MEDICIONES DE LONGITUD Y TEORÍA DE ERROR

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA COMPLEJO ACADÉMICO EL SABINO AREA DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMATICA COORDINACION DE LABORATORIOS DE FÍSICA GUÍAS DE LOS LABORATORIO DE FÍSICA I Y LABORATORIO DE FÍSICA GENERAL MEDICIONES DE LONGITUD Y TEORÍA DE ERROR Actualización el 29 de Octubre de 2011

2 Practica 1 Mediciones de longitud y teoría de error Objetivos Basado en la teoría del error, el conocimiento de los tipos de error y aproximaciones, calcular eficientemente la incertidumbre presente en los cálculos y mediciones físicas fundamentales. Efectuar mediciones directas a distintos sólidos para el cálculo del volumen, considerando el error cometido Equipos y Materiales Debe traer el Equipo: Del Laboratorio: - Calculadora. - Un (1) Tornillo Micrométrico. - Una (1) Cinta métrica. - Un (1) Vernier Calibre Pie de Rey. - La guía de laboratorio (para cada alumno). - Varios solidos de geometría regular Fundamentos Teóricos Reglas graduadas para medir longitud. En una regla graduada la medida viene definida por la distancia entre los trazos de cada división; según la escala y unidad de medición. El material de fabricación de la regla esta en función de la aplicación para la cual está destinada y de la precisión requerida. Según al uso de las reglas graduadas las mas corrientes son: (a) Metros Plegables 2

3 PRACTICA 1. MEDICIONES DE LONGITUD Y TEORÍA DE ERROR. 3 (b) Cintas Métricas Figura 1.1: Reglas graduadas mas usadas Instrumentos mecánicos de medición: El Nonio, Nonius o Vernier El calibre Pie de Rey o vernier es en esencia una regla graduada, perfeccionada para aumentar la seguridad y precisión de las mediciones. En la Fig. 1.2 se muestra en su mayor simplicidad. Como puede verse, está formado por una regla graduada, uno de cuyos extremos forma una pata (quijada de medición) (1); sobre la regla va montado un cursor deslizante (2) solidario a una segunda pata (quijada de medición)(3). Un trazo o índice en el cursor (4) indica, sobre la escala de la regla, la distancia entre las superficies de contacto de las patas (quijadas), para cualquier posición de éstas. Figura 1.2: Vernier o Calibre Pie de Rey Como puede apreciarse en la Fig. 1.3, entre las ventajas del vernier en comparación con la simple regla graduada, es no exigir la apreciación visual de la coincidencia del cero y la simplificación de la lectura, al hacerse ésta por la coincidencia de dos trazos. LAB. FÍSICA I Y LAB. FÍSICA GENERAL

4 FUNDAMENTOS TEÓRICOS Figura 1.3: Coincidencias de trazos entre las escalas Cuando el índice no coincide con alguna división de la escala, se usa el vernier, del cual deriva el nombre del instrumento. Consiste en una segunda reglilla o escala (nonio) grabada en el cursor (Fig. 1.4). Figura 1.4: Vernier y la escala nonio Para mayor claridad en la explicación, consideraremos el nonio de un vernier dispuesto para medir con aproximación de décimas de milímetro. La reglilla tiene una longitud de 9mm y está dividida en 10 partes iguales, como puede verse en la Fig Por consiguiente, si la apreciación de la escala principal es de 1mm, entonces las divisiones de la escala secundaria tendrán una longitud de 9 10 de milímetro. La apreciación del instrumento es la diferencia entre la apreciación de la regla principal y la apreciación del nonio:( )mm = 1 10 = 0, 1mm. Figura 1.5: Escala nonio con coincidencia en la segunda marca En una medición, para determinar la fracción de la menor división de la escala principal, basta INSTRUCTIVO DEL ESTUDIANTE

5 PRACTICA 1. MEDICIONES DE LONGITUD Y TEORÍA DE ERROR. 5 con determinar cual de las marcas del nonio coincide con alguna de las marcas de la escala principal. Por ejemplo, si la marca coincidente es la tercera (Fig. 1.6), entonces la fracción de milímetro es 0, 2 (la primera corresponde al cero). La razón de esto es la siguiente: si la tercera marca es la que coincide, entonces la segunda marca estará desplazada 0,1mm con respecto a la marca más cercana de la escala principal, y la primera (correspondiente al cero) estará desplazada 0,2 mm. Figura 1.6: Escala nonio con coincidencia en la tercera marca Hay una gran variedad de estos instrumentos, debido a que han sido adaptados a diversos usos en la medición. El más común es el tipo Máuser, que se muestra en la Fig. 1.7, y es el que usaremos en el laboratorio. Se caracteriza por la disposición doble de las patas: patas T y T para medir longitudes exteriores (espesores, diámetros, etc.), como se muestra en la Fig M y M para medir longitudes interiores como: cavidades, diámetros interiores, etc. (Fig. 1.9), y una lámina L para medir profundidades (Fig. 1.10). Figura 1.7: Vernier tipo Máuser LAB. FÍSICA I Y LAB. FÍSICA GENERAL

6 FUNDAMENTOS TEÓRICOS Figura 1.8: Medición de diámetros exteriores Figura 1.9: Medición de diámetros interiores Figura 1.10: Medición de profundidad El vernier tipo Máuser que usaremos, tiene una apreciación de 1 mm. En la Fig se aprecia 20 una medida de 3,095cm hecha con este vernier. INSTRUCTIVO DEL ESTUDIANTE

7 PRACTICA 1. MEDICIONES DE LONGITUD Y TEORÍA DE ERROR. 7 Figura 1.11: Vernier de 1 20 mm Instrumentos mecánicos de medición: El tornillo micrométrico El tornillo micrométrico o micrómetro, es un instrumento utilizado para medir con precisión de centésimas de milímetro. El funcionamiento del micrómetro se basa en el avance que experimenta un tornillo montado en una tuerca fija, cuando se lo hace girar. Como se ilustra en la Fig. 1.12, dicho desplazamiento es proporcional al giro del tornillo. Por ejemplo, si al tornillo (2) se lo hace girar dentro de la tuerca fija (1), al dar una vuelta completa en el sentido a, avanza en el sentido b una longitud denominada paso de la rosca ; si gira dos vueltas, avanza una longitud igual a dos pasos, y si gira un cincuentavo o una centésima de vuelta, el extremo avanzará un cincuentavo o una centésima de paso. Figura 1.12: Avance de un tornillo Una disposición práctica del micrómetro se muestra en la Fig Como puede verse está formado por un cuerpo en forma de herradura (7), en uno de cuyos extremos hay un tope o punta de asiento (1); en el otro extremo hay una regla fija cilíndrica graduada en medios milímetros (2), que sostiene la tuerca fija. El tornillo, en uno de sus extremos forma el tope (3) y su cabeza está unida al tambor graduado (4). Al hacer girar el tornillo se rosca o se desenrosca en la tuerca fija y el tambor avanza o retrocede solidario al tope (3). LAB. FÍSICA I Y LAB. FÍSICA GENERAL

8 FUNDAMENTOS TEÓRICOS Figura 1.13: Partes del Micrometro Cuando los topes (1) y (3) están en contacto, la división 0 (cero) del tambor coincide con el cero (0) de la escala; al irse separando los topes se va descubriendo la escala y la distancia entre ellos es igual a la medida descubierta de la escala (milímetros y medios milímetros) más el número de centésimas indicado por la división de la escala del tambor que se encuentre en coincidencia con la línea horizontal de la escala fija. Por ejemplo, en la Fig. 1.14(a) se ve la posición del tambor para una separación de los topes de 7,25mm, y en la Fig. 1.14(b) para una medida de 7,84mm; en este último caso el tambor indica 34 centésimas, pero, como en la escala fija hay descubiertos 7, 5mm(7 rayas superiores completas, más una raya inferior), la medida indicada es de 7, , 34 = 7, 84mm. Figura 1.14: Escalas del Micrometro Dada la gran precisión de los micrómetros, una presión excesiva de los topes sobre la pieza que se mide, puede falsear el resultado de la medición, además de ocasionar daño en el micrómetro con la pérdida permanente de la precisión. INSTRUCTIVO DEL ESTUDIANTE

9 PRACTICA 1. MEDICIONES DE LONGITUD Y TEORÍA DE ERROR Para evitar este inconveniente, el tornillo se debe girar por medio del pequeño tambor moldeado (5) en la Fig. 1.13, el cual tiene un dispositivo de escape limitador de la presión. 2. Antes de efectuar cualquier medida, se debe liberar el freno o traba (6 en la Fig. 1.13) y una vez realizada ésta, se debe colocar la traba, para evitar una alteración involuntaria de la medida. El cuerpo del micrómetro está debidamente constituido para evitar las deformaciones por flexión. En los micrómetros de muy buena calidad, el material utilizado en su construcción es acero tratado y estabilizado. Los topes tienen caras de contacto templadas y rigurosamente planas. No obstante todas estas precauciones, la durabilidad y el buen funcionamiento de un micrómetro dependen del trato racional y sensato que reciba Precisión y Exactitud La teoría de error se basa en consideraciones estadísticas y de cálculo (derivadas parciales, derivadas logarítmicas y análisis numérico) para obtener buenas aproximaciones: (a) Cantidades medidas directamente (Mediciones Directas). (b) Cantidades calculadas a partir de valores medidos (Mediciones Indirectas). La medición es un proceso para determinar el valor de una cantidad en términos de una unidad patrón establecida por un sistema de medición. Como resultado de la medición se obtiene lo siguiente: Una unidad en términos de la cual es establecido el resultado (metros, segundos, kilogramos, etc.). Un número que establece el resultado en términos comparativos con la unidad patrón de medición. Una incertidumbre o estimación del rango dentro del cual, probablemente, está el valor verdadero de la medición. El resultado de una medición es un número o valor acompañado de la respectiva unidad de medición. Dicho número obtenido en la medición lo llamaremos el valor de la medida y su índice de confianza comprende dos aspectos: Precision: Este término se refiere a dos aspectos, el primero relacionado con el número de cifras significativas que representan una cantidad. El segundo se relaciona con la extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. LAB. FÍSICA I Y LAB. FÍSICA GENERAL

10 FUNDAMENTOS TEÓRICOS Es la concordancia entre sí del conjunto de medidas realizadas en igualdad de condiciones experimentales con las mismas técnicas e instrumentos, es decir la precisión se refiere a la dispersión de las medidas unas con relación a las otras. Una gran importancia entre ellas indica alta precisión y, una gran separación significa baja precisión. Además la precisión está estrechamente vinculada con la apreciación del instrumento y con los errores aleatorios. En la medida que sea menor la influencia de los errores aleatorios y más sensibles será el instrumento de medición, mayor será la precisión. Exactitud: Se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa. Es la concordancia de las medidas valores observados con el valor verdadero de la magnitud bajo estudio. En la práctica, se toma como valor verdadero un patrón, un valor teórico o el resultado de otra medida realizada con métodos e instrumentos más precisos. La exactitud está estrechamente relacionada con los errores sistemáticos, así la presencia de errores sistemáticos disminuye la exactitud. Ambos conceptos quedan perfectamente ilustrados usando la analogía del buen tirador al blanco. En el Apéndice 1 los agujeros en el centro del tiro al blanco de cada esquema representan las predicciones (diferentes mediciones) y el centro del tiro al blanco representa la verdad. La inexactitud (conocida también como sesgo) se define como un alejamiento sistemático de la verdad. Este ejemplo de un buen tirador, ilustra el concepto de exactitud y precisión. Así se tiene las siguientes situaciones: (a) inexacto e impreciso, (b) exacto e impreciso, (c) inexacto y preciso, (d) exacto y preciso Mediciones directa e indirectas Se puede diferencial dos tipos de mediciones a saber: Mediciones Directas y Mediciones Indirectas. Se dice que una medición es Directa cuando el valor de la magnitud se obtiene comparando directamente la magnitud considerada con su correspondiente unidad patrón o por la indicación de un instrumento calibrado previamente con la unidad patrón correspondiente. Se dice que una magnitud es Indirecta y, se ha considerado por un proceso de medición indirecto cuando su valor se obtiene empleando una ecuación conocida que relaciona a la magnitud considerada con otras magnitudes x 1,..., x 2,..., x n que se pueden medir directamente El error de observación Es el valor de la diferencia entre el valor verdadero y el valor observado de la magnitud a medir. El error de observación no obedece a leyes simples, más bien, es el resultado de la acción INSTRUCTIVO DEL ESTUDIANTE

11 PRACTICA 1. MEDICIONES DE LONGITUD Y TEORÍA DE ERROR. 11 combinada de muchos factores. Los errores se clasifican en cuatro categorías: (a) Errores sistemáticos: Son aquellos que contribuyen a desviar el valor verdadero de la medición en la misma dirección, provienen de una mala calibración del instrumento o aparato de medición, lo que conduce forzosamente a desviaciones que sobreestiman y subestiman la medida realizada. Este error influye en la exactitud de la medida. (b) Errores personales: Los generamos con nuestra inexperiencia, las limitaciones por la capacidad cognoscitiva relacionadas con la observación y destreza y poca familiaridad e interés con el laboratorio, lo que se manifiesta con el uso inapropiado de los aparatos. (c) Errores de escala: Se debe a la precisión o resolución limitada que presenta cualquier aparato de medida por bueno que sea éste. Además, puesto que la resolución de un aparato de medida es limitada, nunca será posible determinar una magnitud con mayor precisión que la que tenga este aparato. (d) Errores accidentales o aleatorios: Son los causados por las fluctuaciones de posibles variables (por ejemplo, cambios de temperatura, presión, humedad, polvo en el ambiente, etc.) que no pueden ser controladas en el experimento. Esto le confiere un carácter imprevisible (ALEATORIO) e inevitable, de manera que se distribuyen al azar y pueden ser tratadas estadísticamente Error absoluto y relativo Una vez que se ha cuantificado el error contenido, éste debe aparecer junto al valor de la magnitud medida experimentalmente, de manera que el resultado completo aporte información sobre el valor y sobre la calidad de su medida. Esto se hace indicando el error absoluto ( ) y/o relativo (ɛ). Error absoluto ( ): Se expresa en las mismas unidades que la medida (x) a la que acompaña, y permite comparar directamente ésta con su imprecisión. Según esto el resultado final se debe expresar como: Magnitud = (x ± x)unidad. El error es la suma de los errores de escala y de los errores accidentales. Error relativo(ɛ): Cuando se lleva a cabo una serie de medidas con distintos aparatos o con el mismo, pero a diferentes escalas, es necesario disponer de algún modo de comparación para la calidad de la medición. En este caso recurrimos al error relativo (ɛ) en forma de fracción o en forma de porcentaje. LAB. FÍSICA I Y LAB. FÍSICA GENERAL

12 FUNDAMENTOS TEÓRICOS ɛ = x x, o ɛ( %) = x x 100 % De la misma manera que el error absoluto es la suma de los errores de escala y de los errores accidentales. ɛ x = ɛ escala + ɛ accidental Estimación de Errores Accidentales Para asegurar la fiabilidad de una medida directa, debemos repetir el mismo experimento un cierto número de veces; siendo el resultado más probable de la medición el valor de la Media Aritmética del conjunto de datos registrados. Supongamos que se han realizado N medidas de de una determinada magnitud x. El valor promedio o media aritmética es el mejor estimador del valor verdadero y su valor se calcula aplicando la siguiente fórmula: N x = i N x i, N x i = x 1 + x 2 + x x n. (1.1) i Este resultado representa el valor más probable de la medida, pero este valor no dice nada acerca del error. El valor del error viene determinado por el cálculo de la desviación típica o desviación estándar S, que es raíz cuadrada positiva de la varianza: N (x i x) 2 i S = N La dispersión reducida de las medias de las muestras se representa con un parámetro muy importante. La desviación estándar del conjunto de valores medios se conoce con el nombre de error estándar de la media. Se ha comprobado estadísticamente que el error estándar de la media se determina por la siguiente expresión: S = (1.2) S N (1.3) Finalmente para estimar el Error Accidental tomando en cuenta el error estándar de la media: x accidental = 2, 77 S (1.4) Donde 2, 77 es el valor obtenido en la tabla de distribución t-student, para un intervalo de confianza del 95 % y un N = 5, por lo cual este será el utilizado el Laboratorio de Física I y Física General. Entonces el resultado numérico definitivo de la medida se puede expresar como: Donde: x = x escala + x accidental INSTRUCTIVO DEL ESTUDIANTE x = (x ± x)

13 PRACTICA 1. MEDICIONES DE LONGITUD Y TEORÍA DE ERROR Propagación del error en las medidas indirectas Cuando usted realiza una medición en el transcurso de un experimento, la mayoría de las veces es para determinar otra cantidad que está relacionada con la medida tomada, a través de una fórmula física - matemática conocida; como puede ser la expresión de una ley física. Esta magnitud física a determinar representa una medición indirecta, ya que es función de otras magnitudes que si se pueden determinar experimentalmente, es decir directamente. El error presente en cada magnitud medida directamente se propaga al cálculo final de la medición indirecta. Hay dos maneras distintas de calcular la propagación del error: (a) Método de Derivadas Parciales: el error de una medición indirecta se puede estimar considerando que los errores de las distintas variables de las que depende son suficientemente pequeños en comparación con sus respectivas variables (x >> x). De este modo si se tiene una función de N variables x i cuyos errores son x i, siempre se puede hacer un desarrollo de TAYLOR despreciando términos superiores al primero, de manera que f(x i + x 1, x 2 + x 2,..., x N + x N ) = f(x 1, x 2,..., x N ) + N f x i x i i Tomando en cuenta que el último término z es z = f(x 1, x 2,..., x N ) + N f x i x i i Visto de otro modo: df(x 1, x 2,..., x N ) = fx 1 dx 1 + fx 2 dx fx N dx N Esta es una función de muchas variables, en donde: fx 1 = f x 1 Es decir la derivada parcial de la función f con relación a la variable x 1, manteniendo fijas las variables x 2, x 3, x N. Pasando los diferenciales df a los f = x, obtenemos un método para calcular el error absoluto cometido sobre x. Entonces el error que se propaga a la magnitud derivada será: z = z = N f x i i x i (1.5) f x 1 x 1 + f x 2 x f x N x N (1.6) Aquí se han añadido los valores absolutos de las derivadas parciales ya que se quiere calcular el valor máximo y no queremos que haya ninguna cancelación entre los errores cometidos, los deltas ( x i ) son por convención positiva. LAB. FÍSICA I Y LAB. FÍSICA GENERAL

14 FUNDAMENTOS TEÓRICOS (b) Método de las Derivadas Logarítmicas: Este método es práctico para calcular, rápidamente, los errores relativos de cantidades determinadas indirectamente; se basa en la propiedad del diferencial del logaritmo neperiano de una función f, ln f: d(ln f) = ( ) df f Si f(x 1, x 2, x 3,..., x N ) = z y queremos calcular el error relativo propagado en z igual a z z, se debe calcular el ln z y escribir entonces, la diferencial de esta función. Es decir que sí por ejemplo: z = x 1 x 2 (x 3 ) 2. El error en z se escribirá: ln z = ln x 1 + ln x 2 2 ln x 3 z z = x 1 x 1 + x 2 x 2 2 x 3 x 3 Como siempre se quiere el error máximo, es necesario tomar el valor absoluto del coeficiente de los distintos x N, así, la expresión anterior será más confiable Ejemplo practico para el tratamiento del error Determinación directa del diámetro e indirecta del volumen de una esfera sólida. INSTRUCTIVO DEL ESTUDIANTE Diámetro (d) en mm (d i d) (d i d) 2 15,67-0,082 0, ,68-0,072 0, ,76 0,008 0, ,85 0,098 0, ,80 0,048 0, Total:78,76 - Total:0,02388

15 PRACTICA 1. MEDICIONES DE LONGITUD Y TEORÍA DE ERROR. 15 Solución: N d i d = i N = d 1 + d 2 + d 3 + d 4 + d 5 N = 15, 67mm + 15, 68mm + 15, 76mm + 15, 80mm 5 = 78, 76mm 5 S = 15, 75mm N (x i x) 2 i = N 0, = 5 = 6, mm S = S N = 3, mm d accidental = 2, 77 S = 2, 77 3, mm = 0, mm 0, 09mm d = d escala + d accidental d = 0, 01mm + 0, 09mm = 0, 10mm d = (d ± d) d = (15, 75 ± 0, 10)mm V = π 6 d3 V = π (15, 75mm)3 6 Ahora se aplica el Método de Derivadas Parciales para determinar la Propagación del Error sobre el Volumen V = 38, 97mm 3 V = V = V d d π 2 (15, 75mm)2 0, 10mm LAB. FÍSICA I Y LAB. FÍSICA GENERAL

16 EXPERIENCIAS La expresión final del Volumen de la Esfera será: V = (V ± V ), es decir: V = (2045, 69 ± 38, 97)mm Experiencias Experiencia 1: Ensayo con Vernier y Tornillo Micrómetro Cada equipo se debe familiarizar con el uso del Vernier y el Tornillo Micrómetro, a través de ensayos dirigidos por el profesor Experiencia 2: Medición de Longitud de los solidos 1. Identificar según la forma del solido presentado por el profesor la ecuación para determinar el volumen total. 2. Una vez identificada la ecuación del volumen del solido, cada equipo debe realizar cinco (5) mediciones con el Tornillo Micrométrico o el Vernier a cada longitud que se requiere para satisfacer la ecuación. 3. Aplique para cada longitud la Teoría de Error y determine para cada una el Error Absoluto según el procedimiento dado en el apartado de los puntos y de esta guía, anotar los resultados en una tabla Experiencia 3: Medición Indirecta del Volumen de los solidos 1. Utilizando las mediciones realizadas en la Experiencia 2, calcular el volumen total para cada solido, de acuerdo a la ecuación que se identifico. 2. Aplicar la Teoría de Error para cada ecuación de volumen y obtener de esta forma el Error Propagado de la medición. Anotar los resultados en una tabla. INSTRUCTIVO DEL ESTUDIANTE