Ejercicios de Microondas (segundo parcial)

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1 Ejercicios de Microondas (segundo parcial) Eugenio Jiménez Yguácel aboratorio de Electrónica de Comunicaciones Ejercicio 1 Sea un cuadripolo cargado a su entrada y salida con impedancias Z g y Z l (figura 1). Calcule los coeficientes de reflexión ρ in y ρ out Suponga ahora que las impedancias de generador y carga son iguales y del mismo valor que la impedancia característica. Calcule de nuevo los coeficientes de reflexión ρ in y ρ out. Razone sobre el resultado obtenido. Calcule la ganancia de potencia definida como b a a 1 b 1 Es máxima la transferencia de potencia? Considere ahora el caso unilateral (s 1 = 0) Qué condiciones tienen que cumplir los parámetros s 11 y s para que el dispositivo sea incondicionalmente estable y adaptable mediante dos redes de entrada y salida pasivas, lineales y sin pérdidas? Cuánto vale la ganancia de potencia anteriormente definida si adaptamos entrada y salida simultáneamente? ρ out Zg Vg [S] Zl ρ in Figura 1: Circuito del ejercicio 1. Ejercicio Un dispositivo ampliamente utilizado como conmutador en microondas es el diodo PIN. En un modelo muy simplificado y cuando utilizamos la configuración paralelo, el diodo puede actuar como una pequeña resistencia conectada a masa de valor R f cuando se polariza en directa o como una pequeña capacidad C j cuando se polariza en inversa. De esta manera, el circuito equivalente del diodo es el cuadripolo mostrado en la figura donde la admitancia Y toma el valor 1/R f con el diodo en directa y jωc j con el diodo en inversa. Definimos las pérdidas de transmisión como s 1. Cuando el diodo conduce estas pérdidas deben ser altas, refleja la señal, y cuando está en inversa deben ser bajas, deja pasar la señal. El diodo PIN modelo MMP7069 de la casa MicroMetrics tiene las siguientes caracteristicas: C j =.5 pf (V=-10V) R f =0.7Ω (I d =100 ma). Calcule el aislamiento, en decibelios, de dicho diodo para los estados de conducción y corte. a impedancia de referencia,, es de 50Ω y la frecuencia de funcionamiento 10 GHz. Una posible aplicación de un conmutador de este tipo es la realización de duplexores. Dichos dispositivos permiten que una misma antena pueda servir para recibir y transmitir manteniendo

2 Y Figura : Modelo simple del diodo en configuración paralelo. aisladas las etapas de emision y recepción. En la figura 3 se muestra un modelo simple de un dispositivo de este tipo. os acopladores son de tipo branch line ideales; 3dB y 90 grados. os conmutadores son diodos del mismo tipo que hemos estudiado antes (MMP7069) Calcule la potencia que llega a la antena y al receptor procedente del transmisor cuando los diodos conducen y cuando están en inversa. Calcule la potencia que llega de la antena al transmisor y al receptor en las mismas circustancias (conducción y corte). Calcule tambien la potencia que se disipa en la carga adaptada en cada uno de los casos anteriores. Tx Rx Ant 3 db 90 o 3 db 90 o Figura 3: Modelo de duplexor. Ejercicio 3 Sea un cuadripolo cargado a su entrada y salida con impedancias Z g y Z l (figura 4). Calcule la ganancia de potencia definida como b a a 1 b 1 Considere ahora el caso unilateral (s 1 = 0) Cuánto vale, en función de los parámetros S, la ganancia de potencia anteriormente definida si adaptamos entrada y salida simultáneamente? ρ out Zg Vg [S] Zl ρ in Figura 4: Circuito del ejercicio 3. Ejercicio 4 Sea un cuadripolo del que se conocen sus parámetros S medidos respecto a 50Ω. s 11 = 0,+0,1j, s 1 = 0, s 1 = 4,0 y s = 0,1 Calcule la estabilidad y la posibilidad de adaptar simultáneamente ambas puertas. Si fuera posible la adaptación, calcule las impedancias de máxima transferencia de potencia y la ganancia definida como b a a 1 b 1 Ejercicio 5. Obtenga los parámetros S de un cuadripolo constituido por una línea ideal en λ/4 que adapta dos líneas de impedancias características 1 y. Tenga en cuenta que en este caso las impedancias de referencia en cada puerto son distintas. Ejercicio 6 Se quiere transmitir una señal de 10 GHz usando una guía circular rellena de aire. Calcule qué diámetro debería tener de modo que la frecuencia de corte más baja sea un 0 % inferior a la señal a transmitir. Si la guía tuviera que operar a 15 GHz Qué modos se propagarían?

3 as frecuencias de corte de los modos TM nl son f c (T M nl ) = son f c (T E nl ) = p nl πa µɛ tomando p nl y p nl los valores de la siguiente tabla n p n1 p n p n3 p n1 p n p n p nl πa µɛ y las de los modos TE nl Ejercicio 7 Sea un cuadripolo formado por un transformador ideal de relación de espiras entre primario y secundario de n : 1 Con las corrientes y tensiones definidas tal y como muestra la figura 5 las realciones entre ellas son: V 1 = nv e I = ni 1 Calcule los parámetros S de dicho cuadripolo respecto a una impedancia característica I I 1 V V 1 n:1 Figura 5: Transformador. Ejercicio 8 Un circuito muy utilizado en la práctica es el acoplador branch line cuya implementación en tecnología microstrip se muestra en la figura 6. Este híbrido consta de cuatro tramos de línea de longitud λ/4 con los valores de impedancia característica indicados. Su funcionamiento es el siguiente. a señal que entra por la puerta 1 se divide a partes iguales entre las puertas y 3 no llegando nada a la puerta 4. as señales en las puertas y 3 tienen una diferencia de fase entre ellas de 90 grados; esto es si tomamos como origen de fases (0 grados) la puerta, la fase de la señal en la puerta 3 es de 90 grados. Suponga que las puertas 1 y no tienen desfase entre sí. A partir de estos razonamientos y sabiendo que todas las puertas están adaptadas calcule los parámetros s 11, s 1, s 31 y s 41. λ/4 1 λ/4 4 3 Figura 6: Híbrido branch line. Para fabricar un híbrido de este tipo disponemos del substrato MC5 de la casa Glasteel Industrial aminates. a altura del substrato, h, es de 30 mils (1mil=0.054mm) y su constante dieléctrica, ɛ r, es de 3.6. as ecuaciones de diseño que pueden utilizarse son. ínea estrecha: > (44 ɛ r )Ω ( w e H h = 8 1 4e H ɛ eff = ɛ r + 1 ) 1 H = Z 0 (ɛr + 1) 119, 9 { 1 + 9, 98 ( ɛ r ( ɛr 1 ɛ r + 1 ) 1/ ( ɛr 1 ɛ r + 1 ) ( ln π + 1 ln 4 ) ɛ r π ) ( ln π + 1 ɛ r ln 4 π ) } 3

4 ínea ancha < (44 ɛ r )Ω w h = π {(d ɛ 1) ln(d ɛ 1)} + ɛ ( r 1 ln(d ɛ 1) + 0, 93 πɛ r ɛ eff = ) 0, 517 ɛ r ɛ r 0, 96 + ɛ r (0, 109 0, 004ɛ r ){log 10 (10 + ) 1} d ɛ = 59, 95π ɛr Calcule las longitudes y anchuras de las líneas si la frecuencia de trabajo es de 10 GHz y = 50Ω. Recuerde que λ g = λ 0 / ɛ eff Ejercicio 9 En una guía circular de radio a=3cm trabajando en el modo dominante TE 11 a una frecuencia de 3 GHz, se coloca un iris circular de diámetro d=1cm (figura 7). Dicho iris está centrado en la guía y tiene un espesor que puede considerarse despreciable. A todos los efectos, el iris puede considerarse como una admitancia en paralelo de valor jb, que, normalizada respecto a la admitancia del modo dominante Y T E 11 0 tiene un valor B Y T E 11 0 = λ g 4a [ (a) 3 8, 4M ], 344 M = d3 6 d a d a Figura 7: Guia circular con iris inductivo. Calcule la matriz de parámetros S referida a la impedancia del modo dominante situando los puertos de referencia en el punto donde está localizado el iris. A partir de la matriz obtenida, determinar los nuevos parámetros referidos a planos situados simétricamente a una distancia del iris. β = ω µɛ 1 ( ) fc λ g = f λ 1 ( fc f ) Z T E = η 1 ( fc f ) f c (T E 11) = 1,84 πa µɛ Ejercicio 10 Sea el atenuador mostrado en la figura 8. El parámetro s 1 calculado respecto a una impedancia Z vale s 1 = 0 Z p a atenuación de potencia que introduce el circuito es Z 0 +ZpZs+Z s+ Z p+z s α = s 1 Calcule el valor de las impedancias Z p y Z s en función de α y si el circuito debe tener la entrada y la salida adaptadas a (s 11 = s = 0) Zs Zs Zp Figura 8: Atenuador en T. 4

5 Ejercicio 11 Un circuito muy utilizado cuando se necesitan grandes atenuaciones controlables de una manera muy precisa es el atenuador de pistón (figura 9). El funcionamiento es como sigue: por medio de un conector coaxial se inyecta señal en una cavidad. Dicha cavidad está acoplada a una guía cilíndrica mediante un iris y tiene un poste dieléctrico variable que permite adaptar la transición cavidad-guía. a guía, para el rango de frecuencias de funcionamiento, está siempre al corte siendo la constante de propagación real y negativa. En estas condiciones, los campos sufren una atenuación exponencial con la distancia. a guía está situada sobre una junta deslizante y se mueve mediante un tornillo micrométrico. Por tanto, al variar la longitud del tramo de guía, varía la atenuación. Junta deslizante Salida Entrada Guia cilindrica al corte Cavidad Figura 9: Atenuador de pistón. Sabiendo que la frecuencia de corte del modo dominante en la guía es f c (T E 11 ) = 1,84 πa µɛ obtenga la fórmula de la atenuación introducida (db/m) en función de la frecuencia y el radio de la guía (1 Nep/m=8.686 db/m) Puede utlizar las fórmulas del ejercicio 9. Ejercicio 1 Se ha medido un transistor a la frecuencia de 4 GHz montado sobre un circuito microstrip como se muestra en la figura 10. as líneas de entrada y salida tienen una longitud de 0 y 16 mm respectivamente, una impedancia de 50Ω y una constante dieléctrica efectiva, ɛ eff, de 1,5. os valores medidos sobre los planos de referencia de los conectores son para 50Ω los siguientes: S 11 = 4dB Arg(S 11 ) = 80 o S 1 = 16dB Arg(S 1 ) = 60 o S 1 = +1dB Arg(S 1 ) = 5 o S = 10dB Arg(S ) = 10 o Determine los valores de los parámetros S medidos en los planos de referencia del transistor. Planos de referencia originales 0 mm 16 mm Nuevos planos de referencia Figura 10: Amplificador en tecnología microstrip. Ejercicio 13 El circuito mostrado en la figura 11 es un dispositivo del que se quiere conocer su funcionamiento. a matriz de los acopladores teniendo en cuenta la numeración de los puertos indicada es [S] = j j j j 1 0 5

6 ρ l Entrada Z l 1 Salida Acop. 4 3 ρ l Z l Figura 11: Circuito del ejercicio 13. Calcule la matriz S del conjunto. Qué tipo de impedancias deberíamos utilizar para convertir este dispositivo en un amplificador? Ejercicio 14 El circuito mostrado en la figura 1 es un amplificador balanceado. os amplificadores son idénticos, no están adaptados y conocemos sus parámetros S. a matriz de los acopladores teniendo en cuenta la numeración de los puertos indicada es [S] = j j j j 1 0 Carga Entrada Amp. 1 Salida 4 3 Acop. Acop. Carga Amp. Figura 1: Amplificador balanceado. Calcule la matriz S del conjunto, compárela con la matriz S de uno de los amplificadores y comente los resultados Ejercicio 15 Sea un conjunto de cuadripolos conectados en cascada tal y como muestra la figura 13 y de los que conocemos su matriz de parámetros S a k b k+n+1 k k+1 k+n b k a k+n+1 Figura 13: Cuadripolos en cascada. Para calcular la matriz S del conjunto se utiliza un nuevo conjunto de parámetros, los T. 6

7 Dichos parámetros se definen a partir de los S. t 11 = s 1 s 11s s 1 t 1 = s s 1 t 1 = s 11 s 1 t = s 1 1 s 11 = t 1 t s 1 = 1 t s 1 = t 11 t 1t 1 t s = t 1 t a ventaja de estos nuevos parámetros es que la matriz del conjunto se puede escribir como el producto de las matrices de cada uno de los cuadripolos. b k+n+1 = T k+n T k+n 1 T k a k a k+n+1 b k Utilizando estos parámetros, queremos calcular la matriz de parámetros S del circuito mostrado en la figura 14 Figura 14: Circuito del tercer ejercicio. Calcule primero los parámetros S de un tramo de línea de transmisión de longitud y los del stub en abierto (considérelo como una admitancia en paralelo). Una vez que tenga dichos parámetros, calcule los parametros T de cada uno de los tres cuadripolos, la matriz T del conjunto y la matriz S del conjunto. Compare los resultados con los obtenidos utilizando las matrices de desplazamiento de puertos. Calcule directamente (a partir de su definición) el parámetro s 11 del conjunto. Ejercicio 16 En el dibujo de la figura 15 se muestra un desfasador construido mediante diodos PIN usando tecnología microtira. os diodos funcionan como conmutadores pudiendo poner en paralelo con el tramo de línea las dos admitancias cuyo valor normalizado es B. Cuando estén polarizados en directa supondremos que los diodos actuan como un corto y cuando estén en inversa como un abierto. DC λ /4 g λ /4 g Polarización λ /4 g Y=jB Y=jB Figura 15: Desfasador con diodos PIN. 7

8 Calcule los parámetros S del circuito con los diodos polarizados en directa y en inversa. Utilice como impedancia de normalización la de la línea en la que están conectados los diodos. Qué desfase introduce el circuito? Nota: El circuito de polarización no afecta a la hora de calcular los parámetros S Ejercicio 17 Sea un cuadripolo pasivo y sin pérdidas cuya matriz de parámetros S medidos respecto a es a exp(jφ 1) b exp(jφ ) c exp(jφ 3 ) d exp(jφ 4 ) donde a, b, c y d son números reales cuyo valor absoluto es menor o igual que uno. Teniendo en cuenta que la matriz de un dispositivo de ese tipo es unitaria, [S] h [S] = [I] y [S][S] h = [I] siendo [S] h la traspuesta conjugada e [I] la matriz unidad, demuestre que la matriz del cuadripolo se puede escribir como cos τ exp(jφ 1) sin τ exp(jφ ) sin τ exp(jφ 3 ) cos τ exp(j(φ φ 1 + φ 3 )) siendo a = cos τ y b = sin τ. Si el cuadripolo además es recíproco, s 1 = s 1, justifique por qué la matriz se puede escribir como cos τ sin τ exp(jφ ) sin τ exp(jφ ) cos τ exp(jφ ) Haciendo uso de la propiedad anterior, demuestre que si cargamos el cuadripolo a la salida de manera que haya máxima transferencia de potencia en la salida, el coeficiente de reflexión a la entrada es nulo, ρ in = 0 si la impedancia del generador es ρ out Vg [S] Zl ρ in Figura 16: Cuadripolo del ejercicio 17. Ejercicio 18 a figura 17 es un conmmutador realizado con tecnología micrstrip y diodos PIN. El diodo PIN, cuando está polarizado en directa, se comporta como una pequeña resistencia de valor R f. Cuando se polariza en inversa, se comporta como un condensador de valor C j. Definimos el aislamiento como 10 log s 1 cuando el diodo está en directa; conmutador en OFF y definimos las pérdidas de inserción de la misma manera pero cuendo el diodo está en inversa; conmutador en ON. a impedancia de normalización es la misma en los dos puertos e igual a la de la línea de longitud λ/4. Calcule el aislamiento y las pérdidas de inserción del conmutador. 8

9 λ /4 g DC λ /4 g Polarización In Out λ /4 g Figura 17: Conmutador con diodo PIN paralelo. Ejercicio 19 Una posible técnica de estabilización es el padding. Dicha técnica consiste en añadir una resistencia en serie o en paralelo en alguno de los puertos (o en los dos) del dispositivo que se quiere estabilizar (figura 18) 1 [S] R Figura 18: Estabilización mediante padding Calcule los nuevos valores de los parámetros s 11 y s del conjunto. Ejercicio 0 Sea el circuito mostrado en la figura 19 C C Figura 19: Transformador el λ/4 discreto Dicho circuito se suele usar para sustituir un tramo de línea de longitud eléctrica λ/4 a la frecuencia f 0 e impedancia característica. Demuestre que esto es así cuando los valores de la bobina y el condensador son = πf 0 y C = 1 πf 0. Esto es; demuestre que una impedancia cualquiera Z puesta en uno de los dos puertos, aparece en el otro reflejada como Z0 /Z y calcule los parámetros S respecto a 9

10 Ejercicio 1 Un dispositivo ampliamente utilizado como atenuador en microondas es el diodo PIN. En un modelo muy simplificado y utilizando la configuración serie, el diodo puede funciona como una resistencia de valor R f cuando se polariza en directa. El valor de esta resistencia se puede variar modificando el punto de polarización del diodo; la corriente que lo atraviesa. En la figura 0 se muestra un modelo simple de un atenuador de este tipo. El acoplador es un branch line ideal; 3dB y 90 grados. os diodos son PIN y la matriz S del híbrido definida respecto a la impedancia es 0 1 j 0 [S] = j j j 1 0 Entrada Salida Polarización Figura 0: Atenuador a diodos PIN Calcule la matriz de parámetros S del diodo PIN considerándolo como un cuadripolo formado por una impedancia serie (0.5 pt.) Calcule la relación entre la potencia de entrada y la de salida en función de la R f del diodo y la impedancia de carga. os condensadores son bloqueos de contínua o desacoplos de alimentación y las bobinas son bloqueos de RF. No influyen en el modelo simplificado; las bobinas se comportan como abiertos y los condensadores como cortos (.0 pt.) Ejercicio En la figura 1 se puede ver un modelo muy simplificado de un amplificador con FET y realimentación de fuente. Calcule la matriz de parámetros S del amplificador respecto a la impedancia de referencia (1 pt.) 1 G D S 1 Vg g mvg Z0 Figura 1: Amplificador con FET Consideremos ahora el transistor como un multipolo de tres puertos tal y como muestra la figura. En esas condiciones, la correspondencia entre los parámetros S del transistor y los del amplificador con realimentación de fuente es la siguiente: os restantes parámetros del transistor se pueden calcular sabiendo que la suma de culaquier columna y de cualquier fila es la unidad. Esto es: i=3 s ij = 1 j = i=1 i=3 s ji = 1 j = i=1 10

11 Amplificador s11 s1 s1 s Transistor s11 s13 s31 s33 D G S 1 3 Figura : FET como multipolo de tres puertos Calcule la matriz de parámetros S del transistor respecto a la impedancia de referencia. Si no hubiera resulto el primer apartado del ejercicio, exprese el resultado en función de los parámetros S del amplificador de forma genérica (s a 11,sa 1,sa 1,sa ) (1.5 pt.) Sea ahora un multipolo al que en su puerto k se le ha conectado un dipolo que introduce un coeficiente de reflexión ρ k (figura 3). En esas condiciones, los parámetros S del nuevo multipolo, que tiene un puerto menos que el original, son s T ij = s ij + s iks kj ρ k 1 s kk ρ k 1 i j k ρ k 3 D S G 1 Figura 3: Conexión multipolo con dipolo Calcule los parámetros S de un amplificador en configuración de puerta común (figura 3) utilizando la propiedad enunciada. Si no hubiera resuelto el segundo apartado del ejercicio, exprese el resultado en función de los parámetros S del transistor de forma genérica (s t ij i = j = ) (1.5 pt.) 11