RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD Y GRÁFICOS

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1 RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD Y GRÁFICOS

2 CONTENIDOS: Introducción. 3.1 Interpretación y representación gráfica entre magnitudes físicas. 3.2 Proporcionalidad directa entre una variable y otra elevada a un exponente (y = k x n ) Determinación de las constantes n y k Manejo de escalas logarítmicas (papel logarítmico) 3.3. Relación exponencial entre dos variables (y = AC b x ) Determinación de las constantes A y D Combinación de una escala semi logarítmica con una lineal 2

3 INTRODUCCIÓN Uno de los objetivos de las ciencias naturales es la creación de modelos que permitan predecir el comportamiento de algunos fenómenos de la naturaleza; dichos modelos son en principio aproximados, pero a medida que progresa el conocimiento de la naturaleza, se refinan y amplían para dar lugar a Leyes o Teorías, lo que significa un grado de confiabilidad mayor que en un modelo sencillo. Ahora bien, la forma en que el científico verifica la validez de sus modelos y pone a prueba sus teorías y leyes es a través del experimento; ello lo obliga a plantearlo en la forma más adecuada para obtener resultados confiables, cuya interpretación le permitirá, aceptar el modelo o rechazarlo. Lo más probable es que un experimento bien planteado produzca medidas o datos valiosos, por lo que deberán ser analizados detalladamente para obtener resultados confiables INTERPRETACIÓN Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE MAGNITUDES FÍSICAS. Cuando se tiene una serie de medidas relacionando a dos variables de un fenómeno, lo más conveniente es reunirlos en una tabla de datos, sin embargo, esto no es suficiente, porque no permite evaluar rápidamente el efecto que una de las variables produce en la otra. Es aquí, donde el gráfico muestra su valor como herramienta para una comprensión de un fenómeno, ya que nos proporciona una impresión visual del modo en que las variables dependen entre sí. En física como en cualquier disciplina científica el uso de gráficos es importante ya que: a) Sirven de ayuda visual para mostrar el comportamiento de una variable respecto de otra. b) Son útiles para determinar relaciones empíricas entre variables de un fenómeno o experimento. c) Permite predecir el valor de una de las variables al modificar el valor de otra de las variables que intervienen en el fenómeno. Instrucciones para la elaboración de un gráfico. 1. Todo gráfico debe llevar un título que indique el fenómeno que representa para que sirva de guía a quien haga uso de él. 2. Se debe elegir un sistema de coordenadas adecuado, a menudo se usa el sistema de coordenadas cartesianas. 3. Sobre cada eje se indican la magnitud física que representa con sus respectivas unidades. Se debe usar las escalas adecuadas para representar las medidas. 3

4 4. Generalmente en el eje de las abscisas se representa la variable independiente y en el eje de las ordenadas la variable dependiente. 5. Para la elaboración del gráfico puede usarse papel milimetrado, papel logarítmico o papel semilogarítmico dependiendo de las relaciones entre las variables. 6. Al seleccionar la escala en la representación gráfica se recomienda: a) Que los puntos experimentales no queden muy juntos, esto se logra ampliando la o las escalas. b) No deben unirse los puntos experimentales por medio de segmentos rectos como lo muestra el gráfico Nº1, sino que debe trazarse una curva suave y continua o si así se vislumbra puede ser una línea recta como lo muestra el gráfico N 0 2 (ambos gráficos están incompletos) c) La escala deberá ser sencilla, por ejemplo aquella donde 1 cm representa 1, 10, 100, 0.1, 0.01, etc, unidades. También 1 cm puede ser 2,4, 5 unidades. d) No siempre la escala del eje vertical, será igual a la del eje horizontal. En Física las escalas tienen generalmente diferentes unidades e) Los ejes se marcaran con la unidades elegidas sin sobre poblar de números las escalas. f) Cuando los valores que toman las variables son muy grandes o muy pequeños, es conveniente escoger la adecuada potencia de diez y así representarlo en la escala. Por ejemplo, valores tales como: 1000, ó bien , , se representan como 1 x 10 3, 2 x 10 4, 1 x 10-4, 5 x 10-5 respectivamente PROPORCIONALIDAD DIRECTA ENTRE UNA VARIABLE Y OTRA ELEVADA A UN EXPONENTE. Esta relación puede expresarse como: y x n ó y = k x n, donde n y k son constantes. Este tipo de relación se conoce como relación potencial. 4

5 Los casos particulares dependen del valor de n así: 1. Si n = 1, la relación toma la forma y = k x llamada proporcionalidad directa entre dos variables, k es la constante de proporcionalidad; también se representa simbólicamente por y x, que se lee: y es directamente proporcional a x. Se dice de la relación de proporcionalidad directa Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un numero, la otra queda multiplicada por dicho numero i. Dado que el cociente entre dos magnitudes directamente proporcionales es constante, se puede escribir: y k x ii. Para cualquier par de valores (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) de dos magnitudes, si éstas son directamente proporcionales se cumple que: iii. y 2 x 2 ó y 1 x 1 y y 1 2 x 1 x 2 Cuando dos magnitudes y y x son directamente proporcionales, el gráfico de éstas es una recta que pasa por el origen, como muestra la figura 3.1 Figura 3.1 Relación de proporcionalidad directa entre y y x Un ejemplo de relación de proporcionalidad directa entre dos variables es el siguiente: Al medir la masa y el volumen de diferentes trozos de hierro se obtuvieron los siguientes resultados: Nº V (cm 3 ) m (g)

6 Puede observarse que el trozo de 30 g tiene un volumen de 4.0 cm 3 y el trozo de 6.0 g (doble de masa) tiene un volumen de 8.0 cm 3 (también doble volumen). Si se representan por m 1, m 2, m 3, las masas de los trozos y por v 1, v 2, v 3,... sus respectivos volúmenes; el cociente entre éstos es constante: Esta constante k se denomina constante de proporcionalidad y para el ejemplo dado resulta tener un valor de 7.5 g/cm 3. Si se grafican los valores medidos de masa y volumen resulta una recta que pasa por el origen tal como se ilustra en la Fig. 3.2 La expresión que relaciona a las variables m y V es: m = k V ó más específicamente m = 7.5 V iv. Interpolación. La interpolación consiste en determinar o estimar del gráfico, un valor desconocido, que se encuentra en el rango de las observaciones o mediciones con las que se ha construido dicho gráfico. Si a partir del gráfico que relaciona a las magnitudes masa y volumen; se obtiene el valor de la masa de un trozo de hierro cuyo volumen es de 12.0 cm 3, se realiza una interpolación puesto que tal valor se obtiene dentro del intervalo de dos valores conocidos. Para este caso la masa es de 90 g. ver fig 3.2 v. Extrapolación. La extrapolación consiste en determinar o estimar del gráfico, un valor desconocido, que se encuentra fuera del rango de las observaciones o mediciones con las que se ha construido dicho gráfico. Cuando el valor que se requiere está fuera de los datos conocidos se hace una extrapolación. Por ejemplo, al obtener a partir del gráfico la masa de un trozo de hierro de 2.0 cm 3, esta resulta ser 15 g; valor leído del gráfico pero que corresponde a un punto antes del primer punto de valores conocidos. 6

7 Fig. 3.2 Gráfica de m en función de v Relación lineal La proporcionalidad directa dada por la ecuación y = k x corresponde a una recta que pasa por el origen. Esto quiere decir que cuando x = 0, también y = 0. Sin, embargo hay magnitudes que se relacionan de tal forma que cuando el valor de una de ellas es cero la otra es distinta de cero y su gráfico es una recta como el que se muestra en la Fig. 3.3 Fig. 3.3 Relación lineal entre y e x En este caso se dice que la relación entre las magnitudes es lineal y se expresa como: y = m x + b. En esta ecuación m es la pendiente de la recta, es una constante; y m. x En la relación lineal solo los cambios entre las magnitudes son directamente proporcionales: y x o y = m x. Cuando la variable independiente toma el valor de cero (x = 0), la variable dependiente es igual a b (y = b) y se le denomina intercepto de la recta. 7

8 2. Para n > 1 los gráficos son como los que se muestran en la Fig. 3.4 Fig. 3.4 Relación y = k x n con n >1, e igual valor de k. La ecuación de la curva b tiene mayor n que la de a. En x = 1, ambas curvas tienen el mismo valor de y. Por ejemplo, para un cuerpo en caída libre, si se suelta desde el reposo, la altura que cae o la distancia vertical recorrida, es directamente proporcional al cuadrado del tiempo de caída, es decir: h = ½ g t 2 3. El valor de n puede pertenecer al intervalo: 0 < n < 1. Por ejemplo: y = k x ½ = k x. En términos más generales y = k x a/b = k b x a, donde ; a < b. La forma de estos gráficos es como se ilustra en la fig. 3.5 Para pequeñas amplitudes, el período de oscilación T de un péndulo simple es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud L, es decir: T L ó T k L. La velocidad v de un cuerpo en caída libre, después de recorrer una altura h, se relaciona con esta por: Esta es una relación de tipo potencial con un exponente n = ½ 8

9 Fig. 3.5 Gráfico de n y k x (0 < n < 1) 4. El valor de n puede ser negativo n < 0. Por ejemplo y = kx -2 que también puede escribirse como se ilustra en la Fig. 3.6 y k 2 x. La forma de estas gráficas es Fig. 3.6 Gráfico de n y k x ( n < 0 ) Este tipo de relaciones se conocen como relaciones de proporcionalidad inversa. Como ejemplo podemos mencionar la relación entre la fuerza de atracción gravitacional entre dos cuerpos y la distancia de separación entre ellos: La fuerza de atracción gravitacional entre dos masas puntuales es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Otro ejemplo es la Ley de Coulomb; expresa que la fuerza que se ejerzan dos cargas eléctricas puntuales en reposo q 1 y q 2 es directamente proporcional al producto de éstas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r entre ellas, la cual se expresa así: Cuando el valor de n = -1, se considera un caso especial de proporcionalidad inversa y se dice que Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de 9

10 las magnitudes por un número, la otra magnitud queda dividida por dicho número También: i) ii) iii) DETERMINACIÓN DE CONSTANTES n y k La relación de proporcionalidad y x n debe de cumplir que y1 y2 y3 Esto significa que:... n n n x1 x2 x3 n y1 x1 Escrito de otra forma: y x 2 2 y k n x = (cte.). Si se aplican logaritmos a la última expresión: Log (y 1 / y 2 ) = n Log (x 1 / x 2 ). Despejando el valor de n: y1 Log( ) y2 n x1 Log( ) x2 El valor de "n" queda así determinado por la expresión anterior. La constante de proporcionalidad "k" se determina tomando puntos del gráfico y usando el valor de "n" encontrando así: y y k... x x 1 n 1 2 n 2 Ejemplo de aplicación: Encontrar la relación de proporcionalidad existente entre las variables p y q de la siguiente tabla de datos: y n x q p Solución: El primer paso consiste en graficar los datos para visualizar el tipo de proporcionalidad existente. Una vez definido el tipo de proporcionalidad, se procederá a determinar la expresión matemática que relaciona a las variables. La gráfica obtenida se muestra en la figura 3.7. El gráfico indica la relación p q n cuando n > 1. Esto significa que la relación matemática 10

11 entre p y q es: p = k q n El segundo paso consiste en determinar los valores de n y k. Calculando "n": ( ) ( ) ( ) ( ) Fig. 3.7 p en función de q Nota: Para datos experimentales, se calculan varios valores de n y se obtiene su promedio; lo mismo es para k. Calculando k: De acuerdo a los resultados, la relación entre p y q es: p = 1.5 q MANEJO DE ESCALAS LOGARÍTMICAS (PAPEL LOGARÍTMICO) El proceso anterior, es decir aplicar la función logaritmo a los distintos valores de las variables, para obtener el valor de n y luego el valor de, k puede simplificarse utilizando papel logarítmico; llamado así porque el trazo de sus líneas se ha hecho basándose en una escala logarítmica. Como puede verse en la figura 3.8 la forma en que se disponen las líneas es diferente a la del papel en escala lineal (papel milimetrado). En este papel lo que se utiliza son escalas logarítmicas, es decir que donde está el número 2 corresponde al logaritmo de 2; donde está el número 3 corresponde al logaritmo de 3; el número 4; al logaritmo de 4. etc. 11

12 Fig. 3.8 Escalas logarítmicas Lo que hacemos al graficar en este papel, es que al marcar los puntos de cada variable automáticamente estamos graficando su logaritmo. En el papel mostrado en la figura puede verse que las escalas están numeradas del 1 al 10, lo cual se denomina ciclo. Otro ciclo sería del 10 al 100, del 100 al 1000, o del 0.01 al 0.1, etc. En el papel mostrado en la figura 3.8, cada eje consta de dos ciclos: de 1 a 10 y de 10 a 100. Se dice que es un papel de 2 ciclos x 2 ciclos. En estas escalas se pueden leer valores de 1 al 100 en cada eje, así: Valores de 1 a 10 en el primer ciclo y valores de 10 a 100 en el segundo ciclo. En el primer ciclo la marca del número 2 corresponde al logaritmo de 2, el 3 al logaritmo de 3, el 4 al logaritmo de 4 y así sucesivamente. En el segundo ciclo la marca que está después de la de 10 corresponde al logaritmo de 20, la que sigue corresponde a logaritmo de 30, y así sucesivamente. El papel logarítmico se utiliza para linealizar curvas de ecuaciones de la forma y = k x n, es decir, la representación gráfica, de un fenómeno que cumple con una relación potencial, en papel logarítmico, es una línea recta. Esto es así dado que al aplicar la función logaritmo a la ecuación anterior tenemos: Log y = Log k + n Log x Si graficamos Log y en el eje de las ordenadas y Log x en el eje de las abscisas, obtendremos una línea recta cuyo intercepto con el eje de las abscisas será Log k y con una pendiente igual a n. Al usar papel logarítmico, el intercepto es el valor de la ordenada correspondiente a la abscisa 10 0, proporcionándonos directamente el valor de k. Al usar la forma logarítmica n puede ser encontrado por: 12

13 Si se usa papel logarítmico en los ejes horizontal y vertical, el valor de n puede ser obtenido al medir en mm la variación vertical de la recta ( Log y a) y su correspondiente variación horizontal ( Log x b). El valor de n se obtiene así:, asignándole un signo positivo si la función es creciente y negativo si es decreciente, ver figura 3.9. Ejemplo: Graficaremos los datos de una experiencia con 1 mol de gas a 0 C, variando la presión y el volumen. Se desea la ecuación de P en función de V. N V(L) P(atm) Log P 100 k 10 a 1 b Log V Fig. 3.9 Gráfico presión y volumen en escalas logarítmicas de dos por dos ciclos. El valor de k lo leemos directamente en la escala logarítmica vertical para un valor de abscisa de 10 0 (ó sea 1). En este ejemplo es necesario prolongar la recta hasta que corte el eje vertical, que corresponde a 10 0 =1, donde leemos aproximadamente k = Para calcular el valor de n, medimos en mm el valor de a y de b de la figura Su 13

14 cociente representa el valor absoluto de n pero como sabemos que la función es decreciente, nosotros le asignamos el signo negativo. = 9mm 9mm = 1.0 Así, la ecuación buscada es: P = 22.4 V o también P = 1. 0 V 22.4 = V 3.3. RELACIÓN EXPONENCIAL ENTRE DOS MAGNITUDES DEL TIPO y = AC b x En la ecuación y = AC b x, con la constante C > 1 y x > 0, la constante b puede ser positiva, lo que corresponde a una función creciente, y puede ser negativa, resultando ser una función decreciente, siendo los gráficos respectivos, con la constante A positiva, los mostrados en la figura 3.11: 14

15 Fig (a) Relación exponencial creciente. (b) Relación exponencial decreciente DETERMINACIÓN DE CONSTANTES A y D Las constantes A y C b pueden calcularse gráficamente o analíticamente. Considerando un par de puntos sobre la curva de la grafica en la figura 3.10 (a) o 3.10 (b) (1) y (2) Dividiendo la ecuación (1) entre la (2) tenemos: En la expresión anterior C b puede interpretarse como una sola constante D; es decir D = C b y así se tiene: Ó Aplicando logaritmo: ( ) Ó De la función inversa del logaritmo: [ ] El valor de A se obtiene al despejar A de la ecuación y = A D x, es decir A = y/d x y sustituyendo valores conocidos de x e y o sea las coordenadas de un punto, por ejemplo el punto 1 con valores,. Así, Ejemplo de relación exponencial creciente, al graficar los datos observamos que la curva no parte del origen, y crece rápidamente, figura 3.11, entonces no es una relación de tipo potencial. x x y

16 Como ya vimos: Figura 3.11 Relación exponencial creciente [ ] = 10 (log(20.12/7.40)/( )) D= 2.72 A= 1.00 (el valor del intercepto) Entonces: y = 1.00 (2.72) x Combinación de una escala logarítmica con una lineal Existe también un papel que está trazado en escala logarítmica en un eje y en escala lineal en el otro, es conocido como papel semilogarítmico. El papel semilogarítmico se utiliza para "linealizar" curvas cuyas ecuaciones son de la forma: y = AD x Esto es explicable dado que al aplicar la función logaritmo a los dos miembros de la ecuación anterior, tenemos: Log y = (Log A) + (Log D) x donde podemos ver que la variable y está bajo la función logaritmo y la variable x no. Además A y D son constantes y por lo tanto sus logaritmos también. Entonces si graficamos (Log y) en el eje de las ordenadas y la variable x en el eje de las abscisas, obtendremos una línea recta cuyo intercepto, en x = 0, será Log A y con una pendiente igual a Log D. (Log y) = (Log D) x + (Log A) La ecuación anterior es la de una recta en su forma pendiente intercepto, es decir: Variable Dependiente = Pendiente Variable independiente + Intercepto. Ejemplo: Dada la siguiente tabla de valores, que corresponde a una función de la forma: y = AD x. Determine valores de A y D utilizando el papel semilogarítmico y 16

17 escriba la ecuación correspondiente utilizando dichos valores. x y Graficaremos Log y contra x de la siguiente manera: Utilizando la escala logarítmica buscamos los valores de y, con lo cual estamos graficando automáticamente sus respectivos logaritmos. Los valores de x se grafican en la escala lineal marcando en el eje de las abscisas. (Fig. 3.12) Fig. 3.12: Gráfico de Log y versus x Evaluando la pendiente de la línea recta del gráfico: 17

18 Log Log7. 40 Pendiente = Entonces como la pendiente es igual a Log D Log D = D = Log - 1 (0.4344) = = 2.72 El intercepto, es Log A, Log A = Log 1. Entonces, A = 1 y la ecuación completa es: y = (2.72) x 18