FÍSICA GENERAL. Guía de laboratorio 01: Mediciones y cálculo de incertidumbres

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1 I. LOGROS ESPERADOS FÍSICA GENERAL Guía de laboratorio 01: Mediciones y cálculo de incertidumbres Registra la resolución de los instrumentos de medición y las características del mensurando para obtener mediciones de longitud y masa. Trabaja con cifras significativas para establecer el nivel de incertidumbre en mediciones combinadas. II. EQUIPOS Y MATERIALES Nº Cant. Descripción Código 1 1 Calibrador Vernier o Pie de Rey SF Prismas (Discover Density Set) SE-9719A 3 1 Balanza digital SE-8757A III. IV. INTRODUCCION En ingeniería, así como en las ciencias experimentales, no es posible realizar una medición sin que ésta posea un cierto grado de incertidumbre. Luego, una medición apropiada debe reportar, además del mejor valor estimado, la incertidumbre asociada. Por ello es necesario establecer un procedimiento adecuado y universal para caracterizar la calidad del resultado de una medición; esto es, evaluar y expresar su incertidumbre. CONCEPTOS BÁSICOS 4.1 Mensurando: Cantidad particular sometida a medición. La definición de un mensurando puede necesitar indicaciones relativas a cantidades tales como el tiempo, la temperatura y la presión. Ejemplo: Presión de vapor de una muestra dada de agua, a 20 C Valor (de una cantidad): Expresión cuantitativa de una cantidad particular, generalmente es conformada por una unidad de medición multiplicada por un número. Ejemplo: Longitud de una varilla: 4,65 cm ó 465 mm. 4.3 Valor de referencia (de una cantidad): Es el valor atribuido a una cantidad a través de un patrón de referencia. A menudo se requiere de un gran número de mediciones de una cantidad para establecerlo. El valor de referencia es denominado a veces como, valor asignado, o valor convencional. Ejemplo: El valor de la constante de Avogadro, NA: 6, x 1023 mol-1 [CODATA (1986)]. 4.4 Incertidumbre: La palabra incertidumbre significa duda. Así, en su sentido más amplio, incertidumbre de medición significa duda sobre la validez del resultado de una medición. 4.5 Error (de medición): Resultado de una medición menos el valor de referencia del mensurando. 4.6 Error relativo: Relación entre el error de medición y un valor verdadero del mensurando. 4.7 Error relativo porcentual: Es el error relativo citado como un porcentaje. 1

2 Ejemplo: El diámetro de una tubería de metal proveniente de fábrica muestra el valor referencial. Éste es medido con un pie de rey cuyo valor medido es 85,25 mm. Calcule el error de medición, error relativo y error relativo porcentual. Error de medición: Error relativo: Error relativo porcentual: V. EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR DE MEDICIÓN 5.1 Modelo de medición En general, un mensurando, sea éste por ejemplo, no se mide directamente sino que se determina a partir de otras cantidades, por medio de una relación funcional : Por ejemplo la densidad, es una función de la masa y el volumen. De acuerdo al International organization for standardization (ISO), dos tipos de evaluaciones para incertidumbre se pueden distinguir: Tipo A y Tipo B. En ésta guía evaluaremos principalmente la incertidumbre del Tipo B. 5.2 Evaluación Tipo B (de incertidumbre) Éste tipo de evaluación de la incertidumbre se basa en la información disponible sobre las variabilidades posibles en la lectura. No se obtiene por mediciones repetidas (métodos estadísticos). Así, para una estimación, la incertidumbre estándar se establece en función de la información disponible que puede comprender: a) Resultados de mediciones anteriores; b) Experiencia o conocimientos generales sobre el comportamiento y las propiedades de los materiales e instrumentos utilizados; c) Especificaciones del fabricante; 5.3 Evaluación Tipo A (de incertidumbre) Éste método de evaluación de la incertidumbre se basa en el análisis estadístico de un conjunto de observaciones (ensayos). Para un conjunto de datos, la mejor estimación del valor es dada por el promedio o media aritmética de las observaciones: Posteriormente la desviación estándar, representa la variabilidad de los valores observados específicamente, su dispersión alrededor de su media : o más Finalmente la incertidumbre de la medición para la evaluación Tipo A estándar experimental media: ), está representada por la desviación 2

3 5.4 Función de densidad de probabilidad (FDP) Ésta función matemática es usada para modelar toda la información que se dispone de un mensurando. De esta manera, la FDP permite describir la probabilidad que el mensurando se encuentre entre dos valores. Por ejemplo, luego de recolectar los datos de un experimento, sean éstos resultado de una única lectura o un conjunto de lecturas realizadas, la FDP proporcionará, entre otras cosas, una medida de la calidad de las mediciones, es decir, la incertidumbre estándar. La Tabla 01 muestra dos tipos comunes de FDP para calcular incertidumbre de tipo B. Note que la posición del centro de la FDP está dado por el valor más probable del mensurando (llamado la mejor estimación del mensurando) 1. Tabla 01: Función de densidad de probabilidad para la evaluación de la incertidumbre estándar tipo A y B. Tipo de Función densidad de probabilidad (FDP) FDP Rectangular Cálculo de la incertidumbre de medición Evaluación de incertidumbre estándar Tipo B Tipo de medición Usado cuando se tiene una sola lectura digital FDP Triangular Tipo B Usado cuando se tiene una sola lectura analógica FDP Gaussiana (Forma de campana) Desviación estándar experimental media Tipo A Usado cuando se tiene un conjunto de lecturas repetidas 5.5 Ejemplos de lecturas simples A. Lectura digital: Consideremos la siguiente lectura: Claramente la mejor estimación es: = 394,0 Hz Función densidad de probabilidad rectangular es usada para modelar la medición. La FDP rectangular demanda que los valores para el límite inferior y superior del intervalo sean tan probables cuanto el valor de la mejor estimación. Así, es claro que para una lectura de 394,0 Hz, es igualmente probable que las lecturas comprendidas entre 393,5 y 394,5 pues estos últimos pueden ser redondeados al valor 394,0 Hz. 1 Para detalles Véase Guía Resumen para la expresión de incertidumbre de una medición en el Laboratorio de Física en el Campus Virtual 3

4 Incertidumbre de medición = B. Lectura analógica: Consideremos la siguiente lectura: Mejor estimación de Función densidad de probabilidad triangular es usada para modelar la medición. La FDP triangular demanda que los valores del límite inferior y superior del intervalo no sean tan probables cuanto el valor de la mejor estimación. Así, en el ejemplo es improbable que las longitudes 47,10 o 47,20 cm representen en algún momento la mejor estimación. Incertidumbre de medición = VI. INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR COMBINADA A menudo, en experiencias de laboratorio es necesario combinar dos o más cantidades medidas, cada una de las cuales posee una incertidumbre asociada. Luego, la incertidumbre estándar combinada, que resulta de cantidades medidas, es dada por: 4

5 [ ] donde es la función dada en la ecuación (4) y representa la incertidumbre estándar asociada a cada cantidad medida que puede ser del Tipo A o Tipo B. Ejemplo: Si se desea conocer el perímetro, p=2(l+a), de un terreno rectangular será necesario poseer el valor estimado del largo L y ancho A junto con sus respectivas incertidumbres. Luego, la incertidumbre estándar combinada del mensurando p(l,a) puede ser obtenida a través de la ecuación (8). En el ejemplo anterior, un experimentador solo habría calculado satisfactoriamente la incertidumbre combinada asociada a la lectura de los instrumentos ( ). Sin embargo, se debe tener en cuenta que factores sistemáticos como incertidumbres de lectura cero (calibración) del instrumento ( ), la precisión de fábrica del instrumento ( ), tiempos de reacción al iniciar o detener un cronómetro ( ), error por paralaje ( ), etc. Luego, éstos deben también ser incluidos en la determinación de la incertidumbre total, la cual puede ser escrita como: Precisión y exactitud son expresiones comúnmente usadas en el análisis de datos. Así, la exactitud se refiere a que tan próximo del valor de referencia (asignado) está la medida realizada. Por otro lado, el resultado es preciso si después de realizar mediciones repetidas, estas medidas son próximas entre sí o poseen una incertidumbre pequeña. Ejemplo: Una persona recolecta datos para determinar la aceleración de la gravedad. Obteniendo [ ]. Sabiendo que el valor referencial es, luego la medida es exacta, pues 9,82 es próximo a 9,81 y a la vez muy precisa pues la incertidumbre es pequeña. VII. REPORTE DEL RESULTADO DE UNA MEDICIÓN El resultado de la medición de un mensurando incertidumbre estándar, es decir: es constituido por el valor de la mejor estimación y la [ ] Ejemplo: [ ], donde el número que sigue al símbolo ± es la incertidumbre de la medición. 7.1 Uso de Cifras significativas para reportar del resultado de una medición REGLA 1: Las incertidumbres experimentales pueden ser redondeadas tentativamente a una sola cifra significativa. Sin embargo, se puede mantener dos cifras sólo si la menor cifra significativa empieza con 1. Ejemplo 01: a). b) REGLA 2: En general, la posición decimal del valor numérico, debe ajustarse a la posición decimal de la incertidumbre. Ejemplo 02: [ ] [ ] 5

6 IX. PROCEDIMIENTO: OBTENCIÓN DE LA DENSIDAD DE PRISMA METÁLICO La densidad de un prisma es calculada a través de la expresión:. Para reportar el resultado de la medición de la densidad necesitaremos encontrar la masa m, y volumen V, junto con sus respectivas incertidumbres y 1) Disponga de un prisma, un pie de Rey y una balanza digital (Fig. 02). Fig. 02: Equipos y materiales 2) La Tabla 03 muestra los valores referenciales de las densidades de cada uno de los prismas que serán usados para el cálculo de errores. Tabla 03: Densidad de algunas muestras metálicas Densidad Tipo de promedio de muestra las muestras (g/cm 3 ) Plástico 1,20 Metal (Aluminio) 3) Anote la resolución de cada uno de los instrumentos de medición en la Tabla A.1 del reporte a entregar. Note que: Previo al uso del pie de Rey, debe revisar el Tutorial para uso de pie de Rey y micrómetro (Campus Virtual) o alternativamente explorar el siguiente link: 4) Registre en la Tabla A.2 el material del cual es hecho la muestra utilizada, Ejemplo: Prisma de PLÁSTICO 2,70 Madera 0,60 5) Mida los lados del prisma, anote su mejor estimación, dibuje la FDP para evaluar el límite superior e inferior y calcule la incertidumbre de lectura. Registre estos datos en la Tabla A.2. Nota: Solo se hará una medición de cada dimensión para evaluar la incertidumbre de Tipo B. Ejemplo: Mejor estimación del lado 1 del prisma 12,80 mm 6

7 Incertidumbre de medición para la lectura 6) Proceda de igual manera en la medición del lado 2 = 0,02 Ejemplo: Mejor estimación del lado 2 del prisma 19,05 mm Incertidumbre de medición para la lectura 7) Proceda de igual manera en la medición del lado 3 Ejemplo: Mejor estimación del lado 3 del prisma 59,90 mm Incertidumbre de medición para la lectura 8) Mida la masa del cilindro y anote su mejor estimación, dibuje la FDP para evaluar el límite superior e inferior y calcule la incertidumbre de lectura. Registre estos datos en la Tabla A.2. Ejemplo: Mejor estimación de la masa de un cilindro Incertidumbre de medición de la masa: 9) Con los datos medidos para las dimensiones del prisma, calcule la mejor estimación para el volumen del cilindro y su respectiva incertidumbre. Anote sus resultados en la Tabla A.3. Ejemplo: Ecuación para el volumen del cilindro 7

8 Mejor estimación del volumen del cilindro La incertidumbre estándar combinada según la ecuación (8): ( ) ( ) ( ) donde, y fueron obtenidos en el ítem (6), (7) y (8) respectivamente y las derivadas son dadas por: ; ; Luego: Reemplazando los valores numéricos se obtiene: 10) Calcule la mejor estimación para la densidad del cilindro y su respectiva incertidumbre. Anote su resultado en la Tabla A.4. Ejemplo: Mejor estimación de la densidad del prisma: Incertidumbre de medición de la densidad: ( ) ( ) donde y fueron obtenidos en el ítem (8) y (9) respectivamente y las derivadas vienen dadas por: ; Luego: ( ) ( ) Reemplazando los valores numéricos se obtiene: ( ) ( ) 11) Finalmente exprese sus resultados de medición con el número de cifras significativas correcto Ejemplo: 12) Calcule el Error relativo porcentual a fin de comparar el valor referencial (mostrado en la Tabla 03) y el resultado de la medición. Para tal fin, use las ecuaciones 1, 2 y 3: Nota: No olvide realizar la conversión de a, antes de comparar los valores referenciales y de medición. (1mm 3 =10-3 cm 3 ) Ejemplo: Error de medición: Error relativo: Error relativo porcentual: 8

9 FISICA GENERAL: REPORTE DE LABORATORIO Laboratorio 01: Mediciones y cálculo de incertidumbres APELLIDOS y NOMBRES Curso Profesor Fecha/Hora N o Reserva Parecer A. TOMA DE DATOS Tabla A.1: Resolución de los instrumentos de medición Instrumento Pie de Rey Balanza Digital Resolución del Instrumento (mínima escala) Unidades Tipo de muestra elegida: Mensurando Tabla A.2: Dimensiones del prisma y su respectiva masa Mejor estimación (unidad) Diagrama de la FDP para evaluar incertidumbre Cálculo de incertidumbre de medida Lado 1 Lado 2 Lado 3 Masa )

10 B. CÁLCULOS Y RESULTADOS Tabla A.3: Cálculo de volumen del prisma y su respectiva incertidumbre combinada Volumen del Prisma Incertidumbre estándar combinada Resultado de la medición Tabla A.4: Cálculo de la densidad y su respectiva incertidumbre combinada Densidad del Prisma Incertidumbre estándar combinada Resultado de la medición Tabla A.5: Cálculo de error relativo, y porcentual para la densidad del prisma. Error de medición Error relativo ( Error porcentual ( C. CONCLUSIONES Resuma brevemente la experiencia enfatizando si en ésta se consiguió comprobar los logros/hipótesis iniciales. Caso contrario, indique los factores por los cuáles esto no fue posible y proporcione algunas recomendaciones finales para el correcto desarrollo de la experiencia.

11 Physics Open-Lab Ingeniería USIL Experimento número: Fecha: Código de Reserva: Apellidos y Nombres: Profesor del Curso: PARECER: Concluido Satisfatóriamente (CS) No concluido (NC) CS ( ) NC ( ) Curso: Bloque: Recibido por: Firma del estudiante: Physics Open-Lab Ingeniería USIL Experimento número: Fecha: Código de Reserva: PARECER: Concluido Satisfatóriamente (CS) No concluido (NC) CS ( ) NC ( ) Apellidos y Nombres: Profesor del Curso: Curso: Bloque: Recibido por: Firma del estudiante: Physics Open-Lab Ingeniería USIL Experimento número: Fecha: Código de Reserva: PARECER: Concluido Satisfatóriamente (CS) No concluido (NC) CS ( ) NC ( ) Apellidos y Nombres: Profesor del Curso: Curso: Bloque: Recibido por: Firma del estudiante: