Mecánica. Cecilia Pardo Sanjurjo. Tema 11. Dinámica de percusiones. Choques. DPTO. DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL Y MECÁNICA

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1 Mecánica Tema 11. Dinámica de percusiones. Choques. Cecilia ardo Sanjurjo DTO. DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL Y MECÁNICA Este tema se publica bajo Licencia: CreaJve Commons BY NC SA 3.0

2 Dinámica de percusiones. Choques En algunas situaciones, como en los choques, se ejercen uerzas muy intensas entre los sólidos durante un tiempo muy corto. Su eecto es un cambio súbito en la velocidad de los cuerpos, así como deormaciones (permanentes o no) y pérdida de energía en orma de calor o sonido.

3 A estas uerzas muy intensas ( F = ) que actúan en tiempos muy cortos se les llama uerzas impulsivas o percusionales ( Δt 0) En estos casos conviene utilizar el impulso de estas uerzas por ser una cantidad inita FΔt = 0 = inito En cambio una uerza inita (o un par de uerzas inito) da un impulso cero, ya que F Δt = inito 0 = 0 Se llama percusión al impulso producido por una de estas uerzas integrada al tiempo de actuación: = F dt FΔt unidades SI: N s Δt

4 Características: a = F m = aceleraciones muy altas Δv = a Δt = 0 = inito Cambio inito y súbito de velocidades Δs = v Δt = inito 0 = 0 osiciones congeladas Cualquier situación en que se produzca un cambio brusco en las velocidades sin modiicarse la posición se puede tratar como una percusión.

5 Dos situaciones de ese tipo: Choques! antes =0! despu s y x v despu s n n v antes N N Aparición de nuevos enlaces En la posición en que se tensa la cuerda se produce un cambio brusco de velocidades (percusión de tensión) T v antes v despu s

6 Ecuaciones de dinámica de percusiones: 2ª Ley de Newton aplicada a percusiones: FΔt = Δp F i + F i Δt = ( ) F i Δt + F i Δt = i i ara un sólido rígido o un sistema de puntos: = Δ p p = m v G i = m v inal inicial ( G v G ) x = m v Gx y = m v Gy ( i v Gx ) ( i v Gy ) La suma de las percusiones es igual al cambio de la cantidad de movimiento que se produce en la misma posición inmediatamente antes (inicial) e inmediatamente después (inal) de la percusión.

7 Teorema del momento angular aplicado a percusiones: M A Δt = ΔL A Ai F i + F i Δt = Ai F i Δt = Ai i ( ) = M A M A = Δ L A ara un sólido rígido: L A = I A ω M A = I A ( ω inal ω inicial ) con A un punto ijo del sólido o su c.d.g. El momento de las percusiones respecto a un punto A es el cambio de momento angular que se produce entre el instante de entrada (inicial) y salida (inal) de la percusión

8 Cómo se hace un esquema de percusiones? Las percusiones no son uerzas (N), son impulsos (N s), pero provienen de uerzas que instantáneamente se hacen muy altas, así que siguen las mismas reglas, en particular la ley de acción reacción. Las uerzas initas no dan percusión (pesos, cargas o pares initos), se eliminan en los esquemas Las uerzas que dependen exclusivamente de la posición tampoco dan origen a una percusión, ya que al estar la posición congelada esas uerzas se mantienen invariables y initas (por ejemplo las uerzas elásticas de los muelles) Las uerzas en los enlaces se pueden hacer muy altas, dando origen a percusiones de reacción. Las relaciones que hay entre ellas son las mismas que entre las uerzas de que provienen. or ejemplo en una articulación a un punto ijo habrá x y y ; si en un contacto hay percusión normal y de rozamiento N 0 r µ e N

9 Fuerzas normales b 100 N m Esquema de uerzas T b 100 N m h F m =k(l-l o ) h k, l o F r mg l N x ercusión : Esquema de percusiones b 100 N m b T k, l o h h r l x N

10 Se aisla cada sólido y se hace el esquema de las percusiones que actúan sobre él. Se plantean las ecs de dinámica de percusiones sobre cada uno Se completan con relaciones entre velocidades: como en las ecs iguran velocidades inmediatamente antes e inmediatamente después de la percusión, es posible que haga alta considerar el movimiento del sólido previo a la percusión y posterior a la misma que puede ser radicalmente distinto. En caso de que hubiera varias posibilidades de movimiento, se ormula una hipótesis que, supone relaciones entre velocidades y/o entre percusiones. Se resuelve y se comprueba si dicha hipótesis es acertada.

11 Ejemplo 1 m G 1 m (a) La barra de la igura se deja caer desde el reposo. Cuando ha caído 2.5 m el hilo AB se tensa. Hallar la velocidad angular de la barra inmediatamente después de tensarse el hilo. A m B 2.5 m (b) Conservación de la energía mecánica durante la caída de la barra entre (a) y (b): ( E cin + E pot ) = E a ( cin + E pot ) 0 = 1 b 2 mv G I G ω2 mg2.5 v G = 2g2.5 = 7 m / s Velocidad de G inmediatamente antes de tensarse el hilo

12 Esquema de percusiones T 45 B G y x Ecuaciones de la dinámica de percusiones: antes: v G i x y M G = I G = 7 j ω i = 0 ; después: v G = m vgx v i ( Gx ) T 12 = 3 ( v Gx 0 ) = m vgy v i ( Gy ) T 12 = 3 ( v Gy + 7 ) ( ω ω i 1 ) T = v Gx,v Gy 2 1 = ( ) ω = ω ( ω 0) Ecs percusiones (3 ecs, 4 incóg.)

13 Relaciones entre velocidades inales: A! h Campo de velocidades en hilo: v B = v A + ω h AB = ωh 2.5 i ω h 2.5 j (los hilos tensos son como barras ) m v B =AB! h 45 B 1 m G (v Gx, v Gy )! Campo de velocidades en la barra: v G = v B + ω BG v Gx = ω h 2.5 v Gy = ω h ω ( +2ecs, +1 incóg ) Sustituyendo en las ecuaciones de las percusiones y resolviendo: ω = 4.2 rad / s ω h =0.56 v G = 1.4 i 5.6 j T = N s > 0

14 Choques Suelen tener lugar en intervalos cortos de tiempo, durante el cual las uerzas (normales) que se ejercen entre los cuerpos son muy intensas produciéndose en consecuencia un cambio brusco en velocidades en uno o en ambos cuerpos (percusión). También se producen deormaciones permanentes o no. Línea de impacto o choque : dirección de la normal en el contacto G plano tangente t G l nea de impacto n G G l nea de impacto Choque central: ambos c.d.m. en la línea de impacto Choque excéntrico: alguno de los c.d.m. está uera de la línea de impacto Consideraremos que la percusión del choque es siempre en la dirección de la línea de impacto ( a veces se menciona que es liso)

15 Centros de masa en la línea de impacto: Choque central plano tangente t G G l nea de impacto n plano tangente t Velocidades de ambos cdm contenidas en la línea de impacto: Choque central directo v 1 G G 1 2 v 2 l nea de impacto n Alguna de las velocidades no dirigida según la línea de impacto: Choque central oblicuo v 1 plano tangente t G G 1 2 l nea de impacto n v 2

16 Choque central directo Dos puntos materiales tienen velocidades iniciales a lo largo de la línea de impacto, de orma que se produce un choque durante un intervalo de tiempo a! v Ai v Bi v A v B Supongamos que en el impacto sólo se producen uerzas impulsivas normales en el contacto entre los puntos Considerando el sistema ormado por A y B, la cantidad de movimiento del conjunto inmediatamente antes e inmediatamente después del choque se conserva: m A v Ai + m B v Bi = m A v A + m B v B

17 Fase de deormación o aproximación: desde t i hasta t m en que dejan de aproximarse (deormación máxima) (v A =v B =v m ) v Ai v Bi va =v B =v m v A v B de de t=t i t=t m Teorema del impulso aplicado a A Fase de restitución: desde t m hasta t t m t i F de - de dt = m A v m m A v Ai v A =v B =v m v A v B v A v B res res t=t m t=t t t m F res dt = m A v A m A v m Cociente entre el impulso de restitución y el de deormación: e = t t m F res t m t i F de dt dt = v A v m v m v Ai

18 Idem con B: e = t t m F res t m t i F de dt dt = v B v m v m v Bi Eliminando v m : e = v B v A v Bi v Ai Coeiciente de restitución Este coeiciente es positivo y adimensional, y su valor está entre 0 y 1 e = 0 choque plástico, A y B se mueven juntos 0 e 1 0 < e < 1 choque inelástico e = 1 choque elástico, recuperación completa,no hay deormación

19 Si el choque es elástico: e = 1 v B + v A = v Bi v Ai v A + v Ai = v B + v Bi [ 1] De la conservación de la cantidad de movimiento m A v Ai + m B v Bi = m A v A + m B v B m A ( v Ai v A ) = m B ( v B v Bi ) [ 2] Multiplicando miembro a miembro las ecs 1 y 2: m A ( v 2 Ai v2 A ) = m B ( v 2 B v2 Bi ) Dividiendo todo por 2 y reordenando: 1 2 m A v2 Ai m B v2 Bi = 1 2 m A v2 A m B v2 B En un choque elástico ( y sólo en ese caso) se conserva la energía cinética del sistema

20 v A Choque central oblicuo A t Aplicamos las leyes de las percusiones según las direcciones normal y tangente para cada cuerpo = mδ v G Diagrama de percusiones en cada cuerpo: v Ai B v Bi v B n l nea de impacto v A t A t v B v Ai B n n v Bi n) = m A v An t) 0 = m A v At i ( v An ) i ( v At ) v At i = v At n) = m B v Bn t) 0 = m B v Bt ( i + v Bn ) i ( v Bt ) v Bt i = v Bt

21 La cantidad de movimiento del conjunto se conserva: m i Av A + m B vb i = m A va + m B vb i n) m A v An i m B v Bn = m A v An + m B v Bn i t) m A v At i + m B v Bt = m A v At + m B v Bt Estas ecuaciones se deducen también de sumar las de cada cuerpo. Ya sabemos que las componentes en la dirección tangente se conservan, pero aún así hace alta una ecuación más para poder determinar las velocidades inales sabiendo las iniciales. Repitiendo la deducción del coeiciente de restitución en este caso se obtiene: e = v ( Bn v An ) v i i ( Bn v An ) = v ( v B A )in v i i ( v B A )in En la expresión del coeiciente de restitución sólo intervienen las conmponentes normales de las velocidades de los puntos que chocan

22 Rebote pelota: choque con cuerpo muy masivo m v 1 v 1n n v2n v 1t v 2t m suelo muy grande t m suelo muy grande v s =0 t = m ( v 2t v 1t ) v 1t = v 2t ( t = 0) e = v sn v 2n v i sn + v 1n = v 2n v 1n v 2n = e v 1n (siempre opuestas en sentido)

23 Choque entre sólidos Esquema de percusiones sobre cada sólido, teniendo en cuenta que el contacto se produce en los puntos R y Q El movimiento de cada sólido está caracterizado mediante mediante la velocidad de su cdm (G y H) y la velocidad angular inmediatamente antes e inmediatamente después del choque G! 1 i v G i R Q v H i n t H! 2 i G R Ax Ay n Q n H r N

24 Esquema de percusiones de cada sólido: percusión en el punto de impacto según la línea de impacto ( normal) G R Ax Ay n Q n H r Ecuaciones de las percusiones para cada sólido (3 ecs en el plano/sólido) N x y = mδv Gx = mδv Gy M A = I A Δω (A= pto ijo o G) Coeiciente de restitución: e = v ( v R Q )in v i i ( v R Q )in (1 ec)

25 La energía no se conserva salvo si e=1 (choque elástico), en cuyo caso se puede plantear la conservación de la energía en lugar de la deinición de e. Si e=0 el choque es perectamente plástico y las componentes normales de las velocidades inales de los puntos del contacto son iguales Suele ser necesario relacionar velocidades y velocidades angulares mediante campo de velocidades y a veces hacer alguna hipótesis del movimiento inal.

26 Ejemplo: A 3 m Datos: Martillo : llega al choque con ω 1 = 2rad / s I A = 12 kg m 2 Contacto bloque suelo: µ=0.5 Choque plástico 2 m m=3 3 kg 2 m Se pide la velocidad angular inal de los dos sólidos, suponiendo que el bloque inicie un vuelco sin deslizamiento.

27 y A 2 rad/s 3 m x Martillo: A = punto ijo; 2 rad / s ω 2 M A = I A ( ω ω i ) 3 = 12( ω 2 2) [ 1] B C 2 m G reposo inicial 2 m Bloque: I G = ( ) = 2 kg m 2 x N r reposo v G = ( v Gx,v Gy ) ω = ω x y M G = I G ( ) r + = 3( v Gx 0) [ 2] ( ) N = 3( v Gy 0) [ 3] ( ω ω i ) 1 r 1+ N x = 2 ω 0 = m vgx i v Gx = m vgy v i Gy ( ) [ 4] r 0.5 N N 0 > 0 1 x 1 Hipótesis vuelco: x=1

28 Cinemática A! 1 =2 rad/s A! 2 v C En martillo 3 3 C v G G E v E =0 En el bloque: B vi B = 6 m/s Hipótesis de vuelco sin deslizamiento en E: v E = 0 v G = v E + ω EG v Gx = v Gy = 1 ω B v B =! 2 3 A Análogamente para C: v Cx = v Cy = 2 ω B C m=3 kg n=i Choque plástico: e=0 e = v Bx ( v Cx ) v i i Bx v Cx ( ) = 0 v Bx = v Cx 3 ω 2 = 2ω

29 Las relaciones subrayadas se sustituyen en las ecs numeradas. Resolviendo: ω = 1.2 rad / s ω 2 = 0.8 rad / s ( ) = 4.8 N s > 0 N = 3.6 N s > 0 r = 1.2 N s r = 1.2 < 0.5 N = 1.8

30 ráctica 4 del Laboratorio Entrada al choque Salida del choque w 1 w 2 v G Ay Bloque : Ax x = mδv Gx ) r = m v G 0 y = mδv Gy ) N = 0 r µ e N r = 0 ( ) = mv G r Martillo: A punto ijo M A = I A Δω) L=I A ( ω 2 ω 1 ) N

31 Ay Ay Ax A Ax El momento angular respecto a A del conjunto se conserva en ese choque La cantidad de movimiento del conjunto no se conserva porque hay percusiones de reacción en A ( Ax es distinta de 0) T1 T2 Las velocidades antes y después son todas horizontales: T1 =0 T2 =0 Se conserva la cantidad de movimiento del conjunto en el choque