Unidad didáctica 6 Funciones

Transcripción

1 Unidad didáctica 6 Funciones

2 1.- Las magnitudes físicas. Para estudiar un determinado fenómeno, los científicos realizan experimentos. Un experimento científico es un acto de observación, pero, con las siguientes características: Las condiciones en que se hace el experimento se controlan rigurosamente. No basta con mirar, hay que medir. Cualquier persona que repita el experimento debe poder obtener los mismos resultados. Magnitud física: es cualquier propiedad que se pueda medir. Hay dos tipos: Magnitudes escalares. Son aquellas que, como la masa, la temperatura, la energía, el tiempo, etc., basta con saber su valor numérico (con su unidad correspondiente) para conocer su efecto. Como símbolo se suelen utilizar letras latinas o griegas (T, m, V, E, α, β,...). Gráficamente se representan mediante un punto en una escala (de ahí el nombre) Magnitudes vectoriales. Son aquellas que, como la fuerza, la posición, la velocidad, etc., requieren, para conocer su efecto, no sólo su valor numérico (con su unidad), sino también, la dirección (orientación en el espacio) y el sentido (hacia delante o hacia atrás) en los que se manifiesta su acción. Como símbolo se suelen utilizar letras latinas o griegas con una pequeña flecha encima ( F r, v r,ω r ). Gráficamente se representan mediante vectores. Un vector: es un segmento orientado (con una punta de flecha en uno de sus extremos) que tiene las siguientes características: Origen o punto de aplicación: es el punto donde comienza el vector (punto A). Extremo: es el punto donde termina el vector (la punta de la flecha, (punto B). Módulo: es la longitud del vector. Dirección: es la dirección de la recta donde se encuentra y la de todas sus paralelas. Sentido: es el indicado por la punta de la flecha. Unidad didáctica 6: Funciones pag. 1

3 2.- Las variables. El estudio experimental de un fenómeno requiere, en primer lugar, determinar todas las magnitudes que intervienen en él y, a continuación, observar y medir la forma en que varía una de esas magnitudes cuando se produce una variación en las otras. Variable: es una magnitud física que interviene en un experimento y cuyo valor puede variar a lo largo de él. Hay tres tipos: Variable controlada: es la que permanece fija durante el experimento. Variable independiente: es la que el investigador va modificando. Variable dependiente: es la que el investigador observa como varía al modificar la variable independiente. Como consecuencia de las mediciones, el investigador se encuentra con un gran número de datos que debe analizar, para ver si están relacionados o no, captar su significado y deducir consecuencias. Para que su estudio resulte más fácil y comprensible, los datos se organizan, en cuadros, tablas y, si los resultados del experimento son numéricos, en forma de gráficas. 3.- Representación de gráficas. Para representar los datos de una tabla de valores se suele utilizar un sistema de referencia cartesiano, (debido a René Descartes), que consta de dos rectas perpendiculares llamadas ejes de coordenadas que se cortan en un punto que se llama origen, O. El eje horizontal se llama eje de abscisas (o eje X) y en él se suele representar la variable independiente. El eje vertical se llama eje de ordenadas (o eje Y) y en él se suele representar la variable dependiente. Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro partes que se llaman cuadrantes. Una vez elegida la escala de los ejes, cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números, llamados componentes o coordenadas del punto, que se escriben encerrados entre paréntesis y separados por una coma: (x, y). El primer número se llama abscisa y es la distancia de ese punto al eje Y. El segundo número se llama ordenada y es la distancia del punto al eje X. Por convenio se considera que: la coordenada x tiene signo negativo si el punto se encuentra a la izquierda del origen. la coordenada y tiene signo negativo si el punto está por debajo del origen. Unidad didáctica 6: Funciones pag. 2

4 Las gráficas permiten determinar si existe alguna relación entre las variables estudiadas o no. Si, en la gráfica, los puntos aparecen dispersos significará que no hay relación entre las variables, si aparecen alineados significará que sí la hay. 4.- Definición de función. Una función es una ley que relaciona dos variables de forma unívoca, es decir, que a cada valor de la variable independiente le hace corresponder un valor y sólo uno de la variable dependiente. Suele decirse que la segunda magnitud es función de la primera. (Puede haber más de una variable independiente). Esto se expresa simbólicamente: representa la variable independiente e y la variable dependiente. y = f(x) donde x Ejemplo: El precio de la pizza es función del tamaño. Cada tamaño de pizza tiene un único precio. 5.- Formas de representar una función. Una función se puede representar mediante: Una gráfica. Una tabla de valores. Ejemplo: Tamaño pizza (cm) Precio ( ) Una frase que exprese la relación entre ambas variables. Ejem: El precio de la pizza aumenta al aumentar el tamaño de ésta. Una expresión matemática del tipo y = f(x). Ejem: Precio pizza = 0'25 tamaño pizza 6.- Tipos de funciones Función constante. Su expresión analítica es: y = K Siendo K un número real cualquiera. Es la más simple de todas las funciones. Un ejemplo de función constante sería una tarifa telefónica plana en la que el precio mensual no depende del número de llamadas que se haga. La gráfica de este tipo de funciones es una línea recta horizontal. Esto significa que sea cual sea el valor de x, la función siempre toma el valor K. Es decir, y no depende de x. Para hacer la representación gráfica a partir de la función, se dibuja una línea recta horizontal, que corte al eje Y en el punto (0, K). Unidad didáctica 6: Funciones pag. 3

5 6.2.- Función afín. Dependencia lineal. Su expresión analítica es: y = m x + b. Siendo m y b dos números reales con m 0. Ejemplo: una tarifa telefónica normal. La mensualidad es suma de una cantidad fija (mantenimiento de línea) y de otra cantidad que depende del número de llamadas. La gráfica de esta función es siempre una línea recta, por eso se dice que la y depende linealmente de la x. b, la ordenada en el origen, es el valor que toma la función cuando x es igual a cero. m, la pendiente de la recta, es una medida de la inclinación de la recta. Se calcula con la expresión: y 1 b y m y m = x y - x 1 1 x 1 x 2 Para hacer la representación gráfica a partir de la función, se hace una tabla de valores (con dos puntos es suficiente para dibujar una recta). Para averiguar la función a partir de dos puntos se utiliza la ecuación: y - y 1 y2 - y1 = donde x - x x - x y2 - y1 m = (la pendiente) x - x Función lineal. Dependencia directa. Es un caso particular de la función afín en la que b = 0, Su expresión analítica es: y = m x con m 0 Un ejemplo de función lineal es la variación el precio de la pizza con el tamaño, porque para tamaño cero el precio es cero. La gráfica de esta función es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. En este caso se dice que y es directamente proporcional a x. Se utilizan las mismas ecuaciones que en el apartado anterior, pero la ordenada en el origen, b = 0. Para hacer la representación gráfica a partir de la función, se hace una tabla de valores (una de las coordenadas es el punto (0,0) por lo que solo hace falta otro punto para dibujar la recta). Unidad didáctica 6: Funciones pag. 4

6 6.4.- Función cuadrática. Dependencia cuadrática. Su expresión analítica es: y = ax 2 + bx + c Siendo a, b y c números reales cualesquiera con a 0. (si a = 0 sería la función lineal y = bx+c). Un ejemplo de función cuadrática es el espacio que recorre con el tiempo, un cuerpo en caída libre: e = 4'9 t 2. La gráfica de este tipo de funciones es una curva denominada parábola. Cuando una función es de este tipo se dice que la y depende cuadráticamente de la x. Para hacer la representación gráfica a partir de la función se hace una tabla de valores, pero es interesante calcular las coordenadas del vértice. Para calcular el vértice de una parábola se utiliza la fórmula: b x = 2 a A continuación, para obtener el valor de la coordenada y, se sustituye el valor de x en la función Función inversa. Dependencia inversa. Solo se va a estudiar un caso particular de las funciones racionales: las Funciones inversas. Su expresión analítica es: Siendo k 0. k y = x La frase del dibujo es un ejemplo de función inversa. La gráfica correspondiente es una curva denominada hipérbola equilátera. Cuando una función es de este tipo se dice que la y es inversamente proporcional a x. Para hacer la representación gráfica a partir de la función, hay que hacer una tabla de valores. Unidad didáctica 6: Funciones pag. 5

7 7.- Como hacer correctamente una representación gráfica. 1.- Situación de los ejes de coordenadas. Los ejes deben situarse a 1 ó 2 cm del margen blanco del papel para que la superficie comprendida entre los ejes y el límite sirva para numerar y asignar nombre a los ejes. La variable independiente se representa en el eje de abscisas y la variable dependiente en el eje de ordenadas. 2.- Determinación de las escalas La escala se debe escoger de manera que un cuadro equivalga a 1, 2, 5 ó 10 unidades. No deben utilizarse 3, 7, 9, etc., porque complicaría la interpretación posterior de la gráfica. La curva resultante no debe estar confinada en una esquina pequeña de la gráfica. 3.- Numeración de los ejes de coordenadas. Según la escala elegida se ponen marcas a lo largo de cada eje y se pone, al final del eje, el símbolo de la magnitud y su unidad correspondiente. No es necesario señalar todos los cuadros. Se ponen marcas cada 2 ó 5 cuadros. Cada variable debe comenzar cerca de los valores mínimos registrados, pero no es imprescindible que la gráfica contenga el punto (0,0), aunque sí es conveniente. 4.- Localización de los puntos representativos de los datos Los puntos determinados experimentalmente, se localizan en el papel usando puntos lo más finos posible Cuando se traza más de una curva hay que diferenciarlas entre sí usando diferentes símbolos: líneas punteadas o interrumpidas o tintas de diferentes colores. 5.- Ajuste de la curva con los puntos obtenidos Las curvas nunca se dibujan uniendo todos los puntos obtenidos experimentalmente, sino que se deben dibujar suavizando la curva, haciendo que se aproxime a todos los puntos. Si uno o dos puntos están fuera de la trayectoria de la curva de manera notable, es importante comprobar los datos experimentales y revisar los cálculos para ver si se ha cometido una equivocación. Si no es así se ignoran dichos puntos. Unidad didáctica 6: Funciones pag. 6

8 Ejercicios de representación gráficas 1.- Representa en papel milimetrado la siguiente tabla de valores: Nº gotas Altura (cm) a) Cuál es la variable independiente? Cuál será la escala aconsejable? b) Cuál es la variable dependiente? Cuál será la escala aconsejable? 2.- Se ha medido la altura máxima, h, alcanzada por un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba con una cierta velocidad, v, obteniéndose una tabla de valores que hay que analizar. v (m/s) h (m) a) Cuál es la variable independiente? Cuál será la escala aconsejable? b) Cuál es la variable dependiente? Cuál será la escala aconsejable? c) Haz la representación gráfica: 3.- Se mide, a temperatura constante, cómo varía la presión, de una determinada cantidad de gas contenido dentro de un pistón, al variar el volumen y se obtiene la siguiente tabla de valores. p (atm) V (L) ' '5 a) Cuál es la variable independiente? Cuál será la escala aconsejable? b) Cuál es la variable dependiente? Cuál será la escala aconsejable? c) Haz la representación gráfica: Ejercicios de interpretación de gráficas. 4.- La gráfica muestra las temperaturas a lo largo de un día en un pueblo de Valladolid. En el eje horizontal hemos representado el tiempo (h) y en el eje vertical, las temperaturas (ºC). Qué temperatura hizo a las 0 horas? Y a las 10 horas? A qué hora había 0º? A qué hora se alcanzó la temperatura máxima del día? Cuál fue esa temperatura? A qué hora se alcanzo la temperatura mínima del día? Cuál fue esa temperatura? En que periodo del día subió la temperatura? En qué periodo bajó? En qué periodos se mantuvo constante? En qué período del día hubo una temperatura por debajo de 0º? Construye una tabla con las temperaturas que se registraron a lo largo del día. Tiempo (h) Temperatura (ºC) Unidad didáctica 6: Funciones pag. 7

9 5.- Relaciona cada punto de la gráfica con la persona correspondiente. 6.- Relaciona cada punto de la gráfica con el dibujo correspondiente. 7.- La gráfica representa el perfil de la 9ª etapa del Tour de Francia del año Se subieron seis puertos de montaña de los Alpes. a) Cuántos kilómetros tiene la etapa? b) En qué puntos kilométricos de la etapa presenta la gráfica un máximo y qué altitud alcanza en cada uno? c) En qué puerto se alcanza la mayor altitud? d) Qué puerto de montaña tiene mayor longitud? e) Y en cuál hay mayor pendiente? Problemas de funciones 8.- a) Representa gráficamente la función y = 3.? b) Qué tipo de función es? Por qué? c) Qué tipo de proporcionalidad o dependencia hay entre las variables x e y? 9.- a) Qué tipo de función está representada? Por qué? b) Qué tipo de proporcionalidad o dependencia hay entre las variables x e y? c) Cuál es la ecuación general que corresponde a esta gráfica? d) Cuál es la ecuación particular? Unidad didáctica 6: Funciones pag. 8

10 10.- a) Representa gráficamente la siguiente función: y = 2 x + 1 b) Qué tipo de función es? Por qué? c) Qué tipo de proporcionalidad o dependencia hay entre las variables x e y? 11.- a) Qué tipo de función se corresponde con esta gráfica? Por qué? b) Qué tipo de dependencia hay entre las variables c) Cuál es su ecuación general? d) Cuál es su ecuación particular? 12.- a) Qué tipo de función relaciona la altura del agua con el número de gotas, correspondiente a la tabla de valores del ejercicio 1? Por qué? Nº gotas Altura (cm) b) Qué tipo de dependencia hay entre las variables c) Cuál es su ecuación general? d) Cuál es su ecuación particular? 13.- a) Representa gráficamente la siguiente función: y = 1x 2 + 2x 5 b) Qué tipo de función es? Por qué? c) Qué tipo de proporcionalidad o dependencia hay entre las variables x e y? 14.- a) Qué tipo de función relaciona la altura máxima, h alcanzada por un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba con una cierta velocidad, v, correspondiente a la tabla de valores del ejercicio 2? v (m/s) h (m) b) Qué tipo de dependencia hay entre las variables? c) Cuál es su ecuación general? 15.- a) Representa gráficamente la siguiente función: y = x 20 b) Qué tipo de función es? Por qué? c) Qué tipo de proporcionalidad o dependencia hay entre las variables x e y? 16.- Qué tipo de función relaciona el volumen, V, y la presión, p, de una determinada cantidad de gas, correspondiente a la tabla de valores del ejercicio 3? b) Qué tipo de dependencia hay entre las variables? c) Cuál es su ecuación general? d) Cuál es su ecuación particular? p (atm) V (L) ' '5 Unidad didáctica 6: Funciones pag. 9