFUERZO A COMPRESIÓN Caso I: Viga con refuerzo a tensión 87

45 Caso II: Viga con refuerzo a compresión Consideraciones 1. a < a 1 ya que cierta parte de la compresión la resiste el acero Cs, por lo tanto la fuerza de compresión en el concreto Cc es menor que en la viga con solo refuerzo en tensión.. j 1 d<j d. El momento adicional en compresión tiene poco efecto sobre el momento resistente Mn Mn 1 Asfyj 1 d Mn Asfyj d Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor. Incremento del Momento Resistente debido al acero de compresión 88

46 3. Se reduce considerablemente la deflexión a largo plazo en la viga por cargas sostenidas, debido a que el flujo plástico en el concreto se reduce al bajar los esfuerzos. Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor. Incremento del Momento Resistente debido al acero de compresión 4. Se incrementa la ductilidad, ya que a decrece, aumentando la deformación en el acero de tensión ε s. Esto es recomendable en caso de sismos, ya que la redundancia de la estructura con una buena ductilidad, permite la redistribución de momentos Análisis de vigas con refuerzo a tensión y compresión Cs: Resultante de compresión en el acero Cc: Resultante de compresión en el concreto A s: Acero de compresión As: Acero de tensión 89

47 T: Resultante de tensión Del diagrama de deformación ε cu ε s c c d' c d' c d' d' ε ' s ε cu c c c Si ε ' ε, entonces f s el esfuerzo de compresión en el acero A s, es igual a fy y se toma s f sfy. a c β ε ' s 1 y β 1d' 0,003 1 a En la fluencia ε ' ε fy/es, donde Es 00 GPa. d' fy 1 β1 a 00 d' 1 fy 1 a β 00 lim 1 s y d' Cuando es mayor que el valor anterior, el acero en compresión no ha alcanzado la fluencia a d' d' f s fy cuando d a lim Se divide la viga en dos: Viga 1: T 1 Cs 90

48 Viga : Cc T Caso I: El acero en compresión fluye En la viga 1, se supone que A s está bajo 0,85f c, el esfuerzo adicional para alcanzar la fluencia en la viga 1 es (fy-0,85f c) T 1 Cs As fy A' s( fy 0,85 f ' c) As 1 1 Mn 1 0,85 f ' c A' s 1 fy 0,85 f ' c A' s 1 fy( d d') fy Se puede simplificar, asumiendo que los esfuerzos de compresión en el acero son cero en Viga 1: Cs T 1 A s fy As 1 fy A s As 1 El momento nominal es: Mn 1 A s fy (d-d ) Para la viga Cc T As As As 1 As A s 91

49 Cc T 0,85 f ' cba As fy 0,85 f ' cba ( As As ) fy 1 ( As As1 ) fy a 0,85 f ' cb Momento nominal resistente. a Mn ( As As1) fy( d ) El momento nominal resistente total para el caso simplificado será: φmn φmn 1 + φmn a φmn φa' sfy( d d') + φ( As As1 ) fy d En momento nominal resistente total será: 0,85 f ' c φ Mn φ A' s 1 fy d d As As fy d a fy ( ') + φ ( 1) ( / ) 0,85 f ' c As A' s 1 fy a 0,85 f ' cb Otra forma es comparando las cuantías como se muestra a continuación. El acero superior ha fluido: ε S ε, f sfy. ρ max 0.5ρ b +ρ εcu εct εy v 9

50 c εwx εwxεy v Fh 0 T Cc + Cs ρ.b.d.fy 0.85.f c.β 1. c.b+ρ b.d.fy dividiendo por: b.d.fy ρ 0.85β 1 z w zy w { + ρ La cuantía mínima de acero a tracción ρ min 0.85β 1 z w zy εcu { { dεwxε! { h εy fy/es Cuantía Límite en el momento que el acero de compresión ha fluido. Si ε s>εy. Es la cuantía mínima de acero a tracción correspondiente a la fluencia del acero en compresión: ρmin 0.85β 1 z w zy { d ^XX ρ { ^XX^XXzy h+ Si el acero Superior ha fluido entonces ρ } ~{ ρ min Si la cuantía de acero es menor a este límite, el acero en compresión no ha fluido f s<fy ρ } ~{ ρ min Fh0 T Cc + Cs fyρ bd0.85f cβ 1 bc+ ρ bdf s divido por : bdfy ρ 0.85β 1 z w zy w +ρ z } { zy La cuantía balanceada de la sección doblemente reforzada: ρb T : cuantía refuerzo en tensión. ρ bt ρ b + ρ z } zy 93

51 f s Es* ε s Es[εcu - { ρ bt 0.5ρ b + ρ z } zy { (εy+εy) fy Si el acero a tracción es menor a ρ b y ρ min, el refuerzo en tracción se encuentra en fluencia pero el de compresión no. f s Es* E SEs Ecu( { w F H 0 Asfy 0.85f cβ 1 bc + A s Es εcu ( w{ w ) Asfy 0.85f cab+a ses εcu ( 1- β ) Despejo a ) Mu φ[0.85f c*a*b(d - ) + A s f s (d-d )] E s0.003( w{ ) < E y (A S no fluye) w E s0.003( {w ) > E y (A S fluye) w Para diseño balanceado fsfy, se asume que el acero de compresión y tensión fluyen. ab 00 β1 d 00 + fy a ( As As1 ) fy d 0,85 f `cdb ( As As ) 00 1 fy β fy 0,85 f `cdb As A' s Re emplazo ρ y ρ' bd db 0,85β f ' c 00 b fy 00 + fy 1 ( ρ ρ' ) Cuantia balanceada Caso II: El acero de compresión no fluye, pero el de tensión si: Momento nominal resistente (Para vigas que no fluye el acero a compresión) 94

52 φmn φ[cc( d- )+Cs(d-d )] φmn φ[0.85f c ba(d- )+ φ0.003esa s( 1- β m { )(d-d ) La fuerza en compresión es: Cs f ' sa' s Esε ' A' s Del equilibrio Cc + Cs T β1d' 0,85 f ' cba + EsA' s 1 * 0,003 Asfy a 0,85 f ' cba s + (0,003EsA' s Asfy) a 0,003EsA' sβ d' 0 Resolviendo la ecuación cuadrática, se encuentra la profundidad del rectángulo de compresión. (0,003EsA' s Asfy) a ± *0,85 f ' cb Momento no min al resistente (0,003EsA' s Asfy) *0,85 f ' cb a φmn φ Cc d + Cs( d d' ) a β1d' φmn φ0,85 f ' cba d + φ0,003esa' s 1 ( d d') a Diseño Balanceado fs fy 1 0,003EsA' sβ1d' + 0,85 f ' cb Para que esto ocurra se debe cumplir que el acero en tensión fluya. a d ab, pero d ab 00 β1 d 00 + fy a ( Asfy A' sf ' s) d 0,85β f ' cbd Re emplazo 1 ρ f ' s < As bd y fy ρ' A' s bd 95

53 Cuantia f ' s ρ ρ' fy balanceada b 0,85β1 f ' c fy fy f ' s f ' s Si ρ ρ' < ρ ρ' fy fy b, fs fy para acero en tension, diseño subreforzado. 8. Problema: Calcule el momento nominal resistente φ Mn para la viga mostrada (Caso I) 1. Cálculo de la profundidad del rectángulo de compresión a. Se asume que f sfy y f sfy As As As 1 *5,10 *3,87,8 cm Profundidad de a para la viga,8 * 40x10 a 100 0, 18m 0,85* 1x10 * 0,3. Revisión f sfy d' a 0,0 0,333 0,18 d' a lim 1 fy 1 β ,35 0,

54 d' d' Como 0,33 < 0. 35, el acero en compresión fluyo a a 3. Revisión f sfy lim a d 0,18 0,5 0,3 a b d * 0.5 0,5* <0.35 CUMPLE OK Chequeo grafico ε t X.XXZ X.ƒ^ X.XX X. 5.0*10 CUMPLE OK 4. Revisar As As min 1 As min *30 *5 4,58cm 4* 40 1,4 As min *30 *5 5,cm Momento nominal resistente As 30,cm 97

55 *3,87 φmn 0,9 * * 40x φmn 55,4KN : m,8 *(0,5 0,0) + 0,9* * 40x ,18 *(0,5 ) 9. Problema: Calcule el momento nominal resistente (Caso II). 1. Profundidad rectángulo compresión. Se asume f s fy y que fs fy As As As 1 3*5,1 15,3 cm 15,3 * 40x10 ( As As ) fy 1 a 100 0, 1m 0,85 f ' cb 0,85* 1x10 *0,3 3. Revisión si f s fy d' 0,0 0,5 a 0,1 d' a lim 0,35 d' d' Como > a a lim El acero f s no fluye 4. Recalcular a 98

56 0,85 f ' cba 5355x10 a a 3,48x ,x10 a 0,134 m 13,4cm + (0,003EsA' s Asfy) a 0,003EsA' sβ d' 0 5. Revisar fs fy a d 0,134 0,5 + ab 0,4 d 3 a ,1755 x Sección controlada por tensión. + 8,743x10 3 *05 0,5* a d lt 0,134 a 0,3 0,375β 0,5 00 d lt 1 0,3 Bien 5. Método grafico (NSR -10) X.XXZ X.ƒ^ ε t X.XX X.ƒq^ 7.*10 CUMPLE OK φ Mn kn.m 10. Problema: Diseñar el refuerzo a flexión en la viga de luz interior con una luz de 8.0m, f c 1Mpa, fy 40mpa, CM 7.1 KN/m (Incluye pesos propio de viga), CV.0kn/m (Oficinas), Longitud aferente de.0m. Usar sección de 30*50cm 99

57 1) Carga Ultima Wu 1.*(7.1)+1.*() 70.8Kn.m ) Momentos actuantes (Vano interior) 3. Momento Nominal Resistente. φmnφρbd fy ( ρzy z w ) Calculamos el φmn, con el ρ Max y si es menor que el M actuante, diseñamos la viga como doblemente reforzada ρ Max 0.5ρ bal 0.85β1 f c 00 ρ b fy 00 + fy ρ * max( 1Mpa) φmn 0.9*0.014*0.3*0.45 *40*10 (1-0.59* X.Xo ox Xi X i ) φmn 8.4Kn.m 4. φmn 1 Mu - φmn 4.1 Bordes φmn 1 Mu - φmn φmn

58 4. Centro de luz φmn Refuerzo en tensión As As max +As1 As ρ Max *b*d + φzy({{ ) 5.1 Borde As 0.014*30*4+ qˆ.ƒ X X.Š (ox X i )(X.oX.Xƒ) As cm 8.1 cm Usar #8 30. cm 5. Centro de la Luz As 0.014*30*4+ oš.ƒƒ X X.Š (ox X i )(X.oX.Xƒ) As Usar 7#+1#5 1.87cm. Refuerzo a compresión f s fy-0.85f c A s.1 Borde φz }({{ ) A s qˆ.ˆ X X.Š (oxx.ˆƒ ) X i (X.oX.Xƒ) A s cm Usar #8 + 1# cm. Centro de la Luz 101

59 A s oš.ƒƒ X X.Š (oxx.ˆƒ ) X i (X.oX.Xƒ) A s 3.7 cm Usar 1#5+1# 4.83 cm GRAFICAMENTE EL REFUERZO DE LA VIGA SERIA ASI 7 Revision de cuantías (ρ ρ ) max 0.5ρ bal 0.85β 1 f c 00 ρb fy fy + 00 ρ bal(1mpa) ρ max (1mpa) 0.015* Bordes (ρ ρ ) X.^o.Xq X o 7. Centro de luz (ρ ρ ).ˆqo.ˆ X o ( { ) Lim (1- zy ) ox (1- ) β m ^XX X.ˆƒ ^XX ( Œ ) Lim

60 9. (Profundidad de compresión) 0 [ } }d n.žk h]zy X.ˆƒz w ~ 9.1 Bordes 0 n.žk(wm mni) X.^o.Xq( jwn mn i )ox Xi X.ˆƒ ( X i ) X X.Xƒ 0.373, como > ({ ) Lim, El acero en compresión no fluye X.o 9. Centro de la Luz 0 n.žk(wm mni).ˆqo.ˆ( jwn mn i )ox Xi cm X.ˆƒ ( X i ) X X.Xƒ 0.39 como > ({ ) Lim, El acero en compresión no fluye X.ƒƒq Como el acero en compresión no fluyo, hay que recalcular a con la sgte ecuación 0.85f cba +(0.003EsA s-as.fy )a-0.003esa sβ 1 d o Después de recalcular a, hay que recalcular el Mn con la siguiente ecuación *Momento Nominal resistente φmn φ [Cc(d- )+Cs(d-d )] φmn φ0.85f c ba(d - )+ φ0.003esa s( 1- β m { )(d-d ) Este momento nominal seria el M n Con este momento se recalcularía de nuevo la sección y el refuerzo tanto en tensión como en compresión. Nota: Mayor acero en compresión garantiza un diseño controlado por tensión 10. Recalcular Recalculando a (Borde) Chequeo mediante el método grafico para saber si el diseño es controlado por tracción 103

61 ε t X.XXZ X.o X.XX X.ƒ^ CUMPLE OK 10. Recalculando a (Centro de luz) ε t X.XXZ X.o X.XX X.ƒˆ Et CUMPLE OK 11 Recalcular Mn 11.1 Recalculando Mn (Borde) Mn Kn.m 104

62 11. Recalculando Mn (centro de luz) Mn 94.8 Kn.m Conclusiones 1) El doble refuerzo mejoro significativamente el momento nominal resistente de la viga haciendo que el φmn sea ligeramente mayor que el momento actuante, tanto en los bordes, como en el centro de la luz. ) Una opción alternativa a realizar el diseño de una viga doblemente reforzada es aumentar las dimensiones de la viga y otra opción es aumentar la resistencia al concreto f c., La decisión de cambiar el diseño de la viga por alguna de estas alternativas mencionadas anteriormente, recae en evaluaciones técnicas (Arquitectónicas) y económicas. 3) Se puede apreciar que el diseño es controlado por tracción, ya que y que el acero en compresión no fluyo, esto da como resultado un aumento significativo del Momento nominal resistente. (Mayor acero en compresión mejora la resistencia a la flexión y garantiza con mayor seguridad un diseño controlado por tracción). 4) El despiece en vigas se debe hacer con barras de refuerzo con el menor diámetro posible esto disminuye los efectos de la fisuración por retracción de fraguado y flujo plástico., usando un refuerzo base o principal con barra no menor a la #5, se pueden usar taches (barras rectas) y bastones de barra #3 y #4, siempre y cuando no haya más de un diámetro de por medio en las barras utilizadas. En columnas es preferible lo contrario, se despieza con barras de mayor diámetro. 105