INTERACCIÓN RUEDA - CARRIL

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1 5 - INTERACCIÓN RUEDA - CARRIL CAPÍTULO 5 INTERACCIÓN RUEDA - CARRIL 5.1. INTRODUCCIÓN El fenómeno de contacto es probablemente el que más caracteriza la investigación en dinámica ferroviaria pues posee una influencia decisiva en la dinámica de estos vehículos. Hay dos tipos de fuerzas que normalmente se consideran que actúan en la zona de contacto. Las fuerzas normales y las fuerzas tangenciales de contacto, que relacionan una pequeña área de contacto entre la rueda y el carril sobre la que se produce el fenómeno. La presencia de las fuerzas normales y de fricción seca, son las que generan las fuerzas tangenciales en la misma área de contacto. En un caso general, la zona de contacto se puede dividir entre área de adhesión y de deslizamiento. Las diferentes deformaciones tangenciales en ambos sólidos provocan la existencia del fenómeno conocido como cccccccccc. Las fuerzas tangenciales por tanto se originan por presencia de cccccccccccc actuando en la zona de contacto a través de relaciones lineales o no lineales. Un resumen de diferentes teorías de contacto puede encontrarse en [11]. 45

2 MODELO DE SIMULACIÓN FERROVIARIA CON TABLAS PRECALCULADAS Y CINEMÁTICA SIMBÓLICA 5.2. PARAMETRIZACIÓN SUPERFICIES DE CONTACTO Las superficies de la rueda y carril de un sistema ferroviario se pueden parametrizar utilizando 4 parámetros según la expresión 5.1. rr rr ww ss = [ss 1 ss 2 ss 1 ss ww 2 ] TT (5.1) En donde los superíndices rr y ww, hacen referencia al carril y a la rueda respectivamente rr y los subíndices 1 y 2 se refieren a la dirección en las superficies siendo ss 1 la coordenada rr ww longitudinal del contacto en el carril, ss 2 la coordenada lateral del contacto sobre el carril, ss 1 la ww coordenada lateral sobre la rueda y ss 2 la coordenada angular del contacto con respecto al sistema de referencia de la rueda tal y como se muestra en la figura 5.1. Figura 5.1. Parametrización Rueda - Carril FORMULACIONES DE CONTACTO Una gran cantidad de formulaciones de contacto se han publicado en la literatura con distintos objetivos como precisión, eficiencia, robustez o respuesta en frecuencia. Los métodos se pueden clasificar: Grados de Libertad entre Rueda - Carril. o Estos grupos presentan 5 grados de libertad si no se permite la penetración entre sólidos o por el contrario 6 grados de libertad si lo permiten. Estos a su vez reciben la denominación de contacto con restricciones o elástico respectivamente. 46

3 5 - INTERACCIÓN RUEDA - CARRIL Pre - Cálculo: o Estos métodos calculan los parámetros necesarios para la formulación, tales como las tangentes y curvaturas en cada iteración. Así mismo, pueden utilizarse tablas precalculadas que guarden esta información y a las que se accede a partir de posiciones relativas de la rueda y carril e interpolando entre ellas. En este proyecto, se combinará el uso de tablas precalculadas para la localización de los puntos de contactos, con una formulación con restricciones, en donde se utilizará como entradas del programa, la coordenada lateral del eje ferroviario. Esto permitirá el posterior cálculo de las fuerzas normales y tangenciales de contacto FORMULACIÓN EN CONTACTO CON RESTRICCIONES Cuando dos cuerpos rígidos, como son la rueda y el carril entran en contacto, dos tipos de restricciones de contacto se deben satisfacer. El punto de contacto en ambos sólidos debe tener la misma posición en el espacio. Los planos tangentes en el punto de contacto deben ser paralelos. De forma matemática, éstas condiciones se puede expresar según la expresión 5.2. Siendo, rr ww rr PP rr PP CC kk qq ww, qq rr, ss wwww, ss rrrr = tt 11ww nn rr = 0 (5.2) tt 22ww nn rr kk, el superíndice que se refiere al número de contacto. qq, el conjunto de coordenadas generalizadas. rr PP ww, rr PP rr, son la posición global de los puntos de contacto para rueda y carril tt 11, tt 22, nn rr, son las dos tangentes y la normal a la superficie en el punto de contacto. Este conjunto de 5 restricciones de la expresión 5.2, eliminan un grado de libertad del sistema pues se introducen cuatro parámetros de superficie para localizar el punto de contacto. La figura 5.2. da una idea de la distribución de tensiones en la zona de contacto y su modelización como una única fuerza resultante aplicada sobre el punto de contacto sin deformación en los sólidos. 47

4 MODELO DE SIMULACIÓN FERROVIARIA CON TABLAS PRECALCULADAS Y CINEMÁTICA SIMBÓLICA Figura 5.2. Distribución de Tensiones y Modelo de Contacto con Restricciones 5.4. CÁLCULO DE LAS FUERZAS DE CONTACTO Las fuerzas de contacto poseen una importancia vital en el análisis de sistemas ferroviarios, ya que gracias a los fenómenos que ahí ocurren, el vehículo puede convertir el movimiento de rotación de las ruedas de tracción, en movimiento de avance a lo largo de la vía. Del conocimiento de estas fuerzas se determina la estabilidad de los vehículos por lo que no tener precisión en la determinación de las mismas, puede llevar a resultados erróneos. Como se ha establecido con anterioridad, las fuerzas de contacto son de dos tipos: Fuerza normal de contacto. Fuerza tangencial de contacto. A continuación se muestran la determinación de las fuerzas de contacto normal y tangencial seguidas en el presente proyecto FUERZA DE CONTACTO NORMAL El cálculo de la fuerza de contacto normal, que fue investigado en detalle por Hertz en 1882, y cuya teoría de contacto es ampliamente utilizada, se caracteriza por considerar a los sólidos en contacto como sólidos elásticos con geometrías de curvatura constante en la zona de contacto. Estos sólidos elásticos penetran entre sí, de forma que en función de la indentación entre ellos, geometría de la elipse de contacto y características mecánicas, se puede obtener una distribución de presiones que permita calcular la fuerza normal de contacto. Sin embargo, en el presente proyecto se ha utilizado un modelo de contacto con restricciones, por lo que no se permite la indentación entre los sólidos y por tanto, no se puede utilizar la teoría de Hertz para el cálculo de la fuerza normal de contacto. 48

5 5 - INTERACCIÓN RUEDA - CARRIL Para obtener por tanto la fuerza normal de contacto, se utilizan los multiplicadores de Lagrange asociados a las restricciones de contacto impuestas con anterioridad. Éstos multiplicadores de Lagrange, permiten la identificación de las fuerzas de Reacción mediante la expresión 5.3 que está basada en la expresión 4.24, siendo CC qqcccccc la matriz jacobiana de las restricciones de contacto, λλ cccccc el vector de multiplicadores de Lagrange asociado a las restricciones de contacto, y FF rrrrrrrrrrrrrrrr el vector de fuerzas de reacción sobre los sólidos del sistema. TT CC qqcccccc λλ cccccc = FF rrrraaaaaaaaaaaa (5.3) Para identificar del vector de fuerzas de reacción FF rrrrrrrrrrrrrrrr de la expresión 5.3, es necesario conocer en primer lugar el orden seguido en la definición de los sólidos del sistema multicuerpo para la estructuración de las ecuaciones del movimiento e identificar qué sólido es el eje ferroviario. Si se llama jj como el sólido ferroviario, siendo jj = 1 la barra fija, la fuerza normal de contacto y el par en dirección longitudinal se extraen del vector FF rrrrrrrrrrrrrrrr según las expresiones 5.4. y 5.5 respectivamente. FF ZZjj = FF rrrrrrrrrrrrrrrr (6 (jj 1) + 3) (5.4) MM XX jj = FF rrrrrrrrrrrrrrrr(6 (jj 1) + 4) (5.5) DETERMINACIÓN FUERZA NORMAL EN LOS PUNTOS DE CONTACTO En las expresiones 5.4 y 5.5, se han determinado la fuerza normal y el par longitudinal resultantes sobre un eje ferroviario jj. Se hace indispensable ahora determinar exactamente qué fuerza normal está actuando sobre los contactos izquierdo y derecho. Para ello, se realiza un análisis de equilibrio caracterizado por la figura 5.3. Figura 5.3. Análisis de equilibrio 49

6 MODELO DE SIMULACIÓN FERROVIARIA CON TABLAS PRECALCULADAS Y CINEMÁTICA SIMBÓLICA El procedimiento para calcular las fuerzas normales sobre los contactos izquierdo y derecho es el siguiente: 1. Se extraen las coordenadas y velocidades del eje. De igual manera, de las tablas precalculadas, interpolamos los parámetros de contacto en cada una de las ruedas. 2. Se evalúa con los datos obtenidos los vectores de posición, tangentes, normales y curvatura de los puntos de contacto de las ruedas izquierda y derecha. 3. Como la normal a la superficie del carril en los puntos de contacto es la dirección de las fuerzas normales en cada uno de los contactos, aplicamos equilibrio de la figura 5.3 a través de las expresiones 5.6, 5.7, 5.8 y 5.9. Superíndices rr y ww hacen referencia al carril y a la rueda respectivamente. Subíndices ii y dd, hacen referencia a la izquierda y a la derecha respectivamente. FF II = FF II nn rr ww II = FF II nn II (5.6) FF DD = FF DD nn rr ww DD = FF DD nn DD (5.7) Si se refieren las expresiones 5.6 y 5.7 sobre las componentes vertical y longitudinal. (FF II + FF DD ) zz = FF NN Componente z (5.8) (rr II FF II + rr DD FF DD ) xx = MM NN Componente x (5.9) Lo que da lugar al sistema de ecuaciones lineales de 5.10 que permite calcular las fuerzas normales de contacto tanto en la izquierda como con la derecha. nn zz II rr yyii nn II II zz rr zzii nn yy nn zz DD rr yydd nn zz DD rr zzdd nn yy DD FFII FF DD = FF NN MM NN (5.10) FUERZA DE CONTACTO TANGENCIAL El cálculo de las fuerzas tangenciales de contacto se realiza con la teoría lineal de Kalker [12] en donde previamente es necesario el valor de las fuerzas normales de contacto en cada pareja de contactos calculada con anterioridad según El procedimiento se expone a continuación: 50

7 5 - INTERACCIÓN RUEDA - CARRIL 1. Se localizan las coordenadas, velocidades lineales y angulares de los sólidos en contacto así como las propiedades mecánicas de los materiales que los forman. 2. Se interpola en las tablas precalculadas los valores de los parámetros de las dos parejas de contacto existente. 3. Con los parámetros de contacto y las coordenadas de los sólidos, se evalúan las tangentes longitudinal y transversal, la normal en cada punto de contacto así como su curvatura para identificar mediante relaciones cinemáticas las velocidades relativas de estos. 4. A partir de la fuerza normal en cada contacto y de los vectores geométricos calculados se obtienen las dimensiones de la elipse de contacto y los creeps entre los sólidos. 5. Con las dimensiones de la elipse de contacto y los valores de los creeps, se calculan los coeficientes de la teoría lineal de Kalker para obtener las fuerzas tangenciales de contacto a partir de la expresión 5.11 [11]. cc ξξ FF tttttttt = CC εε = 0 cc 22 cc 23 ηη (5.11) 0 cc 23 cc 33 φφ CÁLCULO DE LA ELIPSE DE CONTACTO El cálculo de la geometría de la elipse de contacto se obtiene a partir de la teoría de Hertz mediante las expresiones aa = mm θθ 3ππ FF NN (KK 1/3 1 + KK 2 ) 4KK 3 (5.12aa) bb = nn θθ 3ππ FF NN (KK 1/3 1 + KK 2 ) 4KK 3 (5.12bb) Donde según la figura 5.4, aa y bb son los semiejes mayor y menor de la elipse. 51

8 MODELO DE SIMULACIÓN FERROVIARIA CON TABLAS PRECALCULADAS Y CINEMÁTICA SIMBÓLICA Datos: Figura 5.4. Elipse de Contacto AA mm = ; BB mm = ; CC mm = 1.35; DD mm = ; (5.13. aa dd) AA nn = ; BB nn = ; CC nn = 0.20; DD nn = 0.281; (5.13. ee h) tt 1rrrrrrrr, tt 2rrrrrrrr, nn rrrrrrrr, tttttttttttttttttt llllllllllllllll. tttttttttttt. yy nnnnnnnnnnnn eeee rrrrrrrr tt 1ww heeeeee, tt 2ww heeeeee, nn wwheeeeee, tttttttttttttttttt llllllllllllllll. tttttttttttt. yy nnnnnnnnnnnn eeee rrrrrrrrrr ψψ = cos 1 TT tt 2ww heeeeee tt 2rrrrrrrr (5.13. ii) KK 1 = 1 μμ 2 rrrrrrrr, KK ππ EE 2 = 1 μμ 2 ww heeeeee rrrrrrrr ππ EE ww heeeeee KK 3 = 1 2 kk DD rrrrrrrr (1) + kk DDrrrrrrrr (2) + kk DDww heeeeee (1) + kk DD wwheeeeee (2) (5.13. jj kk) (5.13. ll) KK 4 = 1 2 kk DDwwheeeeee (1) kk DD ww heeeeee (2) 2 + kk DDrrrrrrrr (1) kk DD rrrrrrrr (2) kk DDww heeeeee (1) kk DDww heeeeee (2) kk DDrrrrrrrr (1) kk DDrrrrrrrr (2) cos(2ψψ) 1/2 (5.13. mm) kk DD = ppppppámmmmmmmmmmmm dddd cccccccccccccccccc eeee rrrrrrrrrr/cccccccccccc θθ = cos 1 KK 4 KK 3 mm θθ = AA mm tan θθ ππ 2 + BB mm θθ CC mm + DD mm nn θθ = 1 AA nn tan θθ ππ BB nn θθ CC nn + DD nn sin(θθ) (5.13. nn) (5.13. oo) (5.13. pp) 52

9 5 - INTERACCIÓN RUEDA - CARRIL CÁLCULO DE LOS CREEPS Los creeps son las velocidades de deslizamiento adimensionalizadas (en dirección longitudinal, transversal, y giro en el plano de las anteriores), con respecto a la velocidad de avance del sólido. Son datos necesarios para poder abordar el cálculo de la fuerza tangencial mediante la teoría de Kalker. Para el caso del creep longitudinal (figura 5.5) y transversal, conocidos como ξξ y ηη respectivamente, se emplean las expresiones 5.14 y 5.15, donde el vector vv LL se obtiene en 5.16, mientras que para el creep de spin o angular conocido como φφ, que no es adimensional puro, se obtiene similarmente mediante la expresión ξξ = vv LL (1)/VV aaaaaaaaaaaa (5.14) ηη = vv LL (2)/VV aaaaaaaaaaaa (5.15) Figura 5.5. Creep longitudinal. vv LL = AA LLTT vv wwwwwwwwwwwwwwww (5.16. aa) AA LL = [tt 11 tt 22 nn] cccccccccccc (5.16. bb) φφ = ωω TT rrrrrr nncccccccccccc VV aaaaaaaaaaaa (5.17) 53

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