Reglas para el redondeo de Números: Cifras Significativas;

Transcripción

1 :: OBJETIVOS [.1] o Reconocer el concepto de cifras significativas o Aplicar los principios de cifras significativas en los datos experimentales o Aplicar la identificación correcta de la medida tomada. o Tomar conciencia de la variabilidad en la medida experimental. o Identificar los diferentes tipos de errores presentados al efectuar una medición o Cuantificar los errores vinculados en la medición o Usar las convenciones dadas por el S.I. o Valorar la eficacia del método experimental. MARCO TEÓRICO [.] Reglas para el redondeo de Números: 1. Si la primera cifra del grupo que se descarta es inferior a 5, las cifras que se conservan se dejan inalteradas: 36, ,4. Si la primera cifra del grupo que se descarta es mayor de 5, entonces se le adiciona 1 a la última cifra que se conserva: 56, ,4 3. Si la primera cifra del grupo que se descarta es 5 y las cifras que le siguen no son todas cero, entonces se le adiciona 1 a la última cifra que se conserva: 3,6504 3,7 4. Si la primera cifra del grupo que se descarta es 5 y las cifras que le siguen son todas cero, entonces la última cifra que se conserva se aumenta en 1 si esta es impar, ó se deja inalterada si esta es par: Ej: impar 36,35 36,4 ; par 3,65 3,6 Cifras Significativas; Para mayor claridad se enfatizará dos aspectos: las cifras significativas de un número y las cifras significativas de un mensurando. Cifras significativas de un número: para determinar las cifras significativas de un numero se recomienda representarlo en formato científico, es decir, representar el numero como un valor HFRG y CAEM

2 equivalente que solo tiene un entero como la primera cifra y el resto en decimales multiplicados por un exponente a la potencia equivalente sin tener en cuenta los ceros a la izquierda de la parte decimal. Las cifras significativas serán las que acompañan al exponente. 356, ,56507x10 tiene 6 cifras significativas ,58056x10 7 tiene 6 cifras significativas 0, Nm /kg 6,670x10-11 Nm /kg tiene 4 cifras significativas, aunque el original tiene 14 cifras decimales Cifras significativas de un valor experimental: si bien un valor experimental es un número y como tal cumple con los principios vistos en el ítem anterior, este implica un conjunto de principios adicionales que se deben tener en cuenta al citar el valor experimental (5,43±0,05mm ; 3,5±0,1m). Principios: En general, la sensatez en la presentación de resultados experimentales se pierde al realizar los cálculos de una medición indirecta, y es por ello que estos principios buscan mantener una coherencia entre las cifras del valor experimental y la incertidumbre que conlleva citar el resultado final. 1. No se debe dejar cifras después de la primera cifra incierta. Por ejemplo: si se tiene 4,05681±0,05mm debe citarse como 4,06±0,05mm ya que la primera cifra incierta es el 5 y como existen mas cifras, el valor debe ser redondeado según las reglas dadas. Sin embargo, cuando por efectos de una mayor precisión en la medida se obtiene una incertidumbre con dos cifras significativas, se puede justificar el retener una cifra más en la magnitud acorde con la incertidumbre. Este caso podría ser visualizado si para el ejemplo anterior la incertidumbre fuere de 0,035mm entonces el valor a presentar será 4,057±0,035mm.. Cuando la incertidumbre es dada como un valor porcentual (1%, 5%, 0,5%, etc.), el valor experimental ciado deberá respetar el numero de cifras significativas del equivalente absoluto del error porcentual. Por ejemplo: Si se mide 6,73voltios con un error del 1% de lo medido, entonces el error absoluto será 6,73x1/100=0,673. Pero aunque se hallo 0,673 de error el valor es citado como 1%, es decir, una cifra significativa; por lo tanto el valor a citar correctamente es 6,7±0,3v. Si para el mismo caso el error fuese indicado como 1,0% el valor obtenido deberá citarse como 6,73 ±0,7v. 3. Cuando la incertidumbre a citar es el cálculo de dos ó más magnitudes experimentales se debe respetar las cifras significativas de las incertidumbres básicas en la incertidumbre a

3 3 citar. Por ejemplo: En el laboratorio de física II se mide un voltaje de 15,4±0,1v y una corriente 1,7±0,1A. Se requiere obtener la resistencia. La ecuación que relaciona estas V variables es R =, lo que da una R=9, Y el cálculo de la incertidumbre absoluta I para esta resistencia es 0, (más adelante se revisará este calculo). Aplicando lo visto en este numeral la incertidumbre a presentar debe ser de una cifra significativa, es decir, 0,5. Por lo tanto el resultado a citar es R=9,1±0,5. 4. Cuando las incertidumbres básicas posean distintas cifras significativas, al citar la incertidumbre resultante se mantendrá la mayor de las cifras significativas dudosas. Por ejemplo: Asumamos que como el caso anterior se obtiene el voltaje de 15,4v y la corriente de 1,7 A ambos al 1% de error en la lectura. Calculando se obtiene el error absoluto para cada medida de 0,154v 0,v y 0,017 A 0,0 A (redondeando a la primera cifra significativa). El cálculo de esta incertidumbre será de Por tanto debe ser citada como R=9,1±0,. 5. Cuando se tenga un conjunto de datos experimentales de la misma magnitud medida, el valor convencionalmente verdadero a obtener mantendrá el mismo número de cifras seguras y solo una cifra insegura. Se entiende como cifras seguras, aquellas que no cambian del grupo de datos y cifras inseguras aquellas que cambian. Por ejemplo si se considera 5 medidas dadas a la misma masa de un cuerpo m 1 =5,4g; m =5,7g; m 3 =5,6g; m 4 =5,5g; m 5 =5,7g. se podrá distinguir de los valores experimentales, que las dos primeras cifras se repiten (por eso se les designa como seguras) y la tercera cifra cambia, por lo que se le llama insegura. 6. Cuando dos ó mas números con cifras decimales se relacionan con un operador matemático (suma, resta, multiplicación ó división) el resultado deberá presentarse con el menor número de cifras que presente los operadores. NOTA: cuando se tiene se tiene valores provenientes de medida no experimentales como ó, como para el perímetro de un circulo P = π r, el resultado limitará las cifras a presentar acorde a las cifras halladas en los valores experimentales usados en la relación ó proceso de cálculo. Ensanchamiento de la margen de Error: para mejorar el grado de confianza en el resultado obtenido en un proceso experimental, es común reducir la Margen de Error a una cifra insegura. Este procedimiento se aplica cuando el valor de incertidumbre tiene definido por lo menos dos cifras significativas.

4 4 El propósito de este procedimiento es el de reducir a una cifra insegura la margen de error, para lo cual se debe redondear a la cifra (entera ó decimal) deseada y posteriormente se le adiciona, a la cifra tratada, la unidad correspondiente Por ejemplo: en el laboratorio se obtuvo el siguiente valor con la correspondiente incertidumbre dada como 5,34500 ± 0,00500 unidades. Como se puede observar desde el 4 se considera cifras inseguras y la incertidumbre presenta dos cifras significativas. Por tanto lo primero es redondear a la primera cifra significativa, lo que dará 0,00; luego se le adicionara una unidad a esta última cifra quedando 0,003 unidades. La magnitud se redondea a la primera cifra dudosa quedando el resultado final como: 5,34± 0,003 Unidades. El Error en la Medición: 1. Error asociado a un valor esperado: El método experimental implica comparar los valores obtenidos con datos ya conocidos, a los que llamaremos valores verdaderos y a los obtenidos como valores experimentales ó medidos. El error se obtendrá de: Vlr _ medido Vlr _ verdadero Error% = x100 Vlr _ verdadero. Error asociado al valor estimado: Para el caso en que se tiene una medida repetida n veces, el error será el resultado de la raíz cuadrada de la suma cuadrática de sus errores, es decir, para una muestra dada se obtiene la desviación estándar muestral como n i= 1 σ x = ( x x ) i n 1 m xi i= 1 donde xm = n n es el valor estimado y el error muestral estará dado σ x como Error = N = n 1_ si _ n < 30datos también llamada s N 3. Error asociado al proceso de medición: En el caso en que solo se toma una medida, hay que tener en cuenta que como tal esta medida es afectada por varios elementos ó factores físicos, tales como: a. Error Inducido por el Instrumento: En este punto hay que tener presente que al usar el equipo de medida, por más preciso que sea el instrumento de medida se tendrá una inseguridad relativa a la mínima división discernible por el observador, que se

5 5 llamará error del instrumento I. Pero también se tiene un error relativo a la medida que es el dado cuando el instrumento ha sido calibrado que se llamará error Exac. b. Error inducido por acción humana: Esta incerteza esta cobijada por la interacción del método de medición con la magnitud a medir, el cual es determinada con el análisis cuidadoso del método usado en la medición. A este error le llamaremos M. hay que tener presente que otro tipo de incerteza se puede presentar al tomar la lectura sobre la escala de medida, al que se llamará L. c. Error inducido por la falta de definición de la magnitud en medición: Este caso se presenta sobre algunas medidas que por la variabilidad de la magnitud generan un error adicional que llamaremos F. Algunos casos pueden ser identificados cuando se intenta medir una variable eléctrica pero la fuente de alimentación esta fluctuando, ó cuando se intenta medir la longitud de un material que cambia debido a su elasticidad tácita, ó cuando se mide una magnitud formada por un elemento en movimiento como por ejemplo la amplitud de un péndulo, etc. d. El error nominal: Como se presenta diferentes fuentes de incertidumbre, y todos son debidos a diferentes factores, es apenas lógico considerar que cada uno de ellos aporta al error nominal (error real) en la misma proporción y que por ende hay que relacionarlos entre sí al determinar la incertidumbre nominal. Por lo tanto, la incertidumbre nominal de una medición estará dada como la suma cuadrática de cada uno de los factores de incerteza hallados: σ = σ + σ + σ + σ + σ nom I Exac M L F 4. Error asociado a la medición multimuestral: En la experimentación, generalmente se toman varias medidas de la misma magnitud para asegurar un valor cercano al valor verdadero. Este conjunto de valores refleja la incerteza debida a causas fortuitas (al azar), que podrían ser producidos al contar el numero de divisiones de la escala graduada del instrumento de medida, y/o por la mala ubicación frente a la aguja de medida, ó incluso cuando la magnitud medida tiene variaciones imprevistas en el proceso de medida. Estos errores inducidos, son minimizados con la lectura ó medición repetitiva de la misma magnitud, y es por ello que decimos que tal conjunto de medidas realmente reflejan estos mismos errores. A tales errores se les llamará error estadístico s y se calcula de la misma forma indicada en el numeral. Por lo tanto se podría deducir, que las inconsistencias básicas producidas (en la medida) por los errores inducidos con el método de medida M y/o las variaciones particulares de la

6 6 magnitud en estudio F estará contenido en el error estadístico. Pero esto no implica que las incertezas indicadas M y F no tengan que ser consideradas al analizar los errores inducidos, sino más bien, que para la mayoría de los casos se encontrará el error estadístico s como la mejor forma de cuantificar pequeñas variaciones en estos Errores inducidos. Pero cuando la magnitud de estos errores inducidos sea tal que es observado de manera obvia en el proceso de la medición, se recomienda tener este valor en cuenta al realizar el cálculo del error inducido nominal. Es por ello que se hace necesario relacionar tales errores inducidos ( M, F ) con los dados de una serie de medidas al azar ó error estadístico s y se concluye que cuando se tiene una serie de medidas de la misma magnitud se debe hallar una nueva incerteza nominal, cuyo valor estará dado por: σ = σ + σ + σ + σ + σ + σ nom S I Exac M L F 5. Propagación de errores en la medición indirecta: Es muy común que se busque medir en el laboratorio magnitudes de forma indirecta, como por ejemplo el área, la velocidad, la gravedad, e.t.c. El propósito de esta sección es la de determinar el error(incertidumbre) de la magnitud derivada, por tanto, se define: Como magnitud medida indirectamente: Z Incertidumbre ó error a determinar: Z Magnitudes medidas directamente, con su incertidumbre: X ± X, Y ± Y, W ± W,. Etc. Se tiene que para Z = f ( X, Y, W,...) Se puede demostrar que el error estará dado como: df df df Z = x + y + w + dx dy dw EQUIPOS Y MATERIALES [.3] Regla graduada en milímetros. Un calibrador ó Pie de Rey Tornillo micrométrico. Arandelas, balines, monedas, láminas

7 PROCEDIMIENTO [.4] Toma de Datos para diferentes muestras: Tabla 1 Datos 1 Magnitudes de la Arandela Magnitudes de la lamina Diam. Ext. Diam. Espesor Long. 1 Long. Espesor Int Valor medido Real o Calculen el valor de la minima división, tanto del calibrador, como del tornillo micrométrico. o Tome los valores solicitados en la Tabla 1, teniendo en cuenta el ajuste de cero, las cifras significativas, o Cuantifique las posibles causas de error discutidas con el profesor para cada magnitud. Para ello determine: Error Inducido por el Instrumento ( I y Exac.) Error inducido por acción humana ( M. y L ) Error inducido por la falta de definición de la magnitud en medición ( F ) Error ó incerteza debida a causas fortuitas. (error estadístico s ) o Use el calibrador para medir las longitudes y el micrómetro para determinar los espesores.

8 8 ANÁLISIS DE DATOS [.5] 1. Determinen los valores verdaderos para cada una de las magnitudes medidas, correspondientes a cada uno de los instrumentos de medida.. Determina la incerteza de cada medida, es decir, calcule la incertidumbre nominal σ = σ + σ + σ + σ + σ + σ nom S I Exac M L F 3. Tenga en cuenta presentar estos valores respetando las cifras decimales (significativas) que le entrega el calibrador y el tornillo micrométrico. 4. Calcule el área de la arandela y de la lámina, sin dejar de aplicar los conceptos de cifras significativas aprendidas. 5. Determine la incertidumbre resultante para cada área indicada. Para ello use el método de propagación de errores sin olvidar respetar las cifras significativas df df df Z = x + y + w + dx dy dw 6. Calcule el volumen de la arandela y volumen de la lámina. 7. Determine la incertidumbre resultante para cada volumen calculado. 8. Presente los valores experimentales (es decir, con la incertidumbre) en la fila final del cuadro de resultados. PREGUNTAS [.6] 1. Enumere los errores que influyeron sobre las medidas tomadas. Cuales fueron las magnitudes cuantificadas para cada una de los errores (incertidumbres) del numeral anterior? 3. Cuales errores (Incertidumbres) fueron cuantificados en cero y porque? 4. Cuales fueron los principios de cifras significativas aplicados en este laboratorio? 5. Que diferencia encuentra entre los principios de cifras significativas aplicados a los datos experimentales y los aplicados a los datos aritméticos? El Conocimiento tiene un costo, hasta cuanto estamos dispuestos a pagar por él.