ERRORES REGLA, PIE DE REY O VERNIER, TORNILLO MICROMÉTRICO

Transcripción

1 ERRORES REGLA, PIE DE REY O VERNIER, TORNILLO MICROMÉTRICO OBJETIVOS 1. Estudiar los errores y su propagación a partir de datos tomados de un experimento simple. 2. Determinar el espesor de alambres y placas con el tornillo micrométrico. 3. Determinar la densidad del bloque de madera. 4. Determinar la capacidad y el volumen de un tubo de PVC. APARATOS Y MATERIALES Regla, vernier o pie de rey, tornillo micrométrico, tubos, cubos de madera, placas, balanzas de precisión. INTRODUCCIÓN En el laboratorio se realizan mediciones de cantidades físicas de las cuales se obtienen ciertas conclusiones. Ya que ninguna medición o serie de mediciones es absolutamente precisa, es siempre deseable verificar como afecta esta imprecisión las conclusiones obtenidas por medio de un estudio de los errores en el experimento. Supóngase que se efectúa un experimento acerca de la relación entre la presión y el volumen de un gas, llegándose a la conclusión que formula la siguiente ley: El volumen de un gas es inversamente proporcional a su presión. El experimento no prueba que la ley es absolutamente precisa sino que solamente dentro de ciertos límites, determinados por la precisión del experimento, se ha encontrando que es cierta. Siempre se presentarán pequeñas desviaciones de la ley y debería ser posible determinar si estas desviaciones indican que la ley no es exactamente cierta, o si estas se deben a inevitables errores experimentales. Aún si en este experimento no se encontraran desviaciones significativas, las mediciones realizadas con instrumentos más refinados pueda ser que muestran que la ley es sólo una aproximación a la verdad. TEORÍA 1. CIFRAS SIGNIFICATIVAS En muchos experimentos es innecesario hacer un estudio detallado de los errores probables. En estos casos es suficiente indicar aproximadamente que tan preciso es el resultado. En trabajos elementales se registran todas las cifras de las cuales se tenga certeza y una (pero sólo una) de las cifras aproximadas; de esta manera con solo escribir el dato, puede estimarse la precisión de la medida. En la Tabla I se registran cinco mediciones por cada uno de los lados de un bloque de Madera, longitud L, ancho A, y espesor T. 1

2 Tabla I Medidas de las dimensiones de un bloque de Madera No. de Longitud Ancho Espesor observaciones L(cm) A(cm) E(cm) Promedio La primera medición del espesor E es 3.57 cm. Las primeras dos cifras son conocidas, pero la tercera cifra 7 es dudosa. Si bien la cifra 7 es dudosa, no deja de tener significado. Se tiene una seguridad razonable de que el valor correcto está entre 5 y 9 por ejemplo, así que se tienen tres cifras significativas. La localización del punto decimal no tiene nada que ver con el número de cifras significativas. Ya sea que se escriba 3.57 cm, 35.7 mm, m, la expresión tiene tres cifras significativas. Cuando el cero sirve sólo para localizar el punto decimal no se toma como cifra significativa. Sin embargo el cero en la tercera medición del ancho es la primera cifra dudosa y es significativa. Omitir este cero sería incorrecto ya que indicaría que el 2 que le precede era dudoso. Cada valor de E tiene cifras significativas y ya que hay considerable variación en las terceras cifras, deben usarse tres cifras significativas para expresar el promedio. En otras palabras, el segundo 5 en el promedio es dudoso y el promedio se expresa con tres cifras significativas. Sin embargo en las observaciones de A, las variaciones en la tercera cifra son tan pequeñas que la tercera cifra significativa del promedio (1) difícilmente puede decirse que sea dudosa por lo que se justifica dejar el promedio con cuatro cifras significativas. El producto LAE es cm. Sin embargo, esto no representa correctamente el volumen. Indica que todas las cifras son conocidas excepto el cero final; y por supuesto esto no es cierto. Si digamos el error de 1 % en cualquiera de los factores causara un 1 % de error en el resultado, el volumen no puede determinarse a un grado mayor de precisión que el menos preciso de los factores. Aunque es difícil de establecer las reglas de las cifras significativas se puede decir en general que en multiplicaciones y divisiones el resultado debe tener tantas cifras significativas como el menos preciso de los factores. En algunos casos la respuesta debe tener una cifra significativa más que el menos preciso de los factores. Por ejemplo en la ecuación = 12.5, si la respuesta será tan precisa como el menos preciso de los factores, debería tener tres cifras significativas como aunque el menos preciso solo tiene dos. Una inspección de la ecuación debería de clarificar el por qué esto es cierto. Así que la regla debe ser complementada por el criterio del experimentador. El volumen del bloque de madera debería expresarse como 314 cm. No hay que acarrear cifras inútiles a través de una serie de cálculos, solo para descartarlos al final. Para ahorrar tiempo hay que guardar solo una o dos cifras dudosas a través de los cálculos. Esto no afectará la precisión del resultado. En la adición y sustracción es completamente diferente. Supóngase que una barra metálica tiene cm de longitud a 20 o C y el experimento muestra que cuando se calienta a 100 o C el incremento en su longitud es cm. La nueva longitud es ( ) cm. Ya que los 2

3 números a los que el 3 y el 8 van a ser agregados, son desconocidos (no hay razón para creer que son ceros) la suma se expresa con dos decimales solamente. De la ilustración anterior, debería quedar claro que cuando los números se arreglan apropiadamente en columnas para un cálculo de adición o sustracción, si un dígito en una de columnas de dígitos es no confiable, la respuesta en esa columna es no confiable. REGLA 1: En adición y sustracción; escribir el resultado solo hasta la primera columna que contenga una cifra dudosa. REGLA 2: En multiplicación y división; escribir el resultado como un número que de ser posible tenga el porcentaje de precisión de la cifra menos precisa que intervino en el resultado. 2. CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES La incertidumbre de un porción observada de datos se conoce técnicamente como error, (este término error no implica equivocación; significa la incertidumbre entre el valor medido y el valor estándar). Un error que tiende a hacer una observación más alta se llama error positivo y uno que la hace más baja, error negativo. Los errores pueden agruparse en dos clases generales: sistemáticos y casuales. Un error sistemático es el que siempre produce un error del mismo signo, por ejemplo un error que tiende a hacer todas las observaciones de un objeto, más pequeñas. Un error casual o al azar es uno en el que los errores positivos y negativos son igualmente probables. Los errores sistemáticos pueden subdividirse en tres grupos: a) Instrumentales b) Personales c) Externos El error instrumental es un error causado por la deficiencia o imprecisión de los aparatos. El error personal depende de la habilidad del experimentador. Los errores externos son causados por condiciones externas como el viento, la temperatura, la humedad, etc. 3

4 3. DESVIACIÓN DE LOS VALORES PROMEDIOS a) Error absoluto o numérico. Se puede aplicar las leyes de la estadística a los errores que son producto del azar y así llegar a conclusiones definitivas acerca de su magnitud. La estadística establece que el valor que tiene la más alta probabilidad de ser correcto, se obtiene dividiendo la suma de las observaciones individuales por el número total de observaciones. Este valor es la media aritmética m.a. La diferencia entre una observación y la media aritmética se conoce como la desviación d. La desviacióm media d.m. es una medida de la precisión de las observaciones y es la suma de las desviaciones d (sin tomar en cuenta el signo) dividido por el número n de observaciones, es decir: d d.m. = n De la teoría de la probabilidad se sabe, que una media aritmética calculada a partir de n observaciones es un promedio más preciso que cualquier observación por un factor de n. En consecuencia, la desviación media mejorada D.M del promedio de n observaciones estará dada por: D.M. = d.m. n (1) Este valor representa el error absoluto, y sirve para llegar a la expresión final de la medida que se escribe: Media aritmética ± error absoluto que da el valor probable de la media y su rango de error. Por ejemplo, al medir un bloque de madera, supóngase que de las diversas pruebas, se obtuvieron los siguientes datos: No. Longitud Desviacón L(cm) d(cm) m.a d.m. = = 0.02 cm D.M. = d.m. n = = 0.01 cm El error promedio de este conjunto de observaciones debería escribirse: ± 0.01 cm. 4

5 b) Error relativo. La importancia de un error experimental no es tanto su valor absoluto sino su valor relativo o porcentual. Error relativo o porcentual significa el número de partes de cada 100 partes que un número esta errado. Así se tiene: Error relativo = error absoluto valor promedio PROPAGACIÓN DE LOS ERRORES Ya que la incertidumbre en las observaciones acarrea errores en el resultado final, es importante hacer uso de ciertas reglas que permiten controlar este hecho. REGLA 1: El error absoluto de una suma o diferencia es la suma de los errores absolutos de las cantidades individuales. REGLA 2: El error relativo de un producto o cociente es la suma de los errores relativos de los factores. 5. PIE DE REY O VERNIER. El pie de rey (nonio) es el instrumento más conocido para la medición rápida y relativamente exacta. Con él se pueden efectuar mediciones interiores, exteriores y de profundidad. La exactitud alcanzada es proporcional a las divisiones del nonio. Los elementos más importantes se indican en la Fig. 1. Figura 1: Pie de rey o Vernier 5

6 La marca cero del nonio coincide con la marca cero de la división de la regla cuando están cerradas las patillas. Con el nombre de nonio se designa un complemento de la escala graduada, que permite aumentar la exactitud de la medición (precisión de la lectura) de la misma de 10 a 50 veces. El nonio lineal es una pequeña regla que se desliza lo largo de la escala. Esta regla está provista de una escala pequeña, dividida en m partes iguales. La longitud total de estas m divisiones es igual a m 1 de la escala. La Fig. 1 y su detalle en la Fig. 2 muestran que entre 28 mm y 67 mm de la escala hay 39 divisiones, mientras que el nonio posee 40 o 20 divisiones (se ha suprimido una de cada dos divisiones en el nonio). Figura 2: La lectura 28 en la escala y 25 en la escala del nonio da mm La pieza a medir se coloca entre las superficies de medida. A continuación se aprieta ligeramente la patilla móvil contra la pieza. Durante la lectura, se considera la marca cero del nonio como coma que separa los enteros de los decimales. Se leen los milímetros enteros en la escala, a la izquierda de la marca del cero, y se busca en la parte a la derecha de la marca cero, la marca del nonio que coincide con una marca de la escala. Esta marca del nonio da las décimas de milímetro. 6

7 6. TORNILLO MICROMÉTRICO Mediante el tornillo micrométrico se puede aumentar la exactitud de la medición en un orden de magnitud. La pieza a medir se coloca entre la superficies de medición. Seguidamente se aproxima el husillo a la pieza, girando el escape. Cuando éste en vacío se ha alcanzado la presión necesaria para la medición pudiéndose proceder a la lectura. Los milímetros y los medio-milímetros se leen en la escala del manguito, y las centésimas de milímetro en el tambor. Si el tambor no cubre un medio milímetro, éste deberá sumarse a las centésimas. Figura 3: Tornillo micrométrico, lectura mm PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 1. MEDICIONES CON REGLA: Se procederá a efectuar una serie de 5 mediciones de cada una de las dimensiones de un bloque de madera con una regla graduada. Deberá evitar colocar la regla de canto al hacer la medición. Adicionalmente se medirá la masa del bloque en una balanza de precisión. No Tabla I: Mediciones con Regla Longitud Ancho Espesor Masa L(cm) A(cm) E(cm) M(kg) 7

8 2. MEDICIONES CON PIE DE REY: Para la altura, diámetro externo e interno de cada uno de los tubos de PVC, se procedrá a efectuar 5 mediciones. Tabla II: Mediciones con Pie de Rey No. φ i (mm) φ e (mm) h(mm) MEDICIONES CON EL TORNILLO MICROMÉTRICO: Para cada una de las placas y alambres se procederá a medir el espesor y el diámetro respectivamente. Tabla III: Mediciones con Micrómetro No φ i (mm) Alambre e(mm) Espesor placa CÁLCULOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS 1. Calcular la media aritmética de cada dimensión de los objetos haciendo uso del número apropiado de cifras significativas. 2. Calcular los valores más probables del volumen y capacidad utilizando las medias aritméticas de las diferentes dimensiones para obtener el volumen y la capacidad más probables. Recordar expresar correctamente el número de cifras significativas. 3. Para cada dimensión, calcular las desviaciones de cada observación con respecto a su media aritmética. La suma de las desviaciones (sin tomar en cuenta el signo) dividido por el número de observaciones será la desviación media de cada dimensión. 4. Calcular la desviación media mejorada de cada medida. Esta será el error absoluto EA de cada medida. 5. Para cada caso, calcular el error relativo de cada medida. Indicar cuál de las medidas es más precisa. 6. Para calcular el error absoluto proceder de acuerdo a las reglas de propagación de errores. Por ejemplo para el caso del volumen del bloque de madera, se procede de la siguiente manera (Regla 2): ER(volumen) = ER(L) + ER(A) + ER(E) pero ER = EA/Valor más probable Así EA(volumen) = Valor más probable del volumen [ER(L) + ER(A) + ER(E)] 8

9 7. Calcular el error relativo del volumen. 8. Para los datos de la masa proceder de manera similar, determinando el valor más probable (media aritmética), las desviaciones, la desviación media y mejorada. Expresar el error absoluto y relativo de la masa. 9. Calcular la densidad del bloque de madera (masa/volumen) tomando en cuenta las reglas de propagación de errores. 10. Presentar los resultados en las correspondientes tablas. 11. Calcular el volumen del material y la capacidad del tubo de PVC. 12. Calcular los errores tanto de las mediciones directas como de las mediciones indirectas. En el análisis de resultados puede enfocar sus conclusiones sobre los siguientes aspectos: Cifras significativas resultantes y criterio de su presentación. Tipo de errores que se presentaron en las mediciones Comparación de precisiones obtenidas con la regla y la balanza. Medidas menos precisas y por qué. Cualquier otra conclusión o recomendación que considere pertinente. NOTA: Elaborar las tablas que sean necesarias. PREGUNTAS 1. Cómo se compara la precisión de las mediciones de la masa con las dimensiones medidas con la regla graduada? 2. Cómo se propagaron los errores al operar los factores? 3. Cuál es la importancia de verificar los errores en las mediciones? 4. Cuáles de las mediciones realizadas son directas y cuáles indirectas? 5. Si se hizo una medición 41800,000 unidades con un error de ±10,000 unidades, cuántos ceros significativos y cuáles? 9