CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS

Transcripción

1 Ing. En Energía UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FÍSICA I LABORATORIO N 0 CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS OBJETIVOS.- Aplicar las pautas necesarias para la confección de una gráfica. FUNDAMENTO TEÓRICO Al realizar el estudio de un fenómeno dentro de la naturaleza, se pueden observar la presencia de dos o más magnitudes relacionadas entre sí. Esta situación nos lleva a deducir que una de ellas es la función de la otra, de tal manera que podemos hablar de cierta proporcionalidad entre ellas. Proporcionalidad.- Muchas de las leyes dentro de la Física adoptan la forma de funciones matemáticas de la forma: n y = a (1.1 donde a y n son constantes reales (positivas o negativas. La epresión 1.1. nos indica la proporcionalidad que eiste entre dos variables é y, de tal manera que al variar independientemente, provocará la variación de y, en tal sentido a se le conoce como variable independiente(v.i y a y se le denomina variable dependiente(v.d. Ejemp: kq q F = r T 1, representa la Ley de Coulomb de la electrostática, donde: v.i : r, distancia entre las cargas v.d: F, fuerza entre las cargas q. l = π, representa el período para el péndulo simple, donde: g v.i: l, longitud del hilo del péndulo. v.d: T, período o tiempo Uso de las gráficas.- Presentan básicamente tres usos: Primero, permiten determinar el valor de alguna magnitud, generalmente la pendiente ó intersección de una recta representa la relación entre dos variables. Segundo, nos sirven de ayuda visual y tercero permite establecer una relación empírica entre dos variables. Construcción de gráficas a partir de datos eperimentales.- A continuación se tiene un conjunto de reglas que nos permitirán elaborar una gráfica en base a datos eperimentales. 1 Elegir el papel adecuado.- Esta elección dependerá del tipo de datos obtenidos y el problema a resolver, así tenemos el papel milimétrico, para coordenadas rectangulares uniformes, y que 1

2 nos permite mostrar el comportamiento del fenómeno, cuando la funciones son eponenciales y se quiere determinar algunos parámetros, se recurre al papel semilogarítmico, presenta un eje de coordenadas logarítmico y el otro de coordenadas rectangulares, permite convertir una función del tipo Y = Ab m en una recta, donde Y se representa en la escala logarítmica y X en la escala ordinaria; siendo útil cuando se tenga que representar una función potencial de la forma Y = AX m también tenemos el papel logarítmico, el que presenta ambos ejes con escala logarítmica. Elección de la escala.- Primero debemos considerar la variable independiente, ubicada a lo largo del eje X, segundo, debe ser tal que todos los puntos queden dentro del papel, para ello debe considerarse un margen alrededor del mismo, evitando trazar las coordenadas al borde del papel. Tercero, se debe procurar que la elección de las escalas sea tal que permita el trazado de la gráfica con una pendiente de 45, cuarto, Procurar que las escalas presenten múltiplos de, 4, 5 etc., y no de 3,7,9, a fin de agilizar la lectura., quinto, localizar los puntos considerando una distribución de acuerdo a una nomenclatura, tal que no permita confusión, seto, las escalas no se dibujan al borde, y seto las escalas no necesariamente necesitan empezar en cero, sino que la determinación se hará en función a los datos eperimentales a representar. Ejemp: Al ejecutar la Ley de Hooke, eperimentalmente, se tendrán dos variables, L, alargamiento del resorte y F, pesos agregados. L(m Situación que implica establecer una relación entre variables de la forma: L = f (F F(N Incorrecto Correcto

3 Trazado de la curva.- Se debe dibujar una línea continua que se ajuste mejor a los puntos trazados (ajuste visual. Si dentro de un mismo sistema de coordenadas se dibujan dos o más gráficas, entonces es necesario diferenciar cada una de ellas mediante un conjunto de símbolos que nos permitan distinguir una gráfica de otra. En cuanto al trazado, deberá hacerse con trazo fino de lápiz, y en el caso de ser una curva, deberá hacerse uso de los pistoletes, procurando un trazo continuo. 3

4 4 Pendiente Física.- Es importante dentro de la confección de una gráfica lograr una pendiente que nos permita el cálculo de una magnitud, en cuyo caso habremos determinado el valor de la pendiente física que rige al fenómeno en estudio, ésta a diferencia de la pendiente geométrica, presenta unidades. Carga(µC 1,0 0,8 0,6 0,4 y y 0,9 µ C m = = 150mm µ C m = 0,006 mm 0, Defleión(mm 5 Mínimos cuadrados.- Cuando se hace el trazado de una recta, ésta puede ser realizada mediante un ajuste visual, lo cual implica la mejor recta que ocupe la mayor cantidad de punto posibles, considerando que los punto más cercanos se encuentren equidistantes a la misma, de tal manera que la recta pueda ser observada en forma simétrica para su trazado. Sin embargo eiste la posibilidad de mejorar éste trazo haciendo uso del método de los mínimos cuadrados. Consideran que la ecuación de una recta esta regida por : y = m + b, para determinar la respectiva pendiente é intercepto, se tienen las siguientes epresiones: m = n ( i yi ( i ( yi n( i ( i b = ( i ( yi ( i ( i yi n( ( i i En algunos casos es necesario linealizar la curva, para ejecutar la gráfica respectiva, así tenemos, para el caso de la ecuación que gobierna el comportamiento de un termistor, es de la forma B T R = Ae, donde A y B son constantes y T es la temperatura medida en kelvin, sin embargo para desarrollar ésta gráfica es necesario realizar el cambio de variable respectivo a fin de brindarle la forma de una recta, así tenemos que al toma logaritmos en ambos miembros, se tiene: ln R = ln A + B/T, comparando con la ecuación de una recta, y = m + b, se tiene : y = ln R; b = ln A; = 1/T; m = B, de ésta manera haciendo uso de los mínimos cuadrados, se pueden hallar los valores de m y b, y por consiguiente los valores de A y B estarán establecidos, puesto que m = B y b A = e, resultados con los que podemos formular la 4

5 correspondiente ecuación empírica, que gobierne el comportamiento del termistor en estudio, al reemplazar los datos hallados en la ecuación para R. 6.- Gráficas de la función Y = a n.- Considerando los diferentes casos que se presentan dentro de la Física en relación a las variables involucradas, se aprecia que en su mayoría responden a funciones de la forma Y = a n, como se muestra continuación. n<0 n>1 n =1 0<n<1 A continuación se brindan algunas leyes y las transformaciones correspondientes. Si la ley elegida corresponde a los datos obtenidos (,y, entonces la gráfica de los puntos (,y debe ser aproimadamente una línea recta. Ley de las potencias y = a n = log y = log y Ley eponencial y = ae b = y = ln y Ley hiperbólica N 1 y = (a + b / = y = y Ley hiperbólica N y = (a + b = y = /y Para determinar las constantes que aparecen en las leyes se hace uso del gráfico construido, a partir de él se encuentra la pendiente m y la intersección b, de la recta con el eje y. A continuación desarrolla la eperiencia relacionada con la ley de Hooke, a fin de aplicar loa criterios estudiados, determinando la ecuación empírica a través de la gráfica hallada. 5