Incertidumbres y Métodos Gráficos *

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Departamento de Física Fundamentos de Electricidad y Magnetismo Guía de laboratorio 02 Objetivos Incertidumbres y Métodos Gráficos * 1. Aprender a expresar y operar correctamente medidas con sus respectivas incertidumbres. 2. Aprender a presentar los resultados de un experimento en forma gráfica. 3. Aprender a analizar gráficos. 4. Encontrar la expresión matemática que relaciona las variables que intervienen en un experimento. 1. Incertidumbres y propagación de incertidumbres La física se basa en el experimento, y el experimento exige medir. El resultado de una medida solo se aproxima al valor exacto de la magnitud que se está midiendo pero nunca llega ser igual a éste. Se habla de incertidumbre de una medida para indicar la imprecisión de ésta debida a las limitaciones del instrumento y del proceso de medida. En general el resultado de una medida se expresa en la forma x ± x( % x ), x es el valor medido, x es la incertidumbre absoluta y el porcentaje o incertidumbre relativa es % x ( x/x) 100 %. Estos tres valores están interconectados; de hecho % x depende de los otros dos. No hay que olvidar que x está expresado con un cierto número de dígitos de los cuales el último es estimado y los anteriores son ciertos. El valor de x afecta básicamente al último dígito. Por ejemplo, si se mide la longitud de una barra con una cinta métrica graduada en milímetros y al colocar uno de los extremos de la barra en 0,000 m, el otro extremo cae entre 2,345 y 2,346 entonces la medida puede expresarse como 2,3455 ± 0,0005m La incertidumbre relativa sería 0, % = 0,02 % 2,3455 Como criterio general, si la apreciación o valor de la división más pequeña de la escala del instrumento es a, la incertidumbre absoluta de las medidas realizadas con dicho instrumento será: x a/2 debido a que entran a jugar otros factores de incertidumbre diferentes a la del instrumento de medida y la incertidumbre total podrá ser mayor Reglas para expresar incertidumbres de cantidades derivadas Algunas cantidades como velocidad, momentum, energía, resistencia eléctrica, campo magnético, y muchas otras, se obtienen en forma indirecta de medidas de longitud, tiempo, etc. Existe un procedimiento para determinar la incertidumbre de estas cantidades derivadas. Cuando las incertidumbres relativas no son muy grandes, se procede de la siguiente forma * Tomado y adaptado de: E. Bautista et ál. Guías de laboratorio de Física II. Electromagnetismo. Universidad Nacional De Colombia. Bogotá, 2001

2 1. Suma y resta de cantidades Si se deben sumar dos cantidades x ± x( % x ) y y ± y( % y ) entonces: [x ± x( % x )] + [y ± y( % y )] = [z ± z( % z )] z = x + y, z = x + y y % z = z z 100 % Si las cantidades se deben restar, entonces [x ± x( % x )] [y ± y( % y )] = [z ± z( % z )] z = x y, z = x + y y % z = z z 100 % Como pudo notar, tanto para la suma como para la resta, z se calcula sumando las incertidumbres absolutas en x y y, lo cual debe tenerse también en cuenta para encontrar la incertidumbre relativa. 2. Multiplicación y división de cantidades Si se deben multiplicar dos cantidades x ± x( % x ) y y ± y( % y ), entonces: [x ± x( % x )] [y ± y( % y )] = [z ± z( % z )] z = x y, ( % z ) = ( % x ) + ( % y ) y z = z( % z) 100 % Si las dos cantidades se deben dividir: [x ± x( % x )] / [y ± y( % y )] = [z ± z( % z )] z = x y, ( % z) = ( % x ) + ( % y ) y z = z( % z) 100 % Nótese nuevamente que las incertidumbres relativas se suman. Ahora se suma primero las incertidumbres relativas para calcular después la incertidumbre absoluta. Ejemplo Las medidas de la longitud y el ancho de una hoja son 25,9 ± 0,1 cm y 19,5 ± 0,1 cm, entonces el área A de la hoja será: A = (25,9 ± 0,1 cm)(19,5 ± 0,1 cm) = 505,05 cm 2 (0,4 % + 0,5 %) 505 ± 5 cm 2 (1 %) 3. Función f(x) de una cantidad medida x Cuando se trata de una función f(x) de una cantidad medida x se procede de la siguiente forma: Ejemplos f(x) = df dx x Sea f(x) = ln x, entonces f(x) = ln x = df dx x = 1 x x 2

3 Sea f(x) = tan x, entonces 4. Función f(x, y,...) de dos o más variables Si se tiene z = f(x, y), z puede ser calculada como: Ejemplo f(x) = tan x = df dx x = 1 cos 2 x x z = f f x + x y y Sea z = xy, entonces procedemos de la siguiente manera para hallar z: f x = y y f y = x de esta forma se obtiene que: Ejercicios z = y x + x y a) La energía cinética de un cuerpo esta dada por la expresión E c = mv2, m es la masa del cuerpo y v 2 su velocidad. Si m ± m = 5, 45 ± 0, 05 kg y v ± v = 2, 1 ± 0, 2 m/s, hallar E c ± E c b) La potencia eléctrica puede expresarse como: P = V I = V 2 R = I2 R P es la potencia eléctrica, V la diferencia de potencial y R la resistencia eléctrica. Si R = 150,2 ± Ω, V = 52,7 ± 0,2 V e I = 0,35 ± 0,01 A Cuánto vale P y P en cada caso y qué puede concluir de esto? ** c) Al leer un voltímetro y un amperímetro de aguja y escala, y evalúo visualmente el margen de incertidumbre. Estoy seguro de que la lectura del amperímetro está entre 1,24 y 1,25 A, y la del voltímetro entre 3,2 y 3,4 V. Exprese cada medida con su respectiva incertidumbre y evalúe la incertidumbre relativa de cada medición. d) La distancia focal, f, de un lente delgado se va a medir usando la ecuación 1 f = 1 d o + 1 d i, en : d o = distancia al objeto = 0, 154 ± 0, 002 m d i = distancia a la imagen = 0, 382 ± 0, 002 m Cuál es el valor calculado de la distancia focal, su incertidumbre absoluta y su incertidumbre relativa? 2. Métodos gráficos En física es frecuente la búsqueda de la expresión matemática que relaciona dos o más magnitudes físicas. Por ejemplo la elongación y que sufre un resorte suspendido verticalmente con el peso, F = mg, de masas m que se coloquen en su extremo libre, la variación de la presión P con la profundidad δh bajo el nivel del mar o la intensidad de la corriente I en un material conductor con la aplicación del un voltaje V. Los dos conjuntos de datos se representa en una tabla y, más convenientemente, en un gráfico. ** Notas de Clase de Física Experimental. Profesor Julio E. Rodríguez. Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia

4 Dado un conjunto de datos {x i ± x i, i = 1, 2,...}, la variable que se controla a voluntad o variable independiente, y otro conjunto {y i ± y i, i = 1, 2,...}, la variable dependiente, se puede elaborar un gráfico en papel especial para este propósito, tomando como puntos las parejas (x i, y i ), dibujando las respectivas barras de incertidumbre (± x, ± y), que en el gráfico se verán como cruces centradas en (x i, y i ) con longitudes horizontal y vertical 2 x i y 2 y i, respectivamente. La relación entre estos conjuntos de datos aparecerá en el gráfico como la mejor línea continua, suave, que cae dentro de las barras de incertidumbre correspondiente a cada dato y está lo más cerca posible de todos los puntos. Con frecuencia el gráfico muestra una línea recta, es decir, es la representación de la expresión y = mx + b, m es la pendiente de la recta y b es el punto de corte con el eje y. Los valores de m y b son constantes que determinan la línea unívocamente. El valor de b se lee directamente de la gráfica, mientras que el valor de m se determina así: 1. Se toman dos puntos de la línea (que no pertenezcan a la tabla de datos) y que estén suficientemente separados. 2. Se encuentran las coordenadas de los puntos escogidos en 1. (x a, y a ) y (x b, y b ) 3. Se encuentra la pendiente m = y a y b x a x b Es necesario encontrar la incertidumbre que resulta al determinar m y b. Esto se hace en el gráfico dibujando las dos líneas que representan más pobremente los datos, usando los valores extremos que dan las barras de incertidumbre. Se determinan las pendientes y los cortes con el eje y de estas líneas, como se explicó anteriormente, obteniéndose los valores m, b y m, b. Entonces las incertidumbres de m y b serán: El resultado final de un análisis gráfico debe ser: 2.1. Linealización Ejercicios b = 1 2 b b m = 1 2 m m m ± m( % m ) b ± b( % b ) 1. La siguiente tabla brinda resultados experimentales para la medición del periodo T de un péndulo de longitud L. Longitud L(m) Periodo T(s) a) Realice un gráfico en papel milimetrado se relacionen los datos anteriores. La gráfica tiene un comportamiento lineal? b) Ahora utilice papel tipo log-log y realice un gráfico se relacionen los anteriores datos. Dado que la relación que presentan las variables es del tipo T = CL n Cómo a partir del gráfico encuentra los valores de C y n? Qué dimensiones debe tener C para que la relación anterior sea dimensionalmente correcta? 4

5 2. Un elemento muy utilizado en circuitos eléctricos y electrónicos es el condensador. Un estudiante tomó un condensador del laboratorio y lo conectó a los bornes de una pila de 6V. Luego reemplazó la pila por un voltímetro y observó que inicialmente el voltímetro marcaba 6 V, pero a medida que el tiempo transcurría la lectura disminuía. Decidió elaborar una tabla de datos anotando la lectura del voltímetro (voltaje medido en voltios), el tiempo transcurrido desde que conectó el condensador al voltímetro hasta el momento en que realizaba la lectura (para este propósito utilizó un reloj común) y sus respectivas incertidumbres instrumentales. La siguiente tabla de datos muestra el resultado obtenido después de repetir el experimento varias veces y promediar los datos. Tiempo (s)±1 s Voltaje (V) ±0,1 V 0 6,0 10 5,2 20 4,5 30 3,9 40 3,4 50 2,9 60 2,6 70 2,2 80 1,9 90 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1 1. Elabore un gráfico de voltaje V en el condensador en función del tiempo t (esto es: el voltaje debe ir en el eje vertical y el tiempo en el eje horizontal) Use papel milimetrado y realice el gráfico a mano. El gráfico debe ocupar toda la hoja de papel, resalte los datos experimentales y muestre las correspondientes incertidumbres de las medidas. 2. Qué puede decir sobre el proceso que está analizando al observar el gráfico? Por ejemplo: cuándo cambia más rápidamente la lectura en el voltímetro? qué le permite afirma esto? qué espera que suceda cuando ha transcurrido un tiempo muy grande? Puede predecir la lectura del voltímetro para t = 45 s? para t = 400 s? 5

6 (de el resultado con su incertidumbre correspondiente) en qué momento la lectura del voltímetro es la mitad de la lectura inicial? en qué momento la lectura del voltímetro es el 37 % de la lectura incial? 3. Ahora realice el gráfico de voltaje vs tiempo en un papel tipo semilog. Determine la expresión matemática que relaciona el voltaje y el tiempo. 4. Use el resultado de la expresión anterior para predecir la lectura del voltímetro en t = 45 s y en t = 400 s. Compare estos resultados con los obtenidos en el punto Utilizando el resultado del punto 3, en qué momento la lectura del voltímetro es el 37 % del valor inicial? Referencias [1] Bair D. C. Experimentación. Una introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos. Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A