5. Corrientes geostróficas

Transcripción

1 5. Corrientes geostróficas En la mayoría de las situaciones de la vida diaria, tales como el movimiento del agua en una pileta, el movimiento del fluído dura unos pocos segundos. Por lo tanto, el número de Rossby temporal T 1 E 1 ΩT T ya que la escala del movimiento T, es mucho menor que el período de rotación de la Tierra TE. Si consideramos la escala de tiempo como la escala advectiva (T=L/U), entonces vale también que el número de Rossby Ro>>1. Por lo tanto, en ausencia de fricción la ecuación que gobierna el movimiento del agua es RoT = du 1 = dt ρ0 dv 1 = dt ρ0 x lo cual implica que el agua se moverá de mayor a menor presión. 5.1 Equilibrio geostrófico En el interior del océano lejos de la superficie, del fondo y de las fronteras laterales, para distancias que exceden las decenas de kilómetros, y para escalas de tiempo mayores a algunos días, los gradientes de presión horizontal están en un balance casi completo con la fuerza de Coriolis que resulta de los movimientos horizontales. Este balance se denomina balance geostrófico, y las corrientes resultantes corrientes geostróficas. Partiendo de las ecuaciones (3.35) el balance geostrófico se obtiene considerando RoT<<1, Ro<<1, Ek<<1 o sea que se pueden despreciar las aceleraciones locales, advectivas y la fricción. En este límite, las ecuaciones de movimiento en la dirección horizontal resultantes son: 1 p fv= ρ 0 x 1 p + fu= ρ 0 y (5.1) Este conjunto de ecuaciones tiene interesantes propiedades. De acuerdo a las ecuaciones anteriores, las velocidades horizontales están dadas por el balance entre la fuerza gradiente de presión horizontal y la fuerza de Coriolis. Este balance se denomina equilibrio geostrófico y da lugar a las corrientes geostróficas 1

2 1 0 f 1 ug = 0 f v g= x (5.2) Si elevamos al cuadrado y sumamos las ecuaciones de (5.2) se obtiene [( ) +( ) ]= 2 ( ) 2 ρ0 x ρ0 n 1 C g= ρ0 f n f 2(u 2g + v 2g )=f 2 C 2g= (5.3) que relaciona la intensidad de la corriente geostrófica con la magnitud del gradiente de presión p / n, donde la derivada se toma en una dirección n perpendicular a las isóbaras, que es la dirección de máximo gradiente. Las ecuaciones (5.2) indican que las corrientes geostróficas son perpendiculares al gradiente de presión. Por lo tanto, en un fluído rotante las parcelas no se mueven de alta presión a baja presión sino que circulan alrededor de los centros de presión moviéndose a lo largo de las isóbaras (figura 5.1). Esto implica que no se realiza trabajo sobre el fluido, y por lo tanto una vez comenzado el flujo puede persistir sin entrega de energía adicional. La dirección de rotación depende del hemisferio ya que f cambia de signo. En el hemisferio sur el flujo es tal que las altas presiones estan a la izquierda del flujo. Figura 5.1 Corrientes geostroficas en el H.N. Las ecuaciones (5.2) se usan extensivamente en meteorología y oceanografía para determinar las velocidades a partir del campo de presión. Antes del uso de los correntómetros el conocimiento de las corrientes oceánicas estaba basado fundamentalmente en estimaciones de corrientes geostróficas derivadas de datos hidrográficos de T y S. 2

3 5.2 Aplicaciones de las ecuaciones geostróficas. La ecuación vertical describe el equilibrio hidrostático entre el peso y el gradiente de presión vertical = g z (5.4) donde en este caso ρ es la densidad total ρ = ρ0 + ρ'. Integrando la ecuación (5.4) desde la superficie hasta una profundidad h se obtiene 0 η η 0 p= p0 + h g ρdz =p 0+ h g ρ dz+ 0 g ρdz =p 0+ h g ρ dz+ g ρ0 η (5.5) donde p0 es la presion atmosférica en superficie y η la altura del nivel del mar (ver figura 5.2). Figura 5.2 Esquema de superifice del mar ( = ). Sustituyendo esta ecuación en la solucion para u y v (5.2) se obtiene 1 0 f 1 v g= 0 f u g= h g d z gf y 0 0 g d z g x h f x (5.6) donde se usó la aproximacion de Boussinesq, reteniendo ρ' cuando se calcula la presión en profundidad (en el primer término a la derecha de las ecuaciones 5.5). Estas ecuaciones indican que el gradiente de presión tiene dos términos, uno debido a la pendiente de la superficie del mar y otro debido a las variaciones horizontales de densidad en profundidad. 3

4 5.2.1 Corrientes geostróficas en superficie usando altimetria. En superficie las ecuaciones anteriores dan la velocidad geostrófica que resulta de variaciones en la altura de la superficie del mar g f g vg = f x ug = (5.7) La topografía de la superficie del mar es la altura de la superficie del mar con respecto al geoide, donde el geoide se define como la superficie de nivel para un océano en reposo. Por lo tanto, de acuerdo a estas ecuaciones las corrientes geostróficas en superficie son proporcionales a la pendiente de la topografía, la cual puede medirse con altímetros desde satelites (Figura 5.3). Figura 5.3 Relacion entre altura de superficie del mar ( = ) y corrientes geostróficas en superficie en el H.N. Escalas tipicas de la corriente del Golfo. Recordando que el geoide es una superficie de nivel, es entonces una superficie de geopotencial constante =g h. La topografia se debe a los procesos dinámicos que causan que el océano se mueva: mareas, corrientes, y cambios en presión barométrica debido al efecto barométrico invertido, y por lo tanto se denomina topografia dinámica. (El efecto barométrico invertido es la respuesta estática de la superficie oceánica a cambios en la presión atmosférica: en general un aumento en la presión de 1 mbar resulta en una disminución del nivel del mar en 1 cm.) La topografia es aproximadamente 1/100 de las ondulaciones del geoide (figura 5.4), y por lo tanto la forma de la superficie del mar está dominada por variaciones locales en la gravedad y no por la influencia de las corrientes. 4

5 Figura Geoide de referencia. Un ejemplo se puede ver en la figura 5.5, donde la superficie del mar sigue muy de cerca la forma del geoide. Cuando se resta el geoide de la superficie del mar se encuentran las ondulaciones causadas por los movimientos oceánicos, en este caso por corrientes. Notar que la corriente del Golfo se ve como una gran pendiente de la superficie del mar. Figura 5.5 Medida del nivel del mar a traves de la corriente del Golfo. Una visión mas regional de la corriente del golfo muestra la circulación media y los eddies (figura 5.6). 5

6 Figura 5.6 Anomalías del nivel de superficie del mar (izq) y nivel de superficie del mar total (der). Las figuras 5.5 y 5.6 también muestran la presencia de giros o anillos cerrados ( eddies o rings ) de aguas cálidas y aguas frías como máximos y mínimos relativos de la superficie, respectivamente. Estos giros tienen una escala horizontal de km (mesoscala) y son los equivalentes a los sistemas del tiempo en la atmósfera. Ambos fenómenos son creados por la inestabilidad baroclínica del flujo. La circulación para el caso de los giros de aguas cálidas se muestra en la figura 5.7. Figura 5.7 Circulación de superficie alrededor de un giro de aguas cálidas. 6

7 Para medir la topografía oceánica es necesario sistemas de altímetros de gran precisión colocados en satélites. Los primeros sistemas, llevados en Seasat, Geosat, ers-1 y ers-2 fueron diseñados para medir la variabilidad semanal de las corrientes. Recién con Topex/Poseidon (1992) el sistema se diseñó para tomar medidas suficientemente precisas como para observar la circulación de superficie, mareas, y la variabilidad de los giros oceánicos. El T/P fue seguido por Jason (2001) y Jason-2 (2008). Hoy día los satélites orbitan a una distancia de 1000 km sobre la superficie terrestre, y los altímetros miden la altura del nivel del mar con una precisión de 1-2 cm. La elevación media relativa al geoide se muestra en la figura 5.8. Se observa que los gradientes de elevación mayores coinciden con las corrientes de superficie mas intensas, como la del Golfo, la de Kuroshio y la Circumpolar Antartica (figura 5.9). Notar que las corrientes ecuatoriales son muy intensas mientras que el gradiente de elevación del mar es pequeño. Esto es pues cerca del Ecuador donde el parámetro de Coriolis tiende a cero, el balance geostrófico no se cumple. Figura 5.8 Topografía media anual de la superficie oceánica según T/P ( ). 7

8 Figura 5.9 Corrientes en superficie en el océano Pacífico superpuestas sobre la TSM. La varianza del nivel del mar es una medida de la variabilidad de las corrientes geostróficas en superficie. Esta varianza es máxima en las corrientes de borde oeste y en la corriente de Agulhas (figura 5.10). Figura 5.10 Variabilidad de la topografia segun T/P. La varianza de la topografia indica 8

9 variabilidad de las corrientes geostroficas en superficie. La región de la confluencia entre las corrientes de Malvinas y de Brazil es una de las mas energéticas del globo. Esto se puede ver claramente a traves de la varianza del nivel de superficie del mar (figura 5.11). Figura 5.11 Varianza del nivel del mar en la region de la confluencia Malvinas-Brazil. La línea punto-raya denota la posición de los frentes de la corriente de Brazil y el Subantártico. Volvamos a las ecuaciones (5.6) 1 0 f 1 v g= 0 f u g= h g d z gf y 0 0 g d z g x h f x Si la densidad del océano fuera constante (ρ'=0), o dependiente únicamente de z, el primer término es nulo y el gradiente de presión en superficie persistiría verticalmente a través de toda la columna de agua. Como consecuencia las velocidades geostróficas de un océano uniforme son independientes de la profundidad. La figura 5.12a muestra la distribución de isóbaras e isopicnals en ese caso, el cual se denomina barotrópico ya que la densidad 9

10 depende únicamente de la presión. Figura 5.12 Esquema de la relación entre isóbaras e isopicnals para un océano (a) barotrópico, y (b) baroclínico. En (a) también se muestra la dirección de las corrientes (H.N.). La dirección n es la de máximo gradiente de presión horizontal. No obstante, las corrientes y los gradientes de presión observados en profundidad son menores que en la superficie sugiriendo una cancelación de los dos términos de las ecuaciones (5.6). O sea que la densidad del agua de mar varía horizontalmente y el campo de densidades se reorganiza de tal forma de oponerse al gradiente de presión horizontal de superficie, creando un gradiente de presión baroclínico que resulta en corrientes geostróficas débiles en profundidad (~1000 m). Cuanto deben inclinarse las superficies de densidad en el interior del océano a los efectos de cancelar los gradientes de presión causados por las elevaciones en superficie? Si u g 0 a una profundidad H, entonces a esa profundidad los dos términos son de magnitud similar, o sea 10

11 H ~ 0 y H z ~ 0 z y y H N² z ~ g (5.8) donde <> denota el promedio vertical en la altura H. Así, Pendiente de isopicna g ~ Pendiente de superficie N2 H (5.9) Para H= 1 km, y valores de N=5*10-3 1/s se tiene que g/n2h = 400. O sea que por cada metro de elevación de la superficie del mar las superficies de densidad deben descender 400m para poder cancelar las velocidades geostróficas a 1000 m. Esto es justamente lo que se observa en el océano. Donde la altura del nivel del mar es alto, como en los subtrópicos, las superficies de densidad constante en el interior tienden a ser profundas. Comparar figura 5.8 con figura Figura 5.13 Profundidad de la superficie de densidad σt=26.5. Un esquema de la estructura vertical meridional se muestra en la figura

12 Figura 5.14 Esquema de estructura vertical oceánica (corte en la dirección meridional). Así, la velocidad geostrófica en cualquier profundidad puede ser considerada como la combinación de una parte debido a la pendiente de la superficie y otra debido a los gradientes internos de presión asociados con una estratificación que varía en la horizontal. Los gradientes de presión asociados con desviaciones de la altura del nivel del mar con respecto al geoide tienden a sentirse en toda la columna y generan corrientes usualmente denominadas barotrópicas. Generalmente se las considera aquella parte del flujo que no depende de la profundidad, pero estrictamente los fenómenos barotrópicos están asociados con superficies de presión que son paralelas a las superficies de densidad constante. Por otro lado, los flujos baroclínicos son el resultado de superficies de presión constante que no son paralelas a las superficies de densidad constante. En general, las variaciones verticales de un flujo pueden descomponerse en una componente barotrópica que es independiente de la profundidad y una componente baroclínica que varía con la profundidad. Esta idea también puede aplicarse a la estructura vertical y circulación en los remolinos (eddies). Por ejemplo, un remolino ciclónico en cualquier hemisferio será de la forma mostrada en la figura 5.15a, donde la pendiente de la picnoclina es mucho mayor que la pendiente de la superficie. Estos remolinos ciclónicos tienen un centro relativamente frío debido al levantamiento de las isopicnals. Análogamente, un remolino cálido tendrá la estructura mostrada en la figura 5.15b independiente del hemisferio. Lo que sí cambiará segun el hemisferio es el sentido de las corrientes, que será anticiclónico (anti-horario en el HS) para el eddy cálido y ciclónico (horario en HS) para el eddy frío Efectos estéricos Una contribución fundamental en las variaciones espaciales en el nivel del mar es simplemente la expansión (contracción) de columnas de agua que son mas cálidas (frías) que sus alrededores. Notar que el nivel del mar es alto en los giros subtropicales que son cálidos, y bajos en los giros polares que son fríos. Análogamente, columnas mas salinas son mas cortas que columnas menos salinas. El efecto de la expansión/contracción de las columnas debido a T y S se denominan efecto estérico. 12

13 La magnitud del efecto estérico se puede estimar de la ecuación H ~ 0 y (5.10) que se puede reescribir usando la escuación de estado ~ T T T 0 S S S 0 H (5.11) Usando valores típicos de los primeros 1000m de profundidad en los subtrópicos: <TT0>=10C y de <S-S0>=0.5, se obtiene ~ H (5.12) Se nota que el efecto de expansión de la columna debido a que son aguas cálidas predomina sobre la tendencia a la contracción debido a su salinidad. Estas estimaciones son del órden de aquellos de la figura 5.8. Figura 5.15 Estructura de remolinos (a) frío, y (b) cálido. 13

14 5.3 Viento térmico La relación teórica fundamental de la oceanografía observacional es la relación del viento térmico. Consideremos las ecuaciones geostróficas (5.13) 1 ρ0 f 1 vg = ρ0 f ug = x y tomemos la derivada vertical: u g 1 = z ρ0 f vg 1 = z ρ0 f z x z (5.14) Usando la ecuación hidrostática se obtiene u g g = z 0 f v g g = z 0 f x (5.15) Estas son las ecuaciones del viento térmico e indican que si la densidad varía horizontalmente entonces existe un cortante vertical de la velocidad geostrófica. Para calcular la velocidad geostrófica debemos conocer la diferencia de presión horizontal absoluta entre dos puntos. Si se conoce únicamente la distribución de densidad podemos calcular únicamente la cortante vertical de velocidades geostróficas. Para convertir estas corrientes relativas a corrientes absolutas debemos estimar o conocer la velocidad de la corriente en un nivel dado (nivel de referencia). Una forma común, pero generalmente incorrecta, es asumir un nivel de no movimiento a cierta profundidad Corrientes geostróficas en profundidad usando hidrografía Históricamente ha sido muy difícil y costoso medir corrientes oceánicas directamente en toda la columna. No obstante, es posible usar los perfiles de densidad para estimar corrientes geostróficas usando la relación de viento térmico. Para calcular cortantes verticales de velocidad geostrófica a partir de perfiles de densidad los oceanógrafos han definido dos funciones muy relacionadas: anomalía de geopotencial y altura dinámica, cuyos gradientes horizontales representan la fuerza gradiente de presión horizontal. El geopotencial se define de la ecuación de balance hidrostático como 14

15 d Φ=g dz= α dp Φ= g dz=g(z 2 z 1 )= α dp donde α es el volumen específico. La altura del geopotencial se define como es casi equivalente a la altura geométrica. (5.16) Z =Φ/9.8 y En general se define la anomalía de volumen específico δ=α( S, T, p) α (35,0, p) (5.17) para calcular la anomalía de geopotencial Δ Φ= δ dp (5.18) y la anomalía de altura de geopotencial es entonces Z '= 1 δ dp 9.8 (5.19) La altura dinámica, D, se define como dd=α dp (5.20) p2 D= p α dp 1 y por lo tanto está muy relacionada con el geopotencial, difiriendo sólo en signo y en unidades en la cual se reporta. La unidad tradicional es el metro dinámico: 1 dyn m = 10 m2/s2. Por lo tanto altura dinámica reportada en metros dinámicos está relacionada con el geopotencial de la forma Δ D= Δ Φ/10= δ dp 10 (5.21) Por lo tanto 10 Δ D= 9.8 Z '. Las cantidades ΔD y Z' se usan, en general, en forma intercambiada ya que difieren en un 2%. Integrando la ecuacion del viento térmico entre dos niveles p1 y p2 se obtiene entonces 10 Δ D 1 = f f 10 Δ D 1 v g2 v g1= = f x f u g2 u g1= ΔΦ ΔΦ x (5.22) Estas ecuaciones nos permiten, sabiendo la densidad a partir de mediciones de T y S, calcular el flujo geostrófico en cualquier nivel p2 relativo al flujo geostrófico relativo al nivel p1. Como ejemplo del método geostrófico consideremos perfiles de densidad a través de la corriente del Golfo (Figura 5.16). Las isopicnals con pendiente hacia arriba en dirección norte entre 38 y 39 marcan la posición de la corriente del Golfo. El perfil de corrientes geostróficas se calcula en las estaciones A y B relativo a un nivel de no movimiento en 3000 m. La estación A tiene menor volumen específico (mayor densidad potencial) que la estación B. Por lo tanto la altura dinámica de superficie en A es menor que en B y la fuerza gradiente de presión es hacia el norte, de B a A. Por lo tanto, la velocidad geostrófica en un punto medio entre las estaciones es hacia el este y máximo en la superficie. Esto significa que la superficie 15

16 está inclinada hacia abajo de B a A. El cortante vertical es mayor en los primeros 800 m donde la diferencia en altura dinámica es mayor. Figura 5.16 Ejemplo de cálculo de corrientes geostróficas usando observaciones. Los mapas de altura dinámica son equivalentes a los de altura de nivel del mar. Todas las cuencas oceánicas tienen las mayores alturas dinámicas en la región oeste de los subtrópicos. Los contornos muy juntos a lo largo de las fronteras oeste indican la presencia de corrientes de borde oeste intensas ya que las corrientes geostróficas fluyen paralelo a los contornos de altura con mayores alturas a la izquierda en el H.S. Valores bajos de altura dinámica se encuentran alrededor de Antártica. El contraste en altura dinámica y altura del nivel del mar desde alta a baja en un giro es del orden de 0.5 a 1 m. 5.4 El problema de ajuste de Rossby Los anillos que se observan en la figura 5.6 tienen una escala horizontal característica de cerca de 50 a 100 km de diámetro. Por qué esa escala? Para responder a esta pregunta consideremos el siguiente experimento. Una columna inicialmente vertical de agua salina es permitida que vaya al equilibrio bajo la acción de la gravedad en una mesa rotante. Se observa la formación de un cono que rota con la mesa y 16

17 cuyos lados tienen una pendiente particular (figura 5.17). Figura 5.17 Evolución hacia el equilibrio de una columna de agua densa situada en un plato rotatorio. El experimento muestra que si bien inicialmente la columna vertical no está en equilibrio geostrófico, el cono final sí lo esta. Pero, cuánto debe hundirse el cono para que la velocidad y la presión estén en balance y cómo es el proceso? O, lo que es lo mismo, cual es la distancia r que caracteriza la escala horizontal del ajuste? Este problema se conoce como el problema de ajuste de Rossby. La solución completa es complicada y en esta sección daremos sólo un argumento cualitativo. Supongamos que cuando la columna cae conserva su cantidad de movimiento angular, de tal forma que si r es la distancia al centro del cono y u es la velocidad en el borde del cono se tiene r 2 u r=c o n s t a n t e (5.23) Si r1 es el radio inicial (de la columna vertical) entonces el cambio en velocidad azimutal (tangencial) estará dada por 2 r r u r r u=0 r u= 2 r u ~ 2 r r (5.24) si cambia su radio en δr (que se asume pequeño) marcado en la figura En la parte superior de la columna de agua δr<0 y el anillo adquirirá una rotación positiva (antihorario); abajo δr>0 y el anillo adquirirá una rotación negativa (horaria). (Notar que despreciamos el rozamiento.) El hundimiento del cilindro procederá hasta que el cortante vertical de velocidades resultante satisfaga las ecuaciones del viento térmico, es decir esté relacionada con el gradiente horizontal de densidad. La expresión del viento térmico en este caso se obtiene de la siguiente forma. Asumamos que la densidad de uno al otro lado del cono cambia en forma discontínua con ρ1> ρ2. Sea y un eje horizontal y γ el ángulo de la pendiente. Calculemos la diferencia de presión entre dos 17

18 puntos en la frontera del cono por dos caminos (1) y (2), que debe ser igual (figura 5.18) ( δ z+ δ y ) =( δ y+ δ z) z z (2) (1) (5.25) Figura 5.18 Esquema de pendiente del cono y caminos usados para calcular la diferencia de presiones entre dos puntos de la frontera. Usando la ecuación hidrostática en ambos lados de la frontera encontramos que la pendiente está dada por p1 p2 p1 p2 dz y y tan γ= = = dy g (ρ1 ρ2 ) g Δρ (5.26) y usando las ecuaciones geostróficas para relacionar los gradientes de presión con las velocidades (se desprecia el término u2δρ) encontramos que (u2 u 1)= g ' tan γ. 2Ω (5.27) La g' es la gravedad reducida g'=gδρ/ρ 1. La fórmula anterior se conoce como la relación de Margules, derivada en 1903 por el meteorólogo Max Margules para explicar la pendiente de la frontera en frentes atmosféricos. Asumiendo que tg γ~h/ δr donde H es la altura de la columna de agua y sustituyendo en la ecuación anterior. u 2 u 1 ~ g ' H / r 2 (5.28) Usando la estimación de velocidades encontrada mas arriba (5.24) se obtiene finalmente que δ r g ' H L 2Ω d (5.29) Esta escala horizontal que caracteriza la escala horizontal de hundimiento del cono para llegar al equilibrio geostrófico se conoce como el radio de deformación de Rossby 18

19 baroclínico (o interno). Una fórmula mas general válida para una latitud θ dada es Ld = g' H f (5.30) y si la estratificación es continua Ld = NH f (5.31) Este radio es la escala para la cual los efectos de la rotación son comparables a los de la estratificación. En el océano H=1 km, N=3x10-3 s-1 y f=10-4, por lo que Ld ~ 30 km. Ld aumenta si lo hace la estratificación o si disminuye la rotación, de tal forma que L d=240 km cerca del ecuador y decrece a 10 km en latitudes mayores de 60 (Figura 5.19). Figura 5.19 Radio de deformación de Rossby interno. Bibliografía principal Introduction to physical oceanography, R. Stewart Atmosphere, Ocean and Climate dynamics, J. Marshall y R. Plumb Descriptive physical oceanography, Talley et al. Introduction to physical and biological oceanography of the shelf seas, J. Simpson, J. Sharples 19