PRACTICA 03. SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR C.E.T.i.s. No. 141 Dr. Manuel Gamio

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1 SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR C.E.T.i.s. No. 141 Dr. Manuel Gamio Asignatura: CALCULO DIFERENCIAL PRACTICA 03 Alumno(a): Especialidad: Profr(a): Concepto Fundamental: Funciones Concepto Subsidiario: Dominio y contradominio Representación de funciones Hay cuatro posibles formas de representar una función Verbal (por una descripción de palabras) Numéricamente (por una tabla de valores) Visualmente (por una gráfica) Algebraicamente (por una formula explicita) Nota: Si una función individual puede representarse de las cuatro formas, con frecuencia es útil pasar de una representación a otra para tener una mejor idea de la función. Ejemplos. 1. El área A de un círculo depende de su radio. La regla que relaciona r y A esta dada por la ecuación A r con cada número positivo r hay asociado un valor de A y decimos que A esta en función de r. una fórmula. El costo C de enviar por correo un sobre grande depende del peso W del sobre. Aun cuando no haya una formula sencilla de relacionar W y C, la oficina de correos tiene una regla para determinar C cuando se conoce W. en valores FUNCIONES Dominio y contradominio Grado y Grupo: Fecha: Calificación: Competencias Disciplinares: Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Competencias Genéricas: Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos 3. La población humana P del mundo depende del tiempo t. la tabla. en palabras y en valores Población Año(t) (en millones) Proporciona 4. La aceleración vertical a del sueleo cuando se mide con un sismógrafo durante un terremoto es una función del tiempo t trascurrido. La figura siguiente muestra una gráfica generada por la actividad sísmica durante el terremoto de 1986 que sacudió a la ciudad de México. Para un valor de dado de t, la gráfica da un valor correspondiente de a. en grafica la estimación de la población P(t) del mundo en el tiempo t para ciertos años. Por ejemplo. P( 1950) Para cada valor del tiempo t hay un valor correspondiente de P y decimos que está en función de t CALCULO DIFERENCIAL

2 Definición de función Una función f es una regla que asigna a cada elemento de x de un conjunto D, exactamente un elemento, llamado f(, de un conjunto R. Diagrama de flechas para una función Un símbolo que representa un número arbitrario del dominio de la función f se llama variable independiente. Un símbolo que representa un número en el rango de f se llama variable dependiente. Ejemplos 1. Trazar una gráfica a partir de una descripción verbal Al abrir una llave de agua caliente, la temperatura T del agua depende de cuánto tiempo haya estado corriendo el agua. Trace una gráfica de T como función del tiempo t que haya transcurrido desde que se abrió la llave.. La temperatura inicial del agua corriente es cercana a la temperatura ambiente porque el agua ha estado en reposo en la tubería. Cuando el agua del tanque de agua caliente empieza a circular por la llave, T aumenta rápidamente. En la siguiente fase, T es constante a la temperatura del agua caliente del tanque; cuando éste se descarga, T disminuye a la temperatura del agua de entrada. Esto hace posible que hagamos un trazo aproximado de T como función de t Una función es una máquina. Es útil considerar una función como una máquina. Si x está en el dominio de la función f, entonces cuando x entra a la maquina produce una salida f( de acuerdo con la regla de la función. Entonces se puede considerar al dominio como el conjunto de todas las entradas y al rango como el conjunto de todas las salidas.. Expresar un costo como una función Un recipiente rectangular para almacenamiento, con su parte superior abierta, tiene un volumen de 10 m 3. La longitud de su base es el doble de su ancho. El material para la base cuesta $10 por metro cuadrado; el de los lados $6. Expresar el costo de materiales como función del ancho de la base. Trazamos un diagrama Introducimos una notación representando con w y w al ancho y longitud de la base, respectivamente, y con h la altura. El área de la base es ( ) w w w, de modo que el costo del material para la base, en pesos, es 10(w ). 6 CALCULO DIFERENCIAL

3 Dos de los lados tienen área wh y los otros dos tienen área wh, por lo cual el costo del material para los lados es 6[( wh) (wh)]. El costo total es, por tanto C 10(w ) 6[( wh) (wh)] C 0w C 0w 1wh 4wh 36wh Para expresar C como función sólo de w, necesitamos eliminar h y lo hacemos así usando el hecho de que el volumen es 10 m 3. Entonces: 10 wh(w) hw 10 h w 5 h w Sustituyendo esto en la expresión para C, tenemos: C 0w 36wh C 0w C 0w C 0w 5 36w w 5 36 w 180 w Por lo tanto C en términos de w es: C ( w) 0w 180 w con w 0 Al conjunto de los valores de los segundos elementos (y) de los pares ordenados, se denomina rango de la función. Ejemplo: Dada la función f = {(4, 1), (6, -7),(, 3),(-3, 6)} Identificar el dominio y el rango de la función = {4,6,, -3} = {1, -7, 3, 6} Regla de correspondencia regla de asignación Ejemplo f ( x, x ) x [1,6], x un entero Regla de correspondencia Dominio de la función x f (1) f () 4 6 f (3) f (4) f (5) f (6) f ( x, ) x D Regla de correspondencia la función x ( x ) x[1,6] Dominio de {1,,3, 4,5,6} x Dominio x Rango Dominio y contradominio R {3,6,11,18, 7,38} Definición de función Es el conjunto de pares ordenados de números reales (x,y), tales que dos pares distintos no tienen el mismo primer elemento. Al conjunto de los valores de los primeros elementos ( de los pares ordenados, se denomina dominio de la función. 7 CALCULO DIFERENCIAL

4 Clasificación de funciones Racionales Algebraicas Radicales Polinomiales Constante Lineal Cuadrática Cubica. Enésima Función Lineal f(= mx + b, representa una recta en el plano cartesiano, en donde m es el valor de la pendiente y b la ordenada la origen. Funciones Exponenciales Base a Base e Trascendentales Logarítmicas Trigonométricas Base 10 o común Base a o Neperianas Directas Inversas Otras Valor absoluto Seccionales Máximo entero x (, ) y (, ) Comportamiento de algunas de las funciones polinomiales Función constante f(= k, representa una recta paralela al eje X ; sobre k. Función Cuadrática f(= ax + bx + c, representa una parábola cóncava hacia arriba o hacia abajo Caso 1 x (, ) y [ k, ) Dominio de la función k x (, ) Donde V(h,k) son las coordenadas del vértice y se determinan con las formulas: b h a 4ac b k 4a 8 CALCULO DIFERENCIAL

5 Caso x (, ) y (, k] Asíntota vertical p( ( x La función q( ) existen valores lo siguiente: f tiene asíntotas verticales si x,... 1, x, x3, x4 xn tal que se cumple q x ) q( x ) q( x ) q( x )... q( xn) 0y ( Donde V(h,k) son las coordenadas del vértice y se determinan con las formulas La función b h a n x Con n entero positivo tiene como: 4ac b k 4a Asíntota horizontal Se despeja la variable x y se obtiene una función de p( y) ( y) y la forma q( ) y y, y, y,..., 3 4 f, y existen valores y n 1 tal que se cumple que q ( y1) q( y) q( y3) q( y4)... q( yn) 0 Dominio de la función x (, ) y [ 0., ) y (, ) si n es par si n es impar Función Racional La función p ( f siempre que q( 0 ( q( representa una función racional Definición de Asíntota Si la distancia d entre una recta o curva L y el punto móvil Q(x, y) de la función tiende a cero, entonces la recta o curva recibe el nombre de asíntota. Tipos de Asíntotas 1. Asíntota Vertical. Asíntota Horizontal 3. Asíntota Oblicua 9 CALCULO DIFERENCIAL

6 Ejercicios resueltos 1. Obtener la gráfica de la función 4 Se traza una recta paralela al eje x, sobre Y=4 Domino de la función Df ( (, ) o todos los Reales R { 4 } 3. Determinar dominio, rango y grafica de la función x 4x 5 Se identifican los valores de los coeficientes de cada término a 1, b 4, c 5 Como a 0, la parábola es cóncava hacia arriba Calculo de los valores h y k h b a 4 (1) 4 4ac b k 4a 4(1)(5) ( 4) 4(1) v (, 1 Por tanto el vértice es punto ) x 3. Graficar la función 1 La ordenada al origen es 1 (donde corta al eje Y ) Y de la pendiente 3 incrementoen verical( y) m incrementoen horozontal( El comportamiento de la función se muestra en la siguiente gráfica. Tabulación x (, ) y [ 1, ) En este caso el dominio y el rango son todos los números reales o: x (, ) Para hacer la tabulación se toman unos valores a la izquierda de h y otros a la derecha. (En este caso a la izq. y derecha de ) y se evalúa la función en ese valor. Ejm. De cómo se evalúa la función en (x = -1) y (, ) x 4x 5 f ( 1) ( 1) 4( 1) CALCULO DIFERENCIAL