UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE RECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA LABORATORIO DE FÍSICA I Práctica No 2 Gráficos Objetivo

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1 UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE RECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA LABORATORIO DE FÍSICA I Práctica No 2 Gráficos Objetivo Determinar la ecuación o función que rige o gobierne un determinado fenómeno o ley. Preparación Leer guía No 2 de Laboratorio Gráficos Componentes y Equipos a Utilizar Un papel Logarítmico. Un papel semilogarítmico. Dos papel milimetrado. Regla graduada. Plantillas de curvas. Marco Teórico En el estudio experimental de los diferentes fenómenos y leyes físicas se hace indispensable la representación gráfica de las magnitudes que son objeto de estudio o experimentación, pues de otra forma, este estudio se reduciría a una simple curiosidad, al ver que los diferentes instrumentos de medición señalan o marcan que unas cantidades físicas varían en función de otras. Sin graficar, no podemos llegara determinar la ecuación o función que rige o gobierna un determinado fenómeno o ley. Graficar consiste en dibujar la curva o recta que une varios puntos en un sistema de coordenadas cartesianas (x y) donde llamaremos rectangulares. Cada punto esta determinado por un par ordenado (x y) donde llamaremos a x la variable independiente y a y la variable dependiente.

2 2 Generalmente en nuestro estudio la variable independiente es el tiempo t y ocasionalmente será la masa u otra magnitud. Utilidad de los Gráficos Entre las ventajas de utilizar los gráficos se pueden señalar: Mediante ellos se pueden determinar el valor de algunas magnitudes físicas, representadas generalmente por las pendientes de las rectas. Igualmente se puede determinar el punto de intersección de las rectas con el eje de las ordenadas. Lo anterior no es el objetivo fundamental del gráfico puesto que esos valores se pueden también determinar matemáticamente sin necesidad de graficar. El gráfico sirve para visualizar y así comparar nuestros resultados experimentales con una curva teórica. Igualmente se puede observar la región en el cual la ley pierde su validez experimental. Se puede constatar las variaciones que se originan al cambiar uno de los parámetros. Cuando los gráficos son rectas, directamente se puede obtener la ecuación, determinando la pendiente m y el intercepto (intersección o corte de la recta con el eje y u eje de las ordenadas). Si los gráficos son curvas, estas se pueden transformar en rectas, haciendo un cambio de escala, es decir, utilizando papel Logarítmico (llamado también Log-Log) o bien papel semilogaritmico (semi-log), en lugar de papel cuadriculado (llamado también milimetrado) Tipos de Escalas o Tipos de papel para Graficar. Papel cuadriculado o milimetrado: Los dos ejes cartesianos están divididos en partes iguales (en milímetros o centímetros generalmente). Para graficar en papel milimetrado es importante tomar en cuenta los siguientes aspectos: Los puntos experimentales no deben quedar muy juntos o agrupados en una sola zona del papel. Las escalas en los ejes deben marcarse de forma que la representación y la posterior lectura de los valores obtenidos en las mediciones se puedan realizar fácilmente. Analizar basándose en la teoría, si el gráfico debe pasar por el origen de coordenadas.

3 3 Los ejes x y deben marcarse con las magnitudes y sus símbolos correspondientes para poder identificar de esta manera cada gráfico y su fenómeno correspondiente. Observaciones Importantes Generalmente en las prácticas o experimentos que se realizan a este nivel, se conoce de antemano la relación teórica que existe entre las variables y por consiguiente se puede conocer o determinar la forma que va a tener la curva. Los conocimientos adquiridos en calculo I, física I, física II son de gran utilidad y ayuda para hacer un buen trazado de curvas. Como ejemplos se puede señalar:. Si al estudiar la segunda ley de newton F = m. a, se gráfica Fuerza vs. Aceleración (F vs a) se puede esperar una recta cuya pendiente es el valor de la masa. 2. Si se gráfica Fuerza vs Tiempo (F vs t), con la distancia constante y sabiendo que a = 2d/t 2 no podemos esperar una recta sino una curva de la forma y = K. X M que es una función potencial, siendo M = 2 y K = 2Md. Conclusiones Si al graficar un conjunto de pare ordenados (x y) provenientes de la medición experimental de dos variables y = f(xc) se obtiene una recta podemos directamente y utilizando la ecuación de la recta: y = mx + b Que es una función lineal o de primer grado. Para escribir la ecuación de esa recta debemos calcular la pendiente de la recta: m = y x = y 2 y x 2 x Hallamos b que es el intercepto o corte de la recta con el eje de las ordenadas o eje y. Si al representar los grupos de pares ordenados obtenidos en las mediciones, en papel cuadriculado o milimetrado obtenemos una curva, nada podemos decir; para este caso es necesario transformar la curva en una recta. Este proceso se llama PROCESO DE RECTIFICACION. Una vez logrado esto, podemos determinar la función como en caso anterior, es decir, se determina la pendiente y el intercepto. Para este proceso de rectificación se deben de utilizar ortos tipos de escalas (o papel para graficar) las cuales estudiaremos a continuación:

4 4 2. Papel Logarítmico, también llamado (Log-Log): Construcción del papel Logarítmico El papel Logarítmico esta dividido en franjas iguales tanto verticalmente (m franjas), como horizontalmente (n franjas). Cada una de estas franjas se llama ciclo, siendo cada papel de (mxn) ciclos. Cada ciclo a su vez está dividido de manera no uniforme estando enumerados el inicio y el final de cada ciclo con y o bien con y. Las divisiones no uniformes de cada ciclo se realizan en función de los Logaritmos decimales (base ) y según la diferencia consecutiva entre cada dos de ellos y así se obtiene el porcentaje de ciclo que ocupa cada una de estas diferencias. NUMERO LOGARITMO DIFERENCIA PORCENTAJE (de la franja o ciclo), 2,3 log 2 log =,3 3 % 3,48 log 3 log 3 =,8 8 % 4,6 log 4 log 3 =,2 2 % 5,7 log 5 log 4 =, % 6,78 log 6 log 5 =,8 8 % 7,85 log 7 log 6 =,7 7 % 8,9 log 8 log 7 =,5 5 % 9,95 log 9 log 8 =,5 5 %, log log 9 =,5 5 % La anchura de los ciclos es arbitraria para cada hoja (pero iguales en la misma hoja) según el número de los ciclos (mxm) que se deseen tener en cada hoja o papel. Así habrán papeles Logarítmicos de 2x3; 3x3; 3x4, etc., ciclos. Según los porcentajes obtenidos anteriormente tendremos que en cada ciclo (viene marcado en los ejes) Distancia entre el y el 2 ocupa el 3% del ciclo. Distancia entre el 2 y el 3 ocupa el 8% del ciclo. Distancia entre el 3 y el 4 ocupa el 2% del ciclo. Así sucesivamente, la distancia entre los números consecutivos va disminuyendo. Aunque entre los objetivos de éste curso de laboratorio no está el de fabricar o elaborar papel Logarítmico, se puede hacer perfectamente, para lo cual el docente dará unas breves indicaciones sobre la manera de hacerlo.

5 5 Para utilizar correctamente el papel logarítmico tendremos presentes las siguientes indicaciones: a. Antes de utilizar las escalas, se escriben los datos obtenidos o (suministrados) en notación científica, es decir, como potencias de. Por ejemplo:,99 = 9,99x 32,5 = 3,2x Las potencias así obtenidas se colocan en los ejes cartesianos ordenadas de mayor a menor o sea en orden creciente. Ejemplo: Si el menor de los datos para la escala vertical (eje y) es: 7,x 3, escribiremos en el eje de las coordenadas 3, en el siguiente 2, en el siguiente y así sucesivamente se sigue el mismo procedimiento para la variable que vamos a representar en el eje de la abscisas o eje x. Nota: El origen del papel Logaritmo (Log-Log) nunca podrá ser (,) puesto que el Logaritmo de no existe. El papel Logarítmico (Log-Log) se utilizará para los casos en que las curvas sean de tipo: y = Kx m (Función Potencial) Tomando Logaritmos: log y = log K + m log x Observamos que la variable x, y están bajo función Logarítmica, por lo tanto para representar este tipo de funciones se debe utilizar papel doblemente Logarítmico (Log-Log): K es el punto donde la recta corta al eje x. m es la pendiente de la recta obtenida y se puede calcular de dos maneras. m = log y log x = log y 2 log y log x 2 log x Midiendo directamente a y y a x con la regla, en un triángulo rectángulo dibujado arbitrariamente, por lo tanto: m = y x Esto se puede hacer porque las dos escalas son las mismas.

6 6 3. Papel SemiLogaritmico o (Semi Log): El papel semi-logaritmico nos permite convertir en rectas las curvas de la forma: Tomando Logaritmos: y = y o b x Ecuación exponencial y = y o e cx Ecuación equivalente log y = log y o + x log b Solamente la y (eje vertical) está en función Logarítmica. Para que x (eje horizontal) no hace falta escala Logarítmica sino que se utiliza escala milimetrada. Por esta razón, el papel se denomina SEMI-LOGARITMICO. En estas condiciones tenemos la ecuación de una recta: log y = log y o + x log b El valor de y o se obtiene cuando x = que es el intercepto o punto de corte de la recta con el eje y (Punto de corte de las rectas con el eje y). En papel semi Logarítmico la pendiente es el log b. Para hallar el valor de b debemos tomar el antilogaritmo de m: m = log b b = anti log m Tomando en cuenta que las dos escalas son diferentes, sólo se podrán calcular de la siguiente manera: m = Métodos de los Mínimos Cuadrados log y x = log y 2 log y x 2 x Es una Recta de ajuste de regresión lineal. El método de los mínimos cuadrados trata de encontrar la línea recta que mejor ajusta a un conjunto de puntos experimentales (x, y) y L L2 L3 x Obtenidos los puntos experimentales representados en la figura, hemos trazado las rectas L, L2, L3. Entre todas las rectas que se pueden trazar trataremos de hallar la recta que mejor ajusta a un conjunto de puntos (x, y).

7 7 y P (xi, yi) i L x Supongamos que sea la recta L la recta de ajuste, su ecuación genérica es:y = mx + b Sea P un punto que esta desviado de la recta una distancia i Esta desviación es: i = y i (mx i + b) La suma de todos los i 2 debe ser mínima, para obtener la mejor recta posible es decir: N i=l i 2 debe ser mínima. f(m, b) N i=l[y i ( mx i + b)] 2 debe ser mínima. Para que una función sea mínima, su derivada tiene que ser cero. Por lo tanto: Derivando f(m, b) obtendremos: Actividad No f / m = f / b = m = N x iy i x i y i N x i 2 ( x i ) 2 b = y i x i 2 x i y i x i N x i 2 ( x i ) 2 Al estudiar la relación Fuerza - Tiempo (f vs t) en el estudio de la segunda ley de newton con masa m" y distancia d constantes, se obtuvieron los siguientes resultados: F (grt) t (s) F (grt) t (s) 5,,3 5,x,3x,,4, x,4x 5,,5,5 x,5x 2,,99 2,x 9,9x NOTACION NORMAL NOTACION CIENTIFICA Se puede observar a la izquierda, tanto la columna de la F como la columna de la t están expresadas los valores en notación normal. En las parte a la derecha, ambas columnas están en notación científica. En el gráfico No están representados los valores normales, en papel milimetrado y la gráfica es una curva por lo tanto el papel milimetrado no nos proporciona ninguna información.

8 8 Es necesario por lo tanto representar esos valores en papel Logarítmico en el cual obtendremos una recta y así podrá calcular el valor de la pendiente m y el valor del intercepto k. Gráfico No 2. En papel (Log-Log) En el origen del eje vertical colocamos En el siguiente ciclo colocamos y en el otro En el origen del eje horizontal, colocamos que es menor potencia. 2 (en orden ascendente). que es la menor potencia. En los siguientes ciclos colocamos, etc., (en orden ascendente). Los valores escritos en notación científica se colocan directamente en las escalas correspondientes, sin tomar Logaritmos de los valores puesto que las escalas son Logarítmicas. Al representar los mismos valores obtendremos una recta directamente y por lo tanto hemos rectificado la curva obtenida en papel milimetrado. x) el valor La pendiente de ésta recta se puede calcular de dos maneras: m = log y log log 5 = log x log,4 log,3 = 5,8 Para obtener el intercepto (ósea el valor de K) se busca en la escala horizontal (eje y se consigue la ordenada correspondiente. Por se traza una vertical y el punto donde está corte a la recta es el valor correspondiente a K. En nuestro valor K que corresponde a es K=9 (aproximadamente). Por lo tanto, reemplazando en la ecuación y = Kx m los valores de m y k obtenidos tendremos la ecuación que rige el fenómeno estudiado. Entonces: F = 9t 5,8 Muy importante, si no aparece en el eje x del gráfico, para hallar el valor de k, se debe a una de las razones siguientes: a. Los datos no lo incluyen. b. Queda demasiado lejos de lo que cabe en uno o mas ciclo (según los que haya horizontalmente).

9 9 Cómo se hace en estos casos? Se toma una pareja de datos (X, Y) que claramente pertenecen a la recta y se reemplazan en la ecuación y = Kx m ; en donde m la pendiente se determina como se indico anteriormente y así se despeja el valor de K en la ecuación. Si ninguno de los datos así obtenidos pasa por la recta, se toma un promedio de los valores de K, obtenido para todos los datos, utilizando el procedimiento anterior. x el valor de También se puede agregar otra hoja de papel Log-Log hasta que aparezca en el eje Actividad No 2 en el ciclo correspondiente. En el proceso de carga de un condensador se obtuvieron las siguientes mediciones de la intensidad en función del tiempo. I ( A) 22,8 4,5 9,2 5,8 3,7 2,3 T (s) Determinar la ecuación que rige éste proceso. En primer lugar graficamos estos valores obtenidos en papel milimetrado. Observamos que es una CURVA EXPONENCIAL. Procedemos a rectificarla en papel semilogaritmo. I ( A) 2,28x,45x 9,2x 5,8x 3,7 x 2,3x T (s) Pendiente: Intercepto: Método y = y o b x m = I = 22,8(,93) x log 4,5 log 22,8 5 =,393 b = anti log(,393) =,93 y o = 22,8

10 Post-Laboratorio. Se calienta una cierta cantidad de agua hasta 2 C y luego se deja enfriar libremente a temperatura ambiente, obteniendo la siguiente tabla de valores en el proceso de enfriamiento. T (seg) T ( C) ,9 9, , Se pide: a. Graficar T f(t) en papel milimetrado y según la curva obtenida rectificar en el papel correspondiente. b. Determinar la relación existente entre las variables c. Determinar la ecuación que rige el fenómeno físico. 2. Dados los siguientes datos experimentales de la siguiente tabla, determine mediante el método de los mínimos cuadrados, la ecuación de la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales. Elabore grafica en papel milimetrado de la recta obtenida. Conclusiones F(Nw) T (sg) El estudiante debe señalar las conclusiones más importantes reaccionadas con la práctica desarrollada. Referencias Bibliográficas Guías.