Mediciones e Indeterminaciones

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1 Mediciones e Indeterminaciones Introducción Todas las medidas vienen condicionadas por posibles errores o indeterminaciones experimentales (accidentales y sistemáticas) y por la sensibilidad del aparato. Es imposible conocer el "valor verdadero" (x) de una magnitud. La teoría de errores acota los límites entre los que debe estar dicho valor, x. La indeterminación o error en la medida es inherente a todo proceso de medición y y no significa de ninguna manera "equivocación". Conceptos previos Magnitud es todo aquello que se puede medir, que se puede representar por un número y que puede ser estudiado en las ciencias experimentales (que observan, miden, representan...). Ejemplos de magnitudes: velocidad, fuerza, temperatura, energía física (no la energía espiritual?), etc. Para obtener el número que representa a la magnitud debemos medirla. Al medir surgen errores. Para medir debemos diseñar el instrumento de medida y escoger una cantidad de esa magnitud que tomamos como unidad. Para medir la masa, por ejemplo, tomamos (arbitrariamente) como unidad una cantidad materia a la que llamamos kg. La Medida es el resultado de medir, es decir, de comparar la cantidad de magnitud que queremos medir con la unidad de esa magnitud. Este resultado se expresará mediante un número seguido de la unidad que hemos utilizado: 4m, 2 Km, 5 Kg... Las unidades deben ser: Reproducibles por cualquiera y no manipulables por el poder (que nadie varíe de manera localista lo que corresponde a un mismo nombre: kilogramo de Roma y kilogramo de Buenos Aires). La idea de como deben ser las unidades, surge como una consecuencia de la Revolución Francesa. Universales y contrastables: utilizadas por todos los países y accesibles para el que quiera calibrar con ellas otros patrones de medida. Inalterables por las condiciones atmosféricas, el uso, etc. Para que se puedan basar unas en o otras y tener múltiplos y submúltiplos en un sistema coherente surge el S.I. El Sistema Internacional de unidades (S.I. ) establece siete unidades básicas con sus múltiplos y submúltiplos (Sistema Internacional ampliado) correspondientes a siete magnitudes fundamentales. Además, en la XI conferencia Internacional de Pesos y Medidas celebrada en París en 196, por sugerencia de Alemania, se establece un tercer grupo de unidades complementarias (radián y estereorradián). A las unidades fundamentales le corresponden las Magnitudes fundamentales siguientes: Longitud, Masa, Tiempo, Intensidad de corriente eléctrica, Temperatura absoluta, Intensidad luminosa y Cantidad de materia Para cada magnitud se define una unidad fundamental. Prof. Claudio Naso 1

2 Longitud: metro; Masa: kg ; etc, Las demás magnitudes que se relacionan con las fundamentales mediante fórmulas matemáticas reciben el nombre de Magnitudes derivadas. Cada uno de los países desarrollados ha establecido, por ley, un sistema de unidades coherente, basado en el S.I., de uso obligatorio en la industria y en el comercio. En nuestro país se denomina SIMELA (Sistema Métrico Legal Argentino) Tabla 1. Unidades de base SI Magnitud de base Unidad de base SI Nombre Símbolo longitud metro m masa kilogramo kg tiempo segundo s corriente eléctrica ampere A temperatura termodinámica kelvin K cantidad de materia mol mol intensidad luminosa candela cd Tabla 2. Ejemplos de algunas unidades SI derivadas expresadas en términos de las unidades de base Magnitud derivada Unidad derivada SI Nombre Símbolo superficie metro cuadrado m 2 volumen metro cúbico m 3 velocidad metro por segundo m/s aceleración metro por segundo cuadrado m/s 2 Tabla 3. Ejemplos de algunas unidades del SI derivadas con nombres y símbolos especiales magnitud derivada unidad derivada SI nombre símbolo expresada en término de otra unidad SI Expresada en término de unidades SI de base fuerza newton N m.kg.s -2 presión, tensión pascal Pa N/m 2 m -1.kg.s -2 energía, trabajo, cantidad de calor joule J N.m m 2.kg.s -2 potencia, flujo energético watt W J/s m 2.kg.s -3 carga eléctrica, cantidad de coulomb C s.a electricidad fuerza electromotriz volt V W/A m 2.kg.s -3.A -1 temperatura Celsius grado Celsius(d) ºC K Tabla 4. Unidades no pertenecientes al SI, aceptadas para el uso con el Sistema Internacional nombre símbolo valor en unidades SI minuto min 1 min = 6s hora h 1h = 6 min = 3 6 s día d 1d = 24 h = 86 4 s grado º 1º = (p/18) rad minuto 1 = (1/6)º = (p/1 8) rad segundo 1 = (1/6) = (p/648 ) rad litro l,l 1l = 1dm 3 = 1-3 m 3 tonelada t 1t = 1 3 kg Prof. Claudio Naso 2

3 Los instrumentos de medida Los instrumentos de medida son los aparatos que se utilizan para medir. Deben tener las siguientes características: Sensibilidad Es tanto más sensible cuanto más pequeña sea la cantidad que puede medir. Una balanza que aprecia mg es más sensible que otra que aprecia gramos. El umbral de sensibilidad es la menor división de la escala del aparato de medida La sensibilidad con que se fabrican los aparatos de medida depende de los fines a los que se destina. No tendría sentido fabricar una balanza que aprecie mg para usarla como balanza de un panadero. Fidelidad Un aparato es fiel si reproduce siempre el mismo valor, o valores muy próximos, cuando medimos la misma cantidad de una magnitud en las mismas condiciones. Precisión Un aparato es preciso si las indeterminaciones absolutas (desviación de lo que mide del "valor verdadero") que se producen al usarlo son mínimos. El valor que da en cada medida se desvía poco del "valor verdadero". Un aparato es preciso si es muy sensible y además es fiel. La precisión de un instrumento la indica el fabricante para cada rango de medida. Si medimos el tiempo que tarda en completarse una oscilación de un péndulo con un reloj que mide centésimas de segundo, obtenemos distintos valores cada vez. Aquí la sensibilidad del aparato aumenta y su fidelidad disminuye los errores accidentales que afectan a cada medida. Un aparato muy fiel es, casi siempre, poco sensible El "valor real" de la magnitud nunca se puede conocer con total precisión o certidumbre. Si realizamos la medida con técnicas e instrumentos cada vez más precisos, los resultados tienden gradual y asintóticamente a un valor que denominaremos "valor verdadero". Proceso de medida. El proceso de medida casi siempre perturba lo que vamos a medir y en consecuencia obtenemos un valor real alterado. Por ejemplo: al colocar un termómetro más frío que la muestra, ésta se enfría por efecto del termómetro y lo que leemos es el resultado de la interrelación muestra/ termómetro, y no sólo de la temperatura de la muestra que queríamos medir. Al intercalar un instrumento de medida en un circuito eléctrico introducimos un componente que no tenía y el resultado de la medida reflejará la alteración. Como deben realizarse las medidas Comprobar la calibración del aparato. Cumplir las normas de utilización del fabricante del aparato en cuanto a conservación y condiciones de uso. Conocer y valorar la sensibilidad del aparato para dar los resultados con la correspondiente imprecisión. Anotar cuidadosamente los valores obtenidos. Hallar el valor representativo, su indeterminación absoluta y su indeterminación relativa. Prof. Claudio Naso 3

4 Mediciones directas e indirectas Una medición directa es aquella que se realiza utilizando un instrumento para medir una magnitud, por ejemplo, medir una longitud con una cinta métrica o el tiempo que tarda un objeto en caer y por lo tanto se lee directamente del instrumento el valor representativo de la medición. En las mediciones indirectas se calcula el valor representativo de la magnitud que se desea medir, mediante una fórmula (expresión matemática), previa medición de las magnitudes que intervienen en la fórmula por medidas directas. Un ejemplo sería obtener el volumen de una habitación a partir de la medición del largo, el ancho y la altura de la misma. Resultado de una medición directa Queda claro que es imposible medir exactamente, dado que estamos limitados por el instrumento de medición utilizado, por nuestra capacidad de observación, etc. Si embargo debemos siempre intentar medir con la mayor precisión posible, teniendo en cuenta que nuestras mediciones siempre acarrean un cierta "indeterminación". Por esta razón, cuando saquemos conclusiones de nuestras mediciones, es importante tener en cuenta estas indeterminaciones. Por lo tanto LA EXPRESIÓN DE UNA MEDIDA SIEMPRE DEBE ESTAR ACOMPAÑADA DE SU INDETERMINACIÓN. Como criterio, para una medición directa, se toma como indeterminación la menor división del instrumento de medida. Supongamos que medimos la longitud de un lápiz con una regla milimetrada. El resultado de la medición se expresa de la siguiente forma: X= 12,8cm ±,1cm Esto significa que el valor verdadero de la longitud del lápiz se encuentra entre la Cota mínima Xmin=12,7cm y la Cota máxima Xmax=12,9cm. Al primer término de esta expresión se lo denomina valor representativo de la medición y se lo indica así: X =12,8cm indica: Al segundo término se lo denomina indeterminación absoluta o error absoluto y se lo δx=.1cm Por lo tanto, el resultado de la una medición de longitud se expresa: X=X ± δx Lo mismo se hace cuando se mide cualquier otra magnitud: tiempo, temperatura, presión, etc. Al cociente entre la indeterminación absoluta y el valor representativo se lo llama indeterminación relativa ε : δx,1 cm εl = = =,8 X 12,8cm Si se multiplica la indeterminación relativa por cien se obtiene la indeterminación porcentual: Prof. Claudio Naso 4

5 ε % X =ε X 1 =, 8 1 =, 8% Conocer esta indeterminación es muy importante ya que significa que de cada cien unidades medidas me estoy equivocando a lo sumo en,8. Cálculo de una medición indirecta Como dijimos, una medición indirecta se obtiene de un cálculo realizado a partir de mediciones directas. Este cálculo siempre implica operaciones matemáticas. El resultado de estas mediciones también debe ser expresado por un valor representativo y su indeterminación absoluta. Para obtener el valor representativo, simplemente se realiza la operación matemática necesaria entre los valores representativos de la mediciones directas, por ejemplo: Se desea medir la superficie de una chapa rectangular y para ello se miden su largo y su ancho obteniéndose los siguientes resultados: L = 25,4 cm ±,1 cm a = 16,8 cm ±,1 cm Como la superficie del rectángulo se calcula multiplicando el largo por el ancho, el valor representativo de la superficie será: S = L. a = 25,4 cm. 16,8 cm = 426,72 cm 2 Para obtener la indeterminación porcentual de una medición indirecta aplicaremos el siguiente criterio: se suman las indeterminaciones porcentuales cada una de las mediciones directas involucradas en el cálculo. Para nuestro ejemplo, calculamos primero la indeterminación porcentual de cada medición: δ L,1cm ε % L = 1 = 1 =,3937,4% L 25,4 cm δ a,1cm ε % a = 1= 1 =,5952,6% a 16,8 cm Obsérvese que se redondearon los porcentajes en la primera cifra que no sea cero. Éste será nuestro criterio siempre. Ahora sumaremos estas indeterminaciones y obtendremos la indeterminación porcentual de la superficie. ε % S = ε% L+ ε% a =,4% +,6% = 1,% Esto significa que cada cien unidades de superficie tengo una indeterminación de una unidad. Una vez hallada la indeterminación porcentual, por simple regla de tras simple hallamos la indeterminación absoluta de la superficie: ,72 cm 2 δs Por lo tanto: 2 1% 426, 72cm 2 2 δ S = = 4, 2672cm 5cm 1% Nuevamente aproximamos la indeterminación absoluta hacia el número superior en la primera cifra que no sea cero. El resultado de la medición es entonces: S = 427cm ± 5cm 2 2 Prof. Claudio Naso 5