UTILIZACIÓN DE INSTRUMENTOS DE MEDIDA Y TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES

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1 UTILIZACIÓN DE INSTRUMENTOS DE MEDIDA Y TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA: utilizar en forma adecuada los instrumentos de medida empleados en el laboratorio. Adquirir habilidad en la toma y lectura de medidas. Determinar la incertidumbre en la medida. Redondeo de datos experimentales. INSTRUMENTOS DE MEDIDA UTILIZADOS EN EL LABORATORIO Para la medición de dimensiones tales como longitud, diámetro y espesor se usan instrumentos convencionales tales como: el calibrador Vernier, r, El micrómetro, el comparador micrométrico, el comparador de carátula y el extensómetro CALIBRADOR VERNIER (PIE DE REY) El calibrador se usa para la medición de dimensiones interiores, exteriores y profundidades con precisión de 0,1 mm. Está compuesto por las siguientes partes: 1. Mordazas para medidas externas 2. Orejetas para medidas internas 3. Aguja para medida de profundidades 4. Escala principal con divisiones en milímetros y centímetros 5. Escala secundaria con divisiones en pulgadas y fracciones de pulgada 6. Nonio para la lectura de las fracciones de milímetros en que esté dividido 7. Nonio para la lectura de las fracciones de pulgada en que esté dividido 8. Botón de deslizamiento y freno Figura 1. Calibrador Vernier Ejemplo: realizar la siguiente lectura El punto cero de la escala del nonio está localizado entre 7 mm y 8 mm sobre la escala principal. En este caso lea 7 mm. Sobre la escala del nonio, localice la graduación en la línea con la graduación de la escala principal, esta graduación es de "3" por lo tanto se tienen 3 décimas (0,3 mm). La lectura total será entonces la suma de la parte entera más la decimal (7,0 + 0,3 = 7.3 mm) EL MICRÓMETRO (TORNILLO MICROMÉTRICO) El micrómetro se usa para la medición de dimensiones exteriores con precisión de 0,01 mm. El funcionamiento del micrómetro se basa en el avance que experimenta un tornillo montado en una tuerca fija, cuando se lo hace girar. Como se ilustra en la figura 2, dicho desplazamiento es proporcional al giro del tornillo. Por ejemplo, si al tornillo (2) se lo hace girar dentro de la tuerca fija (1), al dar una vuelta completa en el sentido a, avanza en el sentido b una longitud denominada paso de la rosca ; si gira dos vueltas, avanza una longitud igual a dos pasos, y si gira un cincuentavo o una centésima de vuelta, el extremo avanzará un cincuentavo o una centésima de paso.

2 Figura 2. Funcionamiento del micrómetro Figura 3. Micrómetro Una disposición práctica del micrómetro se muestra en la figura 3. Como puede verse está formado por un cuerpo en forma de herradura (7), en uno de cuyos extremos hay un tope o punta de asiento (1); en el otro extremo hay una regla fija cilíndrica graduada en medios milímetros (2), que sostiene la tuerca fija. El tornillo, en uno de sus extremos forma el tope (3) y su cabeza está unida al tambor graduado (4). Al hacer girar el tornillo se rosca o se desenrosca en la tuerca fija y el tambor avanza o retrocede solidario al tope (3). Cuando los topes 1 y 3 están en contacto, la división 0 (cero) del tambor coincide con el cero (0) de la escala; al irse separando los topes se va descubriendo la escala y la distancia entre ellos es igual a la medida descubierta de la escala (milímetros y medios milímetros) más el número de centésimas indicado por la división de la escala del tambor que se encuentre en coincidencia con la línea horizontal de la escala fija. En la figura (a) se ve la posición del tambor para una separación de los topes de 7.25 mm, y en la figura (b) para una medida de 7.84 mm; en este último caso el tambor indica 34 centésimas, pero, como en la escala fija hay descubiertos 7.5 mm (7 rayas superiores completas, más una raya inferior), la medida indicada es de = 7.84 mm. Dada la gran precisión de los micrómetros, una presión excesiva de los topes sobre la pieza que se mide, puede falsear el resultado de la medición, además de ocasionar daño en el micrómetro con la pérdida permanente de la precisión. 1. Para evitar este inconveniente, el tornillo se debe girar por medio del pequeño tambor moldeado (5), el cual tiene un dispositivo de escape limitador de la presión. 2. Antes de efectuar cualquier medida, se debe liberar el freno o traba y una vez realizada ésta, se debe colocar la traba,, para evitar una alteración involuntaria de la medida. El cuerpo del micrómetro está debidamente constituido para evitar las deformaciones por flexión. En los micrómetros de muy buena calidad, el material utilizado en su construcción es acero tratado y estabilizado. Los topes tienen caras de contacto templadas y rigurosamente planas. No obstante todas estas precauciones, la durabilidad y el buen funcionamiento de un micrómetro dependen del trato racional y sensato que reciba. EL COMPARADOR MICROMÉTRICO El comparador micrométrico se usa como instrumento de control de medidas en tareas metrológicas. Su aspecto general se muestra en la figura 4. Como en todos los micrómetros, este posee un tambor dividido 5 con su correspondiente columna de medición 4.. Este elemento nos entrega mediciones con una resolución de centésimas de milímetro. Del lado izquierdo se observa que el eje de apoyo 8 es deslizante, presionado por un resorte 19,, y por medio de un sistema de palancas, engranajes y aguja (20, 17, 16, 15, 14); nos muestra las desviaciones (-/+) de la medida, con respecto a la nominal, en un dial 13 cuya resolución es en milésimas de milímetro.

3 Figura 4. Aspecto general del comparador micrométrico Miremos un poco el interior de un comparador micrométrico: Esquema de funcionamiento de un comparador micrométrico El laboratorio cuenta con un micrómetro comparador marca KS FEINMESSZEUGFABRIK modelo TGL Su rango de medición es de mm y su graduación 1/1000 mm COMPARADOR DE CARÁTULA Permite realizar mediciones de desplazamientos con precisión de 0,01 mm. FUNCIONAMIENTO DEL COMPARADOR Sobre la varilla (3) va tallada una cremallera (7) que engrana con el piñón (8), cuyo eje corresponde a la aguja indicadora de milímetros. Solidario con éste va la rueda dentada (9) que transmite el movimiento a una segunda aguja de la escala centesimal. El muelle en espiral (11), montado sobre una rueda auxiliar que engrana con el piñón (10), tiene como finalidad eliminar los juegos entre dientes de los distintos engranajes. El resorte (12) constituye el muelle de presión, cuya finalidad es asegurar el contacto entre el palpador y la pieza (presión = 100 gramos). La posición de la varilla (3) está asegurada por medio del pasador (5), que se aloja en la ranura (6). Fig. 9 Comparador de carátula

4 Para la medición de las deformaciones en las probetas se usa un instrumento denominado extensómetro, el cual se fija por sus propios medios a las probetas. Este hecho disminuye la distorsión de las mediciones, al excluir las deformaciones causadas en los agarres, inversor, placas de la máquina, etc. Existen muchos tipos de extensómetros: mecánicos, ópticos, electrónicos (basados en varios principios, por ejemplo las galgas extensométricas, LVDT, etc.), incluso láser. Nuestro laboratorio posee un extensómetro de palanca y comparadores MK3, cuyo esquema de trabajo se muestra en la figura 11 El extensómetro está provisto de unas extensiones cortas y otras largas, de manera que la distancia entre cuchillas (l 0 ) es igual a 100 mm. (este parámetro también se denomina base del extensómetro) y 120 mm respectivamente. Para excluir la influencia de las posibles excentricidades de las cargas y otros fenómenos, el extensómetro consta de dos relojes comparadores. La deformación entre las dos secciones de apoyo de las cuchillas será la media de las lecturas de los dos relojes. Datos técnicos del extensómetro MK3 EL EXTENSÓMETRO Rango: mm, graduación 1/100 mm Longitud de medición, ajustable: mm Dispositivo de cierre de las probetas de espesor o diámetro: mm Dimensiones. Largo, profundidad, altura: 120 X 50 X 150 mm Masa: 0,3 kg. Neto 0,6 kg. Bruto Fabricante: INGENIEUR BERNHARD HOLLE FEINMECHANISCHE WERKSTÄTTEN, Magdeburg, Alemania Figura 11. Extensómetro

5 DETERMINACIÓN DEL ERROR EN LOS ENSAYOS MECÁNICOS (Determinación de la incertidumbre tipo A) Ningún experimento en el que se mide una cierta magnitud es absolutamente preciso, es decir, el resultado de la medida no coincide exactamente con el valor real de la magnitud. Si queremos utilizar el experimento para comprobar una teoría (o también para caracterizar un producto que va a ser comercializado) es necesario estimar la desviación del valor medido con respecto al valor real. La teoría de errores estudia cómo estimar esta desviación. Error e incertidumbre En un procedimiento experimental que nos proporciona el valor de una magnitud X, el resultado no coincide exactamente con el valor real de dicha magnitud. La diferencia entre el valor real y el valor medido se llama error de la medida: ζ = X med X real El error es siempre desconocido, pero puede estimarse una cota superior para su valor absoluto. Esta cota se denomina incertidumbre de la medida y se denota por X. De la definición de error y de incertidumbre deducimos que el valor real de la medida se encuentra en el intervalo: [ ] Xreal Xmed X, Xmed + X X med se encuentra en el punto medio del intervalo. Por ello, el resultado de una medida se escribe siempre en la forma: X = X med ± X De acuerdo a sus causas los errores de medición se dividen: 1. Errores sistemáticos o instrumentales, causados por defectos de los instrumentos de medida, imprecisiones en la graduación de las escalas, imprecisiones en las presiones o fuerzas de medición, deformaciones, etc. Se logra disminuir los errores sistemáticos siendo cuidadosos al montar y ejecutar una experiencia, o al identificar su naturaleza y corregirla. Estos errores pueden ser minimizados, o de manera lo suficientemente precisa tenidos en cuenta por medio de la llamada Incertidumbre tipo B. 2. Errores casuales o aleatorios, los cuales dependen de la sensibilidad de los instrumentos de medición, cambio de las condiciones (ambientales) externas (temperatura, humedad, presión, etc.). Estos errores son imposibles de eliminar y para disminuir su influjo se repite muchas veces la medición, de manera que puedan ser tenidos en cuenta determinando su ley de distribución, y mediante el tratamiento estadístico determinar la llamada Incertidumbre tipo A. 3. Errores bastos o descuidos, como su nombre lo dice se deben a errores evidentes en el proceso de medición (lectura incorrecta de la escala, mal funcionamiento, variaciones en las corrientes de alimentación), estos errores deben ser identificados y los datos correspondientes desechados. Se puede decir que en un ensayo correctamente planteado y ejecutado, los errores bastos no deben presentarse. Más adelante se mostrará un método para la exclusión de dichos errores. Los errores sistemáticos pueden ser cuantificados por medio del cálculo de la incertidumbre tipo B, en nuestro caso no se tendrán en cuenta debido a su pequeño valor. Por eso en este documento nos referiremos a la cuantificación de los errores aleatorios, por medio del tratamiento estadístico de los datos (determinación de la incertidumbre tipo A). La tarea del tratamiento de los resultados de un ensayo se resume a la cuantificación del valor medio y del error aleatorio de la magnitud medida. Esta tarea es estándar para el tratamiento de datos de cualquier ensayo mecánico. Supongamos que para la determinación de una magnitud N se realizaron n ensayos independientes y se obtuvo una serie limitada de valores,,,. El conjunto de la serie limitada

6 de n valores se llama muestra estadística del conjunto general de los valores de la magnitud N. Por lo general en los ensayos mecánicos el volumen de la muestra oscila entre 3 y mediciones. Debido A que los errores aleatorios comúnmente obedecen a la ley de distribución normal, entonces el valor más probable de la magnitud medida será la media aritmética de los valores de las mediciones obtenidos =, =,,. La dispersión y desviación media cuadrática caracterizan (muestran) cómo se reparten los datos alrededor de la media de posición (en este caso la media aritmética), los cuales para una muestra limitada en volumen se determina por las siguientes fórmulas =, = Donde = es la desviación de cada uno de los datos con respecto al valor medio. Cuanto mayor sea S 2 y S, más dispersos están los valores de las mediciones. Como característica para la comparación sirve el valor relativo de la desviación media cuadrática, llamada varianza = %. La media aritmética por sí misma también es una magnitud aleatoria, que obedece a la ley de distribución normal, según la Teoría de Probabilidades la media coincide con el valor real de la magnitud medida sólo cuando se tiene un conjunto de datos de cantidad infinita. Es por eso que se debe indicar el intervalo de confianza. La magnitud del intervalo de confianza está determinada por la media aritmética, por la desviación media cuadrática S y una constante de cobertura que puede calcularse mediante el criterio t- Student (seudónimo del matemático y químico inglés Sealey Gosste), el cual depende del nivel de la probabilidad de confianza escogido P (nivel de confianza) y el número de grados de libertad = : Donde: N es el valor verdadero del a magnitud investigada; < < +, es el valor del error medio absoluto de la media aritmética de la medición, también conocido como incertidumbre tipo A (expandida). El valor confiable de una magnitud medida se expresa mediante el intervalo de confianza = ± El valor de t está tabulado para distintos niveles de confianza y grados de libertad = (tabla 1). En la práctica de los ensayos mecánicos, cuando el volumen de la muestra no supera < 20, por lo general el nivel de confianza se toma igual a 0,8; 0,9; 0,95; 0,98; 0,99. En los ensayos mecánicos y otras mediciones se usa por lo común un nivel de confianza =,. Cuando se realiza una sola medición o el instrumento de medida muestra repetidamente el mismo valor, la magnitud del error absoluto del resultado de la medición se evalúa mediante el error relativo indicado del instrumento de medición el cual está determinado por su clase de exactitud. La clase de exactitud de un instrumento de medida señala la magnitud del error relativo permitido para él: = % Donde: es el error absoluto, igual a la diferencia de indicaciones entre el instrumento de trabajo y el instrumento patrón. es el límite del rango de medición del instrumento de trabajo. Por ejemplo, si la clase de exactitud del instrumento se conoce (según su característica o calibración) y es =, y la escala del instrumento llega a =, entonces el error absoluto del instrumento será: = =, =,.

7 TABLA 1. t Student Nivel de confianza (P) k Cuando la clase de exactitud del instrumento no se indica o no se sabe, se puede tomar, como magnitud del error absoluto la mitad del valor de la división de escala menor. Si la diferencia entre dos mediciones seguidas de un mismo fenómeno no supera el error del instrumento, el resultado se toma como definitivo. Se recomienda seguir el siguiente orden para el tratamiento de los datos de las mediciones: 1. Se calcula la media aritmética; 2. Se calcula la desviación media cuadrática de la magnitud medida; 3. Se revisa que no haya mediciones sospechosas, las mediciones que resulten ser errores bastos, deben ser desechadas; 4. Se determina el intervalo de confianza de la media aritmética para el nivel de confianza dado. ELIMINACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES DUDOSOS Cuando se realiza una medición repetida de una magnitud física algunas de las mediciones pueden diferenciarse significativamente de las otras. Estos datos deben ser examinados con minuciosidad para tomar la decisión de tomarlos o desecharlos. Si la dispersión de los datos obedece a la distribución normal de probabilidad de un error de magnitud absoluta que supere 3S, es de sólo el 0,003; es decir, este tipo de datos experimentales se encuentran en tres de mediciones de cada mil. Basándose en esto, cuando se tiene una muestra de volumen pequeño, se usa la regla de los tres sigmas, el número =, (donde S es desviación media cuadrática) se llama error máximo posible. Se considera que si el dato dudoso se desvía de la media aritmética, determinada para el resto de los datos, en más de,, entonces esta medición se debe o repetir, o desechar, ya que es un error basto. Donde: es la medición dudosa y S son la media aritmética y la desviación media cuadrática de los demás datos. En calidad de una condición más rigurosa se puede usar el método de cálculo de la desviación relativa máxima:

8 , donde t es el valor tomado por la tabla 2. El valor de t depende de H, denominado nivel de importancia y del número n de datos. El nivel de importancia en la práctica común se toma desde 0,05 hasta 0,01. Para mediciones exactas se debe tomar un valor H no mayor a 0,01 (uno por ciento). Tabla 2. Valores de t para distinto número de mediciones H n 0,05 0,02 0,01 0, ,561 38,973 77, , ,969 8,042 11,460 36, ,558 5,077 6,530 14, ,041 4,105 5,043 9, ,777 3,635 4,355 7, ,616 3,360 3,963 6, ,508 3,180 3,711 5, ,431 3,053 3,536 5, ,372 2,959 3,409 5, ,327 2,887 3,310 4, ,291 2,829 3,233 4, ,261 2,782 3,170 4, ,236 2,743 3,118 4, ,215 2,710 3,075 4, ,197 2,683 3,038 4, ,181 2,658 3,006 4, ,168 2,637 2,997 4, ,156 2,618 2,953 4, ,145 2,602 2,932 3,979 CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y REDONDEO Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen significado real o aportan alguna información. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su incertidumbre. Son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o lugar de la incertidumbre o error. Por ejemplo, consideremos una medida de longitud que arroja un valor de 5432,4764 m con un error de 0,8 m. El error es por tanto del orden de décimas de metro. Es evidente que todas las cifras del número que ocupan una posición menor que las décimas no aportan ninguna información. En efecto, qué sentido tiene dar el número con exactitud de diez milésimas si afirmamos que el error es de casi 1 metro?. Las cifras significativas en el número serán por tanto las que ocupan la posición de las décimas, unidades, decenas, etc, pero no las centésimas, milésimas y diez milésimas. Cuando se expresa un número debe evitarse siempre la utilización de cifras no significativas, puesto que puede suponer una fuente de confusión. Los números deben redondearse de forma que contengan sólo cifras significativas. Se llama redondeo al proceso de eliminación de cifras no significativas de un número. Las reglas básicas que se emplean en el redondeo de números son las siguientes: Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin más: por ejemplo llevar a tres cifras el siguiente numero: 3,673 el cual quedaría 3,67 que es más próximo al original que 3,68. Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la última cifra retenida: Si redondeamos 3,678 a tres cifras significativas, el resultado es 3,68, que está más cerca del original que 3,67. Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra el número par más próximo; es decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior: Para redondear 3,675, según esta regla, debemos dejar 3,68.

9 Las dos primeras reglas son de sentido común. La tercera es un convenio razonable porque, si se sigue siempre, la mitad de las veces redondeamos por defecto y la mitad por exceso. Cuando los números a redondear sean grandes, las cifras eliminadas se sustituyen por ceros. Por ejemplo, el número 3875 redondeado a una cifra significativa resulta En este caso suele preferirse la notación exponencial, puesto que si escribimos 4000 puede no estar claro si los ceros son cifras significativas o no. En efecto, al escribir queda claro que sólo la cifra 4 es significativa, puesto que si los ceros también lo fueran escribiríamos 4, Reglas básicas de operaciones con cifras significativas Regla 1: Las medidas que se tomen sobre datos experimentales se expresan con sólo las cifras que entreguen la lectura los instrumentos, sin quitar ni agregar cifras dudosas, e indicando en los resultados con la incertidumbre en la medida de ser necesario. Regla 2: Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del primer dígito diferente de cero y hasta el último dígito estimado en el caso de instrumentos analógicos o leídos en el caso de los digitales. Regla 3: Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras decimales del resultado es igual al de la cantidad con el menor número de ellas. Un caso de especial interés es el de la resta. Citemos el siguiente ejemplo: 30, ,3472 = 0,0003 Observemos que cada una de las cantidades tiene seis cifras significativas y el resultado posee tan solo una. Al restar se han perdido cifras significativas. Esto es importante tenerlo en cuenta cuando se trabaja con calculadoras o computadores en donde haya cifras que se sumen y se resten. Es conveniente realizar primero las sumas y luego las restas para perder el menor número de cifras significativas posible. Regla 4: Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras. Ejemplos de Cifras Significativas y Redondeo 1. Cualquier dígito diferente de cero es significativo. 1234,56; 6 cifras significativas 2. Ceros entre dígitos distintos de cero son significativos. 1002,5; 5 cifras significativas 3. Ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero no son significativos ; 3 cifras significativas 0,0056; 2 cifras significativas 4. Si el número es mayor que (1), todos los ceros a la derecha del punto decimal son significativos. 457,12; 5 cifras significativas. 400,00; 5 cifras significativas 5. Si el número es menor que uno, entonces únicamente los ceros que están al final del número y entre los dígitos distintos de cero son significativos. 0,01020; 4 cifras significativas 6. Para los números que contengan puntos decimales, los ceros que se arrastran pueden o no pueden ser significativos. En este curso suponemos que los dígitos son significativos a menos que se diga lo contrario tiene 1, 2, 3, o 4 cifras significativas. Supondremos 4 en nuestros cálculos 0,0010; 2 cifras significativas. 1,000; 4 cifras significativas 7. Supondremos que cantidades definidas o contadas tienen un número ilimitado de cifras significativas. Es mucho más fácil contar y encontrar las cifras significativas si el número está escrito en notación significativa. Cifras Significativas y Redondeo en los cálculos Las reglas para definir el número de cifras significativas para multiplicación y división son diferentes que para suma y resta. Suma y Sustracción: El número de cifras significativas a la derecha del punto decimal en la suma o la diferencia es determinado por el número con menos cifras significativas a la derecha del punto decimal de cualquiera de los números originales. Esto quiere decir que en sumas y restas el último dígito que se conserva deberá corresponder a la primera incertidumbre en el lugar decimal. 6,2456+6,2 =12,4456, redondeado: 12,4, esto es 3 cifras significativas en la respuesta. Veamos otro ejemplo en la siguiente suma: 320,04+80,2+20,020+20,0=440,260 = 440,2

10 Multiplicación y División: El número de cifras significativas en el producto final o en el cociente es determinado por el número original, que tenga las cifras significativas de menor rango. Esto quiere decir que para multiplicación y división el número de cifras significativas en el resultado final será igual al número de cifras significativas de la medición menos exacta. 2,51 x 2,30 = 5,773, redondeado es 5,77 2,4 x 0, = 0, , redondeado es 0,0016 PROCEDIMIENTO Cada grupo tendrá a su disposición instrumentos de medida con los cuales realizará mediciones a diferentes piezas. Para cada uno de los instrumentos de medida observar cual es la apreciación (sensibilidad) y consignar este dato. REALIZACIÓN DEL ENSAYO El alumno dispone en el puesto de laboratorio del siguiente material: Comparador de carátula Tornillo micrométrico Calibrador Pie de Rey Piezas de forma variada para la toma de datos Consignar la apreciación de los aparatos que se van a utilizar. Para cada una de las piezas realizar una sola medida de las dimensiones que se indican y expresar el resultado correctamente con las cifras necesarias y la cota de error que corresponda. Repetir las medidas, ahora tomando varias muestras de la misma dimensión, guardar los datos y realizar análisis estadístico de ellos. TRATAMIENTO E INTERPRETACIÓN DE LOS DATOS 1. Para las medidas que sólo permitan la toma de un dato, expresar su valor teniendo en cuenta la sensibilidad del instrumento 2. Para las medidas que permitan la toma de varios datos de la misma dimensión, elaborar una tabla donde se indique la media, la desviación media cuadrática, la varianza y el resultado correcto de la dimensión. INFORME De manera particular, el informe sobre el ensayo UTILIZACIÓN DE INSTRUMENTOS DE MEDIDA Y TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES, debe contener. 1. Objetivo. 2. Consideraciones teóricas generales: definiciones, etc. 3. Probetas. 4. Instrumentos de Medida. 5. Tablas de datos. 6. Cuantificación de los errores. 7. Conclusiones. 8. Bibliografía