brazo de palanca momento de torsión. no concurrentes. tendencia a girar m om ento de torsión. equilibrio rotacional, línea de acción

Transcripción

1 Al completar este capítulo el alumno: Ilustrará mediante ejemplos y definiciones su comprensión de los términos brazo de palanca y momento de torsión. Calculará el momento de torsión resultante respecto a cualquier eje, dadas las magnitudes y posiciones de las fuerzas que actúan sobre un objeto alargado. Determinará las fuerzas o distancias desconocidas aplicando la primera y segunda condiciones de equilibrio. Definirá centro de gravedad y dará ejemplos de dicho concepto. En los capítulos anteriores nos hemos referido a las fuerzas que actúan en un solo punto. Existe un equilibrio traslacional cuando la suma vectorial es cero. Sin embargo, en muchos casos las fuerzas que actúan sobre un objeto no tienen un punto de aplicación común. Este tipo de fuerzas se llaman no concurrentes. Por ejemplo, un mecánico ejerce una fuerza en el maneral de una llave para apretar un perno. Un carpintero utiliza una palanca larga para extraer la tapa de una caja de madera. Un ingeniero considera las fúerzas de torsión que tienden a arrancar una viga de la pared. El volante de un automóvil gira por el efecto de fuerzas que no tienen un punto de aplicación común. En casos como éstos, puede haber una tendencia a girar que se define como momento de torsión. Si aprendemos a medir y a prever los momentos de torsión producidos por ciertas fuerzas, será posible obtener los efectos rotacionales deseados. Si no se desea la rotación, es preciso que no haya ningún momento de torsión resultante. Esto conduce en forma natural a la condición de equilibrio rotacional, que es muy importante en aplicaciones industriales y en ingeniería. Cuando un cuerpo está en equilibrio, debe encontrase en reposo o en estado de movimiento rectilíneo uniforme. De acuerdo con la primera ley de Newton, lo único que puede cambiar dicha situación es la aplicación de una fuerza resultante. Hemos visto que si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo tienen un solo punto de intersección y si su suma vectorial es igual a cero, el sistema debe estar en equilibrio. Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas que no tienen una línea de acción común, tal vez exista equilibrio traslacional pero no necesariamente equilibrio rotacional. En otras palabras, quizá no se mueva ni a la derecha ni a la izquierda, tampoco hacia arriba ni hacia abajo, pero puede seguir girando. Al estudiar el equilibrio debemos tomar en cuenta el punto de aplicación de cada fuerza además de su magnitud.

2 JV w y F W F (a) Hay equilibrio puesto que las fuerzas tienen la misma línea de acción, (b) No hay equilibrio porque las fuerzas opuestas no tienen la misma línea de acción. Considere las fuerzas que se ejercen sobre la llave de tuercas de la figura 5 -la. Dos fuerzas F iguales y opuestas se aplican a la derecha y a la izquierda. La prim era condición de equilibrio nos dice que las fuerzas horizontales y verticales están equilibradas; por lo tanto, se dice que el sistema está en equilibrio. No obstante, si las mismas dos fuerzas se aplican com o indica la figura 5 -Ib, la llave de tuercas definitivamente tiende a girar. Esto es cierto incluso si el vector que resulta de la sum a de fuerzas sigue siendo cero. Es obvio que se requiere una segunda condición de equilibrio que explique el m ovim iento rotacional. U n enunciado form al de esta condición se presentará posteriorm ente, aunque antes es necesario definir algunos térm inos. En la figura 5 -Ib, las fuerzas F no tienen la m ism a línea de acción. La de una fuerza es una línea im aginaria que se extiende indefinidamente a lo largo del vector en am bas direcciones. Cuando las líneas de acción de las fuerzas no se intersecan en un m ism o punto, puede haber rotación respecto a un punto llam ado el eje de rotación. En nuestro ejemplo, el eje de rotación es una línea im aginaria que pasa a través del perno en dirección perpendicular a la página. La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de acción de la fuerza se llam a brazo de palanca de la fuerza, el cual determ ina la eficacia de una fuerza dada para provocar el m ovim iento rotacional. Por ejemplo, si se ejerce una fuerza F a distancias cada vez mayores del centro de una gran rueda, gradualm ente será más fácil hacer girar la rueda en relación con su centro (véase la figura 5-2.) El de una fuerza es la distancia perpendicular que h ay de la línea de acción de la fuerza al eje de rotación. 101

3 La fuerza no equilibrada F no produce ningún efecto rotacional sobre el punto A pero cada vez es más eficaz a medida que aumenta su brazo de palanca. Si la línea de acción de la fuerza pasa por el eje de rotación (punto A de la figura 5-2), el brazo de palanca vale cero. Se observa que no hay efecto rotacional, independientem ente de la m agnitud de la fuerza. En este sencillo ejemplo, los brazos de palanca en los puntos B y C son simplemente la distancia de los ejes de rotación al punto de aplicación de la fuerza. Sin embargo, hay que notar que la línea de acción de la fuerza no es más que una sencilla construcción geométrica. El brazo de palanca se traza perpendicular a esta línea. Debe ser igual la distancia del eje al punto de aplicación de la fuerza, pero esto es cierto sólo cuando la fuerza aplicada es perpendicular a esta distancia. En los ejemplos de la figura 5-3, r representa el brazo de palanca; y O, el eje de rotación. Estudie cada ejemplo, observando cóm o se trazan los brazos de palanca y razonando si la rotación es en el mismo sentido o contraria al avance de las manecillas del reloj con respecto a O. (a) (b) Algunos ejemplos de brazos de palanca. 102

4 Se ha definido la fu erza com o un tirón o un em pujón que tiende a causar un m ovim iento. El m om ento de torsión r se define com o la tendencia a producir un cam bio en el m ovim iento rotacional. En algunos textos se le llam a tam bién m om ento de fuerza.* Com o ya hem os visto, el m ovim iento rotacional se ve afectado tanto por la m agnitud de una fuerza F com o por su brazo de palanca r. Por lo tanto, definiremos el m om ento de torsión com o el producto de una fuerza por su brazo de palanca. M omento de torsión = fuerza X brazo de palanca T Fr Es preciso entender que en la ecuación (5-1) r se mide en forma perpendicular a la línea de acción de la fuerza F. Las unidades del m om ento de torsión son las unidades de fuerza por distancia, por ejemplo, newton-metro (N m) y libra-pie (Ib ft). Ya antes se estableció una convención de signos para indicar la dirección de las fuerzas. La dirección del m om ento de torsión depende de si éste tiende a producir la rotación en el sentido de avance de las manecillas del reloj, o sentido retrógrado (sr), o en dirección contraria a ellas o sentido directo (sd). Seguiremos la misma convención que para m edir ángulos. Si la fuerza F tiende a producir una rotación contraria a la de las manecillas con respecto a un eje, el m om ento de torsión se considerará positivo. Los m omentos de torsión en el sentido de las manecillas del reloj se considerarán negativos. En la figura 5-3, todos los m om entos de torsión son positivos (sd), excepto el correspondiente a la figura 5-3a. -i. U 5D DE LA J A!íU!A ü D.íí;\ Algunas calculadoras científicas permiten programar fórmulas en ellas, de manera que basta sustituir los valores de las variables conocidas para obtener la respuesta que busca. Le sugerimos que haga la prueba tecleando los ejemplos que aparecen en el manual de instrucciones de la calculadora. Una vez que haya programado la calculadora, trabaje con ejemplos sencillos para comprobar que todo funciona correctamente. Asegúrese de que se trata de una fórmula "general" y no de la respuesta literal a un problema en particular. Se ejerce una fuerza de 20 N sobre un cable enrollado alrededor de un tam bor de 120 m m. Cuál es el m om ento de torsión producido aproxim adam ente al centro del tam bor? ( Véase la figura 5-4.) Fuerza tangencial ejercida por el cable enrollado alrededor de un tambor. Note que la línea de acción de la fuerza de 20 N es perpendicular al diám etro del tam bor. Por lo tanto, el brazo de palanca es igual al radio del tam bor. Si se * Al momento de torsión también se le ha llamado en algunos textos, torque o torca (N. del R.T.) 20 N Tecnología actual La Estación Espacial Internacional se instalará con ayuda de una versión de alta tecnología de un taladro inalámbrico. La herramienta en cuestión con mango de pistola, o PGT, alimentada por baterías puede contar el número de revoluciones y limitar la magnitud del momento de torsión aplicado a un perno. La NASA ordena a los diseñadores que usen un solo tipo de perno, el cual pueda ser manipulado fácilmente por los astronautas con sus trajes espaciales EVA (para actividades extravehiculares).

5 convierte el diám etro a m etros (0.12 m ), el radio es de 0.06 m. El m om ento de torsión se calcula a partir de la ecuación (5-1): t = Fr = - ( 2 0 N)(0.06 m) = N m El m om ento de torsión es negativo porque tiende a causar una rotación en el sentido de las manecillas del reloj. Un m ecánico ejerce una fuerza de 20 Ib en el extrem o de una llave inglesa de 10 in, com o se observa en la figura 5-5. Si este tirón form a un ángulo de 60 con el m ango de la llave, cuál es el m om ento de torsión producido en la tuerca? Cálculo del momento de torsión. Prim ero trace un bosquejo ordenado, extienda la línea de acción de la fuerza de 20 Ib, y dibuje el brazo de palanca com o se m ostró. Observe que el brazo de palanca r es perpendicular tanto a la línea de acción de la fuerza como al eje de rotación. Debe recordar que el brazo de palanca es una construcción geom étrica y puede estar o no sobre alguna estructura física, como por ejemplo el m ango de la llave de tuercas. A partir de la figura se obtiene r = (10 in) sen 60 = 8.66 in r = Fr = (20 Ib)(8.66 in) = 173 Ib in Si se desea, este m om ento de torsión se puede transform ar en 14.4 Ib ft. En algunas aplicaciones, es más útil trabajar con las componentes de una fuerza para obtener el m om ento de torsión resultante. En el ejemplo anterior se podría haber separado el vector de 20 Ib en sus com ponentes horizontal y vertical. En vez de hallar el m om ento de torsión de una sola fuerza, sería necesario encontrar el m om ento de to r sión de las dos fuerzas com ponentes. Com o indica la figura 5-6, el vector de 20 Ib tiene sus com ponentes Fx yfy, las que se calculan por trigonom etría: Fx = (20 Ib)(eos 60 ) = 10 Ib Fy = (20 Ib)(sen 60 ) = 17.3 Ib

6 I 17.3 Ib 10 Ib (a) (b) Método de las componentes para el cálculo del momento de torsión. Observe en la figura 5-6b que la línea de acción de la fuerza de 10 Ib pasa por el eje de rotación. Esto no produce ningún m om ento de torsión porque su brazo de palanca es cero. Por lo tanto, el m om ento de torsión total se debe a la componente de 17.3 Ib, que es perpendicular al mango. El brazo de palanca de esta fuerza es la longitud de la llave inglesa, y el m om ento de torsión es r = Fr = (17.3 lb)( 10 in) = 173 Ib in N ote que utilizando este m étodo se obtiene el m ism o resultado. No hacen falta m ás cálculos, porque la com ponente horizontal tiene un brazo de palanca de cero. Si elegimos las com ponentes de una fuerza a lo largo y perpendicularm ente a la distancia conocida, tan sólo nos interesa el m om ento de torsión de la com ponente perpendicular. En el capítulo 3 se dem ostró que la resultante de varias fuerzas se puede determ i nar sum ando las com ponentes x y y de cada fuerza, y así obtener las com ponentes de la resultante. Rx - A x + Bx + Cx + Ry Ay By + Cy + Este procedimiento se aplica a fuerzas que tienen un punto de intersección común. Las fuerzas que no tienen una línea de acción com ún producen una resultante del m om ento de torsión, además de una resultante de la fuerza traslacional. Cuando las fuerzas aplicadas actúan en el mismo plano, el m om ento de torsión resultante es la suma algebraica de los m om entos de torsión positivos y negativos debidos a cada fúerza. t r - 5 > = T2 + Ti + NET Esta página en Internet de Exploración Científica presenta sencillas demostraciones de ondas de choque para ayudar a explicar el concepto de momento de torsión. Hay que recordar que los momentos de torsión en sentido contrario al avance de las manecillas del reloj son positivos, y los que tienen el mismo sentido de las manecillas son negativos. Un elemento esencial en las técnicas efectivas para resolver problemas es la organización. El siguiente procedimiento resulta útil para calcular el m om ento de torsión resultante. 105

7 1. Lea el problem a y luego dibuje una figura y m arque los datos. 2. Construya un diagram a de cuerpo libre que indique todas las fuerzas, distancias y el eje de rotación. 3. Extienda las líneas de acción de cada fuerza utilizando líneas punteadas. 4. Dibuje y m arque los brazos de palanca para cada fuerza. 5. Calcule los brazos de palanca si es necesario. 6. Calcule los m om entos de torsión debidos a cada fuerza independientem ente de otras fuerzas; asegúrese de asignar el signo apropiado (sd = + y sr = ). 7. El m om ento de torsión resultante es la suma algebraica de los m om entos de torsión de cada fuerza. Véase la ecuación (5-2). Una pieza angular de hierro gira sobre un gozne, como se observa en la figura 5-7. Determine el m om ento de torsión resultante en A debido a las fuerzas de 60 N y 80 N. Se traza un diagram a de cuerpo libre y se construyen los brazos de palanca r\ y ri com o en la figura 5-7b. Las longitudes de los brazos de palanca son: r\ = (12 cm) sen 50 = 9.19 cm r2 = (10 cm) sen 70 = 9.40 cm 106

8 Si se considera A como eje de rotación, el m om ento de torsión debido a F\ es negativo (sr) y el causado por F2 es positivo (sd). El m om ento de torsión resultante se encuentra así: t r T i + T2 = F in + F2T2 = - ( 6 0 N)(9.19 cm ) + (80 N)(9.40 cm) = N cm N cm = 200 N cm El momento de torsión resultante es 200 N cm, en sentido contrario a las manecillas del reloj. Esta respuesta se expresa m ejor como 2.00 N m en unidades del SI. Ahora estamos listos para analizar la condición necesaria para el equilibrio rotacional. La condición para el equilibrio traslacional quedó establecida en form a de ecuación como J > * = 0 YJpy= Si se desea asegurar que los efectos rotacionales tam bién estén equilibrados, es preciso estipular que no hay m om ento de torsión resultante. Por lo tanto, la segunda condición de equilibrio es: ] T t = n + r 2 + T3 + o La segunda condición de equilibrio simplemente nos indica que los m om entos de torsión en el sentido de las manecillas del reloj están exactamente equilibrados por los mom entos de torsión opuestos al avance de las manecillas. Más aún, puesto que la rotación no ocurre respecto a ningún punto, podem os elegir cualquier punto como eje de rotación. M ientras los brazos de palanca se midan respecto al mismo punto para cada fuerza, el m om ento de torsión resultante será de cero. Los problemas se simplifican si se elige el eje de rotación en el punto de aplicación de una fuerza desconocida. Si una fuerza particular tiene un brazo de palanca de cero, no contribuye al m om ento de torsión, independientem ente de su magnitud. Antes de su graduación, use sus habilidades para establecer redes de contactos. Informe a sus amigos, familiares y conocidos el tipo de carrera que desea labrarse y pregúnteles si saben de empleos o de personas con las que pueda ponerse en contacto. Si una persona le da el nombre de un contacto en una compañía específica, mencione a la persona que le dio el contacto cuando solicite el empleo. I ' 1 1 I O. 1. Trace y m arque un bosquejo con todos los datos. 2. Dibuje un diagrama de cuerpo libre (si es necesario), indicando las distancias entre las fuerzas. 3. Elija un eje de rotación en el punto donde se tenga menos información, por ejemplo, en el punto de aplicación de una fuerza desconocida. 4. Sume los m om entos de torsión correspondientes a cada fuerza con respecto al eje de rotación elegido y establezca el resultado igual a cero. TR T i 72 + T3 + = 0 5. Aplique la prim era condición de equilibrio para obtener dos ecuaciones adicionales. ^ F x = 0 >, = o 6. Calcule las cantidades que no se conocen. 107

9 Considere la situación que se presenta en la figura 5-8. Una viga uniform e que pesa 200 N está sostenida por dos soportes A y B. De acuerdo con las distancias y fuerzas que aparecen en la figura, cuáles son las fuerzas ejercidas por los soportes? -10 m -4 m 300 N 400 N -1 2 m - A Bosquejo del sistema 2 m i 6 m 4 m 4 m l 300 N 200 N 400 N Diagrama de cuerpo libre Los problemas sobre momento de torsión se simplifican si se dibuja primero un esquema del sistema. Luego se traza un diagrama de cuerpo libre para indicar las fuerzas y la distancia. Se traza un diagram a de cuerpo libre para que m uestre claram ente todas las fuerzas y las distancias entre ellas. Note que se considera que todo el peso de la viga uniform e actúa en su centro. En seguida aplicamos la prim era condición de equilibrio, ecuación (5-3): o bien, Y Fy = A + B 300 N 200 N 400 N = 0 A + B = 900 N Puesto que esta ecuación tiene dos incógnitas, es preciso tener más inform ación. Por lo tanto, aplicam os la segunda condición de equilibrio. En prim er lugar, debemos seleccionar un eje desde el cual podam os medir brazos de palanca. La elección lógica es el punto de aplicación de alguna fuerza desconocida. Eligiendo el eje en B, el brazo de palanca de esta fuerza es cero. La suma de los momentos de torsión respecto a B dan por resultado la siguiente ecuación: ] T tb = A(12 m) + (300 N)(10 m) + (200 N )(4 m) - (400 N )(4 m) = 0 108

10 Note que la fuerza de 400 N y la fuerza A tienden a producir una rotación en el sentido de las manecillas del reloj con respecto a B. (Sus m om entos de torsión fueron negativos.) Simplificando se obtiene - ( 1 2 m)a N m N m N m = 0 A ñadiendo (12 m ) A a am bos lados y simplificando queda 2200 N m = (12 m)a Dividiendo am bos lados entre 12 m, resulta A = 183 N Ahora, para determ inar la fuerza ejercida por el soporte B, tom em os en cuenta de nuevo la ecuación obtenida a partir de la prim era condición de equilibrio, Despejando B se obtiene A + B = 900 N B = 900 N A = 900 N 183 N = 717 N Com o com probación de este resultado, podem os elegir el eje de rotación en A y luego aplicar la segunda condición de equilibrio para determ inar B. Un puntal uniforme de 200 Ib de peso y 24 ft de longitud está sostenido por un cable, como se observa en la figura 5-9. El puntal se apoya en la pared y el cable forma un ángulo de 30 con respecto al puntal, que está en posición horizontal. Si una carga de 500 Ib se cuelga del extremo derecho, cuál es la tensión T del cable? Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por el pivote? Consideremos el puntal como un objeto en equilibrio. De las dos fuerzas desconocidas F y T, tenemos menos datos de la fuerza F. Por lo tanto, resulta lógico elegir este pivote como eje de rotación para sumar momentos de torsión. De este modo, la fuerza desconocida F tendrá un brazo de palanca igual a cero, haciendo que el m om ento de torsión alrededor de A sea también cero. (No cometa el error de suponer que la fuerza ejercida por este pivote coincide totalmente con lo largo del puntal). Es posible determ inar la tensión del cable a partir de la segunda condición de equilibrio. ^ t a = F(0) - (200 lb)( 12 ft) - (500 lb)(24 ft) + Tx(0) + Ty(24 ft) = 0 = Ib ft Ib ft + Ty( 24 ft) = 0 Ty( 24 ft) = Ib ft A partir de la figura 5-9b, Ty = T sen 30 = 0.5 T

11 Fuerzas que actúan sobre un soporte horizontal. o sea que (0.570(24 ft) = Ib ft 12T = Ib T = Ib Para encontrar las com ponentes horizontal y vertical de F, podem os aplicar la prim era condición de equilibrio. La com ponente horizontal se encuentra sum ando las fuerzas a lo largo del eje x. de donde = 0 F x ~ T x = 0 Fx = Tx = T eos 30 = (1200 Ib) (eos 30 ) = 1040 Ib La com ponente vertical se determ ina sum ando las fuerzas a lo largo del eje y. Despejando Fy, obtenem os o bien, = 0 Fy + T y Ib Ib = 0 Fy = 700 Ib - Ty Fy = 700 Ib - (1200 Ib) (sen 30 ) = 700 Ib Ib = 100 Ib Com o ejercicio, dem uestre que la m agnitud y la dirección de la fuerza F, a p artir de sus com ponentes, es 1045 Ib a 5.5 por arriba del puntal.

12 J i _ Cada partícula que existe en la Tierra tiene al menos una fuerza en común con cualquier otra partícula: su peso. En el caso de un cuerpo formado por múltiples partículas, estas fuerzas son esencialmente paralelas y dirigidas hacia el centro de la Tierra. Independientemente de la forma y tamaño del cuerpo, existe un punto en el que se puede considerar que está concentrado todo el peso del cuerpo. Este punto se llama el centro de gravedad del cuerpo. Por supuesto, el peso no actúa de hecho en este punto, pero podemos calcular el mismo tipo de momento de torsión respecto a un eje dado si consideramos que todo el peso actúa en este punto. El centro de gravedad de un cuerpo regular, como una esfera uniforme, un cubo, una varilla o una viga, se localiza en su centro geométrico. Este hecho se utilizó en los ejemplos de la sección anterior, donde considerábamos el peso de la viga completa actuando en su centro. Aun cuando el centro de gravedad es un punto fijo, no necesariamente tiene que estar dentro del cuerpo. Por ejemplo, una esfera hueca, un aro circular y un neumático tienen su centro de gravedad fuera del material del cuerpo. A partir de la definición de centro de gravedad, se acepta que cualquier cuerpo suspendido desde este punto está en equilibrio. Esto es verdad, ya que el vector peso, que representa la suma de todas las fuerzas que actúan sobre cada parte del cuerpo, tienen un brazo de palanca igual a cero. Por lo tanto, es posible calcular el centro de gravedad de un cuerpo, determinando el punto en el cual una fuerza ascendente producirá un equilibrio rotacional. Calcule el centro de gravedad de las dos esferas que se presentan en la figura 5-10, si están conectadas entre sí por un una barra de 30 in, cuyo peso es despreciable. Primero se dibuja un vector hacia arriba que indique la fuerza en el centro de gravedad que equilibraría el sistema. Suponga que se elige para ubicar este vector a una cierta distancia del centro de la esfera de 16 Ib. La distancia x puede trazarse y marcarse sobre la figura. Puesto que la fuerza ascendente debe ser igual a la suma de las fuerzas descendentes, la primera condición de equilibrio nos lleva a F = 16 Ib + 8 Ib = 24 Ib Ahora elegimos el eje de rotación al centro de la esfera de 16 Ib. Ésta es la mejor elección, puesto que la distancia x se mide a partir de este punto. La segunda condición de equilibrio se aplica en la forma siguiente: t = (24 lb)x (8 lb)(30 in) = 0 (24 lb)x = 240 Ib in x = 10 in 111

13 Cálculo del centro de gravedad. Si la barra que une las dos esferas se suspende del techo en un punto situado a 10 in del centro de la esfera de 16 Ib, el sistema estará en equilibrio. Este punto es el centro de gravedad. Usted puede demostrar que se llega a la misma conclusión si se suman los momentos de torsión respecto al extremo derecho o respecto a cualquier otro punto.

14 Resumen Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas que no tienen la misma línea de acción o no se intersecan en un punto común, puede haber rotación. En este capítulo se presentó el concepto de momento de torsión como una medida de la tendencia a girar. Los principales conceptos se resumen a continuación: El brazo de palanca de una fuerza es la distancia perpendicular que hay entre la línea de acción de la fuerza y el eje de rotación. El m omento de torsión con respecto a un eje determinado se define como el producto de la magnitud de una fuerza por su brazo de palanca: E quilibrio rotacional: Un cuerpo en equilibrio rotacional no tiene un m om ento de torsión resultante que actúe sobre él. En tales casos, la suma de todos los momentos de torsión respecto a cualquier eje debe ser igual a cero. Los ejes pueden elegirse en cualquier parte puesto que el sistema no tiene la tendencia a girar respecto a cualquier punto. Ésta se llama la segunda condición de equilibrio y se escribe como La suma de todos los momentos de torsión respecto a cualquier punto es cero. M om ento de torsión = fuerza X brazo de palanca Es positivo si tiende a producir movimiento en sentido contrario al avance de las manecillas del reloj ( ) sd directo y negativo si el movimiento se produce en el mismo ( 3 sr t = Fr El m om ento de torsión resultante tr con respecto a un eje particular A es la suma algebraica de los momentos de torsión producidos por cada fuerza. Los signos se determinan por la convención ya mencionada. TR = X T-A= Fl rl + F2r2 + F3r3 + Conceptos clave 1. línea de acción 2. eje de rotación 3. brazo de palanca 4. m om ento de torsión S T = 0 El equilibrio total existe cuando se satisfacen la primera y la segunda condiciones de equilibrio. En tales casos, se pueden escribir tres ecuaciones independientes: (a)5 > *= 0 (b) = 0 (c) X t =0 Escribiendo estas tres ecuaciones para una situación específica se pueden determinar fuerzas, distancias y momentos de torsión desconocidos. El centro de gravedad de un cuerpo es el punto a través del cual actúa el peso resultante, independientemente de cómo esté orientado el cuerpo. Para las aplicaciones que incluyen momentos de torsión, se puede considerar que el peso total del objeto actúa en este punto. 5. equilibrio rotacional 6. centro de gravedad Preguntas de repaso 5-1. Usted levanta con la mano derecha una maleta pesada. Describa y explique la posición de su cuerpo Un truco de salón consiste en pedir a una persona que se coloque de pie contra una pared con los pies juntos, de manera que la parte lateral de su pie derecho se apoye contra la pared. A continuación se le pide que levante su pie izquierdo del suelo. Por qué no le es posible hacerlo sin caer? Por qué una m iniván tiene más probabilidades de volcarse que un Corvette u otros autos deportivos? Si se sabe que el peso de un ladrillo es de 6 Ib, explique cómo podría usar una regla graduada y un punto de apoyo o pivote para determinar el peso de una pelota de béisbol. Describa y explique los movimientos de los brazos y piernas de la persona que camina sobre la cuerda floja para no perder el equilibrio. 113

15 5-6. Comente acerca de los siguientes artefactos y la aplicación que en ellos se hace del principio del momento de torsión: (a) destornillador, Problemas 5-1. Dibuje e identifique con un letrero el brazo del momento de la fuerza F sobre un eje en el punto A de la figura 5-1 la. Cuál es la magnitud del brazo del momento? 5-2. Calcule el brazo del momento sobre el eje B de la figura 5-lia Dibuje e identifique con un letrero el brazo del momento si el eje de rotación está en el punto A de la figura 5-1 Ib. Cuál es la magnitud del brazo del momento? (b) llave de tuercas, (c) pinzas, (d) carretilla de mano, (e) cascanueces y (f) palanca (alzaprima) La varilla liviana de la figura 5-12 tiene 60 cm de longitud y gira libremente alrededor del punto A. Halle la m agnitud y el signo del momento de torsión provocado por la fuerza de 200 N, si el ángulo d es de (a) 90, (b) 60, (c) 30 y (d) 0o. F=200N 5-4. Halle el brazo del momento en el eje B de la figura 5-11b Si la fuerza Fde la figura 5 -lla es igual a 80 Ib, cuál es el momento de torsión resultante en torno al eje A (considerando insignificante el peso de la varilla)? Cuál es el momento de torsión resultante en torno al eje B? 5-6. La fuerza Filustrada en la figura 5-1 Ib es de 400 N y el peso del hierro del ángulo es insignificante. Cuál es el momento de torsión resultante en torno del eje A y en torno del eje B Una correa de cuero está enrollada en una polea de 20 cm de diámetro. Se aplica a la correa una fuerza de 60 N. Cuál es el momento de torsión en el centro del eje? 5-9. Una persona que pesa 650 N decide dar un paseo en bicicleta. Los pedales se mueven en un círculo con 40 cm de radio. Si todo el peso actúa sobre cada movimiento descendente del pedal, cuál es el momento de torsión máximo? Una sola correa está enrollada en dos poleas. La polea de tracción tiene 10 cm de diámetro y la polea exterior de salida tiene un diámetro de 20 cm. Si la tensión en la parte superior de la correa es esencialmente de 50 N en el borde de cada polea, cuáles son los momentos de torsión de entrada y de salida? 114

16 5-11. Cuál es el momento de torsión resultante en torno al punto A de la figura 5-13? No tome en cuenta el peso de la barra. 15 N 4 m a : 2 m 3 m 30 N 20 N Calcule el momento de torsión resultante en el caso de la figura 5-13 si el eje se mueve hasta el extremo izquierdo de la barra Qué fuerza horizontal se tiene que aplicar en el punto A de la figura 5-1 Ib para que el momento de torsión resultante en torno al punto B sea igual a cero cuando la fuerza F - 80 N? Dos ruedas de 60 cm y 20 cm de diámetro están unidas y giran sobre el mismo eje como muestra la figura Cuál es el momento de torsión resultante en torno de un eje central con los pesos ahí indicados? Suponga que retira el peso de 150 N de la rueda más pequeña en la figura Qué nuevo peso puede usted colgar de ella para obtener un momento de torsión resultante de cero? Calcule el momento de torsión resultante en torno a la esquina A para la figura Halle el momento de torsión resultante en torno al punto C en la figura *5-18. Halle el momento de torsión resultante en torno del eje B en la figura Una regla graduada de material uniforme se ha equilibrado en su punto medio sobre un solo punto de apoyo. Una pesa de 60 N se cuelga en la marca de 30 cm. En qué punto será necesario colgar una pesa de 40 N para equilibrar el sistema? En una regla graduada se colocan pesas de 10 N, 20 N y 30 N en las marcas de 20 cm, 40 cm y 60 cm, respectivamente. La regla se balancea sobre un solo apoyo en su punto medio. En qué punto habrá que agregar una pesa de 5 N para obtener el equilibrio? B I*1 20 cm 60 cm 115

17 Una tabla de 8 m con peso despreciable está sostenida en un punto localizado a 2 m del extremo derecho, donde se le aplica un peso de 50 N. Qué fuerza descendente se tendrá que ejercer en el extremo izquierdo para alcanzar el equilibrio? Un poste de 4 m es sostenido en sus extremos por dos cazadores que transportan en él un venado de 800 N que cuelga en un punto localizado a 1.5 m del extremo izquierdo. Cuáles son las fuerzas ascendentes que necesita desarrollar cada uno de los cazadores? Supongamos que la barra de la figura 5-16 tiene un peso despreciable. Halle las fuerzas F y A considerando que el sistema está en equilibrio Cuáles deben ser las fuerzas F\ y Fj para que se alcance el equilibrio en la figura 5-17? No tome en cuenta el peso de la barra. 60 N Una correa en V está enrollada en una polea de 16 pulgadas de diámetro. Si se requiere un momento de torsión resultante de 4 Ib ft, qué fuerza es necesario aplicar a lo largo de la correa? Un puente cuyo peso total es de 4500 N tiene 20 metros de longitud y tiene soportes en ambos extremos. Halle las fuerzas que se ejercen en cada extremo cuando se coloca un tractor de 1600 N a 8 m del extremo izquierdo Una plataforma de 10 ft que pesa 40 Ib está apoyada por los extremos en escaleras de tijera. Un pintor que pesa 180 Ib se ha colocado a 4 ft del extremo derecho. Encuentre las fuerzas que ejercen los soportes. *5-29. Una barra horizontal de 6 m, cuyo peso es 400 N, gira sobre un pivote fijo en la pared como se observa en la figura La barra lleva sujeto un cable en un punto localizado a 4.5 m de la pared y sostiene un peso de 1200 N en el extremo derecho. Cuál es la tensión en el cable? 5 ft 4 ft 1ft 90 Ib F2 20 Ib Considere la barra ligera sostenida como indica la figura Cuáles son las fuerzas que ejercen los soportes A y K 116

18 I I I : : *5-30. Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejerce la pared sobre la barra? Cuáles son la magnitud y la dirección de esa fuerza? Una barra de material uniforme tiene una longitud de 6 m y pesa 30 N. De su extremo izquierdo pende una pesa de 50 N y se aplica una fuerza de 20 N en su extremo derecho. A qué distancia del extremo izquierdo se deberá aplicar una sola fuerza ascendente para establecer el equilibrio? Una esfera de 40 N y una esfera de 12 N están conectadas por una varilla ligera de 200 mm de longitud. A qué distancia del punto medio de la esfera de 40 N está el centro de gravedad? Problemas reto Cuál es el momento de torsión resultante en torno del pivote de la figura 5-20? Considere que el peso de la barra curva es insignificante Pesas de 2, 5, 8 y 10 N penden de una varilla ligera de 10 m a distancias de 2, 4, 6 y 8 m del extremo izquierdo. A qué distancia del extremo izquierdo está el centro de gravedad? I Calcule el centro de gravedad de un martillo si la cabeza de metal pesa 12 Ib y el mango de 32 in que la sostiene pesa 2 Ib. Suponga que la construcción y el peso del mango son uniformes. 1001b 2001b 5001b 10ft 6 ft 4 ft Con qué fuerza horizontal, aplicada al extremo izquierdo de la varilla curva que aparece en la figura 5-20, se alcanzará el equilibrio rotacional? La barra forma un ángulo recto Pesas de 100, 200 y 500 Ib han sido colocadas sobre una tabla ligera que descansa en dos soportes, como se aprecia en la figura Cuáles son las fuerzas que ejercen los soportes? Una viga de acero de 8 m pesa 2400 N y está sostenida a 3 m del extremo derecho. Si se coloca un peso de 9000 N en el extremo derecho, qué fuerza se debe aplicar en el extremo izquierdo para equilibrar el sistema? *5-39. Halle el momento de torsión resultante en torno al punto A en la figura *5-40. Halle el momento de torsión resultante en torno al punto B en la figura ft A 117

19 Preguntas para la reflexión critica Una caja de 30 Ib y una caja de 50 Ib se colocan en los extremos opuestos de una tabla de 16 ft sostenida únicamente en su punto medio. A qué distancia del extremo izquierdo se tendrá que colocar una caja de 40 Ib para establecer el equilibrio? Sería diferente el resultado si la tabla pesara 90 Ib? Por qué sí o por qué no? En un banco de laboratorio tenemos una piedra pequeña, una regla graduada de 4 N y un solo soporte con borde de navaja. Explique cómo puede usar esos tres elementos para hallar el peso de la piedra pequeña Calcule las fuerzas F\, Fj, y F3 necesarias para que el sistema dibujado en la figura 5-23 quede en equilibrio (a) Qué peso W producirá una tensión de 400 N en la cuerda atada a la vigueta de la figura 5-24? (b) Cuál sería la tensión en la cuerda si W N? Considere que el peso de la vigueta es despreciable en ambos casos Suponga que la vigueta de la figura 5-24 pesa 100 N y que el peso suspendido W es igual a 40 N. Cuál es la tensión en la cuerda? 300lb _ 2 ft 8 ft 50 Ib A \ O CN 3 Ib 2 ft 8 f t, 3 ft 7 ft f 2 f 118

20 5-46. En las condiciones que hemos descrito en la pregunta 5-45, cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejerce el gozne colocado en el piso sobre la base de la vigueta? *5-47. Cuál es la tensión en el cable de la figura 5-25? El peso de la vigueta es 300 N, pero se desconoce su longitud. *5-48. Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza que ejerce la pared sobre la vigueta en la figura 5-25? También en esta ocasión, supongamos que el peso de la tabla es de 300 N. *5-49. Entre los ejes delantero y trasero de acero de un automóvil hay una distancia de 3.4 m. El 60 por ciento del peso del vehículo descansa sobre las ruedas delanteras, a qué distancia del eje frontal está localizado el centro de gravedad? 119

21 Al completar el estudio de este capítulo el alumno: Definirá y aplicará las fórmulas para velocidad media y aceleración media. Resolverá problemas que incluyan tiempo, desplazamiento, velocidad media y aceleración media. Aplicará las cinco ecuaciones generales del movimiento uniformemente acelerado, para determinar alguno de los cinco parámetros: velocidad inicial, velocidad final, aceleración, tiempo y desplazamiento. Resolverá problemas generales sobre aceleración que incluyan la caída libre de los cuerpos en un campo gravitacional. Explicará por medio de ecuaciones y diagramas el movimiento horizontal y vertical de un proyectil lanzado con diferentes ángulos. Determinará la posición y la velocidad de un proyectil cuando su velocidad inicial y su posición son los datos conocidos. Calculará el alcance, la altura máxima y el tiempo de vuelo de proyectiles cuando la velocidad inicial y el ángulo de proyección sean datos conocidos. El tipo más sencillo de movimiento que puede experimentar un objeto es el movimiento uniforme en línea recta. Si el objeto recorre las mismas distancias en cada unidad sucesiva de tiempo, se dice que se mueve con rapidez constante. Por ejemplo, si un tren recorre 8 m de vía por cada segundo que se mueve, se dice que tiene una rapidez constante de 8 m/s. Ya sea que la rapidez sea constante o no, la rapidez media de un objeto en movimiento se define como R apidez media distancia recorrida tiem po transcurrido - 1 t La línea sobre el símbolo v significa que la rapidez representa un valor promedio para el intervalo de tiempo t. Recuerde que la dimensión de la rapidez es la relación de una longitud con un intervalo de tiempo. Por lo tanto, las unidades de millas por hora, pies por segundo, metros por segundo y centímetros por segundo son unidades comunes de la rapidez.

22 ipil»! Un golfista logra un hoyo en uno 3 segundos después de que la pelota fue golpeada. Si la pelota viajó con una rapidez media de 0.8 m/s, a qué distancia estaba el hoyo? Despejando s de la ecuación (6-1) queda s = v t = (0.8 m/s)(3 s) Por lo tanto, la distancia que hay hasta el hoyo es de s = 2.4 m Es im portante observar que la rapidez es una cantidad escalar totalmente independiente de la dirección. En el ejemplo 6-1, no fue necesario conocer ni la rapidez de la pelota de golf a cada instante, ni la naturaleza de su trayectoria. En forma similar, la rapidez media de un automóvil que viaja de Atlanta a Chicago es función únicamente de la distancia registrada en su odómetro y del tiempo requerido para realizar el viaje. En lo que se refiere a los cálculos, no hay ninguna diferencia, ya sea que el conductor del automóvil haya tomado la ruta directa o la panorámica, o incluso si tuvo que detenerse a comer. Debemos distinguir claramente entre la cantidad escalar rapidez y su contraparte direccional, la velocidad. Esto es fácil recordando la diferencia entre distancia y desplazamiento analizada en el capítulo 3. Suponga, como indica la figura 6-1, que un objeto se mueve a lo largo de la trayectoria punteada, de A a B. La distancia recorrida en realidad se representa como s, mientras que el desplazamiento está representado por las coordenadas polares D = (D, 6) Como ejemplo, considere que la distancia s de la figura 6-1 es de 500 km, y que el desplazamiento es de 350 km a 45. Si el tiempo real de travesía es de 8 h, la rapidez promedio es 62.5 km/h Íuhü/uíu/ju Jv jjyjjjjjrj Necesitará un carrito de 1 kg y una balanza de resorte. D espués de sujetar el carrito a la balanza de resorte, tire de ésta horizontalm ente, de m odo que el carrito m antenga una rapidez baja constante. Al tirar del carrito, observe si las fuerzas que actúan sobre él están equilibradas o no. Si lo están, el carrito podrá m antener una rapidez constante. Inténtelo con un valor constante de 1.0 N. Cuánta fuerza se necesita para m over el carrito? Es posible m antener esa rapidez? Por qué es difícil lograrlo? Estime la F neta- Los resultados pueden explicarse com o sigue: Sólo se requiere una pequeña fuerza, norm alm ente de 0.1 a 0.2 N, para mover el carrito con una rapidez constante. Esto se debe a que no fue difícil hacer que la fuerza de tracción se equilibrara con la fuerza de fricción. El carrito aceleró rápidam ente cuando la fuerza de tracción se volvió más grande que la fuerza de fricción. Para calcular la Fneta, reste la fuerza de 1.0 N de la fuerza de fricción. NET El desplazamiento y la velocidad son cantidades vectoriales; mientras que la distancia y la rapidez son independientes de la dirección; s, distancia; D, dezplazamiento; v, velocidad; f, tiempo. b uph y.bu.edu Para ver una demostración de la superposición de velocidades, visite esta página de Internet (no necesita teclear w w w ). 121

23 La velocidad media, sin embargo, debe tomar en cuenta la magnitud y la dirección del desplazamiento. La velocidad media está dada por Para que las pelotas deportivas satisfagan las noím as aceptables para su utilización, deben tener un alto coeficiente de restitución. El coeficiente de restitución se mide dejando caer la pelota desde ciertas alturas sobre una superficie dura. Así se mide la altura del rebote. Las pelotas que no alcanzan una altura aceptable son desechadas. Por qué el coeficiente debe ser menor que 1.00? D 350 km, 45 t 8 h v = 43.8 km/h, 45 Por lo tanto, si la trayectoria del objeto en movimiento es curva, la diferencia entre rapidez y velocidad es tanto en magnitud como en dirección. Los automóviles no siempre pueden viajar a rapidez, constante por largos periodos de tiempo. Al ir del punto A al B, quizá sea necesario ir más despacio o más rápido a causa de las condiciones del camino. Por esta razón, a veces es útil hablar de rapidez instantánea o velocidad instantánea. La es una cantidad escalar que representa la rapidez en el instante en que el automóvil está en un punto arb i trario C. Por consiguiente, es la relación del cam bio de distancia con respecto al tiempo. La es una cantidad vectorial que representa la velocidad v en cualquier punto C. Es la relación del cam bio del desplazam iento con respecto al tiempo. En este capítulo nos ocuparemos del movimiento en trayectoria recta, o sea que las magnitudes de la rapidez y de la velocidad son las mismas en cada instante. Si la dirección no cambia, la rapidez instantánea es la parte escalar de la velocidad instantánea. Sin embargo, es un buen hábito reservar el término velocidad para la descripción más completa del movimiento. Como veremos en futuras secciones, un cambio de velocidad puede originar también un cambio de dirección. En tales casos, los térm inos velocidad y desplazamiento son más apropiados que los térm inos rapidez y distancia. En choques de frente, las bolsas de aire han demostrado su utilidad para prevenir lesiones en la cabeza y el pecho. En impactos con una aceleración repentina de 10 a 15 mi/h, un dispositivo detector instalado al frente del vehículo activa un sistema de ignición que provoca la descomposición de gránulos de amida de sodio. Esto produce gas nitrógeno que infla las bolsas de nylon y las fuerza a salir de sus compartimientos de almacenamiento. El tiempo que transcurre entre el impacto y el llenado de la bolsa es menor de 40 ms. Cuando el pasajero y la bolsa inflada hacen contacto, el gas es forzado a salir y la bolsa se desinfla en 2 s. En la mayoría de los casos, la velocidad de un objeto cambia mientras éste se mueve. La razón a la que cambia la velocidad con respecto al tiempo se le llama aceleración. Por ejemplo, suponga que observa el movimiento de un cuerpo durante un tiempo t. La velocidad inicial Vq del cuerpo se define como su velocidad al inicio del intervalo de tiempo, cuando t - 0. La velocidad final se define como la velocidad vy que tiene el cuerpo al final del intervalo de tiempo, cuando t = t. Por lo tanto, si somos capaces de medir las velocidades inicial y final de un objeto en movimiento, entonces afirmaremos que su aceleración está dada por Aceleración cambio en la velocidad intervalo de tiempo _ v / ~ vq Si la aceleración se escribe como se acaba de indicar, se trata de una cantidad vectorial y, por lo tanto, depende de los cambios de dirección como de los cambios de magnitud. Si la dirección del movimiento es en línea recta, tan sólo la rapidez del objeto está cambiando. t

24 No obstante, si se sigue una trayectoria curva, habría aceleración aun cuando la rapidez no cambie. En realidad, si se forma un círculo perfecto y con rapidez constante, la aceleración siempre formará ángulos rectos con respecto a la velocidad. Este últim o tipo de movimiento se tratará en un capítulo posterior. El tipo de aceleración más sencillo es el movimiento rectilíneo, en el cual la rapidez cambia a razón constante. Este tipo especial de movimiento se conoce como movimiento uniformemente acelerado o de aceleración uniforme. Puesto que no hay cambio en la dirección, el vector diferencia en la ecuación (6-2 ) se trasforma simplemente en la diferencia entre la magnitud de la velocidad final Vf y la magnitud de la velocidad inicial vo- Sin embargo, conviene recordar que la velocidad sigue siendo una cantidad vectorial y que el signo asignado a la velocidad indica la dirección y no la magnitud. Para una aceleración constante escribimos v/ ~ VQ Por ejemplo, considere un automóvil que se mueve con aceleración uniforme, desde una rapidez inicial de 12 m/s hasta una rapidez final de 22 m/s, como indica la figura 6-2. Considerando la dirección a la derecha como positiva, la velocidad del automóvil en A es de +12 m/s, y su velocidad final en B es de +22 m/s. Si el incremento en la velocidad requiere 5 s, la aceleración puede determinarse a partir de la ecuación (6-3). Así, Vf vq 22 m/s 12 m/s NET buphy.bu.edu Si desea ver una excelente demostración del efecto de la gravedad sobre una pluma y una moneda, tanto en presencia de aire como sin aire, visite esta página de Internet (no necesita teclear www). A f= tiempo 6 A t= 5 s B Movimiento uniformemente acelerado. 123

25 La respuesta se lee como dos metros por segundo por segundo o dos metros por segundo al cuadrado. Esto significa que cada segundo el automóvil incrementa su rapidez en 2 m/s. Puesto que el automóvil ya tenía una velocidad de 12 m/s cuando empezamos a contar el tiempo, después de 1, 2 y 3 s tendría valores para la rapidez de 14, 16 y 18 m/s, respectivamente. Un tren reduce su velocidad de 80 a 20 km/h en un tiempo de 8 s. Encuentre la aceleración en unidades del SI. Primero se convierte la velocidad de kilómetros por hora a las unidades de SI que son m/s. De igual manera, se determina que 20 km /h es igual a 5.56 m/s. Sustituyendo estos valores en la ecuación (6-3) se tiene Vf vp _ 5.56 m /s 16.7 m/s a t 8 s a = 1.39 m/s2 Puesto que la dirección original del tren se consideró positiva, el signo negativo de la aceleración significa que el tren redujo su rapidez en 1.39 m/s cada segundo. Dicho movimiento se conoce a veces como desaceleración, pero este término es problemático porque a = m/s2 significa en realidad que la velocidad se vuelve más negativa, en esa cantidad, cada segundo. Si la rapidez se incrementa en dirección negativa, la aceleración también es negativa. La aceleración se refiere al cambio en la velocidad, lo cual significa que puede tratarse de un incremento o una disminución de la velocidad. Muchas veces, la misma ecuación se utiliza para calcular diferentes cantidades. Por lo tanto, se debe despejar literalmente cada símbolo que aparece en la ecuación. Una forma conveniente de presentar la ecuación se desprende de la ecuación (6-3) cuando se despeja la velocidad final. O sea, Velocidad final = velocidad inicial + cambio de velocidad Vf = vo + at Un automóvil mantiene una aceleración constante de 8m/s2. Si su velocidad inicial era de 20 m/s, cuál es su velocidad después de 6 s? La velocidad final se obtiene a partir de la ecuación (6-4) vf = v0 + a t = 20 m/s + (8 m/s2)(6 s)

26 o bien, Así, la velocidad final es Ahora que se han comprendido los conceptos de velocidad inicial y final, vamos a analizar la ecuación de la velocidad media y a expresarla en términos de estados inicial y final. La velocidad media de un objeto que se mueve con aceleración constante se determina igual que el promedio aritmético de dos números. Dadas una velocidad inicial y una velocidad final, la velocidad media es simplemente Utilizando esta relación en la ecuación (6-1) se obtiene una expresión más útil para calcular la distancia: Vf + v0 s = v i = Un objeto en movimiento incrementa uniformemente su velocidad de 20 a 40 m/s en 2 min. Cuál es la velocidad media, y qué tan lejos llegará en esos 2 min? La velocidad media se calcula sustituyendo directamente en la ecuación (6-5). o bien, Vf + v,o 40 m/s + 20 m/s v = = m/s, v = = 30 m/s 2 La distancia recorrida se determina a partir de la ecuación (6-1). s = v t = (30 m/s)(2 min) Las unidades de tiempo son inconsistentes, pero como 2 min = 120 s, tenemos que s = (30 m /s)(120 s) = 3600 m Hasta ahora hemos presentado dos relaciones fundamentales. Una surgió de la definición de velocidad; y la otra, de la definición de aceleración. Se trata de las siguientes: Vf + Vo s vt t 2 125

27 Vf = V:o + at f i En la ecuación s = vt H 1 at2, 9 2 donde f es el único valor desconocido, la solución requiere a veces el uso de la ecuación cuadrática. Primero iguale la ecuación a cero, restando s de am bos lados. s - s = vt H at2 - s 2 R eordenando los términos, se obtiene 0 = at2 + vt - s 2 De aquí a = a, b = v, c = - s para la fórm ula cuadrática. -b ± V t)2 - \ac f = 2 a Aunque éstas son las únicas fórmulas necesarias para tratar de resolver los m últiples problemas que se presentan en este capítulo, hay otras tres relaciones útiles que pueden obtenerse a partir de ellas. La primera se deriva eliminando la velocidad final de las ecuaciones (6-6 ) y (6-4). Sustituyendo la última en la primera se obtiene Simplificando, tenemos = (v0 + at) + v0 2, 1 7 s = v n t H----- a t A 2 Una ecuación similar se obtiene eliminando vo en las mismas dos ecuaciones: = V ft ~ a t La tercera ecuación adicional se obtiene mediante la eliminación del tiempo t en las ecuaciones básicas. Con un poco de álgebra se obtiene las vj vo2 A pesar de que estas ecuaciones no nos proporcionan nueva información, son útiles para resolver problemas donde se conocen tres de los parámetros y es necesario hallar uno de los otros dos. Aunque la resolución de problemas en los que interviene una aceleración uniforme se basa fundamentalmente en elegir la fórmula correcta y sustituir los valores conocidos, hay varias sugerencias para ayudar al alumno principiante. Los problemas con frecuencia se refieren al movimiento que parte de un estado de reposo, o bien, se detiene a partir de cierta velocidad inicial. En cualquier caso, las fórmulas presentadas se pueden simplificar por la sustitución ya sea de Vo = 0 o Vf= 0, según el caso. La tabla 6-1 resume las fórmulas generales. Un análisis más detallado de las cinco ecuaciones generales revela un total de cinco parámetros: s, vq, Vf, a y t,. Si se dan como datos tres de estas cantidades, las dos restantes pueden calcularse a partir de las ecuaciones generales. Por lo tanto, el punto de partida para resolver cualquier problema consiste en leer el enunciado del problema cuidadosamente con el propósito de detectar las tres cantidades necesarias para resolverlo. También es importante elegir una dirección como la positiva y aplicar este criterio en forma consistente a la velocidad, al desplazamiento y a la aceleración, cuando se sustituyan sus valores en las ecuaciones. Tabla 6-1 Resumen de fórmulas de la aceleración (1) 5= V + Vft (4) s = Vft ~ a t2 (2) Vf = vo + at (5) las = vj v j (3) s = vqí + ~^at2 126