FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES BIOFÍSICA I y LABORATORIO. REPRESENTACION y ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES

Transcripción

1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES BIOFÍSICA I LABORATORIO REPRESENTACION ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES Objetivos 1) Presentar debidamente tablas de datos experimentales 2) Aprender el protocolo mínimo de elaboración de una gráfica con datos experimentales. 3) Identificar las formas de las gráficas de las funciones lineal, potencial exponencial. 4) Utilizar los papeles semilog log-log como auxiliares en un análisis gráfico elemental de datos experimentales. 5) Encontrar relaciones matemáticas entre datos experimentales recurriendo a diferentes técnicas. 6) Realizar análisis dimensional. 1. Introducción En general, en una práctica de laboratorio se realizan algunas mediciones (de magnitudes físicas) en consecuencia se obtienen ciertos valores (numéricos) llamados datos experimentales. La representación de un conjunto de medidas mediante una tabla de datos, proporciona sólo una síntesis, mu limitada, del trabajo experimental. Sin embargo, usualmente la tabulación de los datos es una herramienta indispensable, tanto para la realización del experimento, como para el análisis de sus resultados. Es de anotar que los datos obtenidos en un laboratorio, corresponden a mediciones de variables físicas por lo tanto deben estar acompañados de la respectiva unidad patrón que da cuenta de la magnitud de dichas mediciones. De otro lado, una gráfica de los datos obtenidos en el laboratorio permite una visualización del comportamiento del fenómeno estudiado, se constitue probablemente en la mejor herramienta para obtener una relación entre las variables, es decir, para deducir una expresión (ecuación física) que relacione las variables físicas del experimento. Por ejemplo, en un experimento de caída libre, en donde se miden el tiempo transcurrido desde que el cuerpo se deja caer la distancia que ha descendido durante ese tiempo, mediante la construcción de una gráfica de Velocidad -vs- Tiempo, podrá encontrarse de qué modo varía la velocidad del cuerpo a medida que cae libremente, e incluso, permitirá hallar el valor de la aceleración correspondiente a este tipo de movimiento. El primer paso en la elaboración de una gráfica, consiste en la representación en coordenadas cartesianas de un conjunto de parejas de datos, con sus correspondientes unidades en alguno de los sistemas de medición, un segundo paso es tratar de descubrir qué tipo de curva se ajusta mejor a esos puntos dibujar la línea correspondiente. Para ello existen diversos métodos, tales como el ajuste por mínimos cuadrados o regresión lineal, regresión logarítmica, etc, finalmente, se obtienen los parámetros para encontrar la relación matemática entre las variables dadas. En la figura 1a se muestra la ubicación de los puntos en el plano cartesiano de las parejas de puntos tabulados. En la figura 1b se traza la gráfica correspondiente a dichos puntos, para posteriormente obtener la información acerca de la relación entre las variables denotadas X Y. Nótese que se ha graficado X en el eje horizontal, lo que indica que es una variable independiente, mientras que Y se ha ubicado en el eje vertical (variable dependiente). Se dirá entonces que se trata de una gráfica Y -vs- X.

2 Y (unidades) Y (unidades) Y 3 Y 2 Y 1 Y 3 Y 2 Y 1 X (unidades) X 1 X 2 X 3 a Figura 1. Representación gráfica de datos experimentales. X 1 X 2 X 3 b X (unidades) Entre las curvas más comunes se hallan la recta, la parábola, la parábola de n-ésimo grado (grado n), la hipérbola la exponencial. No obstante, normalmente se procura que la curva que represente la relación entre los datos sea una línea recta, dada su simplicidad. Por ello se recurre a la redefinición de variables a la construcción de gráficas en papeles especiales (logarítmicos semilogarítmicos), que es el tema que a continuación abordaremos. El problema que normalmente se afronta en una práctica de laboratorio, es la identificación de los parámetros de una ecuación dada generalmente denotados por m b, que en principio rige el fenómeno físico estudiado es conocida. Veamos algunos casos: 1.1. Función lineal La expresión de una función lineal tiene la forma Y m X + b (1) donde X Y son las variables relacionadas; m (pendiente) b (intercepto) son constantes. Para graficar funciones de este tipo (o que mediante cambios de variable se puedan llevar a la forma lineal), se emplea el papel milimetrado. Después de obtenida la gráfica pueden calcularse las constantes como: Y m X Y X Y X Tomando puntos que estén en la recta (no en la tabla). El valor de Y correspondiente al valor X 0, es el intercepto b. Ambos valores pueden obtenerse a partir de la gráfica tanto m como b pueden ser maores, iguales o menores que cero Función potencia En esta clase de función, la variable dependiente cambia más rápidamente que en el caso lineal, cuando cambia el valor de la variable independiente, bien sea en forma creciente o decreciente la curva que la representa no es una línea recta.

3 En los procesos que ocurren en los seres vivos no se encuentran magnitudes relacionadas linealmente sino en casos aproximados o en intervalos mu limitados. En la literatura médica es frecuente encontrar modelos matemáticos obtenidos de datos experimentales, expresados mediante funciones en las cuales la variable dependiente es proporcional a alguna potencia (entera o fraccionaria) de la variable independiente. La expresión de una función potencia tiene la forma: bx n (2) donde x e son las variables relacionadas b n son constantes Para graficar estas funciones se utiliza papel logarítmico (ó Log-Log), en donde las dos escalas (vertical horizontal) son logarítmicas (de uno o varios ciclos, figura 2). Note que en una escala logarítmica las distancias son proporcionales no a la magnitud misma, sino a su logaritmo (en base 10) Figura 2. Muestra de papel logarítmico de 3 ciclos por 3 ciclos Lo que veremos a continuación es que, si un conjunto de datos se ajustan a la forma de una función del tipo bx n, entonces, al graficar -vs- x en un papel logarítmico (Log-Log), se obtiene una línea recta. En efecto, tomando logaritmo a ambos lados: b x n Log Log ( b x n ) Log n Log x+ Si hacemos el cambio de variables Log x Log x b entonces se tiene que n x + b en donde n es la pendiente de la recta (en papel logarítmico) b es el intercepto. Nótese que con el cambio de variable, la función potencia adopta la forma de una función lineal. Para calcular n, se escogen dos puntos (x 1, 1 ) (x 2, 2 ) sobre la recta obtenida al graficar los datos en papel logarítmico se evalúa

4 n x x Log Log x Log Log x Log 2 ( ) 1 2 Log( x ) x 1 El intercepto de la recta con el eje vertical de la gráfica en papel logarítmico es, por lo que b se lee directamente de la gráfica en papel logarítmico. Debe tenerse en cuenta extrapolar la línea, si es necesario, para tomar a b sobre el eje vertical que cae sobre el punto identificado con Log 1 sobre el eje horizontal en el papel logarítmico, a que este corresponde al cero Función exponencial En esta clase de función, la variable dependiente cambia (aumentando o disminuendo) mu rápidamente. Son muchos los ejemplos en la Naturaleza que involucran este tipo de función: el decaimiento radiactivo, la atenuación del sonido de la luz, la densidad atmosférica, el crecimiento de las bacterias, la esterilización, la mortalidad la sobrevida en cáncer enfermedades crónicas, la depuración renal, cinética de drogas muchos más. La expresión de una función exponencial tiene la forma ba mx (3) donde x e son las variables relacionadas b, a m son constantes. Para graficar este tipo de funciones se utiliza el papel semilogarítmico, en donde solamente una de las escalas (vertical) es logarítmica la otra (horizontal) es milimetrada. Si se toma logaritmo a ambos lados de la expresión 3: b a mx Log Log ( b a mx ) Log ( mlog a) x+ Si hacemos el cambio de variables: Log a m Log a b se obtiene entonces la ecuación de una línea recta a x+ b El valor de la pendiente a se calcula escogiendo dos puntos (x 1, 1 ) (x 2, 2 ) de la recta dibujada en el papel semilogarítmico corresponde a:

5 2 1 a x x Log x Log x Log 2 ( ) 1 x x Como a mloga, debemos hallar el valor de m el valor de a, lo que tenemos es una ecuación con dos incógnitas. Por simplicidad se puede suponer el valor a 10, así estaríamos tomando el papel semilogarítmico con una base decimal. También se puede escoger un valor diferente para a o para m. Tenemos entonces: a m Log10 m El intercepto con el eje vertical de la gráfica corresponde a b, se lee directamente sobre el valor de cero en la escala lineal. En síntesis, las rectas en papel semilogarítmico corresponden a ecuaciones del tipo donde m se encuentra con el procedimiento anteriormente citado, b lee directamente de la gráfica. b a mx, en b 10 es un número que se Para realizar un cambio de base: de la base 10 a la base neperiana e, la pendiente calculada m se divide por log e, o sea m m/log e 2. Materiales Además de colecciones de datos extraídos de la literatura, utilizaremos hojas de papel milimetrado, hojas de papel semilogarítmico hojas de papel logarítmico, junto con una regla, curvígrafo lápiz. 3. Procedimiento A continuación se proponen una serie de ejercicios para desarrollar durante el tiempo de la práctica. Nota. Inclua en su informe las tablas que se dan a continuación dé respuesta a los cuestionarios que se presentan. Tenga en cuenta las unidades en las que están expresadas los datos, a fin de realizar el análisis dimensional en cada caso. Ejercicio #1. Función Lineal Para una experiencia de Biología, se midió el largo el ancho de las hojas de una rama se obtuvieron los datos que aparecen en la tabla, tenga en cuenta que el largo el ancho de las hojas de una rama cualquiera siempre guardan el mismo tipo de relación. Largo (cm) Ancho (cm) Grafique en el papel milimetrado: El largo contra el ancho de una hoja En su gráfica, trace visualmente la curva que mejor ajuste los datos, calcule el valor de la pendiente el intercepto Plantee la mejor relación matemática entre las dos variables bajo estudio Que unidades tiene la pendiente el intercepto?

6 Ejercicio #2. Función potencia Los datos de la tabla 2 corresponden a datos experimentales de la posición de un cuerpo en función del tiempo. t (s) X (m) Grafique en papel milimetrado los datos de la tabla 2 (X -vs- t) Cuál es la posición del cuerpo transcurridos 10 segundos de movimiento (haga una lectura en la grafica Y -vs- t) Grafique en papel Log-Log los datos de la tabla 2 (Log X -vs- Log t) Siguiendo el procedimiento indicado, encuentre la ecuación de movimiento del cuerpo. Ejercicio #3. Función exponencial Un cultivo de E-Coli Beu 397 rec A442 se coloca en un plato de petri a 30 ºC se permite que crezca. Se recolectan los datos siguientes. La teoría establece que el número de bacterias en el plato de petri al inicio crecerá de acuerdo a la le de crecimiento desinhibido. La población se mide usando un dispositivo óptico en el que se mide la cantidad de luz que traspasa el plato. Tiempo (h) Población Dibuje un diagrama de dispersión con el tiempo como variable de predicción Grafique en papel semilog los datos de población contra tiempo Siguiendo el procedimiento indicado, encuentre la ecuación que relacione las dos variables dadas Utilice el programa de computador Excel para encontrar la ecuación que relaciona las dos variables dadas 3.5. Compare las respuestas de los incisos conclua Use la función exponencial del inciso 3.3. o 3.4 para predecir la población en t 7 horas 3.7. Use la función exponencial del inciso 3.3. o 3.4 para predecir cuando llegará la población a 0.75 Pregunta para investigar: Qué es el factor de correlación, que información puede brindar para que se utiliza?