3. Consideremos el puzzle-8 descrito en clase y sea el estado objetivo, como de costumbre,

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1 E.T.S.I. INFORMÁTICA 4º CURSO. INTELIGENCIA ARTIFICIAL. UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Dpto. Lenguajes y Ciencias de la Computación RELACIÓN DE PROLEMAS. ÚSQUEDAS CON ÁROL.. Un móvil puede situarse en los nodos de una malla rectangular como la de la figura. La posición inicial del móvil es la indicada con I y se desea que se sitúe en la indicada con F. Los tramos de la malla señalados con trazo grueso son inaccesibles. a) Hallar una función heurística h que guíe la búsqueda del camino más corto de I a F y satisfaga las condiciones A*. b) comprobar si la h así definida satisface la restricción monótona. c) aplicar el algoritmo A* al problema, indicando en cada paso el estado expandido, el árbol de búsqueda generado y los valores de h y g en cada estado generado. m. F I 0,7 m 2. Sea un árbol binario infinito. El coste de todos los arcos es la unidad. Hay un sólo nodo objetivo situado a profundidad 5. Denotamos con d(n) la profundidad del nodo n. Consideramos la función h(n) = 5 -d(n) si n es antepasado del nodo objetivo 3 ( -d(n)/0) en otro caso a) estudiar si h(n) es una función heurística admisible. b) Cuántos nodos expandirá el algoritmo A con esta función heurística para hallar el camino desde la raíz hasta el objetivo? c) hallar el factor de ramificación efectiva del árbol de búsqueda generado. 3. Consideremos el puzzle-8 descrito en clase y sea el estado objetivo, como de costumbre, y consideremos como estado inicial, Sean las siguientes funciones heurísticas h, h2: h(n)= número de piezas descolocadas en n h2(n)= suma de distancias existentes entre la posición de cada pieza en n y su posición en el estado objetivo. Se toma como distancia entre dos posiciones de una pieza la suma de filas y columnas que distan. P. ej., entre la posición inicial del 8 y la final hay una distancia de +=2. a) estudiar si h y h2 son admisibles. b) estudiar si satisfacen la restricción monótona. c) estuadiar si alguno de ellos está más informado que el otro. d) aplicar el algoritmo A* con el heurístico h. e) id. con h2. Problemas de Inteligencia Art. e Ing. Conoc. 200/2002 Dpto. Lenguajes y Ciencias de la Computación

2 4. Aplicar el algoritmo A* para hallar un camino que una las ciudades J y F. Las distancias por carretera entre las ciudades de la región vienen dadas en la tabla siguiente: A C D E F G H I J K A C 29 D E F G H I 40 J K y las distancias aéreas a la ciudad F son: A C D E F G H I J K F Estudiar si el camino hallado es óptimo. 5. Un robot (vd. la figura) está formado por un pivote cilíndrico P fijo al suelo y un brazo horizontal solidario al pivote y perpendicular a su eje. El pivote P puede girar libremente alrededor de su eje en ambos sentidos, y el brazo es telescópico, es decir, se puede alargar o acortar desde una longitud mínima de 0 a una máxima de 3 cm. La rotación del pivote se realiza por saltos de 5o. Cada salto consume 2,7 unidades de combustible. El acortamiento o alargamiento del brazo se realiza por saltos de cm. Cada salto consume,5 unidades de combustible. El brazo no puede pasar por las zonas señaladas en negro. Las posiciones inicial y final son las indicadas en la figura. En ambas el robot tiene el brazo completamente extendido. Se desea que el robot pase a la posición final a) Hallar una función de estimación heurística del coste mínimo de pasar de una posición a otra. b) Aplicando el algoritmo A*, hallar una sucesión de giros y movimientos que lleven de la posición inicial a la final, así como el coste mínimo de esta maniobra. brazo pivote P obstáculo posición final suelo P posición inicial Problemas de Inteligencia Art. e Ing. Conoc. 200/ Dpto. Lenguajes y Ciencias de la Computación

3 6. Considérese el siguiente problema de asignación. Las recientes lluvias han provocado daños en la infraestructura de un municipio y deben ser reparados con urgencia. Concretamente hay N obras por realizar y se ha pedido presupuesto a N empresas constructoras para cada una de las obras. El coste de encargar cada obra a cada empresa viene dado por una tabla como la siguiente: Obra Obra 2... Obra N Empresa c c 2... c N Empresa 2 c 2 c c 2N Empresa N c N c N2... c NN donde c ij es el coste de asignar a la empresa i la obra j. El ayuntamiento ha decidido asignar una sola obra por empresa. El problema consiste en decidir qué obra se asignará a cada empresa de modo que se minimice el coste total. a) Formalizar detalladamente el problema para resolverlo empleando el algoritmo A*. b) Hallar una función heurística sencilla para el problema que satisfaga las condiciones de A* (no se admite n h(n) = 0). b.) Enunciar la restricción monótona y comprobar si la cumple el heurístico propuesto. b.2) Demostrar que el heurístico propuesto es admisible. b.3) Enunciar en qué casos un heurístico está más informado que otro, y comprobar para qué casos el heurístico propuesto está más informado que n h(n) = 0. c) Resolver el problema correspondiente a los datos de la siguiente tabla empleando el algoritmo A* y el heurístico propuesto en el apartado (b). Mostrar para cada iteración el nodo seleccionado para expansión, y para cada nodo sus valores de g(n), h(n) y f(n). Mostrar también el grafo de búsqueda generado finalmente por A*, la solución encontrada y su coste. O O2 O3 O4 E E E E (coste en millones de pesetas) 7. Un robot móvil puede desplazarse por los nodos de la malla representada en la figura. Se desea trasladar el robot desde la localización L a la localización L2. Cada localización viene dada por las coordenadas del nodo de la red donde se encuentra el robot y su orientación respecto al sistema de referencia de la figura. localización coordenadas orientación L (2, 2) 80º L2 (3, 3) 90º En cada momento el robot puede: - desplazarse en el sentido de su orientación actual hasta el siguiente nodo, - girar sobre si mismo 90º en un sentido u otro manteniéndose en las mismas coordenadas. Se sabe que el robot: - tarda 4 segundos en realizar cada giro de 90º, - se desplaza a m/s por los tramos de trazo grueso, - se desplaza a 0,5 m/s por los tramos de trazo fino. a) Formalizar el problema de trasladar el robot de una localización a otra en el mínimo de tiempo como búsqueda en un espacio de estados. b) Describir un heurístico h(n) del tiempo necesario para desplazarse de una localización cualquiera a la localización L2. Razonar si el heurístico es o no admisible. Enunciar la restricción monótona y mostrar si el heurístico planteado la cumple. c) Encontrar la solución al problema de desplazar el robot de L a L2 usando el algoritmo A y el heurístico h(n) del apartado anterior. Indicar claramente para cada iteración el nodo seleccionado para expansión, sus sucesores, valores de f(n), g(n) y h(n), y dibujar el árbol de búsqueda resultante. Razonar si es óptima la solución encontrada. Problemas de Inteligencia Art. e Ing. Conoc. 200/ Dpto. Lenguajes y Ciencias de la Computación

4 ancho de celda: m. (4, 4) 90º alto de celda : m. 80º 0º 270º (, ) 8. Consideremos en algoritmo A de búsqueda en grafos, con las funciones h(n), g(n), f(n), h*(n), g*(n) y f*(n) definidas en la forma habitual. Decimos que un heurístico h es "sincero" si cumple la siguiente propiedad: En todo paso t del algoritmo, si n y m son nodos abiertos en t y ft(n)<ft(m), entonces f*(n) f*(m). Sea el grafo de la figura. Consideremos que el nodo inicial es A y el nodo objetivo D. a) Determinar si es "sincero" el heurístico h. Id.el h2 y estudiar si las siguientes proposiciones son válidas: b) Si un heurístico h es sincero, entonces es admisible (es decir, h(n) h*(n) para todo n). c) Si un heurístico h es admisible, entonces es sincero. d) Si el heurístico empleado es sincero, entonces el algoritmo A devuelve siempre un camino óptimo (suponiendo que exista). A h=3 h2=3 2 2 h=2 h2=4 C h= h2=4 2 3 D h=0 h2=0 9. Sea una búsqueda heurística con función de evaluación f(n) dada por: f(n)= g(n) + h(n) + e ( - d(n)/n) h(n) donde d(n) es la profundidad de n en el árbol de búsqueda y N es una estimación pesimista de la profundidad del nodo solución. Demostrar que el algoritmo encuentra un camino de coste acotado por ( + e) C* donde C* es el coste del camino óptimo. 0. Se define el algoritmo de búsqueda ponderada AP (Pohl, 970) como una versión del algoritmo general de búsqueda en grafos en la cual la función que determina el nodo seleccionado es: f(n) = ( - w) g(n) + w h(n) donde w es una constante, 0 w, y g(n) y f(n) son funciones definidas como en A*. Se pide discutir para los diversos valores de w las siguientes proposiciones: a) Si hay solución, siempre hay un nodo abierto n tal que yace en un camino óptimo y g(n)=g*(n). b) Si hay solución, AP termina en grafos infinitos. c) AP es admisible, es decir, si hay solución devuelve un camino óptimo.. El algoritmo (Martelli, 977) se puede describir como una versión del algoritmo general de búsqueda en grafos en la cual el nodo seleccionado se determina de la siguiente manera: h(n), g(n) y f(n) son funciones definidas como en el algoritmo A. se mantiene una variable global F, que se inicializa a 0. en cada paso, la lista AIERTOS se considera dividida en dos conjuntos: Problemas de Inteligencia Art. e Ing. Conoc. 200/ Dpto. Lenguajes y Ciencias de la Computación

5 AIERTOS-AJOS = {n AIERTOS f(n) < F} AIERTOS-ALTOS = {n AIERTOS f(n) F} si en un paso de selección AIERTOS-AJOS no está vacía, entonces se selecciona de ella el nodo n de minima g(n), y F no se modifica. si en un paso de selección AIERTOS-AJOS está vacía, entonces se selecciona el nodo n de AIERTOS- ALTOS con mínima f(n). Sea V este mínimo valor de f(n). Entonces F pasa a valer V. a) aplicar el algoritmo al grafo de la figura. Se expanden los mismos nodos que si aplicamos el algoritmo A? y discutir las siguientes proposiciones: b) Si hay solución, siempre hay un nodo abierto n tal que yace en un camino óptimo y g(n)=g*(n). c) Si hay solución, termina en grafos infinitos. d) Si la función h(n) es admisible (es decir, para todo nodo n h(n) h*(n)), siempre hay un nodo abierto n tal que f(n) C* (coste óptimo) e) Si la función h(n) es admisible, entonces es admisible (es decir, devuelve un camino óptimo supuesto que exista). A h=0 h=5 4 h=2 C 3 D h=0 E h=0 2. Sea una búsqueda heurística definida de la siguiente forma: en cada paso se selecciona un nodo n tal que f(n) ( + e)f donde F es el mínimo valor de f(n) para los nodos abiertos. Demostrar que el algoritmo encuentra un camino de coste acotado por ( + e) C* donde C* es el coste del camino óptimo. 3. Se considera un retículo ortogonal infinito con arcos de longitud, donde cada nodo queda identificado por sus dos coordenadas cartesianas (x,y) (x,y enteros). Se desea hallar el camino más corto entre el nodo (0,0) y el nodo (m,n), empleando el algoritmo A* y tomando como función heurística h(s) la distancia en línea recta del nodo s a (m,n). Definimos Z(m,n) como el número de nodos expandidos por A* en función de m y n. Se pide hallar la expresión que da Z(m,n) supuestos m,n suficientemente grandes. 4. Se considera un retículo infinito como el de la figura. Los trazos gruesos indican un obstáculo o pared que no se puede franquear. Se desea hallar un camino óptimo que vaya del nodo A al nodo. a) en estas condiciones, considerando como heurístico h(n)=distancia sobre el retículo de n a, sin tener el cuenta los obstáculos, cuántos nodos se expandirán como mínimo? Cuántos como máximo? b) id. empleando h(n)=0 Problemas de Inteligencia Art. e Ing. Conoc. 200/ Dpto. Lenguajes y Ciencias de la Computación

6 A 5. Consideremos una región donde las ciudades están distribuidas aleatoriamente con una densidad de r ciudades por unidad de superficie. Se desea encontrar el camino óptimo por carretera que va desde la ciudad A, situada en las coordenadas (0,0), a la ciudad Z, situada en las coordenadas (0,a). Para ello se va a emplear el algoritmo A* usando como heurístico la distancia aérea. Llamemos c a la mínima distancia por carretera entre A y Z. Supongamos que hay muchas ciudades y que están muy conectadas por carreteras. a) estimar una cota superior del número de nodos expandidos por A* en función de a y c. b) estimar una cota superior del porcentaje de nodos generados en relación con una búaqueda guiada por el principio del coste uniforme (h=0) NOTAS: a) la elipse es el lugar geométrico de los puntos la suma de cuyas distancias a dos puntos fijos es constante; b) el área de una elipse de eje mayor d y eje menor d es pdd /4. 6. Un robot está almacenando sacos de dinero en una caja fuerte. Los sacos están en fila y conectados por un hilo de alarma, de forma que solo pueden retirarse sacos de los extremos de la fila sin disparar la alarma. Cada saco tiene impresa su cantidad de dinero (en millones de pesetas) Podemos retirar y transportat los pesados sacos rápidamente a nuestra furgoneta de uno en uno, pero cada vez que cogemos un saco el robot se apodera del que ha quedado mas a la derecha y lo pone fuera de nuestro alcance. Se desea sustraer la mayor cantidad de dinero posible (para fines benéficos, por supuesto) sin accionar la alarma. a) Modelar el problema de la retirada de sacos para resolverlo mediante búsqueda definiendo un espacio de estados adecuado. b) Encontrar una función de evaluación heurística bien informada y mostrar si cumple la restricción monótona. c) Encontrar una estrategia para la retirada de bolsas utilizando el algoritmo A* con el heurístico del apartado (b) suponiendo que la fila de sacos contiene las cantidades: 4, 3, 2, 5, 7,, 8, 6. Indicar claramente para cada iteración el nodo seleccionado para expansión, el árbol de búsqueda y los nodos abiertos y cerrados. d) Demostrar si la solución obtenida es óptima. 7. Considérese una red con N nodos que representan N ciudades (A,,C,D,...) unidas todas con todas. El problema del viajante de comercio consiste en encontrar la ruta más corta que partiendo de A pasa una vez por cada una de las demás ciudades y vuelve a A sin pasar dos veces por ninguna otra ciudad. a) Supóngase que los estados del problema vienen descritos por recorridos parciales que parten de la ciudad A. Describir un espacio de estados adecuado para resolver el problema con N ciudades. b) Considérense las siguientes funciones heurísticas: h (n) = coste del arco que une la última ciudad del estado n con A. h 2 (n)= mínimo de los arcos de la forma X A tales que X no se encuentra en el estado n. ( que valor debería tomar el heurístico cuando ya se han recorrido todas las ciudades y no queda ninguno de tales arcos). Por ejemplo, considérese un mapa con 4 ciudades (A,, C, D) Problemas de Inteligencia Art. e Ing. Conoc. 200/ Dpto. Lenguajes y Ciencias de la Computación

7 2 A C h ([A,])=arco(,A)=2 h 2 ([A,])=min(,9)= 3 D h ([A,C,D])=arco(D,A)=9 h 2 ([A,C,D])=min(2)=2 b) Suponiendo que los costes de los arcos miden distancias por carretera razonar si ambos heurísticos son admisibles. b.2) Suponiendo que los costes de los arcos miden distancias aéreas: b.2.) Razonar si ambos heurísticos son admisibles. b.2.2) Demostrar si alguno está más informado que el otro. b.2.3) Demostrar si h 2 cumple la restricción monótona. c) Resolver el problema para cuatro ciudades utilizando el grafo de la figura anterior y el algoritmo A con el heurístico h 2, indicando - para cada iteración, el nodo seleccionado para expansión, - el árbol de búsqueda resultante, - la solución encontrada y su coste. 8. Un robot móvil puede situarse en los nodos de una malla rectangular y puede desplazarse a los nodos cercanos horizontal, vertical o diagonalmente, tal como muestra la siguiente figura: Se tarda un segundo en cada desplazamiento horizontal, vertical o diagonal. El robot no puede situarse ni desplazarse por determinados tramos de la malla señalados con trazo grueso. Considérese el problema de encontrar el camino más rápido entre un nodo cualquiera de la malla de coordenadas (x, y) y un nodo objetivo de coordenadas (A,). Una función heurística h propuesta para dicho problema es la distancia euclídea: h 2 2 ( x, y) = ( A x) + ( y) d) Hallar una función heurística para el problema h 2 distinta de h y que satisfaga las condiciones de A* e) Enunciar la restricción monótona y comprobar si h 2 la cumple. f) Desmostrar que h 2 es admisible. g) Enunciar en que casos un heurístico está más informado que otro, y comprobar si alguno de los heurísticos h, h 2 está más informado que el otro. h) Dada la malla de la siguiente figura y el heurístico h 2, aplicar el algoritmo A* para encontrar el camino más rápido del nodo I al nodo F. Indicar el árbol de búsqueda generado y, para cada iteración, el estado seleccionado para exansión, los nuevos estados generados y sus valores de g y h 2. Problemas de Inteligencia Art. e Ing. Conoc. 200/ Dpto. Lenguajes y Ciencias de la Computación

8 F I 9. Las distancias por carretera entre las ciudades de una región vienen dadas en kilómetros en la tabla siguiente: A C D E F G A C 5 7 D 6 4 E 2 7 F 6 G La siguiente tabla contiene una estimación optimista de la distancia en kilómetros desde la ciudad G a cada una de las demás ciudades: A C D E F G Estimación a) Aplicar el algoritmo A* para encontrar un camino desde la ciudad A a la ciudad G. Indicar para cada iteración el nodo seleccionado para expansión, sus sucesores, y el estado del árbol de búsqueda, detallando las operaciones realizadas sobre el mismo. b) Razonar a partir del resultado anterior si la estimación heurística proporcionada cumple la restricción monótona. 20. Tenemos un juego de tablero formado por 3x3 casillas; en cada casilla puede ir una X o bien puede estar vacía. Las reglas del juego son las siguientes: Se puede pulsar sobre una casilla si está vacía. Al pulsar una casilla vacía se coloca una X en esa casilla y con sus 4-vecinos se opera de la siguiente forma: o Si la casilla está vacía se coloca una X o Si la casilla está con una X se vacía Una vez pulsada una casilla no se puede volver a pulsar durante el resto del juego. El objetivo es acabar con todas las casillas del tablero con X. Problemas de Inteligencia Art. e Ing. Conoc. 200/ Dpto. Lenguajes y Ciencias de la Computación

9 Ejemplos: Si pulsamos en el centro tenemos Si pulsamos en la esquina superior izquierda tenemos Y no se puede volver a pulsar el centro, por ello lo señalamos con O a) Formalizar el problema de encontrar una solución en el menor número de pasos como búsqueda en un espacio de estados. b) Encuentra un heurístico admisible y no trivial para este problema. Demuestra si dicho heurístico cumple la restricción monótona. c) Encuentra la solución a dicho problema utilizando el algoritmo A* si el estado inicial es el siguiente: NOTA: En caso de empate, el algoritmo A* expandirá aquel nodo con más casillas vacías. Señálese, en cada iteración los nodos en abiertos, cerrados y el seleccionado para su expansión. No es necesario incluir la tabla sino tan sólo el árbol y el grafo de exploración. Donde los círculos significan casillas ya pulsadas. Problemas de Inteligencia Art. e Ing. Conoc. 200/ Dpto. Lenguajes y Ciencias de la Computación