Compuertas lógicas y diseño de circuitos lógicos

Transcripción

1 Unidad ompuertas lógicas y diseño de circuitos lógicos Introducción ircuitos digitales Figura 3.1 Diagrama en bloques de un circuito lógico digital de n señales de entrada y m señales de salida. Los circuitos digitales binarios o circuitos lógicos se encuentran diseñados para operar solamente con dos estados diferentes, claramente diferenciados entre sí. Desde el punto de vista tecnológico es mucho más simple y confiable operar de esta forma. Dado que las señales de entrada y las señales de salida de un circuito digital sólo pueden presentar uno de dos estados posibles, dichas señales son susceptibles de ser representadas matemáticamente mediante una variable lógica y por lo tanto, utilizar el álgebra booleana como herramienta matemática al describir la relación entre las entradas y salidas del circuito. Otra herramienta para describir el funcionamiento de un circuito digital es la tabla de verdad, que se utiliza para mostrar los valores de salida que el circuito debe lograr para cada combinación de valores de las entradas. En cuanto a la implementación, describiremos el funcionamiento de las compuertas lógicas, que son circuitos electrónicos que realizan operaciones lógicas simples. Las compuertas lógicas constituyen los bloques funcionales básicos para la construcción de circuitos digitales más complejos. Debe tenerse en cuenta que en forma estricta el término digital no implica necesariamente que sea binario. Sin embargo, nos ocuparemos únicamente de sistemas digitales binarios y por tal razón tomaremos ambos términos como sinónimos durante el desarrollo de los temas que se exponen a partir de esta unidad. La Figura 3.1 muestra el diagrama en bloques de un circuito digital genérico que de acuerdo a los valores de n señales de entrada produce los valores de m señales de salida. El funcionamiento del circuito digital consiste en generar, a partir de las señales de entrada, las señales de salida cuyos valores cumplan las relaciones planteadas como objetivo del circuito. Debido a que las señales de entrada y de salida de los circuitos digitales son señales que sólo pueden presentar dos valores distintos, se les denomina en forma general señales lógicas y por extensión, los circuitos digitales se conocen también como circuitos lógicos. 51

2 Representación de valores binarios 0 1 No Falso Deshabilitado bierto pagado Voltaje alto Si Verdadero Habilitado errado Encendido Voltaje bajo Tabla 3.1 Representación de valores binarios mediante los valores lógicos 0 y 1. ualquier sistema cuyo funcionamiento se encuentre basado en señales que adoptan solamente dos estados posibles puede ser descrito mediante variables binarias. su vez, los valores que adoptan dichas variables binarias se pueden designar con distintos nombres, de acuerdo al tipo de sistema. Por ejemplo, al utilizar una variable binaria para describir el funcionamiento de una lámpara nos referiremos a los valores que toma la variable binaria con los términos encendido-apagado, ya que describen en forma coherente el estado de la lámpara. Otros sistemas utilizan otros nombres para designar los valores del estado, tales como abierto-cerrado, verdadero-falso, conduce-no conduce, activado-desactivado, etc. omo veremos a continuación, para simplificar esta diversidad se define una forma de representación con valores lógicos convencionales que permiten describir los estados de cualquier señal, variable o sistema. Por otra parte, los sistemas digitales se implementan con circuitos electrónicos, de manera tal que dichos circuitos deben utilizar una forma de representar eléctricamente las señales lógicas mediante niveles de tensión. Otra forma manera de representar las señales lógicas es mediante gráficas, que utilizaremos principalmente para describir la evolución temporal, es decir, los cambios que presenta una señal lógica a lo largo del tiempo y sus relaciones con otras señales lógicas del sistema. Representación de valores binarios mediante valores lógicos En el estudio de los circuitos digitales se utiliza la representación de valores binarios mediante valores lógicos, para simplificar la descripción de sus señales de entrada y salida. Esta representación consiste en asociar en forma convencional el 0 con uno de los valores binarios y el 1 con el otro valor. uando se utilizan con este fin, estos símbolos se denominan 0 lógico y 1 lógico, respectivamente. La Tabla 3.1 ejemplifica algunos casos comunes. Ejemplo Para apreciar en forma práctica el uso de valores lógicos, consideremos nuevamente el funcionamiento de una linterna. En la Figura 3.2 se muestra el circuito formado por una batería que suministra un valor de tensión Vcc y una llave o interruptor que al accionarse hacia la posición ó, controla el encendido de la lámpara, representada por la resistencia R. Figura 3.2 ircuito de una linterna eléctrica omo vimos anteriormente, cuando la llave se encuentra en la posición, -llave abierta- la lámpara está apagada y el valor de tensión en el punto es cero volts, ya que no hay caída de tensión en la resistencia R. l accionar la llave hacia la posición llave cerrada-, la lámpara se enciende y el valor de tensión en el punto pasa a ser +Vcc, ya que queda conectado al borne positivo de la fuente de alimentación. 52

3 Ejemplo (continuación) En este sencillo ejemplo, la posición de la llave variable de entrada- es lo que define la emisión de luz en la lámpara variable de salida- La representación de los valores de la variable de entrada mediante una variable lógica x, permite evaluar el estado de la variable de salida, f(x). El uso de los valores lógicos 0 y 1 describe la relación entre la entrada y la salida con la misma representación, como se resume en Tabla 3.2 ENTRD (Estado de la llave) SLID (Estado de la lámpara) ENTRD x SLID f(x) bierta pagada 0 0 errada Encendida 1 1 Tabla 3.2 Representación del estado de la llave y de la lámpara mediante valores lógicos. La asignación de los niveles de tensión para representar los valores lógicos es convencional. Utilizar un valor de tensión JO para el 0 lógico y un valor de tensión LTO para el 1 lógico, resulta más natural y se denomina lógica positiva. La asignación opuesta, conocida como lógica negativa, consiste en utilizar un valor de tensión JO para el 1 lógico y un valor de tensión LTO para el 0 lógico. Representación de valores binarios mediante niveles de tensión eléctrica En electrónica digital, los valores binarios se representan eléctricamente mediante dos niveles de tensión distintos, que permita diferenciar fácilmente un valor de otro. En primer lugar, a los valores binarios se les asigna los valores lógicos 0 y 1. Luego se utiliza un nivel de tensión JO para representar el valor lógico 0 y un nivel de tensión LTO para representar el valor lógico 1. Debido a esta asociación con los valores lógicos, los niveles LTO y JO se denominan niveles lógicos de tensión. Es decir que, en los circuitos digitales electrónicos, las señales de entrada y de salida deben tomar los valores de tensión predefinidos que sirven para representar el 0 lógico y el 1 lógico. Por ejemplo, un valor de voltaje de 0 V podría representar el 0 lógico y +5 V podría representar el 1 lógico. Generación eléctrica de una señal digital Para representar eléctricamente una señal digital se necesita un dispositivo cuyo funcionamiento permita generar dos valores de tensión distintos. En términos de niveles lógicos nos referimos a estos valores de tensión como LTO y JO, independientemente del valor de tensión en sí. Una forma simple de generar estos valores distintos es mediante una modificación del circuito divisor de tensión en el cual se reemplaza una de las resistencias por una llave o interruptor. Según se reemplace una u otra resistencia, se consigue una configuración de resistencia de pull up o resistencia de pull down. La Figura 3.3b muestra la configuración de resistencia de pull up. Observe que cuando la llave L se encuentra cerrada, Vs = 0V y cuando se encuentra abierta, la tensión de salida es Vs = Vcc. Por esta característica la resistencia Rt se denomina resistencia de pull up, porque levanta o tira hacia arriba el valor de la tensión de salida Vs cuando se abre la llave L. La Figura 3.3c muestra la configuración de resistencia de pull down. En este circuito, la llave L en posición cerrado produce Vs = Vcc (nivel LTO). La llave L en posición abierto hace que Vs = 0 V (nivel JO). Por esta razón, la resistencia Rb se denomina resistencia de pull down, porque es la que tira hacia abajo el valor de la tensión de salida Vs cuando se abre la llave L. 53

4 Figura 3.3 Generación de una señal digital mediante circuitos con llave y resistencia de pull up o de pull down. omo los circuitos en configuración de pull up y pull down permiten obtener dos estados marcadamente diferenciados, estos circuitos también se denominan como circuitos generadores de un bit. ircuitos con pulsadores Los circuitos de pull up y pull down de la Figura 3.3 presentan dos estados de reposo, dado que la llave L puede quedar en cualquiera de las posiciones por tiempo indeterminado, ya sea abierto o cerrado. Para cambiar la llave de una posición a otra se requiere siempre una acción mecánica externa, pero cuando la acción mecánica desaparece, la llave queda en la posición a la cual fue cambiada y no modifica ese estado si no se actúa nuevamente sobre ella. Un dispositivo que cumple una función similar a la llave o interruptor es el pulsador. Un pulsador funciona como un interruptor eléctrico, pero presenta una posición de reposo única, de manera tal que al accionar el pulsador, el dispositivo cambia de posición al igual que la llave, pero al desaparecer la acción mecánica, el pulsador retorna por sí mismo a su posición anterior (posición normal o de reposo). Para ello, el pulsador contiene un muelle o resorte que es comprimido por la fuerza mecánica que actúa sobre él para sacarlo de su posición normal. l cesar la acción externa, el muelle o resorte desplaza el contacto hacia su posición de reposo. Ejemplos cotidianos de este tipo de dispositivo son el pulsador de timbre comúnmente instalado en la entrada de las viviendas y las teclas de dispositivos digitales tales como calculadoras, controles remotos, teléfonos celulares, computadoras, etc. Según su posición de reposo, un pulsador puede ser normalmente cerrado (N) o normalmente abierto (N). En la Figura 3.4 se muestran los símbolos y funcionamiento de ambos tipos. La Figura 3.5 muestra como ejemplo un circuito con resistencia de pull up y un pulsador normalmente abierto. uando se acciona el pulsador, éste cambia de su posición normal (abierto) a posición cerrado y al desaparecer la fuerza de actuación, el pulsador retorna a su posición normal. Los valores de Vs para cada una de las posiciones del pulsador se deducen al igual que para el caso del circuito con llave, ya que eléctricamente tienen el mismo comportamiento. 54

5 ircuitos con pulsadores (continuación) Figura 3.4 Símbolos y funcionamiento de los tipos de pulsadores Figura 3.5 ircuito de resistencia de pull up con un pulsador N Figura 3.6 onexión de una carga a la salida de un circuito con resistencia de pull up. irculación de corriente en nivel LTO. Intervalos de tensión de niveles lógicos Las configuraciones con resistencia de pull up o de pull down permiten obtener los niveles de tensión LTO y JO con valores bien diferenciados, como se muestra en la Figura 3.3. Sin embargo, los valores de salida Vs descritos ahí corresponden a los valores que presentarían tales circuitos en vacío. Normalmente la salida de un circuito o dispositivo electrónico digital no permanecerá en vacío, sino que será utilizada para manejar la entrada de otro dispositivo, es decir, tendrá un funcionamiento en estado de carga. Mostraremos a continuación cómo la carga y la circulación de corriente en el punto de interconexión puede modificar los valores LTO y JO onsidere, por ejemplo, el circuito con resistencia de pull up de la Figura 3.6 al cual se le ha conectado como carga un indicador luminoso compuesto por la asociación serie de una resistencia R1 y un diodo led D1. Esta asociación serie se conecta entre la salida Vs del circuito y masa. on el circuito en vacío, al colocar la llave L en posición cerrado el circuito genera el nivel JO (Vs = 0V) y con L en la posición abierto el circuito genera el nivel LTO (Vs = Vcc). on el circuito cargado, la llave L en la posición cerrado genera Vs = 0V, igual que cuando el circuito esta en vacío. Pero al colocar la llave en posición abierto, existe una derivación de corriente I hacia la carga, y tenemos que: =. 55

6 Es posible atenuar en parte el efecto de los factores que provocan variaciones en los valores de tensión presentes en un circuito agregando mejoras al diseño y utilizando componentes de mejor calidad. Sin embargo, tales factores son inevitables. ctualmente la fabricación de la mayoría de los circuitos integrados se basa en tecnología MOS. Este valor es menor al que entrega como salida el circuito en vacío. O sea que, con el circuito cargado, el nivel LTO no será Vcc, sino un valor menor, debido a la caída de tensión en Rt. Esta caída de tensión depende del valor de la resistencia de pull up y de la intensidad de la corriente I que consume la carga. Mientras el valor de Vs no descienda demasiado por debajo de Vcc, seguirá siendo útil para representar un nivel LTO. Por otra parte, en la práctica, los valores de tensión eléctrica presentes en un circuito cualquiera pueden sufrir variaciones debido a factores tales como el ruido eléctrico, variación de valores nominales de los componentes, variaciones debido a cambios de temperatura, etc. En resumen, el estado de carga del circuito y las fluctuaciones de tensión que presentan los circuitos reales pueden afectar el valor de tensión de los niveles LTO y JO. Por esta razón, el 0 y el 1 lógicos no se representan con valores exactos de tensión sino mediante intervalos de tensión. Es decir, los valores de tensión con los que se representan los niveles LTO y JO no se restringen a los valores exactos Vcc y 0V, sino que se definen intervalos cercanos a estos límites, pero lo suficientemente distintos entre sí como para asegurar que siempre puedan distinguirse los niveles LTO y JO que representan el 1 lógico y el 0 lógico, respectivamente. Los intervalos de tensión que representan los valores lógicos 0 y 1 en las señales de entrada dependen de la tecnología utilizada en la implementación de los circuitos digitales. Las tecnologías actuales de fabricación de circuitos integrados son TTL y MOS. Estas tecnologías se diferencian principalmente por el tipo de transistores que utilizan. La tecnología TTL utiliza transistores bipolares, que son los que ya hemos descrito y la tecnología MOS utiliza otro tipo de transistores, denominados de efecto de campo. Esto implica diferentes características entre ambas tecnologías en cuanto al consumo eléctrico, tensión de alimentación, velocidad de operación, etc. La Figura 3.7 muestra los intervalos de tensión que se utilizan en las tecnologías TTL y MOS para representar valores lógicos de señales de entrada. ada tecnología define también los intervalos que utilizan para representar valores lógicos de señales de salida. Figura 3.7 Intervalos de tensión para señales de entrada. a) Tecnología TTL. b) Tecnología MOS. Los circuitos digitales de tecnología TTL funcionan con una tensión de alimentación de 5 V. Los valores lógicos de una señal de entrada se representan con los siguientes intervalos de tensión: El 0 lógico se representa con un valor de tensión entre 0 V y 0,8 V El 1 lógico se representa con un valor de tensión entre 2 V y 5 V Los valores de tensión entre 0,8 V y 2 V son indeterminados. Los circuitos basados en tecnología MOS, utilizan tensiones de alimentación desde 3 V hasta 18 V. Si tomamos una tensión de alimentación de 5 V para comparar con los rangos TTL, los valores lógicos de una señal de entrada se representan con los siguientes intervalos de tensión: 56

7 El 0 lógico se representan con un valor de tensión entre 0 V y 1,5 V El 1 lógico se representa con un valor de tensión entre 3,5 V y 5 V Los valores de tensión entre 1,5 V y 3,5 V son indeterminados. Los valores de tensión ubicados en la región indeterminada pueden ser interpretados aleatoriamente como 1 o como 0, provocando un funcionamiento impredecible en el circuito. Por esta razón, las señales de entrada de circuitos digitales deben presentar valores de tensión en alguno de los intervalos definidos y no en la región indeterminada, a excepción de las transiciones entre un intervalo y otro. Representación gráfica de valores lógicos y niveles lógicos Una forma de representación muy utilizada en la descripción de sistemas digitales consiste en graficar el nivel lógico que adoptan las señales en función del tiempo. Estas gráficas se conocen como diagramas temporales, diagramas de sincronismo o diagramas de temporización y consisten en representaciones simplificadas de la evolución temporal de una señal lógica. Este tipo de diagramas utiliza solamente los niveles lógicos LTO y JO en lugar de representar los valores exactos de tensión eléctrica. Otra simplificación adoptada generalmente consiste en representar los cambios de un nivel lógico a otro considerando que las transiciones ocurren de manera instantánea, dando lugar a formas de onda cuadrada. En la Figura 3.8 se muestra un ejemplo de diagrama temporal de una señal lógica designada como X. En el instante de tiempo inicial t 0, la señal presenta nivel lógico JO, valor que se mantiene sin cambios hasta que la señal cambia al nivel lógico LTO el instante de tiempo t 1. En el instante de tiempo t 2 la señal continúa presentando el nivel lógico LTO, hasta que en el instante de tiempo t 3, la señal cambia a nivel JO. Figura 3.8 Intervalos de tensión para los niveles lógicos para circuitos TTL y MOS. El cambio de nivel JO a nivel LTO se denomina flanco positivo o flanco de subida. El cambio de nivel LTO a nivel JO se denomina flanco negativo o flanco de bajada. La secuencia de cambio JO-LTO-JO con una duración en nivel LTO relativamente corta, se denomina pulso positivo. La secuencia de cambio LTO-JO-LTO con una duración en nivel JO relativamente corta, se denomina pulso negativo. 57

8 Álgebra de oole El conjunto de leyes y reglas de operación aplicables a las variables lógicas se denomina Álgebra de oole en honor a George oole, quien desarrolló el uso de herramientas matemáticas para la investigación lógica, mostrando con ello las bondades y el poder de las matemáticas aplicadas a la lógica y estableciendo un vínculo entre ambas ciencias. Definición Se denomina como lgebra de oole a una estructura algebraica definida por: Un conjunto de elementos. Un conjunto de operaciones lógicas cerradas definidas sobre : 2 operaciones binarias 1 operación monoaria Operación suma lógica Operación producto lógico Operación complemento ó negación Operadores Los operadores del lgebra de oole reciben los siguientes nombres y símbolos: Operador suma lógica: + (OR): La operación de suma lógica es una expresión algebraica que tiene dos o más operandos y el resultado de la operación es 1 lógico sólo si el valor de uno o más de los operandos es 1 lógico. Operador producto lógico:. (ND): La operación de producto lógico es una expresión algebraica que tiene dos o más operandos y el resultado de la operación es 1 lógico sólo si el valor de todos los operandos es 1 lógico. Operador complemento o negación: (NOT): La operación de complemento lógico es una operación que tiene un solo operando y el resultado de la operación es 1 lógico sólo si el valor del operando es 0 lógico y viceversa. Operación OR Operación ND Operación NOT 0+0 = = = = = = = = 1 0 = 1 1 = 0 Tabla 3.3 Operaciones booleanas Postulados y Propiedades del Álgebra de oole modo de repaso y de referencia, la siguiente tabla resume los postulados y principales propiedades del Álgebra de oole: 58

9 Propiedad conmutativa. Las operaciones son conmutativas Propiedad distributiva. Las operaciones son distributivas entre sí Identidad. Las operaciones tienen elementos identidad diferentes dentro de. Estos elementos son definidos como 0 para (+) y 1 para ( ) omplemento. Para cada elemento, a del conjunto, existe otro elemento ā denominado complemento, tal que se cumple: Elementos nulos. Para cualquier elemento a, se verifica: Operación OR a + b = b + a a b = b a Operación ND a + ( b c) = ( a + b) ( a + c) a ( b + c) = ( a b) + ( a c) a + 0 = a a 1 = a a + a =1 a a = 0 a +1=1 a 0 = 0 sociatividad ( a b) + c = a + ( b + c) Idempotencia Involución bsorción Para cada par de elementos, se verifica: Leyes de De Morgan. Para cada par de elementos, a y b, se verifica: Leyes de De Morgan generalizadas. Para cualquier conjunto de elementos se verifica: + ( a b) c = a ( b c) a + a = a a a = a ( a ) = a a + ( a b) = a a ( a + b) = a a + ( a b) = a + b a ( a + b) = a b ( a + b) = a b ( a b) = a + b ( x0 + x xn) = x0 x1... x n Tabla 3.4 Propiedades del Álgebra de oole ( x 0 x1... xn ) = x0 + x x n Expresiones booleanas La Figura 3.9 muestra el diagrama de una función lógica f de n variables. La función f (E 1, E 2,, E n ) establece una relación entre las variables de entrada que genera como resultado la variable de salida S = f (E 1, E 2,, E n ). Las entradas E 1, E 2,, E n son variables lógicas independientes y la salida S toma un valor lógico dependiendo de los valores de las variables de entrada. Para definir el valor de la salida S, la función lógica relaciona las variables de entrada E 1, E 2,, E n, por medio de los operadores booleanos: producto lógico, suma lógica y complemento, es decir, que toda función lógica puede ser representada por una expresión algebraica booleana. Figura 3.9 Función lógica de n entradas. 59

10 Ejemplo Determinar el valor de la función lógica representada por la siguiente expresión booleana: f (E 1, E 2, E 3 ) = (E 1. E 2 ) + (E 3. E 1 ) Solución: Los valores de la salida S se obtienen evaluando la función lógica f (E 1, E 2, E 3 ). La evaluación de la función lógica para encontrar el valor de la salida S consiste en reemplazar los valores de las variables de entrada en la expresión booleana de la función lógica. S = f (E 1, E 2, E 3 ) = (E 1. E 2 ) + (E 3. E 1 ) Si E 1 = 0, E 2 = 1 y E 3 = 1: S = f (E 1,E 2,E 3 ) = (E 1. E 2 ) + (E 3. E 1 ) S = f (0,1,1) = (0. 1) + (1. 1) S = f (0,1,1) = (0) + (1) S = f (0,1,1) = 1 La función queda totalmente definida encontrando los valores que toma para cada una de las 2 n combinaciones posibles que pueden presentar las n variables de entrada. Formas canónicas Dentro de las expresiones algebraicas booleanas, hay algunas que son de especial interés, las cuales se definen a continuación: Se denomina término producto al producto lógico de un número dado de variables o constantes. Se denomina término suma a la suma lógica de un número dado de variables o constantes. Se define expresión algebraica disyuntiva a la expresión de la función como suma de términos producto. Se dice que la función se encuentra expresada en forma normal disyuntiva o como suma de productos. Expresión algebraica disyuntiva: f (,, ) =. +.. Se define como minterm al término producto en el que aparecen todas las variables de la función, una sola vez, ya sea en forma directa o complementada. Por lo tanto, un minterm es un caso especial de término producto. Por ejemplo,,, =.. es un minterm. Se define expresión algebraica conjuntiva a la expresión de la función como producto de términos suma. Se dice que la función se encuentra expresada en forma normal conjuntiva o como producto de sumas. Por ejemplo: Expresión algebraica conjuntiva: f (,. ) = ( + + ).( + ) Se define como maxterm al término suma en el que aparecen todas las variables de la función, una sola vez, ya sea en forma directa o complementada. Por lo tanto, un maxterm es un caso especial de término suma. Por ejemplo,,, = + + es un maxterm. Expresión canónica disyuntiva la expresión algebraica disyuntiva en la que todos los términos producto que aparecen son minterm, se le denomina expresión canónica disyuntiva. 60

11 Se verifican las siguientes propiedades: Dada la lista completa de minterm de n variables, asignando arbitrariamente valores 1 o 0 a cada variable, se verifica que un único minterm tomará el valor 1. La fórmula compuesta por los 2 n minterm tomará el valor 1. La fórmula canónica disyuntiva o de minterm es única. Para una función lógica, se cumple que f x, x,..., x ) = x f (1, x,..., x ) + x f (0, x,..., x ) ( 1 2 n 1 2 n 1 2 n Toda función puede expresarse como suma de minterms. Por ejemplo dada la fórmula disyuntiva,, =. +, se puede pasar a la fórmula canónica disyuntiva aplicando los postulados y propiedades del algebra de oole. Ejemplo Dada la función,, =. +, encontrar su expresión canónica disyuntiva (suma de minterms). Solución: omparando la forma del término., con la definición de minterm, se observa que solamente falta la variable. Para agregar este literal faltante sin modificar la igualdad, podemos utilizar las propiedades del álgebra de oole. En este caso, como el elemento identidad del producto es la constante 1, podemos escribir:. =..1. Pero como + = 1 por la propiedad del complemento, reemplazando queda:. =..1 =.. +. En forma similar, al segundo término de la función le faltan las variables y para formar un minterm, pero podemos multiplicar por + y + sin alterar la igualdad. Entonces:,, =. +,, = plicando distributiva, obtenemos:,, = omo puede observarse, luego de aplicar propiedad distributiva, cada término de la expresión es un minterm, pero el primer término producto es igual al tercero. sí, luego de aplicar la propiedad de idempotencia, la expresión canónica disyuntiva de la función f será:,, = Expresión canónica conjuntiva la expresión algebraica conjuntiva escrita mediante maxterm se le denomina fórmula canónica conjuntiva. Se verifican las siguientes propiedades Dada la lista completa de maxterms de n variables, asignando arbitrariamente 1 o 0 a cada variable, se verifica que un único maxterm tomará el valor 0. La fórmula compuesta por los 2 n maxterms tomará el valor 0. La fórmula canónica conjuntiva o de maxterm es única. Para una función lógica, se cumple que f x, x,..., x ) = [ x + f (0, x,..., x )] [ x + f (1, x,..., x )] ( 1 2 n 1 2 n 1 2 n Toda función puede expresarse como producto de maxterms. Por ejemplo dada la fórmula disyuntiva,, =. +, se puede pasar a la fórmula canónica conjuntiva aplicando los postulados y propiedades del algebra de oole. 61

12 Ejemplo Dada la función,, =. +, encontrar su expresión canónica conjuntiva (producto de maxterms). Solución: nalizando la expresión, vemos que se trata de una forma disyuntiva no canónica. En este ejemplo, conviene aplicar la propiedad distributiva para transformar la expresión a una forma conjuntiva. sí:,, =. + = +. = +. + Esta expresión se encuentra en forma conjuntiva, pero no es canónica. Para serlo, al término ( + ) le falta la variable y al término ( + ) le falta la variable. Para agregar los literales faltantes sin modificar la igualdad, podemos utilizar las propiedades del álgebra de oole. En este caso, como el elemento identidad de la suma es la constante 0, podemos escribir: ( + ) = ( + + 0). Pero como. = 0 por la propiedad del complemento, reemplazando y aplicando propiedad distributiva queda: + = ++ = En forma similar, al término ( + ) le falta la variable para formar un maxterm, pero podemos sumarle sin alterar la igualdad. El proceso completo sería:,, =. + = +.,, = + +,, = ,, = omo puede observarse, luego de aplicar propiedad distributiva, cada término de la expresión es un maxterm, pero el primer término suma es igual al tercero. Por lo tanto, luego de reducir aplicando propiedad de idempotencia queda:,, = Finalmente, luego de reordenar los literales en cada término suma, la expresión canónica conjuntiva de la función f será:,, = Tablas de verdad Una tabla de verdad describe el valor de una función para cada una de las combinaciones posibles de valores lógicos de las variables. ada fila de la tabla de verdad contiene la combinación de valores lógicos de las variables de la función y el correspondiente valor de la función para esa combinación. Es decir que la tabla de verdad muestra explícitamente todos los casos posibles de entrada y sus respectivos resultados (salida). Dada una función lógica de n variables, existen 2 combinaciones posibles de sus valores, de modo que la tabla de verdad de dicha función tiene 2 filas. En la Figura 3.10a se muestra la tabla de verdad de una función lógica de dos variables, designada como F1. La tabla de verdad muestra los valores que tomará la función F1 de acuerdo a la combinación de valores lógicos de las variables. ada fila de la tabla muestra una de las combinaciones posibles y el valor de F1 para dicha combinación. La Figura 3.10 muestra también la tabla de verdad para una función de tres variables y la tabla de verdad para una función de cuatro variables. 62

13 F (a) F (b) D F (c) Figura 3.10 Ejemplos de tablas de verdad. a) Función lógica de dos variables b) Función lógica de tres variables. c) Función lógica de cuatro variables Relación entre tablas de verdad y expresiones booleanas Las tablas de verdad y las expresiones booleanas son formas de representar una función lógica. Se puede encontrar la tabla de verdad de una función lógica a partir de la expresión booleana de dicha función lógica. Para ello se debe evaluar la expresión booleana para cada una de las combinaciones posibles de valores de entrada. En forma similar, dada la tabla de verdad de una función lógica, se puede encontrar la expresión booleana correspondiente. Ejemplo Dada la siguiente tabla de verdad de una función de tres variables, hallar la expresión booleana correspondiente Esta tabla de verdad expresa que la función F(,,) toma el valor lógico 1 cuando: = 0; = 1 y = 0 ó también cuando: = 1; = 0 y = 0 F(,,) Esto se interpreta de la siguiente manera: F = 1 cuando = 0 y = 1 y = 0, es decir: F = = = 111 = 1 ó (+) cuando = 1 y = 0 y = 0 es decir F = = = 111 = 1 Luego: F = + 63

14 Figura 3.11 Lista completa de minterms y maxterms distintos que pueden formarse con tres variables:, y. Tabla de verdad, minterms y maxterms Por definición, un minterm es un término producto en el cual figuran todas las variables de la función una sola vez, ya sea en forma directa o complementada. La Figura 3.11 muestra la lista completa de los ocho minterms distintos que pueden formarse con tres variables. En general, dada una función de n variables, es posible formar 2 minterms distintos. sí, al considerar la lista completa de minterms distintos hay una relación directa con las filas de la tabla de verdad, la cual contiene las 2 combinaciones posibles de los valores de las variables de entrada, de manera tal que cada fila de la tabla identificará a un único minterm. Por otra parte, dada una combinación cualquiera de valores de las variables, al evaluar la lista completa de minterms distintos con esos valores, sólo uno de ellos será igual a 1. Por ejemplo, si analizamos la combinación de valores = 0, = 1 y = 1, el único minterm cuyo resultado vale 1 es el minterm. ualquier otro minterm dará como resultado cero para esa combinación de valores. l analizar los maxterm, encontramos el comportamiento dual. Un maxterm es, por definición, un término suma en el cual aparecen todas las variables de la función una sola vez, en forma directa o complementada. Por esta razón, dada una función de n variables, es posible formar 2 maxterms distintos. La Figura 3.11 muestra los ocho maxterms distintos que pueden formarse con tres variables. Debido a que con n variables es posible formar 2 maxterms distintos y una función de n variables tiene 2 combinaciones posibles de los valores de las variables de entrada, podemos relacionar cada fila de la tabla de verdad con un único maxterm. Si tomamos una combinación cualquiera de valores de las variables, al evaluar la lista completa de maxterms distintos con esa combinación de valores, sólo uno de ellos tomará el valor 0. Por ejemplo, al evaluar los maxterms con la combinación de valores = 0, = 1 y = 1, el único de ellos cuyo resultado vale 0 es el maxterm + +. ualquier otro maxterm dará como resultado uno para esa combinación de valores. La asociación de un minterm con una fila de la tabla se obtiene al igualar a uno la expresión del minterm y deduciendo los valores de las variables que cumplen la igualdad. Por ejemplo, analicemos el minterm. La expresión del minterm igualada a uno es: = 1 La igualdad sólo se cumple cuando = 0, = 1 = 1, ya que en ese caso = = 1 La combinación de valores = 0, = 1 = 1 corresponde a la cuarta fila de la tabla. nálogamente, igualando a cero la expresión del maxterm, puede deducirse el valor que debe tomar cada variable para cumplir la igualdad y ubicar esa combinación entre las fila de la tabla. Por ejemplo, al analizar el maxterm + +, tenemos que: La expresión del maxterm igualada a cero es:: + + = 0 La igualdad sólo se cumple cuando = 0, = 1 = 1, ya que en ese caso + + = = 0 La combinación de valores = 0, = 1 = 1 corresponde a la cuarta fila de la tabla. La Figura 3.12 muestra las combinaciones de valores de tres variables y los minterms y maxterms relacionados a cada combinación de valores. 64

15 Figura 3.12 Expresión y notación de minterms y maxterms para una tabla de verdad de tres variables Observe que la Figura 3.12 muestra la notación de los minterms como m i y los maxterms como M i, donde i es un subíndice cuyo valor se corresponde con el número binario formado con los valores lógicos de las variables. Debe tenerse en cuenta que la tabla muestra combinaciones de valores lógicos 0 y 1 de las variables, pero los símbolos 0 y 1 también se utilizan en el sistema de numeración de base dos. Esta coincidencia permite asociar una combinación de valores lógicos con un número binario. Tabla de verdad y expresiones equivalentes Una función es unívocamente representada por su tabla de verdad. Se dice que dos o más expresiones algebraicas son equivalentes (F 1 = F 2 ) si ambas tienen la misma tabla de verdad, es decir, describen la misma función lógica. Por ejemplo, evaluando las expresiones de las siguientes funciones F 1, F 2 y F 3 encontrará que poseen la misma tabla de verdad. F(,) F 1(, ) = + ( + ) F (, ) = + 2 F 3(, ) = ( + )( + ) omo se puede observar, es posible que existan muchas expresiones algebraicas que describan a la misma función lógica. Esta equivalencia se evidencia en la tabla de verdad. Relación entre la tabla de verdad y las expresiones canónicas De las expresiones equivalentes de una función, existen dos de ellas que pueden obtenerse en forma directa de la tabla de verdad: la expresión canónica disyuntiva y la expresión canónica conjuntiva. primera vista, las expresiones canónicas pueden parecer expresiones más complejas, ya que estas expresiones se caracterizan porque en cada uno de los términos aparecen todas las variables de la función. Sin embargo, esta complejidad es solo aparente y por el contrario, presentan la ventaja de ser obtenibles a partir de la tabla de verdad de una manera muy sencilla, como veremos a continuación. 65

16 La expresión canónica disyuntiva se encuentra en forma de suma de productos. omo cada término es un minterm, también se denomina suma de minterms o expansión en minterms. Esto permite utilizar una notación compacta para representar la función, en base a la notación m i de los minterms que la componen. Ejemplo Dada la siguiente tabla de verdad de una función de tres variables, hallar la forma canónica disyuntiva. Para encontrar la forma canónica disyuntiva, se toman las filas de la tabla de verdad donde la función vale 1. omo cada fila referencia un minterm, la forma canónica se construye sumando los minterms encontrados. La tabla de verdad muestra que la función F(,,) toma el valor lógico 1 cuando: = 0, = 0 = 1 minterm = 0, = 1 = 0 minterm = 1, = 0 = 0 minterm = 1, = 1 = 1 minterm Luego: ",, = F(,,) En notación compacta: ",, = # $ +# % +# & +# ' nálogamente, la expresión canónica conjuntiva se encuentra en forma de producto de sumas. ada término es un maxterm y por tal razón también se conoce como producto de maxterms o expansión en maxterms. Referenciando cada maxterm de la función con la notación M i puede representarse la expresión de la función mediante una notación compacta. Ejemplo Dada la siguiente tabla de verdad de una función de tres variables, hallar la forma canónica conjuntiva. La forma canónica conjuntiva, se construye tomando las filas de la tabla de verdad donde la función vale 0. omo cada fila referencia un maxterm, se construye la expresión realizando el producto de los maxterms encontrados. La tabla de verdad muestra que la función F(,,) toma el valor lógico 0 cuando: = 0, = 0 = 0 maxterm + + = 0, = 1 = 1 maxterm + + = 1, = 0 = 1 maxterm + + = 1, = 1 = 0 maxterm + + F(,,) Luego: ",, = En notación compacta: ",, = * + +*, +* - +*. 66

17 Funciones incompletas o incompletamente especificadas Hasta ahora hemos tratado con funciones que se encuentran definidas para todas las combinaciones posibles de los valores de las variables, pero puede ocurrir que una función lógica no se encuentre definida para todas las combinaciones. Esto suele pasar cuando las variables de la función no son independientes entre sí o cuando no puedan producirse todas las combinaciones. este tipo de funciones se les denomina funciones incompletas o incompletamente especificadas. En la tabla de verdad, el valor de la función para aquellas combinaciones de entrada que no tienen un valor de salida definido se indica con - o con x. Ejemplo Sea la función incompleta expresada por la siguiente tabla de verdad: F(,,) Las combinaciones de valores de entrada para las cuales la función no está especificada son: = 0, = 1, = 1 = 1, = 1, = 0 = 1, = 1, = 1 Se puede asignar cualquier valor lógico a la función cuando de acuerdo al problema esas combinaciones de entrada no se presentarán o el valor de la función en esos casos no será tenido en cuenta. lgebraicamente, las funciones incompletamente especificadas pueden ser expresadas mediante la unión de dos funciones diferentes: Una función completa f, que contempla únicamente los 0 ó 1 de las combinaciones para las cuales la función está definida. En el caso anterior sería f = m1 + m2 + m5 = M3 M7. Y otra función, denominada función inespecificación Φ, que contempla todas las combinaciones para las cuales la función no está definida. En el caso anterior sería Φ= m3 + m6 + m7 = M0 M1 M4. Es decir F = f + Φ l momento de crear la implementación de dicha función, hay que tener en cuenta que: La función f debe ser completamente implementada. La función Φ no tiene porqué ser completamente implementada. Ésta puede que no sea implementada, que sea implementada sólo parcialmente o que esté completamente implementada. En el caso de funciones incompletamente especificadas, se cumple que la fórmula de minterm o de maxterm no es única, ya que pueden existir tantas expresiones como combinaciones de sus inespecificaciones. Veremos más adelante cómo se pueden emplear las inespecificaciones para minimizar la expresión lógica de la función. 67

18 ompuertas lógicas Figura 3.13 Símbolos tradicionales de las compuertas lógicas básicas. omo vimos en la unidad anterior, los transistores son componentes electrónicos que pueden ser utilizados como elementos de conmutación para operar en uno de dos estados posibles: en corte o en saturación. Esta característica de funcionamiento de los transistores se utiliza para formar circuitos electrónicos que realizan operaciones lógicas simples, denominadas compuertas lógicas o simplemente compuertas. De esta manera, las compuertas sirven como bloques fundamentales de cualquier dispositivo lógico, de manera tal que los circuitos lógicos son un conjunto de compuertas lógicas interconectadas para realizar alguna tarea específica. Los circuitos electrónicos que implementan las compuertas lógicas pueden construirse mediante diodos, transistores y resistencias conectados de tal forma que la salida del circuito es el resultado de la operación lógica aplicada a las entradas. En estos circuitos, las entradas y salidas son señales eléctricas de tensión cuyo valor representa uno de los valores lógicos. ompuertas lógicas básicas Una compuerta lógica básica es aquella que implementa una operación booleana básica. Se designan con los mismos nombres de la operación que implementan y se identifican mediante símbolos especiales. En la Figura 3.13 se muestran los símbolos tradicionales utilizados para representar las compuertas básicas. En el diseño de circuitos digitales estas compuertas básicas se combinan para formar los circuitos lógicos que implementan las funciones lógicas más complejas. La compuerta OR La compuerta OR es un circuito que tiene dos o más entradas y cuya salida es igual a la suma lógica de las entradas. La Figura 3.14 muestra el símbolo lógico, la tabla de verdad y la expresión booleana para una compuerta OR de dos entradas. S = (a) (b) Figura 3.14 a) Símbolo lógico y expresión booleana para la compuerta OR de dos entradas. b) Tabla de verdad de la operación OR. c) Ejemplo de diagrama temporal de la compuerta OR. (c) Tanto las entradas como la salida de la compuerta son niveles lógicos de voltaje. La compuerta OR opera de tal forma que su salida es LTO (valor lógico 1) si cualquiera de sus entradas están en LTO. La salida será JO (valor lógico 0) sólo si todas las entradas están en JO. Esta característica se muestra en la tabla de verdad y en el diagrama temporal de ejemplo mostrado en la Figura 3.14c. 68

19 La expresión booleana S = + indica que la salida S es la combinación OR (suma lógica) de sus entradas. Este principio general se puede ampliar a más de dos entradas, como se muestra en la Figura De nuevo, la tabla de verdad muestra que la salida será 1 siempre que una o más entradas sean 1 y que la salida será 0 sólo cuando todas las entradas sean 0. Figura 3.15 ompuerta OR de tres entradas S = La compuerta ND La compuerta ND es un circuito con dos o más entradas que opera de tal forma que la salida es igual al producto lógico de las entradas. En la Figura 3.16 se muestra el símbolo lógico, la tabla de verdad y la expresión booleana para una compuerta ND de dos entradas. S = (a) (b) (c) Figura 3.16 a) Símbolo lógico y expresión booleana para la compuerta ND de dos entradas. b) Tabla de verdad de la operación ND. c) Ejemplo de diagrama temporal.de la compuerta ND. Tal como muestra la tabla de verdad de la Figura 3.16, la salida de la compuerta ND es 1 sólo cuando todas sus entradas son 1 y la salida será 0 cuando una o más entradas sean 0. La expresión booleana S =. indica que la salida S se obtiene realizando la operación ND (producto lógico) entre las entradas. Esta característica puede extenderse a más de dos entradas, como se muestra en la Figura 3.17, en la cual se corrobora que la salida será 0 cuando una o más entradas sean 0 y que la salida será 1 sólo cuando todas las entradas sean 1. 69

20 Figura 3.17 ompuerta ND de tres entradas S = La compuerta NOT La compuerta NOT es un circuito que tiene una sola entrada y cuya salida se obtiene realizando la operación NOT al valor de entrada. En la Figura 3.18 se muestra el símbolo lógico, la tabla de verdad y la expresión booleana para una compuerta NOT. S = Ā (a) Figura 3.18 a) Símbolo lógico y expresión booleana para la compuerta NOT o INVERSOR. b) Tabla de verdad de la operación NOT. c) Ejemplo de diagrama temporal de la compuerta NOT o INVERSOR. (b) (c) Tal como muestra la tabla de verdad de la Figura 3.18, la salida de la compuerta NOT es siempre el opuesto de la entrada, es decir, cuando la entrada es 0 la salida es 1 y viceversa. Por ello, es muy común el uso del término INVERSOR para referirse a esta compuerta. La expresión booleana / = indica que la salida se obtiene realizando la operación NOT (complemento) sobre la entrada. Esta operación se realiza siempre sobre una sola entrada, como se muestra en la Figura Funciones lógicas y circuitos lógicos Figura 3.19 Función lógica y su implementación con un circuito digital o circuito lógico. En la Figura 3.19a el diagrama representa una función lógica de n entradas y en la Figura 3.19b se muestra un circuito digital de n entradas y salida única. El valor de la salida S del circuito digital queda determinado mediante la aplicación de un conjunto de reglas lógicas sobre las entradas. Estas reglas definen el comportamiento o lógica del circuito y determina la forma en que un circuito digital responde a las entradas. 70

21 El conjunto de reglas que relaciona las entradas con la salida se representa mediante una función lógica, cuyas variables representan las señales de entrada del circuito digital. La función lógica se describe mediante una expresión algebraica, en la cual los operadores del álgebra booleana relacionan las variables intervinientes. sí, la función lógica representa la relación entrada-salida del circuito digital. En el otro sentido, también puede decirse que el circuito digital es la implementación física del conjunto de reglas descrito por la función lógica. Implementación de funciones lógicas mediante circuitos lógicos con compuertas básicas Una función lógica se representa mediante expresiones booleanas y las compuertas lógicas básicas implementan las operaciones booleanas. Puede observarse entonces que existe una correspondencia directa entre la expresión booleana de una función lógica y los circuitos lógicos a nivel de compuertas básicas, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo Implementar la siguiente función lógica mediante compuertas básicas:,, = +. Solución: Para implementar la función lógica, se deben identificar las operaciones booleanas de la expresión algebraica y relacionarlas con la compuerta básica correspondiente. La expresión de la función muestra el orden de precedencia con que deben realizarse las operaciones. En este caso, primero debe realizarse la suma lógica de +. Esta suma lógica se implementa con una compuerta OR cuyas entradas son y. La operación de complemento se realiza con un INVERSOR, cuya entrada será la salida de la compuerta OR, esto es + para luego obtener su complemento +. Finalmente el producto lógico se implementa con una compuerta ND que tiene, en una de sus entradas la salida del INVERSOR y en la otra, la variable construyendo así la expresión completa de f Figura 3.20 Implementación de una función lógica mediante compuertas básicas. omo las compuertas básicas implementan las operaciones definidas en el algebra de oole, el conjunto de compuertas ND, OR y NOT es funcionalmente completo y permite implementar cualquier función lógica. Es decir que, a partir de estas compuertas elementales pueden construirse circuitos lógicos, tales como contadores, comparadores, sumadores y combinaciones más complejas. 71

22 Representación de circuitos lógicos mediante funciones lógicas Los circuitos lógicos se construyen mediante la interconexión de compuertas lógicas, cada una de las cuales implementa una operación booleana. Por esta razón, dado un circuito lógico a nivel de compuertas, siempre se pueden obtener las expresiones booleanas individuales de las compuertas y formar la función lógica correspondiente. Ejemplo El circuito lógico de la Figura 3.21 recibe en sus terminales de entrada las señales, y. En el terminal de salida S se encuentra conectado un diodo led que se enciende cuando la salida S del circuito se pone en valor LTO y permanece apagado siempre que la salida S esté en JO. Encuentre la función lógica correspondiente. Figura 3.21 ircuito lógico de tres entradas cuya salida S en valor LTO enciende el diodo led. Solución: Siguiendo el circuito desde las entradas hacia la salida, se pueden ir obteniendo las expresiones booleanas de las compuertas que intervienen: La compuerta ND1 tiene conectada a una de sus entradas la señal de salida de INV1, o sea, mientras que la otra entrada de ND1 es, por lo cual la salida de la compuerta ND 1 es.. Una de las entradas de ND4 es la salida de ND1 y la otra entrada es, por lo tanto la salida de la compuerta ND4 es... La compuerta ND2, tiene como una de sus entradas la señal. La otra entrada de ND2 es la salida de la compuerta inversora INV2, o sea,. Por lo tanto, la salida de ND2 es.. Una de las entradas de ND5 es la salida de ND2, mientras que la otra entrada es, por lo tanto la salida de la compuerta ND5 es.. Las entradas de ND3 son y, por lo tanto su salida es el producto lógico.. 72

23 Ejemplo (continuación) Una de las entradas de ND6 es la salida de ND3. La otra entrada de ND6 es la salida de INV3, o sea,. Por lo tanto, la salida de la compuerta ND6 es... La compuerta OR1 realiza la suma lógica de las salidas de ND4 y ND5, obteniendo Una de las entradas de OR2 es la salida de OR1. omo la otra entrada de OR2 es la salida de ND6, la salida de la compuerta OR2, es decir Otra forma de obtener la función lógica es ir escribiendo sobre el diagrama del circuito las expresiones booleanas de las compuertas, completando las expresiones para cada compuerta, desde las entradas hacia a salida, como se muestra a continuación: El circuito lógico de la Figura 3.22 recibe en sus terminales de entrada las señales, y. En el terminal de salida S se encuentra conectado un diodo led que se enciende cuando la salida S del circuito se pone en valor LTO y permanece apagado siempre que la salida S esté en JO. Para encontrar la función lógica correspondiente se pueden ir escribiendo las expresiones booleanas a la salida de cada compuerta, comenzando desde las entradas y siguiendo progresivamente hacia la salida, como se muestra en la siguiente figura: Figura 3.22 Formación de la expresión booleana de la salida S. Otras compuertas demás de las compuertas básicas, que implementan electrónicamente el comportamiento de los operadores del algebra de oole, existen compuertas que implementan funciones simples y útiles en la implementación de circuitos lógicos, tales como la suma lógica negada y el producto lógico negado. 73