UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA FÍSICA CUANTICA ANGELO ALBANO REYES CARVAJAL Abril 2012

2 COMITÉ DIRECTIVO Jaime Alberto Leal Afanador Rector Gloria Herrera Vicerrectora Académica Roberto Salazar Ramos Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedagógicas Maribel Córdoba Guerrero Secretaria General MÓDULO CURSO FÍSICA CUÁNTICA PRIMERA EDICIÓN Copyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia Colombia

3 ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO El presente módulo fue diseñado por Angelo Albano Reyes Carvajal, Ingeniero Físico egresado de la Universidad del Cauca, docente de la UNAD desde el año 2011.

4 ÍNDICE UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE FÍSICA CUÁNTICA 1.1 Capitulo 1: Radiación Cuántica Lección 1: Física Clásica vs Física Cuántica. Lección 2: Radiación Térmica. Lección 3: La radiación del cuerpo negro. Lección 4: Ley del desplazamiento de Wien. Lección 5: Ley de Stefan-Boltzmann. Lección 6: Ley de Rayleigh y Jeans. Lección 7: La solución Final. Hipótesis de Planck de la cavidad. Lección 8: El Postulado de Planck. 1.2 Capitulo 2: Partículas y ondas Lección 9: Emisión electrónica. Lección 10: El efecto fotoeléctrico. Lección 11: El efecto Compton. Lección 12: La naturaleza dual de la radiación electromagnética. Lección 13: Rayos X. Lección 14: Producción y aniquilación de pares. 1.3 Capitulo 3: Postulado de Louis de Broglie y el modelo atómico de Bohr Lección 15: Ondas de materia. Lección 16: Dualidad onda partícula. Lección 17: Principio de incertidumbre. Lección 18: El modelo atómico de Thomson. Lección 19: El modelo atómico de Rutherford. Lección 20: Espectros atómicos. Lección 21: Modelo de Bohr Lección 22: El principio de correspondencia.

5 UNIDAD 2. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER 2.1 Capitulo 4: La Ecuación de Schrödinger I Lección 23: Introducción a la Ecuación de Schrödinger. Lección 24: Deducción de la Ecuación de Schrödinger. Lección 25: Densidad de Probabilidad. Lección 26: La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Lección 27: Cuantización de la Energía en la teoría de Schrödinger. 2.2 Capítulo 5: La Ecuación de Schrödinger II Lección 28: El Hamiltoniano y operadores. Lección 29: Valores Promedio o esperados. Lección 30: El potencial cero. Lección 31: El potencial Escalón. Lección 32: La barrera de potencial. 2.3 Capitulo 6: Algunas aplicaciones de la Ecuación de Schrödinger Lección 33: Potencial de pozo cuadrado. Lección 34: Potencial de pozo cuadrado infinito. Lección 35: El potencial del oscilador armónico simple. Lección 36: Átomos con un electrón. Lección 37: Ecuación de Schrödinger tridimensional. Lección 38: Separación de variables para la ecuación de Schrödinger tridimensional y estacionaria. Lección 39: Solución de las ecuaciones (azimutal, polar y radial, para átomos con un solo electrón)

6 INTRODUCCIÓN El curso de FÍSICA CUÁNTICA para los estudiantes del Programa de Química de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD), se encuentra justificado por los grandes desarrollos que de manera progresiva ha tenido la Ciencia en este campo y que se ven reflejados en aplicaciones o desarrollos tecnológicos. Cuando se menciona Física Cuántica se puede pensar en un tema extraño, que no tiene sentido en la vida diaria, pero este concepto es erróneo, puesto que la Física Cuántica está en todas partes. En la actualidad, es muy común hablar de computadoras, teléfonos, comunicación y demás aplicaciones que han facilitado nuestro vivir, y que han sido desarrollados gracias a la invención de los diodos, transistores, chips, nuevos materiales, y en fin, un sin número de materiales y de dispositivos, los cuales no se podrían diseñar, explicar, ni realizar sin la FÍSICA CUÁNTICA. Un ejemplo claro de la importancia de Física Cuántica en nuestra vida diaria, se encuentra en uno de los medios de transporte más importantes en nuestro mundo actual el automóvil, este necesita de la física del siglo XIX para el diseño mecánico básico, incluso empleando aleaciones, plásticos y pinturas, pero cuando, por ejemplo, nos fijamos en la tecnología para comunicarse y procesar la información hemos sido obligados a trasladarnos a la Física Cuántica. Es tan amplia la aplicación de la Física Cuántica, que este curso abordará los temas más importantes para la comprensión del tema. Para este curso, los estudiantes están familiarizados con nociones de la física clásica (mecánica, electricidad y magnetismo), cálculo, y física moderna. Los propósitos del curso son reconocer y aplicar los fundamentos de la Física Cuántica en la explicación de algunos fenómenos naturales. El módulo está dividido en dos unidades: Fundamentos de Física Cuántica: Este capítulo es de gran importancia puesto que permite afianzar las nociones básicas que se deben tener durante el curso y que permitirán la comprensión de la Cuántica. Se empezará a desarrollar temas como la radiación cuántica, seguiremos con partículas y ondas, y por último el postulado de Louis de Broglie. Ecuación de Schrödinger: Este capítulo dará estudio a la dinámica cuántica, en la cual se presentará la ecuación de Schrödinger, la solución y aplicaciones.

7 Este módulo se encuentra diseñado para que el lector, se apropie en forma sencilla de los fundamentos y métodos del campo científico que permitirán entender muchos de los avances tecnológicos de nuestra época. Al finalizar cada aparte, se proponen algunos problemas y bibliografía. Es fundamental que el estudiante se apropie del uso de las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC s) como herramienta de apoyo al proceso de aprendizaje. En este sentido, el curso de Física Cuántica articulará a su desarrollo actividades mediadas por las TIC s, como interactividades sincrónicas y asincrónicas, para orientar acciones de acompañamiento individual o de pequeño grupo colaborativo y acceso a la información disponible en la plataforma virtual de la Universidad.

8 UNIDAD 1. Nombre de la Unidad Introducción Justificación Intencionalidades Formativas Denominación capítulos de Fundamentos de física cuántica Se estudiarán los conceptos básicos de la Física Cuántica Esta unidad proporciona el entendimiento de los fenómenos físicos introductorios a la física cuántica. Que el estudiante pueda comprender los fenómenos físicos que dan origen a la física cuántica. Capítulo 1: Radiación Cuántica Capítulo 2: Partículas y ondas Capítulo 3: Postulado de Luis de Broglie ÍNDICE INTRODUCCIÓN UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE FÍSICA CUÁNTICA 1.1 Capitulo 1: Radiación Cuántica Lección 1: Física Clásica vs Física Cuántica. Lección 2: Radiación Térmica. Lección 3: La radiación del cuerpo negro. Lección 4: Ley del desplazamiento de Wien. Lección 5: Ley de Stefan-Boltzmann. Lección 6: Ley de Rayleigh y Jeans. Lección 7: La solución Final. Hipótesis de Planck de la cavidad. Lección 8: El Postulado de Planck. 1.2 Capitulo 2: Partículas y ondas Lección 9: Emisión electrónica. Lección 10: El efecto fotoeléctrico. Lección 11: El efecto Compton.

9 Lección 12: La naturaleza dual de la radiación electromagnética. Lección 13: Rayos X. Lección 14: Producción y aniquilación de pares. 1.3 Capitulo 3: Postulado de Louis de Broglie y el modelo atómico de Bohr Lección 15: Ondas de materia. Lección 16: Dualidad onda partícula. Lección 17: Principio de incertidumbre. Lección 18: El modelo atómico de Thomson. Lección 19: El modelo atómico de Rutherford. Lección 20: Espectros atómicos. Lección 21: Modelo de Bohr Lección 22: El principio de correspondencia.

10 INTRODUCCIÓN La Física cuántica se encuentra inmersa en varios aspectos de nuestra vida cotidiana como computadores, teléfonos inteligentes, autos, y demás dispositivos tecnológicos. Sin embargo, para entender estas aplicaciones es necesario conocer algunos fenómenos físicos y nociones básicas que serán los fundamentos de la Física cuántica, para tal fin, se iniciará con una descripción de la radiación cuántica, seguido por algunos fenómenos enmarcados en el capítulo de partículas y ondas, y por último comprenderemos el postulado de Louis de Broglie

11 CAPÍTULO 1. RADIACIÓN CUÁNTICA Lección 1: Física Clásica vs Física Cuántica La Física Cuántica trata de dar explicación a todos los fenómenos no explicables por medio de la Física clásica. Los fenómenos cuánticos frecuentemente están enmarcados dentro del mundo microscópico, pero a continuación daremos algunos ejemplos donde la cuántica está inmersa en el mundo macroscópico: La superfluidez, la superconductividad, el estudio del carácter conductor o aislante de los materiales, etc., son fenómenos macroscópicos que solamente son entendibles utilizando métodos cuánticos. La conductividad eléctrica puede entenderse como sistema clásico, pero para una adecuada explicación se requieren conceptos de resistividad eléctrica, calor específico de un sólido, etc., que hacen uso necesario de la Física Cuántica. Los anteriores ejemplos muestran claramente que la Física Cuántica es una ciencia con dominio sobre todo tipo de fenómenos. Ahora, vamos a conocer el límite clásico de lo cuántico. Antes de ello, retomemos el curso de física moderna donde se estableció que podemos utilizar la Física no relativista en lugar de la relativista si las velocidades puestas en juego en el sistema son mucho menores que la velocidad de la luz en el vacío (c = m s), es decir, la elección de la física relativista o no relativista depende de la contante universal c. Al igual que en el mundo clásico, existe una constante universal para el cuántico, que se denomina constante de Planck (h), cuyo valor es: h = erg s Esta constante permite determinar la aplicabilidad de la Física Cuántica frente a la Clásica, es decir, la constante de Planck, con dimensiones de acción (energía x tiempo) permite concebir que:

12 Si las acciones del sistema son mucho mayores que h, entonces para describir ese sistema es solamente necesario la teoría de la Física clásica. Ahora, si las acciones del sistema son comparables con h, entonces, se debe aplicar la Física Cuántica. Un claro ejemplo de la aplicabilidad de la Física Cuántica dada por la constante de Planck es el siguiente: Ejemplo: Calcule la acción de un péndulo simple formado por una masa de 1g, con un periodo de 1s y una energía de 1 erg. Solución: Entonces, su acción será: 1 erg 1s = 1erg s Y ya que h = 6, erg s se tiene que: h 1 erg 1s erg s = h Es decir, se observa que el resultado es mucho mayor que la constante de Planck, entonces podemos decir que nos encontramos frente a un problema clásico. Lección 2: Radiación Térmica Se conoce como radiación térmica, a la radiación que emite un cuerpo como consecuencia de su temperatura. Todos los cuerpos emiten esta clase de radiación a su alrededor, y la absorben de él; esta radiación no es más que radiación electromagnética (ondas electromagnéticas de espectro muy ancho). En principio, si un cuerpo se encuentra a una temperatura mayor que su alrededor, éste se enfriará, ya que la rapidez con la que emite energía excederá la rapidez con la que absorbe, llegando a un equilibrio térmico (igual temperatura), es decir, no es que dejen de radiar ondas electromagnéticas sino que la energía emitida por

13 ellos es igual a la que absorben (equilibrio dinámico), tal y como lo expreso el físico y filósofo Prévost en 1792: Ley de Prévost: Todos los objetos están constantemente radiando y recibiendo energía térmica del entorno, pero en el estado de equilibrio térmico, la cantidad de energía térmica que pierde un cuerpo por unidad de tiempo es igual a la absorbida durante el mismo intervalo en forma de radiaciones idénticas procedentes de los otros cuerpos que lo rodean. La materia en estado sólido o líquido (estado condensado) emite un espectro de radiación continuo depende mas de la temperatura que de la composición del mismo. Ahora bien, vamos a suponer que una fuente de radiación esta caracterizada por la emitancia radiante (E), que es la cantidad de energía por unidad de tiempo que radia al espacio; aunque nos concentraremos en saber en que longitudes de onda esta concentrada la energía que emite la fuente, es decir la distribución espectral (E λ ) que indica, la energía por unidad de tiempo radiada en un intervalo de longitudes [λ, λ + dλ] o, de manera similar podemos referirnos a la distribución espectral (E ν ) referida en un intervalo de frecuencias [ν, ν + dν]. Estas dos funciones están relacionadas por la ecuación: E ν = E λ c ν 2 Entonces, siempre nos referiremos a E ν o E λ como el espectro, el cual brinda información sobre el tipo de radiación que se esta estudiando. Figura 1. Espectro de radiación del cuerpo negro.

14 Al estudiar el espectro de diferentes sustancias a una temperatura elevada y fija, se observa que el valor de la emisión a cada frecuencia está siempre acotado por un valor máximo. Representando los diferentes valores de la cota S ν (T) se obtiene una distribución que se puede considerar como el espectro que tendría un cuerpo ideal capaz de irradiar lo máximo a todas las frecuencias. Por lo tanto, la curva S ν es la envolvente de todos los posibles espectros de emisión a la temperatura dada T, como se observa en la figura 1. En Dicha figura, se muestra el espectro de radiación del cuerpo negro, representado por tres diferentes temperaturas, en la cual se aprecia que existe un máximo de longitud de onda para cada temperatura. En el cuadro pequeño de ella, se muestra la distribución espectral de una lámpara de mercurio de bajo rendimiento de calor, el cual, es muy diferente al espectro de un cuerpo negro. Lección 3: La radiación de cuerpo negro Un cuerpo negro es aquel que se caracteriza por absorber toda la radiación térmica que incide sobre él, es decir, un cuerpo negro no refleja radiación en absoluto. También, es necesario dar a conocer que todos los cuerpos negros a una misma temperatura e independientemente de su composición emiten radiación térmica con el mismo espectro. Ahora, definiremos la radiancia espectral R T (ν), la cual especifica la distribución espectral de la radiación de un cuerpo negro, y es la rapidez con la que la superficie radia energía por unidad de área, a la temperatura T, para frecuencias de radiación entre ν y ν + dν. A partir de la radiancia espectral e integrándola sobre todas las frecuencias tenemos que: R T = R T (ν)dν 0 y se conoce como la radiancia R T y define la energía o potencia total radiada de un cuerpo negro a una temperatura (T) dada y sus unidades son watt sobre metro cuadrado (W/m 2 ). La figura 2 muestra la dependencia de la radiancia espectral con la temperatura y la frecuencia. En esta figura se aprecia claramente que a medida que aumenta la frecuencia existe un máximo de radiancia para cada temperatura, es decir, el espectro se desplaza hacia frecuencias mayores a

15 mediad que la temperatura aumenta, y que cuando se aumenta la temperatura, la frecuencia donde ocurren los máximos de radiancia crecen de forma de lineal. Figura 2. Radiancia espectral de un cuerpo negro radiante como función de la frecuencia de radiación. La ley de Kirchhoff, la cual indica que la envolvente de toda emisión térmica S v, es igual a la curva de emisión espectral del cuerpo negro, es decir, esto implica que a una temperatura y frecuencia (o longitud de onda) dadas, la emisividad espectral de cualquier sustancia, E ν (T), esta acotada por el valor S ν (T) (véase la figura 1 y 2), de manera que el cuerpo negro constituye un sistema que radia de manera universal, independientemente de las condiciones físicas concretas a las que están sujetos los cuerpos negros y sustancias comunes. Estudios experimentales (como la medición de cuerpos calientes, estrellas, etc.) permitieron establecer que el espectro de un cuerpo negro (ver figuras 1 y 2) tiene un máximo para una cierta longitud de onda (o frecuencia), que se puede llamar como λ max, y se sitúa de manea tal que se cumple la ley del desplazamiento de Wien.

16 Lección 4: Ley del desplazamiento de Wien La ley del desplazamiento de Wien establece que: La longitud de onda de la radiación en la que un cuerpo negro tiene un máximo de emisividad espectral, se relaciona con la temperatura T, de la siguiente manera: λ max T = b Donde b = m K Y se conoce como la constante de Wien. Ejemplo: Determine la temperatura de la superficie de la estrella polar, si se sabe que las estrella se comporta como un cuerpo negro e irradia a la longitud de onda máxima de 3,500 A. Solución: Antes de solucionar el problema debemos recordar que: Un angstrom = 1A = m Por lo tanto λ max = 3,500 A m 1A = m A partir de la ley del desplazamiento de Wien se tiene que: T = b = m K λ max ,300 K m Entonces, a 8,280 K la estrella polar irradia a una la longitud de onda máxima de 3,500 A.

17 Lección 5: Ley de Stefan-Boltzmann A partir de la figura 2 se aprecia que a medida que la temperatura aumenta la radiancia espectral aumenta, esta dependencia la explica la ley de Stefan- Boltzmann, la cual establece que la energía o potencia total radiada de un cuerpo negro es proporcional a la potencia cuarta de la temperatura T, es decir: R T = σaet 4 Donde σ = W (m 2 K 4 ) se conoce como la constante de Stefan- Boltzmann, A es el área y e es la emisividad de la superficie. En caso de un cuerpo negro el valor de la emisividad es e = 1. Ejemplo: Utilizando la información del ejercicio anterior, calcular la energía irradiada del cuerpo negro (estrella polar) por 1 cm 2 de superficie. Solución: Utilizando la ley de de Stefan-Boltzmann se tiene que: R T = σt 4 A = W (m 2 K 4 ) (8300 K) 4 1cm W cm 2 Lección 6: Ley de Rayleigh y Jeans Antes de explicar la ley de Rayleigh y Jeans, tomaremos como ejemplo de un cuerpo negro un objeto que contiene una cavidad y que se comunica con el exterior por medio de un pequeño agujero tal, donde toda la radiación que ingresa o incide en el agujero es absorbida de manera completa por las paredes internas de la cavidad, comportándose como un cuerpo negro, tal y como se observa en la figura 3.

18 Figura 3: Representación de un cuerpo negro. A partir de este ejemplo, se define la densidad de energía de radiación ρ T (ν), como la energía contenida en unidad de volumen de la cavidad a temperatura T, en el intervalo de frecuencias [ν, ν + dν]. A principios del siglo XX, Rayleigh y Jeans, establecieron que la densidad de energía de radiación ρ T (ν) en una cavidad cuerpo negro estaba dada por: ρ T (v)dν = 8πν2 c 3 kt dν donde k = J K 1 y se llama la constante de Boltzmann, c es la velocidad de la luz. A partir de esta definición se entro en un serio conflicto entre la física clásica y los resultados experimentales. Es decir, esta ley se ajustaba a los datos experimentales en la región de frecuencias muy bajas, pero a medida que se acercaba a frecuencias altas (frecuencias de la zona ultravioleta y superiores) la teoría tiende a infinito, en efecto la integral sobre todas las frecuencias, que da la densidad de energía total expresada por: ρ T (ν) = 8π c 3 kt ν2 dν diverge, puesto que crece de manera indefinida, lo cual contradice los resultados experimentales y la conservación de la energía. Este comportamiento se aprecia en la figura 4, y a este hecho se le conoce como la catástrofe ultravioleta. 0

19 Figura 4. Comparación de los resultados experimentales con teóricos para la densidad de energía en una cavidad cuerpo negro. A partir de la catástrofe ultravioleta y de dar solución a esta problemática empieza el nacimiento de una nueva física, que se consideró en años mas tarde como física cuántica. Lección 7: La solución Final. Hipótesis de Planck de la cavidad. Para dar solución a la problemática entre la discrepancia de los hallazgos experimentales y teóricos, Planck consideró que era posible violar la ley de equipartición de la energía, la cual establece que para un sistema de moléculas de un gas, que se encuentra en equilibrio térmico a una temperatura dada, la energía cinética promedio de una molécula por cada grado de libertad es KT/2, donde K es la constante de Boltzmann (esta ley se cumple para cualquier sistema clásico que contenga en equilibrio partículas de la misma clase). La ley de Rayleigh y Jeans funciona para bajas frecuencias, es decir, que la energía total promedio E tiende a T a medida que la frecuencia tiende a cero ( E kt si ν 0), para las frecuencias altas la discrepancia se puede resolver si existe un corte, tal que la energía total promedio E tienda a cero si la frecuencia tiende a infinito (E 0 si ν ), con ello, Planck sugirió que la energía promedio sea función de la frecuencia E (ν), lo cual contrasta con la equipartición de la energía que asigna un único valor a todas las frecuencias. Planck logro el anterior corte tratando la energía E como una variable discreta en lugar de continua, es decir, él supuso que la energía E podía tomar ciertos valores discretos y que ellos estaban distribuidos de forma uniforme, es decir, tomo:

20 E = 0, E, 2 E, 3 E, 4 E, como el conjuntos de valores permitidos de la energía. Para este caso, el intervalo de los valores sucesivos es: E. Ahora, a partir de los valores que puede tomar E, se establece que: si se presenta que E kt se obtiene que E kt, es decir, el resultado clásico, y si se tiene que E kt se obtiene que E kt. Lo anterior indica que si la diferencia entre energías adyacentes E es pequeña E kt (resultado clásico) y si la diferencia es grande E 0, el primer resultado corresponde para frecuencias bajas y el segundo corresponde para frecuencias altas. Planck determinó que la relación entre E y ν debe ser proporcional, es decir, él supuso, que E ν, y escribiendo esta relación en forma de ecuación obtuvo que: E = hν donde h es la constante de proporcionalidad y se conoce como la constante de Planck y tiene un valor experimental de : h = J s A partir de los resultados anteriores Planck obtuvo que E es: E (ν) = hν ehν kt 1 Observemos que esta relación cumple con las condiciones para resolver las discrepancias, si el término hν 0 se obtiene que E (ν) kt y si hν el kt kt hν kt término e y por tanto E (ν) 0. Y obtuvo para la densidad de energía total en el espectro del cuerpo negro que: ρ T (v)dν = 8πν2 c 3 O en términos de la longitud de onda es: hν 1 dν ehv kt

21 ρ T (λ)dλ = 8πhc 1 λ 5 ehv λkt 1 dλ Y se conoce como el espectro del cuerpo negro de Planck. Esta ecuación si explicaba el espectro negro no solo en los casos de bajas frecuencias sino también los de altas frecuencias. En la figura 5 se muestra el resultado experimental en comparación con los resultados teóricos, en ella la línea continua muestra el resultado teórico y los puntos indican los experimentales para la densidad de un cuerpo negro a una temperatura de T=1595 K. Figura 5. Densidad de un cuerpo negro. Es de recordar que Planck no alteró la distribución de Boltzmann, sólo consideró a la energía de ondas estacionarias, oscilando sinodalmente en el tiempo, como una discreta en lugar de continua. Lección 8: El Postulado de Planck. El postulado de Planck se indica como: Cualquier ente físico con un grado de libertad que realiza oscilaciones armónicas-simples sólo puede tener energías E que satisfacen la relación:

22 E = nhν Con n = 0, 1, 2, 3, constante universal. y donde v es la frecuencia de la oscilación y h es una Este postulado indica que si la energía de un ente cualquiera obedece este postulado, se dice que dicha energía se encuentra cuantizada, y los niveles de energía permitidos se llaman estados cuánticos, y n se conoce como el número cuántico del estado de energía permitido. Ejemplo: Una fuente de luz ultravioleta irradia a una longitud de onda de 400nm, calcule la energía de los fotones en ev irradiados por la fuente. Solución: A partir del postulado de Planck tenemos que la energía de los fotones esta dada por: Y ya que se obtiene que: E = hν ν = c λ E = hν = hc λ Remplazando la información dada se tiene: E = J s m s m = J Ahora convirtamos esta cantidad a electronvoltios (ev), sabiendo que: 1eV = J Entonces, E = J 1 ev = ev J

23 Y por lo tanto, la energía de los fotones irradiados a la longitud de onda dada es de ev.

24 Ejercicios 1. Determine la temperatura de la superficie del sol, si se sabe que el sol se comporta como un cuerpo negro e irradia a la longitud de onda máxima de 5,100 A. Rta: T=5,700 K. 2. Con la temperatura del ejercicio anterior y utilizando la ley de Stefan- Boltzmann determine la potencia radiada RT por 1cm 2 de superficie estelar. Rta: aproximadamente 6000W/cm Una fuente de luz irradia a una longitud de onda de 700nm, calcule la energía de los fotones en ev irradiados por la fuente. Rta: ev 4. Un cuerpo negro que se encuentra a una temperatura de 6000 K, a que longitud de onda radiará más por unidad de longitud de onda? Rta: 4,830 Å. 5. Supongamos que la tierra es un cuerpo negro que irradia energía al espacio en una cantidad de 355W/m 2, Cuál es la temperatura de la superficie de la tierra? Rta: 281 K.

25 Capitulo 2. Partículas y ondas Lección 9: Emisión electrónica. La emisión electrónica es el proceso en el cual se logra la liberación de electrones de una masa o material hacia un espacio adyacente, la extracción o liberación de electrones se puede lograr por medio de los siguientes mecanismos: La emisión termoiónica (Efecto Edison): el calentamiento de la superficie de un metal causa la emisión de electrones. La emisión secundaria: la liberación de electrones de la superficie de un metal es causada por partículas energéticas que se inciden sobre el material. La emisión de campo: la extracción de electrones causado por un campo eléctrico intenso. El efecto fotoeléctrico: la expulsión de electrones de un metal causado por la luz incidente sobre el material. En 1887 Hertz cuando se encontraba investigando las ondas electromagnéticas predichas por la teoría de Maxwell del campo electromagnético, descubrió de manera accidental el efecto fotoeléctrico. Lección 10: El efecto fotoeléctrico En la figura 6 se muestra un esquema de un efecto fotoeléctrico experimental. El estudio realizado por Philipp Lenard a este fenómeno mostro que: Al incidir luz de frecuencia ν 10 5 Hz sobre un metal (placa M en la figura 6), se emiten partículas cargadas negativamente y viajan hacia el electrodo positivo (electrodo P en la figura 6). La emisión se produce cuando el tubo es altamente evacuado (es decir, un espacio al vacío), de tal manera, que los portadores no son iones gaseosos. Un campo magnético aplicado entre la placa y el electrodo positivo desvía los portadores cargados como si fuesen negativos.

26 La razón medida entre la carga y la masa para los portadores cargados es: e m = C Kg y este coincide con el valor encontrado para el electrón. Por lo anterior, a los portadores se les identifico como fotoelectrones. Figura 6. Esquema experimental del efecto fotoeléctrico. Lenard, utilizando luz monocromática de intensidad constante, obtuvo graficas para la corriente fotoeléctrica (es decir, el número de electrones emitidos por el metal que llegan al electrodo positivo) contra el potencial acelerador o de frenado. Él encontró, que existía una corriente de saturación máxima para una intensidad I de la luz incidente, y ésta se daba, cuando todos los electrones emitidos por el material llegaban al electrodo positivo. También descubrió, que cuando el potencial valía cero (V = 0), todavía existía una corriente eléctrica, lo que significaba que algunos de los electrones emitidos tenían una velocidad finita.

27 Además, se estableció que el potencial puede hacerse negativo (V = V 0 ) hasta que sólo los electrones con mayor energía puedan llegar al electrodo positivo, y para este punto la energía cinética máxima de los electrones emitidos es: Donde V 0 es el potencial de frenado. K max = ev 0 Cuando se aumenta la intensidad de la luz incidente, la corriente de saturación aumenta, es decir, se emiten más electrones, pero los electrones presentan siempre la misma energía ya que el potencial de frenado es el mismo. El potencial de frenado es independiente de la intensidad de la luz incidente. Si se cambia la frecuencia de la luz incidente pero se conserva la intensidad, se emite el mismo número de electrones, pero los electrones son más energéticos por si la frecuencia es mayor. En general, la corriente de saturación depende de la intensidad pero no de la frecuencia, mientras que el potencial de frenado se hace mayor a medida que se incrementa la frecuencia incidente. La teoría clásica predice que cuando mayor es la intensidad de radiación de la luz incidente se espera que los electrones emitidos sean más energéticos y también, que si la intensidad de la radiación incidente es débil, se espera que ocurra un tiempo prudente para que el metal almacene suficiente energía para expulsar electrones. Sin embargo, como se ha denotado anteriormente, los experimentos demuestran que la teoría clásica es inadecuada y se ha demostrado que la energía cinética de los electrones no depende de la intensidad de la radiación, sino que esa aumenta al aumentarla frecuencia incidente, y no existe un tiempo prudente para que los electrones sean emitidos aún si la intensidad es muy débil. Einstein en 1905 supuso que la radiación incidente consistía de paquetes o cuantos de energía de valor E = hν que viajan a la velocidad de la luz. Cuando estos fotones chocan con una superficie metálica pueden reflejarse o bien pueden desaparecer cediendo su propia energía para expulsar los electrones. Ahora, se redefine la energía cinética máxima de los electrones en términos de la frecuencia así: K max = ev 0 = hν φ

28 Donde φ es la función de trabajo y es la cantidad mínima de energía necesaria para extraer un electrón de la superficie de un metal y depende de las características del metal. Cuando la energía cinética máxima es cero, la frecuencia ν es igual a ν 0 y se conoce como la frecuencia umbral que es la mínima frecuencia de la luz a la cual se empiezan a emitir los electrones de la superficie del metal, y por tanto se tiene que: φ = hν 0 O se puede escribir en términos de la longitud de onda de corte o longitud d onda umbral: φ = hc λ 0 entonces, rescribiendo la ecuación para la energía cinética máxima: K max = hν hν 0 Esto indica que para una frecuencia ν < ν 0 o en términos de longitud de onda λ 0 > c v 0, no hay la energía incidente suficiente para remover electrones del metal y por tanto no ocurre el fenómeno fotoeléctrico. A partir de lo descrito en esta lección se tiene que: La cantidad de electrones liberados es proporcional a la intensidad de luz incidente. La máxima energía cinética con que se desprenden los electrones depende de la frecuencia y no de la intensidad de la radiación. La máxima energía cinética con que se desprenden los electrones esta relacionada la frecuencia en forma lineal, tal y como se demostró en la última ecuación. El potencial de frenado V 0 depende de la función de trabajo φ. Existe una frecuencia umbral v 0 por debajo de la cual no ocurre el efecto estudiado. La emisión de electrones empieza sin retardo para cuando ν > ν 0 aún para luz de baja intensidad. Ejemplo:

29 Sobre una superficie metálica se hace incidir luz de longitud de onda de λ = 2000A y para extraer un electrón de la superficie metálica se necesitan 4.2 ev. Cuál es la energía cinética máxima de los fotones emitidos? Cuál es le potencial de frenado? Solución: Para encontrar la energía cinética máxima tenemos que K max = hν φ, pero antes de aplicar esta formula, debemos hacer las siguientes conversiones: λ = 2000A A = m Y ya que la función de trabajo es la energía mínima necesaria para extraer un electrón se tiene que: φ = 4.2eV = J Ahora, debemos expresar la energía máxima en términos de la longitud de onda utilizando la expresión ν = c, se tiene: λ K max = hν φ = h c λ φ Remplazando los valores se tiene la energía cinética máxima: K max = Js m s m J K max = 3, J Ahora para calcular el potencial de frenado V 0 se tiene que K max = ev 0 y despejándolo es: V 0 = K max e = 3, J C = 2V Entonces se obtiene que: V 0 = 2V

30 Lección 11: El efecto Compton Estudios experimentales realizados a los rayos x (que son radiaciones en el espectro electromagnético de longitudes de onda menores a 1A ) mostraron que cuando ellos eran dispersados, los rayos x secundarios implicados eran menos penetrantes que los rayos x primarios. Se descubrió que los rayos x secundarios presentan las siguientes propiedades del proceso dispersor: La radiación que se dispersa presenta dos longitudes de onda, una es la original llamada λ 0 y la otra es una longitud de onda adicional λ s. λ s es casi del mismo valor que λ 0 pero es siempre mayor que la longitud de onda original. λ 0 presenta dependencia del ángulo de dispersión θ y no del medio dispersor. Figura 7. Dispersión Compton de un fotón causado por un electrón estacionario. Luego de este descubrimiento, Compton en el año 1923 propuso que los fotones de los rayos x tienen momento y que el proceso dispersor es un choque elástico

31 entre un fotón y un electrón. Al cambio en la longitud de onda de los fotones de rayos x como consecuencia de la dispersión elástica con los electrones se le llamó efecto Compton. Entonces, Compton encontró el momento del fotón de la siguiente manera: La energía de un fotón (partícula cuya masa es cero) es E = pc donde p es el momento y esta dado por p = mv, pero la energía de un fotón también se puede expresar en termino de la frecuencia ν como E = hν utilizando estas dos expresiones se obtiene que: Y por tanto pc = hν p = hν c Ahora podemos expresar el momento en términos de la longitud de onda utilizando ν = c se tiene que: λ p = h λ En la figura 6, se muestra la dispersión del fotón de rayos x cuando choca elásticamente con un electrón estacionario. Aplicando conservación del momento en el eje x para nuestra figura 6 se tiene que: Y para el eje y es: p 0 = p s cos θ + p e cos γ p s sin θ p e sin γ = 0 Recordemos que p s es el momento del fotón dispersado, p e es el momento del electrón dispersado y p 0 es el momento del fotón inicial.

32 Ahora aplicando la conservación de la energía se tiene que: Energía inicial = Energía Final Entonces la energía inicial esta dada por la energía del fotón incidente (E0) mas la masa de reposo del electrón (m0c 2 ), y la energía final esta dada por la energía del fotón dispersada (Es) mas la energía total del electrón dispersado que esta dada por la masa de reposo del electrón (m0c 2 ) mas la energía cinética de él (K), es decir, la conservación de la energía estará dada por: E 0 + m 0 c 2 = E s + m 0 c 2 + K Ahora cancelando los términos semejantes y despejando K se tiene: Ahora, podemos escribir la ecuación K = E 0 E s = hν 0 hν s = h(ν 0 ν s ) como: p 0 = p s cos θ + p e cos γ p 0 p s cos θ = p e cos γ Y elevando esta expresión al cuadrado se tiene: (p 0 p s cos θ) 2 = (p e cos γ) 2 p 2 0 2p 0 p s cos θ + p 2 s cos 2 θ = p 2 e cos 2 γ Ahora elevemos al cuadrado la expresión p s sin θ p e sin γ = 0 Se tiene que: p 2 s sin 2 θ = p 2 e sin 2 γ Sumando la expresión anterior con: p 2 0 2p 0 p s cos θ + p 2 s cos 2 θ = p 2 e cos 2 γ

33 se tiene que: p 0 2 2p 0 p s cos θ + p s 2 = p e 2 Ya que E 0 = hν 0 = p 0 c y E s = hν s = p s c, entonces la ecuación la podemos escribir como: K = E 0 E s = hν 0 hν s = h(ν 0 ν s ) K = (p 0 p s )c Ahora, recordando del curso de física moderna que la energía relativista total para un electrón en términos del momento p se puede expresar como: E 2 = (m 0 c 2 ) 2 + p e 2 c 2 Y ya que E = K + m 0 c 2 (Energía relativista total en términos de la energía cinética). Entonces, remplazando el término E en la ecuación anterior se tiene que: (K + m 0 c 2 ) 2 = (m 0 c 2 ) 2 + p e 2 c 2 Y resolviendo tenemos: K 2 c 2 + 2Km 0 = p e 2 Ahora utilizando K de la ecuación K = (p 0 p s )c y p e de la ecuación y multiplicando todo por h la ecuación E 2 = (m 0 c 2 ) 2 + p e 2 c 2

34 queda como: K 2 c 2 + 2Km 0 = p e 2 h h = h (1 cos θ) p s p 0 m 0 c Y finalmente podemos rescribir esta ecuación en términos de la longitud de onda original y adicional así: Donde λ c = h m 0 c λ s λ 0 = h (1 cos θ) m 0 c λ = λ c (1 cos θ) = 0.024A y se define como la longitud de onda Compton para el electrón. Al término λ de la última ecuación se le llama corrimiento de onda Compton y solo depende del ángulo de dispersión θ y no de la longitud de onda incidente. Este corrimiento varia desde cero, es decir cuando θ = 0 que significa que corresponde a un choque rasante hasta una colisión de frente donde el fotón incidente regresa por la misma trayectoria por donde incide y para el cual θ = 180 y λ = 0.049A. Los diferentes experimentos realizados por esa época que fundamentan la ecuación obtenida se describen como: En 1923 Compton confirmo estos resultados de forma experimental. En 1923 Bothe y Wilson observaron el electrón en retroceso y mostraron que el fotón dispersado y el electrón aparecían simultáneamente. Ejemplo: Calcule el corrimiento de la longitud de onda Compton para un haz de rayos de λ = 1000A, si la radiación dispersada por los electrones se observa a un ángulo de θ = 90. Solución: Utilizando la ecuación λ = λ c (1 cos θ) se tiene que:

35 λ = h Js (1 cos θ) = m 0 c kg (1 cos 90 ) m s λ = m = A Observe que este resultado es independiente de la radiación incidente. Lección 12: La naturaleza dual de la radiación electromagnética Existe la necesidad de interpretar la interacción entre la radiación y la materia para un fotón; pero también es necesaria una teoría ondulatoria para poder comprender el fenómeno de interferencia y difracción. Es por ello, que la radiación no debe entenderse solamente como un fenómeno ondulatorio, ni como un chorro de partículas, esta tiene comportamiento ondulatorio en algunas circunstancias y corpuscular en otras. Compton preciso este fenómeno en la que: La medición de la longitud de los rayos x las mediciones se interpretan mediante la teoría ondulatoria de la difracción. Y las dispersiones afectan la longitud de onda de tal manera que sólo se explica si se tratan los rayos x como partículas. Entonces, es necesario considerar la dualidad en la naturaleza onda-partícula de la radiación. Lección 13: Rayos X. Los rayos X fueron descubiertos por Wilhelm Roentgen, y como lo nombramos en las lecciones 11 y 12, son radiaciones en el espectro electromagnético de muy corta longitud de onda, estos son causados cuando electrones a altas velocidades se frenan al chocar con un blanco de metal. Observemos este fenómeno de más cerca. Imaginemos que un electrón a alta velocidad (presenta una energía cinética K 1 inicial) es desacelerado mediante un choque o colisión con un núcleo pesado, este choque hace que energía que pierde el electrón (perdida de energía cinética) aparezca como en forma de

36 radiación como un fotón de rayos X. Al colisionar el electrón interactúa con el núcleo pesado mediante el campo de Coulomb y se transfiere impulso al núcleo. Ahora considerando como K 2 le energía cinética del electrón después de chocar, por medio de la conservación de energía se establece que la energía del fotón resultante es: hν = K 1 K 2 ó hc λ = K 1 K 2 A partir de esta ecuación se puede determinar que la longitud de onda mínima λ min a la cual se producen los fotones de rayos X es: ev = hc λ min λ min = hc ev Esta ecuación muestra que si h 0 entonces λ min 0, lo cual es lo que predijo la física clásica. Esto demuestra que la existencia de una longitud de onda mínima es un fenómeno cuántico. La producción de fotones de rayos X da como resultado un espectro continuo y se conoce como bremsstrahlung (es la radiación producida cuando un electrón energético es desacelerado a medida que interacciona con la materia para producir fotones), este proceso ocurre también para los rayos cósmicos, los grandes aceleradores, entre otros. Ejemplo: La longitud de onda mínima de rayos X producida por electrones de 40 ev es m. A partir de ello, determinar la constante de Planck. Solución: A partir de la ecuación se tiene que: λ min = hc ev

37 Remplazando los valores se obtiene que: h = evλ min c h = C V m m s = Js Lección 14: Producción y aniquilación de pares Además de los efectos estudiados hasta el momento, existe otro fenómeno mediante el cual los fotones pierden su energía e interactúan con la materia, este se llama producción de pares. Este fenómeno convierte energía radiante en energía de masa en reposo y cinética. El fenómeno de producción de pares consiste en que un fotón de alta energía pierde toda su energía (hν) al chocar con núcleo, el producto de este choque genera un electrón y positrón (el par) y les proporciona energía cinética. El positrón es una partícula que es idéntica en todas las propiedades a un electrón con excepción de la carga (y en el momento magnético) ya que su carga es positiva, es decir, un positrón es un electrón cargado positivamente. El fenómeno contrario al de producción de pares se conoce como aniquilación de pares, este fenómeno consiste en que un electrón y positrón que se encuentran inicialmente en reposo y muy cerca se unen y se aniquilan. El producto de esta aniquilación da como resultado la creación dos fotones, estos fotones tienen como característica principal que son opuestos en su dirección pero iguales en magnitud.

38 Ejercicios 1. Calcule la energía mínima necesaria para extraer un electrón de una superficie metálica si se conoce que la frecuencia mínima de la luz a la cual se empiezan a emitir electrones en la superficie del metal es de 4.39x10 14 /sg. Rta: 1.82eV 2. Calcule la longitud de onda de corte para la emisión fotoeléctrica del sodio si la energía necesaria para extraer un electrón del elemento es de 2.3eV. Rta: Å 3. Fotones de longitud de onda de 0,024 Å inciden sobre electrones libres. a) encontrar la longitud de onda de un fotón que es dispersado a 30 grados de la dirección incidente y b) calcule la energía cinética suministrada al electrón en retroceso. Rta: a) Å, b)0.061 Mev. 4. Determinar el voltaje aplicado a un tubo de rayos x que dará un límite de 1.0 Å a las longitudes de onda corta. Rta: 12450V 5. Calcule la máxima frecuencia de los rayos x producidos por electrones acelerados a través de una diferencia de potencial de V. Rta: 0.05nm

39 Capitulo 3. Postulado de Louis de Broglie y el modelo atómico de Bohr Lección 15: Ondas de materia Louis de Broglie en 1934 propuso que el comportamiento dual de la radiación (onda-partícula) debería aplicarse a la materia. Él planteo que los aspectos ondulatorios de la materia están relacionados con los aspectos corpusculares en la misma forma cuantitativa que la radiación. Entonces, tanto para la materia como para la radiación, le energía total E de un ente se relaciona con la frecuencia ν de la onda asociada a su movimiento por medio de E = hν Y el momento p del ente se relaciona con la longitud de onda λ de la onda asociada por p = h λ Entonces se puede observar que por medio de la constante de Planck los conceptos corpusculares energía E, y momento p, se relacionan con los fenómenos ondulatorios frecuencia ν y longitud de onda λ. Ahora si se despeja λ de la ecuación anterior se obtiene la relación de de Broglie: λ = h p Lo cual indica que las partículas, como los electrones, pueden poseer características ondulatorias.

40 Lección 16: Dualidad onda partícula En el siguiente apartado se proporciona una fuerte evidencia electrones presentan un carácter ondulatorio y corpuscular: de que los Un haz de electrones que poseen una energía cinética de K = 54 ev producía un aumento en la cantidad de electrones emitidos a un ángulo de φ = 50. A partir de esta información encontremos la longitud de onda de de Broglie: Utilizando λ = h p y sabiendo que p = 2m 0K, K = 54 ev = J y m 0 = Kg se tiene que: λ = h p = h 2m 0 K = Js ( kg J) = m Entonces, la longitud de onda de de Broglie asociada es: λ = m 1A m = 1.67A Ahora, utilizando una onda difractada de primer orden (n = 1) por los planos de Bragg dentro de un cristal de níquel con una separación entre planos de d = 0.91A y utilizando la relación de Bragg nλ = 2d sin φ, con φ = 65 dará una longitud de onda de: λ = 2d sin φ = A sin 65 = 1.67A Es la longitud de onda difractada, este resultado proporciona la confirmación cuantitativa de la dualidad onda-partícula. Existen diversos experimentos con los cuales se comprobó la naturaleza ondulatoria de las partículas (por ejemplo Johnson en 1931 demostró los efectos de la difracción de los haces de hidrógeno difractados por cristales). Ya que la naturaleza ondulatoria no explicaba satisfactoriamente fenómenos como el fotoeléctrico, el Compton y el viaje a la velocidad de la luz de los electrones, Bohr sugirió el principio de complementariedad para resolver esas contradicciones

41 de la onda-partícula. Este principio estableció que en un solo experimentos no es posible que ni las ondas ni las partículas exhiban simultáneamente sus características ondulatorias y corpusculares, es decir, esto indica que si un experimento prueba el carácter ondulatorio de la radiación o la materia, entonces va ser imposible probar la naturaleza corpuscular en el mismo experimento y viceversa. Lección 17: Principio de incertidumbre El alemán Werner Heisenberg en 1927 adiciono al fenómeno onda-partícula el principio de incertidumbre o de indeterminación, éste impone un límite a la determinación en forma simultanea de variables como la posición y la velocidad. El principio afirma que no es posible en forma simultanea determinar el valor exacto de una componente del momento (por ejemplo p x o p y o p z ) de una partícula y el valor exacto de su posición (x o y o z). La exactitud de la medición estará limitada por el proceso de medida en sí, de tal forma que p x x ħ 2 Donde ħ = h 2π. Esto indica que la incertidumbre en una de las variables p x o x fija un límite a la exactitud de la medida de la otra. Como se definió anterior mente la incertidumbre entre el momento y el desplazamiento, también se puede definir la incertidumbre entre la energía y el tiempo de la siguiente manera: E t ħ 2 Ejemplo: La incertidumbre en el momento de un electrón es de kg m s, Cual es la exactitud con la cual se podría medir la posición del electrón? Solución:

42 La masa del electro es m = kg, entonces de la ecuación p x ħ 2 se tiene que: x ħ 2 p = h 4π p = Js 4π kg m s = m Este resultado indica que podemos medir la posición del electrón con una exactitud aproximadamente de 0,2 cm que para este caso es 10 7 veces el diámetro de un átomo. Lección 18: El modelo atómico de Thomson Por el año de 1898 experimentos como el efecto fotoeléctrico, la dispersión de rayos X, entre otros, evidenciaban que los átomos contenían electrones. Dichos experimentos proporcionan una estimación del número de electrones de un átomo (Z) y que es aproximadamente igual al peso atómico químico (A) del átomo dividido entre dos, es decir, a A. Ya que normalmente los átomos son neutros, 2 estos deben contener carga positiva en la misma cantidad de la carga negativa que proporcionan los electrones. Thomson que descubrió el electrón en esa época, propuso un modelo físico para el átomo conocido como pastel de pasas, el cual consistía en que los electrones se encontraban localizados dentro de una distribución continua de carga positiva, como se aprecia en la figura 8: Figura 8. Modelo atómico de Thomson. La distribución de carga positiva que planteaba Thomson tenía forma esférica con un radio de orden de magnitud de m (radio de un átomo) y dentro de él se

43 encontraban los electrones. Años mas tarde, Ernest Rutherford al efectuar experimentos sobre la dispersión de partículas α (que son un núcleo de Helio y consiste de dos protones y dos neutrones) por una delgada hoja de oro, mostro que el modelo de Thomson era inadecuado. Rutherford demostró que la carga positiva no se encontraba distribuida sobre todo el átomo (propuesta de Thomson), sino que se encontraba distribuida en una región muy pequeña denominada núcleo del átomo. Este descubrimiento fue uno de los desarrollos más relevantes de la física atómica y también fue el punto de partida del estudio de la física nuclear. Lección 19: El modelo atómico de Rutherford. Como se menciono en la lección 18 el modelo propuesto por Rutherford expresa que el átomo está constituido por un núcleo pequeño (núcleo de forma esférica con radio del orden de magnitud de m ) en el cual se encuentra toda la carga positiva (y por ende la mayor parte de la masa), y por una nube de electrones cargados negativamente que rodean al núcleo, tal como se aprecia en la figura 9. A partir del tamaño del núcleo propuesto y del tamaño del átomo que es del orden de m se puede apreciar que la mayor parte del espacio dentro del átomo se encuentra vacío. Rutherford estudio el ángulo θ de dispersión de las partículas α y comparó el modelo de él con el de Thomson descubriendo que una partícula α que penetre un átomo como el modelo de Thomson experimentaba pequeñas deflexiones (una de cada partículas α presentaban una deflexión de 90 ) debido a que el campo eléctrico dentro del átomo era muy débil; mientras que si se utilizaba el modelo propuesta por él, las partículas α presentaban una desviación mayor debido a que el campo eléctrico era mucho mayor en su modelo. Los resultados experimentales demostraron que una de cada 8000 partículas α se desviaban a graves de un ángulo de 90. Estos resultados concordaban con el modelo propuesto por Rutherford y por ello provocaron su aceptación.

44 Figura 9. Modelo atómico de Rutherford. Luego, se demostró que el modelo propuesto por Rutherford afectaba la estabilidad del átomo, y se empezaron a surgir dudas como por ejemplo: si se considera el modelo como estático (es decir, todos los electrones que rodean al núcleo están estacionarios) estos se verán atraídos hacia el núcleo debido a la fuerza de Coulomb entre el núcleo y los electrones y pronto sufrirá un colapso, volviendo a caer en el modelo de Thomson; Ahora si se considera dinámico, los electrones giran alrededor del núcleo lo cual mecánicamente es estable, pero a el problema es que: como los electrones cargados se encuentran acelerados en su movimiento alrededor del núcleo y como todo cuerpo cargado acelerado radia energía (en forma de radiación electromagnética), los electrones nuevamente van a caer hacia al núcleo, debido a la perdida de energía. El problema de la estabilidad de los átomos fue resuelto por el modelo del átomo propuesto por Niels Bohr en Antes de conocer este modelo es importante estudiar primero los espectros atómicos. Lección 20: Espectros atómicos La luz procedente de una descarga eléctrica que se hace pasar a través de una región que contiene un gas monoatómico exhibe una serie de líneas cuando es analiza por medio de un espectrómetro de prisma. Estas líneas características del gas utilizado se conocen como espectro de líneas o espectro atómico. En la descarga eléctrica que se le realiza al gas, algunos de los átomos del gas quedan en un estado de energía mayor que el normal y al regresar al estado de energía normal producen la liberación de energía en forma de radiación electromagnética,

45 y es ésta radiación que al estudiarla por medio del instrumento anteriormente nombrado genera el espectro atómico. El espectro de hidrogeno es el mas sencillo de estudiar, ya que el átomo solo presenta un electrón. La fórmula empírica que representa la longitud de onda del espectro de líneas fue descubierta por Balmer y esta dada por: donde n = 3 para H α, n = 4 para H β, etc. n2 λ = 3646 n 2 4 En 1890 Rydberg encontró la fórmula empírica de la cual se puede determinar las longitudes de onda de la serie de Balmer, la cual fue: 1 λ = R H ( n2) con n = 2, 4, 5, Donde R H = ,6m y se conoce como la constante de Rydeberg para el hidrógeno. La tabla 1 muestra las series espectrales encontradas para el hidrógeno en las regiones ultravioleta e infrarroja. Tabla 1. Series espectrales para el Hidrógeno. Nombre de la serie (año) Lyman (1906) Balmer(1885) Paschen (1908) Brackett (1922) Región espectral Ultravioleta Visible Infrarrojo Infrarrojo Ecuación de la serie 1 λ = R H ( n 2) n = 2, 3, 4, 5, 6, 1 λ = R H ( n 2) n = 3, 4, 5, 6, 1 λ = R H ( n 2) Límite de la serie (n = ), (A ) n = 4, 5, 6, 1 λ = R H ( n2) 14580

46 Pfund (1924) Infrarrojo n = 5, 6, 7, 1 λ = R H ( n 2) n = 6, 7, 8, Lección 21: Modelo de Bohr Como se nombro en la lección 20, el problema de la estabilidad de los átomos presentado por el modelo atómico de Rutherford fue resuelto por Bohr. Para corregir las fallas del modelo planetario del átomo propuesto por Rutherford, Bohr baso su nuevo modelo atómico en los siguientes postulados: Un electrón en un átomo gira alrededor del núcleo con movimiento circular, debido a la atracción de Coulomb presente entre el electrón y el núcleo y en acuerdo con las leyes de física clásica. Un electrón solo se puede mover en una orbita para la cual el momento angular L, es múltiplo entero de ħ = h 2π. Los momentos angulares de las orbitas permitidas están dados por: L = nħ = mvr = n h 2π con n = 1, 2, 3, 4, Si un electrón se encuentra en una órbita permitida, el átomo no radiará energía electromagnética. Si existe un salto de un electrón que se encuentra en un orbital de energía E i a un orbital de energía inferior E f (E i > E f ), se emite radiación electromagnética. La frecuencia del fotón emitido será: ν = E i E f h Ahora, a partir de estos postulados vamos a derivar algunas expresiones que nos demostrarán que los radios de los orbitales, la velocidad orbital de un electrón y la energía están cuantizada. De la segunda ley de Newton que expresa que la F = ma se tiene que:

47 La atracción de Coulomb entre el núcleo y el electrón proporcionan que F = 1 Ze 2 4πε 0 r 2 donde r es el radio de la órbita, y Z es número atómico (número de electrones de un átomo). Ahora, ya que el movimiento es circular la aceleración esta dada por la aceleración centrípeta: a = a r = v2 r donde v es la velocidad del electrón en la órbita. Aplicando estos resultados a la ley de newton F = ma se tiene que: 1 Ze 2 4πε 0 r 2 = m v2 r Ahora, considerando el postulado que expresa que el momento angular se encuentra cuantizado L = nħ = mvr se tiene que v = nħ y remplazando este valor en la ecuación anterior se tiene que: 2 1 Ze 2 4πε 0 r 2 = m ( nħ mr ) r = n2 ħ 2 mr mr Y simplificando se tiene: Despejando para r se tiene: 1 Ze 2 4πε 0 r = n2 ħ 2 m r = 4πε 0 n 2 ħ 2 mze 2 Con n = 1, 2, 3, 4, que es el número cuántico. Esto des muestra que el radio orbital se encuentra cuantizado. Ahora de la Ecuación se tiene que: 1 Ze 2 4πε 0 r 2 = m v2 r

48 v 2 = 1 Ze 2 4πε 0 mr Y tomando el resultado de r se tiene que la anterior expresión es: v 2 = 1 4πε 0 Ze 2 m (4πε 0 n 2 ħ 2 mze 2) Resolviendo v 2 = 1 Z2 e 4 16π 2 2 ε 0 n 2 ħ 2 Despejando para v se obtiene la expresión que indica que la velocidad orbital del electrón se encuentra cuantizada: v = 1 Ze 2 4πε 0 nħ Con n = 1, 2, 3, 4, que es el número cuántico. La energía total del electrón esta dada por la suma de la energía cinética más la potencial, es decir, E = K + E P, donde: La energía potencial se calcula integrando el trabajo que hace la fuerza de Coulomb que actúa desde r hata y considerando que la energía potencial cuando el electrón esta en el infinito es cero se tiene: E P = 1 Ze 2 4πε 0 r 2 dr = r 1 Ze 2 4πε 0 r Y la energía cinética se encuentra despejando primero a v de la ecuación: y remplazándola en 1 Ze 2 4πε 0 r 2 = m v2 r se obtiene que: K = 1 2 mv2

49 Entonces la energía total del sistema K = 1 Ze 2 8πε 0 r Esta dada por: E = K + E P E = 1 Ze 2 8πε 0 r 1 Ze 2 4πε 0 r = 1 Ze 2 8πε 0 r Y remplazando el valor del radio orbital cuantizado obtenido anteriormente se tiene: E = mz2 e 4 1 (4πε 0 ) 2 2ħ n 2 Con n = 1, 2, 3, 4, que es el número cuántico. Entonces se puede observar que el postulado de la cuantización del momento angular orbital tiene como consecuencia la cuantización de la energía, es decir, que la energía solo puede tomar valor discretos dados por el número cuántico o expresado de otra forma el modelo de Bohr restringe los valores que puede tener la energía del átomo, tal y como se ha deducido en la última ecuación presentada.

50 Figura 10. Diagrama de niveles de energía para el átomo de hidrógeno. La cuantización de la energía se puede observar en la figura 10, que muestra los niveles de energía para el átomo de hidrógeno, donde en la parte derecha se muestra el número cuántico del nivel y en la parte izquierda están los niveles de energía en forma cuantizada. Observe que el estado mas estable para el electrón es cuando el estado de energía es la mínima y ocurre cuando el electrón se encuentra en n = 1. También, se observa que a medida que se aumenta en el número cuántico, es decir, n la energía total se acerca a cero. Ahora, cuando el electrón se mueve desde un estado cuántico n i a un estado cuántico n f la frecuencia de radiación electromagnética emitida estará dada por: ν = E i E f h = E i E f 2πħ = ( 1 2 mz 2 e 4 ) 4óε 0 4πħ 3 ( 1 n 2 1 f n 2 ) i Y ya que O de otra forma ν = c λ

51 1 λ = ν c Entonces, en términos de la longitud de onda, se puede rescribir: 1 λ = ( 1 2 me 4 ) 4πε 0 4πħ 3 c Z2 ( 1 n 2 1 f n 2 ) i Ahora, podemos expresar esta ecuación como donde 1 λ = R Z 2 ( 1 n 2 1 f n 2 ) i R = ( 1 2 me 4 ) 4πε 0 4πħ 3 c Y nf y ni son siempre enteros. Observe que R es el valor teórico de la constante de Rydberg y remplazando o evaluando los valore numéricos Bohr encontró que el valor es de: R = m 1 Y concordaba con el valor experimental de R H dado en la lección 20. El modelo descrito anteriormente se conoce como la física cuántica antigua, el cual presentaba algunas limitaciones como por ejemplo: El modelo de Bohr solo tiene éxito para átomos monoelectrónicos, ya que al aplicarla átomos con dos o más electrones la teoría predice resultados erróneos. En los espectros realizados para otros átomos se observaba que electrones de un mismo nivel energético tenían distinta energía, lo cual predecía que habían errores en el modelo. La teoría predice o establece la manera de calcular las energías de los estados permitidos y lasa frecuencias de los fotones emitidos o absorbidos cuando el sistema sufre transiciones entre estados permitidos, pero no establece la forma de calcular las velocidades de dichas transiciones. Los postulados de Bohr eran una mezcla de la mecánica clásica con la cuántica lo cual los hacen incoherentes. Además, el segundo postulado es bastante arbitrario ya que la única forma de deducir la constante de Rydberg era introduciendoħ.

52 El modelo de Bohr fue refinado por Schrödinger quien describió un modelo atómico que abarca no solo el átomo de hidrógeno sino muchos más átomos. A partir de este nuevo modelo se le llama la física cuántica moderna, la cual se estudiará en la Unidad 2. Lección 22: El principio de correspondencia Este principio fue enunciado por Bohr el cual dice: En el límite cuando los estados cuánticos se hacen muy grandes el comportamiento de la física cuántica de cualquier sistema físico debe corresponder a la física clásica. Esto indica que la teoría cuántica debe corresponder con la teoría clásica en el límite en el cual todo sistema físico se comporta clásicamente. Ejercicios 1. Calcule la longitud de onda de de Broglie para un electrón si su energía cinética es de 120eV. Rta: 1.1x10-10 m 2. Calcule el momento de un electrón que tiene una longitud de onda de 2.0 Å. Rta: 3.3x10-24 kg m/s 3. Un electrón que se mueve en línea recta tiene una incertidumbre en la posición de 10 Å, calcule la incertidumbre en su momento. Rta: 5.25x10-26 kg m/s.

53 4. A partir de la deducción planteada por el modelo de Bohr para la energía, calcule la energía de enlace del átomo de hidrógeno, es decir, la energía que liga al electrón con el núcleo. Recuerde que la energía de enlace es la energía del estado más bajo que corresponde a n=1 y utilice Z=1. Rta: eV. 5. Un electrón que se mueve en línea recta tiene una incertidumbre en su momento de 1.05x10-25, calcule la incertidumbre en su posición. Rta: 5.0 Å. Problemas para la autoevaluación unidad Determine la temperatura de la superficie de una estrella, si se sabe que las estrella se comporta como un cuerpo negro e irradia a la longitud de onda máxima de 7100 A. Además calcule la energía irradiada de la estrella (cuerpo negro) por 1 cm 2 de superficie. 2. a que longitud de onda, una cavidad a 8000 K radiará mas por unidad de longitud de onda? 3. Calcular le energía en ev de los fotones correspondientes a la luz de 850nm.

54 4. Si la función de trabajo para un material es 4.3 ev. Calcule la energía cinética máxima de los electrones expulsados de la superficie pulida del material por la línea ultravioleta de 2537A del material. Calcule el potencial de frenado. 5. Utilizando el postulado de de Broglie, calcule la longitud de onda para los siguientes casos: a) Una pelota de masa 1.5 kg que se mueve con una rapidez de v= 30 m/s b)un electrón que tiene una energía cinética de 98 ev. Compare los resultados. 6. Determine el momento y la energía para un fotón de rayos X que tiene una longitud de onda de 1 Å. Rta: 6.6x10-24 kg m /s, 1.24 x 104eV 7. A partir de la ecuación ρ T (v)dν = 8πν2 c 3 hν 1 ehv kt muestre el procedimiento para llegar a ρ T (λ)dλ = 8πhc dν y sabiendo que ν = c λ 1 λ 5 ehv λkt 1 dλ. Además, utilice esta última expresión para derivar ley de Sfefan-Boltzmann y la ley de Wien. UNIDAD 2 Nombre de la Unidad Introducción ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER En esta unidad se desarrollarán algunos conceptos fundamentes correspondientes a la física cuántica moderna. Se empezará desarrollando la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en una dimensión y estacionaria para finalmente concluir con la ecuación tridimensional e independiente del tiempo. En el desarrollo de esta unidad se citaran algunos ejemplos de potenciales que servirán para la

55 Justificación Intencionalidades Formativas Denominación capítulos de compresión del tema. Esta unidad proporciona al estudiante desarrollar habilidades en el tratamiento de la física cuántica. Que el estudiante pueda comprender y entender el comportamiento del modeló atómico de Schrödinger. Capitulo 4. La Ecuación de Schrödinger I Capítulo 5. La Ecuación de Schrödinger II Capitulo 6. Algunas aplicaciones de la Ecuación de Schrödinger UNIDAD 2. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER 2.1 Capitulo 4: La Ecuación de Schrödinger I Lección 23: Introducción a la Ecuación de Schrödinger. Lección 24: Deducción de la Ecuación de Schrödinger. Lección 25: Densidad de Probabilidad. Lección 26: La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Lección 27: Cuantización de la Energía en la teoría de Schrödinger. 2.2 Capítulo 5: La Ecuación de Schrödinger II Lección 28: El Hamiltoniano y operadores. Lección 29: Valores Promedio o esperados. Lección 30: El potencial cero. Lección 31: El potencial Escalón. Lección 32: La barrera de potencial. 2.3 Capitulo 6: Algunas aplicaciones de la Ecuación de Schrödinger Lección 33: Potencial de pozo cuadrado. Lección 34: Potencial de pozo cuadrado infinito. Lección 35: El potencial del oscilador armónico simple. Lección 36: Átomos con un electrón. Lección 37: Ecuación de Schrödinger tridimensional.

56 Lección 38: Separación de variables para la ecuación de Schrödinger tridimensional y estacionaria. Lección 39: Solución de las ecuaciones (azimutal, polar y radial, para átomos con un solo electrón) INTRODUCCIÓN En esta Unidad se desarrollarán los conceptos fundamentales de la física cuántica que permiten entender el comportamiento de los sistemas físicos a nivel microscópico. Para ello se desarrollará la Ecuación de Schrödinger cuya solución describe el comportamiento del sistema, también se desarrollan ejemplos que a medida que incursionamos en esta unidad pasarán de los más básicos hasta entrar a ejemplos que describen conceptos un poco más complejos, pero cuya única finalidad es entender el funcionamiento de las partículas.

57 Capitulo 4. Ecuación de Schrödinger I Lección 23: Introducción a la Ecuación de Schrödinger En la unidad anterior se estudiaron varios fenómenos que demostraron que los sistemas microscópicos presentan comportamiento como onda en ciertos aspectos y como partícula en otros (Dualidad onda-partícula). En ella, se estudiaron casos o modelos atómicos que solo abarcaban el átomo de hidrógeno, es decir átomos monoelectrónicos, pero surge la pregunta estos modelos (en especial el de Bohr) funciona para átomos diferentes al de hidrógeno o para átomos que no sean monoelectrónicos?, la respuesta es no. Es por ello que

58 existió la necesidad de encontrar un modelo más general para describir el comportamiento de las partículas de cualquier sistema microscópico. En el año de 1926 Erwing Schrödinger desarrollo una teoría que es una extensión de algunos postulados visto en la unidad anterior, conocida como la teoría de Schrödinger de la física cuántica que proporcionó describir el comportamiento de las partículas de cualquier sistema microscópico. Schrödinger utilizó para su planteamiento la ecuación que rige el comportamiento de la función de onda para cada sistema y especificó la conexión que hay entre el comportamiento de la función de onda y el comportamiento de la partícula. Ante de deducir la ecuación de Schrödinger se nombrará cuatro suposiciones claves que se deben cumplir, concernientes a las propiedades que debe tener la Ecuación de Schrödinger, que rige el comportamiento de las partículas de un sistema microscópico: 1. Debe coincidir con los postulados de de Broglie y Einstein, es decir: λ = h p y ν = E h 2. Debe coincidir con la energía total de una partícula de masa m, es decir la ecuación: E = p 2 2m + V El término p 2 2m es la energía cinética y V es la energía potencial. 3. La solución de la ecuación de Schrödinger que se denota por la función de onda Ψ(x, t) y que depende del tiempo y del espacio debe ser lineal. Esto implica, que si existen dos o mas soluciones diferentes de la ecuación de Schrödinger, una combinación de ellas también es solución de la ecuación, es decir: Si las funciones Ψ 1 (x, t), Ψ 2 (x, t), Ψ 3 (x, t),, Ψ n (x, t) Son soluciones de la ecuación de Schrödinger, entonces, la combinación lineal: Ψ(x, t) = c 1 Ψ 1 (x, t) + c 2 Ψ 2 (x, t) + c 3 Ψ 3 (x, t) + + c n Ψ n (x, t) Es también solución de la ecuación de Schrödinger.

59 4. La energía potencial V es una función del espacio y el tiempo, que se considerará como constante, que es el caso de una partícula libre. V(x, t) = V 0 Una vez traídos a colación las cuatro suposiciones anteriores, es necesario que recordemos algunas cantidades complejas que serán de gran ayuda en la deducción y posterior solución de la Ecuación de Schrödinger: El número imaginario i se define como: i 2 = 1 o i = 1 De aquí que: i = 1 i o i = 1 i En general un número complejo por ejemplo z se escribe de la siguiente manera: z = a + ib Donde a y b son números reales. Al número a se le llama parte real de z y al número b se le llama parte imaginaria de z. El complejo conjugado del número z = a + ib se denota por z y estará dado por: z = a ib A partir de esta definición se puede obtener el producto z z que es: z z = (a ib)(a + ib) = a 2 + iab iab i 2 b 2 = a 2 i 2 b 2 Y ya que i 2 = 1 se tiene que: z z = a 2 + b 2 Eso indica que el producto de un número complejo por su complejo conjugado siempre da un número real. Otra cantidad necesaria que se utilizará en nuestros procedimientos es el exponencial complejo que esta dado por: Y su negativo como e iθ = cos θ + i sin θ

60 e iθ = cos θ i sin θ Al igual como se definió el exponencial complejo, podemos definir el coseno y seno de un ángulo en términos de estos exponenciales complejos así: cos θ = eiθ + e iθ 2 Y sin θ = eiθ e iθ 2i Lección 24: Deducción de la Ecuación de Schrödinger Para deducir la ecuación de onda vamos primero introduciremos o recordaremos de cursos anteriores que el número de onda k se define por: k = 2π λ Y la frecuencia angular ω de una onda por: ω = 2πν Ahora empecemos a deducir la ecuación de Schrödinger. Remplazando la suposición 1 que es: En la suposición 2 que era: Se tiene que: λ = h p y ν = E h E = p 2 2m + V hν = h 2 2m λ 2 + V(x, t) Ahora, multiplicando y dividiendo el término de la izquierda por 2π y el primer término de la derecha por 4π 2, se tiene que la expresión anterior es: hν 2π 2π = h2 4π 2 2mλ 2 4π 2 + V(x, t)

61 Utilizando la frecuencia angular y el número de onda definido anteriormente la expresión anterior es: Y ahora ya que Obtenemos que: o hω 2π = h2 k 2 + V(x, t) 2m4π2 ħ = h 2π ħω = ħ2 k 2 2m + V(x, t) ħ 2 k 2 + V(x, t) = ħω 2m Ahora, haciendo uso de la 3 y 4 suposición, vamos a introducir la siguiente ecuación diferencial, que debe cumplir con las suposiciones nombradas: α 2 Ψ(x, t) x 2 Ψ(x, t) + V(x, t)ψ(x, t) = β t Donde las constantes α y β se determinarán. Recordemos que la solución de esta ecuación diferencial es la función de onda Ψ(x, t) y esta debe cumplir con las suposiciones anteriores. Ahora, la función de onda o solución de la ecuación diferencial que cumple con las suposiciones esta dada por: Ψ(x, t) = cos(kx ωt) + γ sin(kx ωt) Donde γ es otra constante a determinar. Ahora, vamos a derivar parcialmente esta función cuantas veces sea necesario y los resultados los remplazaremos en la ecuación diferencial, así: Ψ(x, t) x 2 Ψ(x, t) x 2 Ψ(x, t) t = k sin(kx ωt) + kγ cos(kx ωt) = k 2 cos(kx ωt) k 2 γ sin(kx ωt) = ω sin(kx ωt) ωγ cos(kx ωt) Ahora remplazando, recordando que V(x, t) = V 0 se tiene:

62 α 2 Ψ(x, t) x 2 Ψ(x, t) + V 0 Ψ(x, t) = β t α[ k 2 cos(kx ωt) k 2 γ sin(kx ωt)] + V 0 [cos(kx ωt) + γ sin(kx ωt)] = β[ω sin(kx ωt) ωγ cos(kx ωt)] Ahora resolviendo los corchetes: k 2 α cos(kx ωt) k 2 γ α sin(kx ωt) + V 0 cos(kx ωt) + V 0 γ sin(kx ωt) = βω sin(kx ωt) βωγ cos(kx ωt) Agrupando términos semejantes: [ k 2 α + V 0 + βωγ] cos(kx ωt) + [ k 2 γα + V 0 γ βω] sin(kx ωt) = 0 Ahora como la ecuación debe cumplirse se tiene: [ k 2 α + V 0 + βωγ] = 0 de lo cual: Y de lo cual: ó k 2 α + V 0 = βωγ [ k 2 γα + V 0 γ βω] = 0 k 2 γα + V 0 γ = βω k 2 α + V 0 = βω γ Restando estas dos ecuaciones tenemos: k 2 α + V 0 = βωγ k 2 βω α + V 0 = γ 0= βωγ βω γ Por lo tanto γ = 1 γ O Y de aquí que: γ 2 = 1 γ = ± 1 = ±i

63 Remplazando este resultado en: k 2 α + V 0 = βωγ Se tiene: k 2 α + V 0 = iβω Comparando este resultado directamente con ħ 2 k 2 + V(x, t) = ħω 2m Se deduce que: Y α = ħ2 2m iβ = ħ Utilizando las propiedades del imaginario y utilizando solo la parte positiva β = iħ Una vez encontradas todas nuestras constantes, las remplazamos en nuestra ecuación diferencial α 2 Ψ(x, t) x 2 para obtener finalmente la ecuación: Ψ(x, t) + V(x, t)ψ(x, t) = β t ħ2 2 Ψ(x, t) Ψ(x, t) 2m x 2 + V(x, t)ψ(x, t) = iħ t Que es la ecuación diferencial que satisface las suposiciones nombradas en el capítulo anterior, y se conoce como la ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER. Lección 25: Densidad de Probabilidad La densidad de probabilidad especifica la probabilidad de encontrar una partícula en una cierta región en el eje x al tiempo t. Recordemos que el principio de incertidumbre establece que no es posible conocer la ubicación de una partícula

64 con exactitud y su momento, de aquí, que la densidad de probabilidad es una medida estadística. Esta densidad esta dada por P(x, t) = Ψ (x, t)ψ(x, t) Donde el asterisco que aparece en la función es el complejo conjugado, que se obtiene de la misma forma como se expreso en las cantidades complejas estudiadas anteriormente. Ejemplo: Encontrar la densidad de probabilidad de la función de onda Ψ(x, t) = ( Cm 2ħ Ae )x2 e (i 2)( C/m)t, que representa la función de estado de menor energía de un oscilador armónico simple, que tiene masa m y que es actuado por una fuerza de restitución C lineal y constante. Para el punto de equilibrio del oscilador la energía potencial independiente del tiempo esta dada por V(x, t) = V(x) = C x 2 2. Solución: Como tenemos que evaluar la expresión para la densidad es necesario encontrar el conjugado de la función que esta dado por: Ψ ( Cm 2ħ (x, t) = Ae )x2 e +(i 2)( C m )t Entonces la densidad de probabilidad esta dada por: P(x, t) = Ψ ( Cm 2ħ (x, t)ψ(x, t) = [Ae )x2 e +(i 2)( C m )t ( Cm 2ħ ] [Ae )x2 e (i 2)( C m )t ] P(x, t) = A 2 e ( Cm ħ)x2 Entonces, observe que en el resultado del ejemplo la densidad de probabilidad es independiente del tiempo. A partir de la densidad de probabilidad, se define la probabilidad total de encontrar una partícula en toda la región. Ahora, suponemos que la partícula se encuentra en algún lugar desde - hasta +, entonces la probabilidad de encontrar la partícula en toda la región es de 1 y estará dada por la ecuación: P(x, t) dx = Ψ (x, t)ψ(x, t) dx = 1

65 Ejemplo: Encontrar la variable A del ejemplo anterior utilizando el concepto de probabilidad total. Cabe resaltar que al hecho de encontrar la constante A se conoce como normalizar la función de onda. Ya que: P(x, t) = A 2 e ( Cm ħ)x2 Entonces tenemos que la probabilidad total es: P(x, t) dx = A 2 e ( Cm ħ)x2 dx = 1 Como A es una constante tenemos que: A 2 e ( Cm ħ)x2 dx = 1 Entonces para encontrar la integral que aparece es necesario que recordemos algunos conceptos útiles para poder afrontarla: Función simétrica: una función es simétrica respecto al eje y si la función es par, es decir si se cumple que: f( x) = f(x) Para nuestro ejemplo se puede apreciar que la función e ( Cm ħ)x2 es par y la gráfica de esta se muestra en la figura 11. Figura 11. Simetría de la función de probabilidad.

66 A partir de esta simetría podemos expresar nuestra integral como: A 2 e ( Cm ħ)x2 dx = 2A 2 e ( Cm ħ)x2 Ahora, recordando de nuestro curso de cálculo integral que: e au2 du 0 0 = 1 2 π a dx = 1 Se tiene que: 2A 2 e ( Cm ħ)x2 0 dx = 2A π Cm ħ = 1 Por lo tanto se obtiene que: A = (Cm)1 8 (πħ) 1 4 Entonces, nuestra función normalizada esta dada por: Ψ(x, t) = (Cm)1 8 (πħ) 1 4 e ( Cm 2ħ )x2 e (i 2)( C/m)t Lección 26: La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo Para deducir la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo vamos a partir de la ecuación dependiente del tiempo: ħ2 2 Ψ(x, t) Ψ(x, t) 2m x 2 + V(x, t)ψ(x, t) = iħ t y vamos a encontrar una función que sea solución de esta ecuación y que sea de la forma: Ψ(x, t) = ψ(x)φ(t) Podemos observar que va ser una función de onda compuesta por dos funciones una que sea dependiente del espacio y otra que sea dependiente del tiempo. Para dicho fin, vamos a considerar que la energía potencial de una partícula no dependa del tiempo y por lo tanto vamos a tener:

67 V(x, t) = V(x) Partamos de la función solución y remplacemos la solución planteada en ella, así: ħ2 2 ψ(x)φ(t) 2m x 2 + V(x)ψ(x)φ(t) = iħ ψ(x)φ(t) t Ahora, encontremos algunas derivadas necesarias: Ψ(x, t) = ψ(x)φ(t) 2 ψ(x)φ(t) x 2 ψ(x)φ(t) t = φ(t) 2 ψ(x) x 2 = ψ(x) φ(t) t Y ya que la funciones solo dependen de la variable independiente podemos hacer: 2 ψ(x)φ(t) x 2 ψ(x)φ(t) t = φ(t) d2 ψ(x) dx 2 = ψ(x) dφ(t) dt Ahora remplazando estos últimos valores en la ecuación: Tenemos que: ħ2 2 ψ(x)φ(t) 2m x 2 + V(x)ψ(x)φ(t) = iħ ψ(x)φ(t) t ħ2 2m φ(t) d2 ψ(x) dx 2 + V(x)ψ(x)φ(t) = iħψ(x) dφ(t) dt Ahora dividiendo el resultado anterior entre ψ(x)φ(t) 1 ψ(x)φ(t) ( ħ 2 2m φ(t) d2 ψ(x) ) + 1 (V(x)ψ(x)φ(t)) = 1 dx 2 ψ(x)φ(t) ψ(x)φ(t) (iħψ(x) dφ(t) dt ) Tenemos que:

68 2 1 ψ(x) [ ħ 2m d 2 ψ(x) dx 2 + V(x)ψ(x)] = iħ dφ(t) φ(t) dt Hemos llegado a una ecuación diferencial independiente del tiempo en el lado izquierdo de la igual y en lado derecho tenemos una ecuación diferencial independiente del espacio. Ahora vamos a separar estas dos ecuaciones y las vamos igualar cada una a un valor común: Y 2 1 ψ(x) [ ħ 2m d 2 ψ(x) dx 2 iħ φ(t) dφ(t) dt + V(x)ψ(x)] = D = D Esta última ecuación es una ecuación diferencial de variables separables de grado 1 y la podemos resolver haciendo uso de nuestro curso de Ecuaciones Diferenciales así: Separando las variables tenemos: iħ dφ(t) = D φ(t) dt dφ(t) φ(t) = id ħ dt Ahora para solucionar integramos a ambos lados: dφ(t) φ(t) = id ħ dt ln φ(t) = id ħ t Aplicando Euler a cada lado de nuestra igualdad tenemos y la propiedad e ln u = u: e ln φ(t) = e id ħ t

69 φ(t) = e id ħ t Entonces, la solución a la ecuación diferencial es la anterior expresión y haciendo uso de las cantidades complejas estudiadas en las lecciones anteriores la podemos rescribir como: φ(t) = e id ħ t = cos( D h t) i sin(d h t) Podemos mirar que esta función es oscilante en el tiempo cuya frecuencia es ν = D h Y ya recordando de los postulados de de Broglie que la frecuencia es: Tenemos que ν = E h D h = E h De lo que se tiene el valor de nuestra constante: D = E Y ahora remplazando este valor en la ecuación diferencial: Se tiene que: 2 1 ψ(x) [ ħ 2m d 2 ψ(x) dx 2 + V(x)ψ(x)] = D ħ2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 + V(x)ψ(x) = Eψ(x) Que se conoce como LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO. Recordemos que nuestra solución planteada de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo queda como:

70 Ψ(x, t) = ψ(x)φ(t) = ψ(x)e ie ħ t Lección 27: Cuantización de la Energía en la teoría de Schrödinger En los capítulos siguientes se demostrará que para una partícula que es actuada por un potencial que es independiente del tiempo, la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo tiene soluciones si solamente la energía de la partícula se encuentra cuantizada, esto es, que la energía pueda tomar valores E1, E2, E3,, En y a cada valor de la energía le corresponderá una solución independiente del tiempo ψ 1 (x), ψ 2 (x), ψ 3 (x),, ψ n (x) y para cada función habrá una función de onda correspondiente Ψ 1 (x), Ψ 2 (x), Ψ 3 (x),, Ψ n (x). Ejercicios 1. Si se conoce que las funciones de onda Ψ 1 (x, t), Ψ 2 (x, t), Ψ 3 (x, t) son soluciones de la ecuación de Schrödinger para un potencial particular V(x, t), compruebe que una combinación lineal de la forma Ψ(x, t) = c 1 Ψ 1 (x, t) + c 2 Ψ 2 (x, t) + c 3 Ψ 3 (x, t) es también solución de la ecuación de Schrödinger.

71 2. Utilice la condición de normalización para encontrar el valor de la constante B si la función de onda ψ(x) = B sin ( nπx ) e ie 0t ħ se define en el intervalo 0 x L. 3. Para el ejercicio anterior determine la probabilidad de encontrar la partícula en la región de 0 x L 4 para n=0, 2, 4, 6, 8, L Capítulo 5. La ecuación de Schrödinger II Lección 28: El Hamiltoniano y operadores.

72 Ahora podemos representar la energía del sistema haciendo uso del Hamiltoniano o también conocido como el operador de energía, entonces, se puede expresar la energía (E) como: H(p, x) = p 2 2m + V = E Donde H(p, x) se conoce como el Hamiltoniano. Esta función nos servirá para escribir la ecuación de Schrödinger de forma abreviada, para ello es necesario establecer algunos operadores. Operadores: un operador es una expresión que como su nombre lo indica opera sobre una función, por ejemplo podemos considerar el número 5 como operador, puesto que éste puede operar como multiplicador a una función cualquiera haciendo que los valores del dominio de la función sean 5 veces ese valor en el rango. Vamos a definir algunos operadores, por ejemplo, consideremos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: Esta la podemos escribir como: ħ2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 + V(x)ψ(x) = Eψ(x) ( ħ2 d 2 + V(x)) ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2 Y a la expresión entre paréntesis se le llama el operador Hamiltoniano y se denota como: d 2 H = ħ2 2m dx 2 + V(x) Entonces podemos utilizar éste operador para abreviar la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo como: Hψ(x) = Eψ(x)

73 Cabe destacar que no debemos cancelar la función ψ(x) de nuestra función, puesto que el operador Hamiltoniano no es un multiplicador escalar simple, esta se debe leer como: el operador H que actua sobre la función ψ(x) = Energía total que multiplica a ψ(x) No solamente podemos definir ese operador, sino que va de ser gran utilidad definir otros operadores como los siguientes: El operador momento esta dado por: P = iħ x El operador energía como: E = iħ t Utilizando los anteriores operadores ahora podemos escribir la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo Como ħ2 2 Ψ(x, t) Ψ(x, t) 2m x 2 + V(x, t)ψ(x, t) = iħ t HΨ(x, t) = EΨ(x, t) Recuerden que no podemos cancelar la función, puesto que estamos utilizando operadores y no simples multiplicadores. Lección 29: Valores Promedio o esperados. Hasta el momento hemos mirado que la densidad de probabilidad nos permite conocer la posición y el momento más probables de una partícula en un tiempo dado. Ahora vamos a calcular valores probables de otras cantidades dinámicas observables con las que a menudo nos enfrentamos. Para calcular los valores esperados de cualquier función o cantidad dinámica utilizamos la siguiente formula siempre:

74 f(x, p, t) = f(x, p, t) = Ψ (x, t) f(x, p, t) Ψ(x, t) dx Donde f(x, p, t) es una cantidad dinámica u operador arbitrario que puede depender del espacio, momento o tiempo. Miremos algunos ejemplos del valor promedio o esperado de algunas funciones: El valor esperado de la posición de una partícula esta dado por: x = Ψ (x, t) x Ψ(x, t) dx Y se define como el promedio de los valores observados para especificar la posición de una partícula asociada con la función de onda. El valor esperado del momento de una partícula esta dado por: p = Ψ (x, t) P Ψ(x, t) dx = p = iħ Ψ (x, t) Ψ (x, t) ( iħ ) Ψ(x, t) dx x Ψ(x, t) x El valor esperado de la energía la podemos escribir como: E = Ψ (x, t) E Ψ(x, t) dx = E = iħ Ψ (x, t) O en términos del momento y el potencial como: E = Ψ (x, t) H Ψ(x, t) dx = dx Ψ (x, t) (iħ ) Ψ(x, t) dx t Ψ(x, t) x dx 2 Ψ (x, t) ( ħ2 + V(x)) Ψ(x, t) dx 2m x2 Y finalmente el valor esperado de la energía potencial la podemos expresar como: V(x, y) = V(x, y)ψ (x, t) Ψ(x, t) dx

75 Ya que el potencial es una cantidad algebraica. Analicemos el siguiente ejemplo donde se verificará que la energía cinética se encuentra cuantizada. Ejemplo: Una partícula se encuentra encerrada en una caja de longitud L, calcular el valor esperado de su energía cinética K si su función de onda es: Solución: ψ n (x) = i 2 sin (nπx L L ) Ya que la energía cinética de la partícula la podemos escribir en función del momento tenemos que: K = p2 2m Entonces el valor esperado de la energía cinética es: L K = ψ (x) ( p2 2m ) ψ(x) dx 0 Ahora analicemos que el factor 2m lo podemos sacar de nuestra integral quedando: L K = 1 2m ψ n (x) (p 2 ) ψ n (x) dx Y sabemos que el memento tiene expresado como operador es: 0 P = iħ x Pero como lo tenemos elevada al cuadrado se tiene: ( P) 2 = ( iħ x ) 2 Por lo tanto remplazando este último se obtiene: = ħ 2 2 x 2

76 L K = 1 2m ψ n (x) ( ħ 2 2 x 2) ψ n(x) dx 0 L K = ħ2 2m ψ n (x) ( 2 x 2) ψ n(x) dx Ahora encontremos el complejo conjugado de la función que es: 0 ψ n (x) = i 2 sin (nπx L L ) Remplazado finalmente el complejo conjugado de la función y la función se tiene: Derivando la función K = ħ2 2m ( i 2 L 0 L 2 sin (nπx)) L x 2 (i 2 sin (nπx L L )) dx 2 x 2 (i 2 sin (nπx L L )) = i 2 L n 2 π 2 L 2 sin (nπx L ) Remplazando K = ħ2 2m ( i 2 L 0 L sin (nπx L )) ( i 2 L n 2 π 2 L 2 sin (nπx L )) dx Y operando tenemos: K = n2 π 2 ħ 2 ml 3 L sin 2 ( nπx L ) dx 0 e integrando: Y finalmente evaluando se tiene que: K = n2 π 2 ħ 2 ml 3 [ 1 L L x sin (nπx 2 4nπ L )] 0 K = n2 π 2 ħ 2 ml 3 [ 1 2 L] Por lo tanto el valor esperado de la energía cinética es de:

77 K = n2 π 2 ħ 2 2mL 2 Se puede apreciar que la energía cinética depende de n y que solo puede tomar valores de n=1,2,3,4, por lo tanto se observa que la energía cinética se encuentra cuantizada en valores discretos. Para finalizar este capítulo vamos a estudiar el comportamiento de sistemas microscópicos, considerando potenciales de forma sencilla cuya característica principal es que no pueden ligar a una partícula, estos servirán como introducción a los potenciales enlazantes. Lección 30: El potencial cero Vamos a considerar el caso más elemental de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, y es para cual la partícula se mueve libremente, es decir, que la fuerza que actúa sobre ella es cero. Entonces, encontraremos el comportamiento de la partícula libre predicha por la física cuántica, para ello es necesario resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo haciendo el potencial como cero. Consideremos la ecuación haciendo V(x) = 0 ħ2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 = Eψ(x) Cuya solución esta dada por la combinación lineal: ψ(x) = Ae ikx + Be ikx Donde k = 2mE ħ y las constantes arbitrarias A y B. Analicemos con más detalle este resultado. La combinación lineal presenta dos casos, uno para el cual el exponentes es positivo, lo que indica que la onda viaja en la dirección en que x crece y el segundo es para el cuál el exponente es negativo que indicara que la onda viaja en el sentido en que x decrece. Entonces, para el caso en que la onda viaja en dirección en la que crece x, se tiene que la función es:

78 Y la respectiva función de onda será: ψ(x) = Ae ikx Ψ(x, t) = ψ(x)φ(t) = ψ(x)e ie ħ t = Ae ikx e iωt = Ae i(kx ωt) Lo cual nos indicará que si un la partícula tiene o presenta movimiento dado por las ecuaciones anteriores, entonces, esa partícula viajará en la que x crece. Calculemos el valor esperado de la partícula: p = Ψ (x, t) P Ψ(x, t) dx = + 2mE Este resultado es el valor esperado del momento de una partícula cuyo movimiento es en la dirección en que x crece con energía total E en una región donde la energía potencial es cero. Para el segundo caso en el cuál el exponente es negativo que indicara que la onda viaja en el sentido en que x decrece se tiene que: Y la respectiva función de onda será: ψ(x) = Ae ikx Ψ(x, t) = ψ(x)φ(t) = ψ(x)e ie ħ t = Ae ikx e iωt = Ae i( kx ωt) Y obteniendo el valor esperado del momento de la partícula se tiene: p = Ψ (x, t) P Ψ(x, t) dx = 2mE Lo cual indica el movimiento de la partícula que se dirige en la dirección en que x decrece. Recuerde que los resultados anteriores son los valores del momento esperado de la partícula y tenga claro que la posición exacta se desconoce. Lección 31: El potencial Escalón. Vamos a considerar dos casos para este tipo de potencial. Observe la figura 12. la cual nos permitirá apreciar el potencial escalón (figura (a)) y los dos casos a tratar (figuras (b) y (c)).

79 En ella se observa que se tratarán casos en los cuales la energía potencial presenta o tiene valores distintos para los diferentes intervalos de x. En la naturaleza no existen este tipo de potenciales, pero son muy útiles puesto que muchos fenómenos naturales se pueden idealizar de esta forma para ser tratados. La parte (a) de la figura 12 describe el potencial de una partícula que a medida que se aproxima a la posición x=0 el potencial cambia de cero a un potencial V0 de una forma abrupta, más adelante miraremos que esta clase de potenciales son muy parecidos a la energía potencial de un electrón que se encuentra cerca de la superficie de un metal. Figura 12. (a) potencial escalón, el potencial cambia bruscamente cuando x=0. (b) potencial escalón donde la energía E es menor que el potencial V0. (c) potencial escalón donde la energía E es mayor que el potencial V0. Caso I: EL potencial escalón para el cual la energía es menor que el potencial V0: Vamos a considerar el caso en que la partícula se mueve libremente de izquierda a derecha, este movimiento viene dado por la solución de la Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, es decir, la función de onda. En la figura siguiente vamos a observar el caso a tratar.

80 Figura 13. Partícula que se mueve de izquierda a derecha, incidente en un potencial escalón, con energía total menor que la altura del escalón. Como se aprecia en la figura 13, la energía de la partícula puede tomar cualquier valor (es un parámetro más), pero recuerde que esta relacionada con el momento y masa. Según nuestra gráfica, se aprecia que el eje x se divide en dos regiones una para x<0 y la otra para x>0, entonces como se divide en dos regiones es necesario conocer el comportamiento de la partícula para cada una de ellas y por tanto se deben encontrar dos funciones de onda o lo que es lo mismo dos soluciones de la Ecuación de Schrödinger para cada región. Las ecuaciones a resolver son las siguientes: Para el caso donde x<0 se tiene: Y para el caso donde x>0 se tiene que: ħ2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 = Eψ(x) ħ2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 + V 0 ψ(x) = Eψ(x) Entremos a resolverlas. Observe que para el caso donde x<0 se presenta el mismo caso estudiado en la sección anterior (potencial cero), para lo cual nos arrojó que la solución de esta ecuación es: ψ(x) = Ae ik 1x + Be ik 1x Donde k 1 = 2mE ħ

81 Para cuando x>0 tenemos la ecuación: ħ2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 + V 0 ψ(x) = Eψ(x) Rescribiendo esta ecuación tenemos una ecuación diferencial de segundo orden lineal y de coeficientes constantes: d 2 ψ(x) dx 2 2m ħ 2 (V 0 E)ψ(x) = 0 Desarrollando esta ecuación, tenemos que la solución esta dada por: Donde ψ(x) = Ce k 2x + De k 2x k 2 = 2m(V 0 E) ħ Recuerde que el valor de K2 es positivo puesto hemos considerado que el potencial V0 es mayor que la energía E, para el caso que x>0. Ahora, como hemos encontrado las soluciones de las Ecuaciones de Schrödinger para las dos regiones es necesario que establezcamos algunas condiciones de frontera que nos permita encontrar las constantes A, B, C, D. Es necesario que dichos valores de las constantes deban satisfacer los siguientes criterios para las funciones o soluciones: Las funciones deben estar definidas, es decir, finitas. Las funciones deben ser continuas en todas las regiones. La segunda derivada de la función debe estar definida y continua, es decir, debe existir. La derivada temporal debe existir. Para cumplir las condiciones anteriores analicemos lo siguiente: cuando x tiende a infinito para la región x>0 la función obtenida también crece hacia el infinito, entonces, para que la función sea finita la constante C que acompaña el término que produce dicha irregularidad debe ser cero. La función que se tendrá es: ψ(x) = De k 2x para x>0

82 Ahora, como la función en toda región debe ser continua, las dos funciones en el punto x=0 se deben unir, da tal manera que se cumplan las condiciones anteriores, es decir, que la función y su primera derivada sean continuas. Entonces para satisfacer la continuidad de la función se debe satisfacer que las dos funciones en ese punto deben ser iguales: Entonces se tiene la relación: ψ(x) x=0 (para x > 0) = ψ(x) x=0 (para x < 0) Evaluando tenemos: De k 2x x=0 = Ae ik 1x x=0 + Be ik 1x x=0 D = A + B Ahora, miremos la continuidad de la derivada de las dos funciones, para ello es necesario que encontremos las dos derivadas: Para el caso cuando x<0 tenemos: dψ(x) dx Y para cuando x>0: = d(aeik 1x + Be ik 1x ) dx = ik 1 Ae ik 1x ik 1 Be ik 1x dψ(x) dx = d(de k 2x ) dx = k 2 De k 2x Entonces, estas derivadas deben ser continuas en el punto x=0, por lo tanto, deben ser iguales en ese punto, así: dψ(x) dx x=0 = dψ(x) dx x=0 Evaluando: k 2 De k 2x x=0 = ik 1 Ae ik 1x x=0 ik 1 Be ik 1x x=0 k 2 D = ik 1 A ik 1 B = ik 1 (A B) Por lo tanto ik 2 k 1 D = A B

83 Para encontrar el valor de A y B vamos a sumar las ecuaciones encontradas: D = A + B ik 2 D = A B k 1 (1 + ik 2 k 1 ) D = 2A De ahí que A = D 2 (1 + ik 2 k 1 ) Ahora, para el valor de B, restamos las dos ecuaciones: D = A + B ik 2 D = A B k 1 (1 ik 2 k 1 ) D = 2B De ahí que B = D 2 (1 ik 2 k 1 ) Entonces, la función para toda la región o lo que es lo mismo para nuestro potencial donde la energía es menor que el potencial, la podemos expresar en términos de D: D ψ(x) = { 2 (1 + ik 2 ) e ik1x + D k 1 2 (1 ik 2 ) e ik 1x k 1 x 0 De k 2x x 0 Observe, que la constante D va a determinar la amplitud de la función. Entonces ahora podemos expresar la función de onda de nuestro potencial como: Ψ(x, t) = { ψ(x)φ(t) = (Aeik1x + Be ik1x )e ie ħ t = Ae i(k 1 x ie ħ t) + Be i( k 1 x ie ħ t) x 0 ψ(x)φ(t) = (De k2x )e ie ħ t x 0 Observe que para cuando x<0 la función de onda presenta dos términos, el primero de ellos indica es una onda que viaja propagándose en la dirección en que x crece y describe a una partícula viajando en esa dirección; el segundo también

84 es una onda viajera pero se propaga en la dirección en que x decrece y describe una partícula moviendo en esa dirección. Lo anterior nos indica que podemos asociar el primer término con la incidencia de la partícula con el potencial escalón, y el segundo con la reflexión de la partícula con el mismo. A partir de ello, podemos calcular el coeficiente de reflexión R que nos indicará la amplitud de la parte reflejada de la función de onda incidente y estará dada por: R = v 1B B v 1 A A Donde v 1 es la velocidad de la partícula en la región. Ahora remplazando los términos encontrados anteriormente se tiene que el coeficiente de reflexión es: ik R = B B (1 + 2 ) (1 ik 2) A A = k 1 k 1 (1 ik 2) (1 + ik = 1 2) k 1 k 1 Los que nos arrojó que el coeficiente de reflexión para la función de onda sea 1, y lo que indica es que una partícula al chocar contra este potencial escalón siempre se va a reflejar, lo cual es cierto o concuerda con la física clásica. Analicemos estos resultados de otro punto de vista. Podemos expresar la función para el pozo de potencial en términos de: Entonces quedaría de la forma e ik 1x = cos(k 1 x) + i sin(k 1 x) ψ(x) = { D cos(k 1x) D k 2 k 1 sin(k 1 x) x 0 De k 2x x 0 Si ahora, encontramos la función de onda asociada y la graficamos para cuando x<0, tenemos lo siguiente (ver figura 14):

85 Figura 14. Representación de la función de onda para cuando x<0. La figura 14 nos muestra el comportamiento de la función de onda y por tanto el movimiento de la partícula para la región cuando x<0, en la parte superior de ella se encuentra la onda incidente en el punto x=0 del potencial, en la parte media se encuentra la onda reflejada después del choque con la barrera de potencial y finalmente en la parte inferior se muestra la suma de las dos ondas anteriores que producen o dan como resultado una onda estacionaria. Para el caso cuando x>0 la figura 15 muestra el comportamiento: Figura 15. Gráfica de la función para el potencial escalón.

86 En esta se a graficado solamente la función que es real si se toma la constante D como real, ahora encontremos la densidad de probabilidad para la función de onda encontrada para la región donde x>0: Ψ (x, t)ψ(x, t) = (D e k 2x e ie ħ t ) (De k 2x e ie ħ t ) = D De 2k 2x La gráfica de la densidad de probabilidad se muestra en la figura 16, en la cual se puede apreciar que a partir del punto x=0, la función de onda empieza a decrecer y por lo tanto existe una probabilidad finita en la cual se puede encontrar a la partícula en la región de x>0. Analizando este resultado de forma clásica es imposible que ocurra, ya que la energía total de la partícula es menor que la energía potencial o lo que es lo mismo, si una partícula cuya energía es menor que la energía de un potencial repulsivo siempre va a rebotar contra la barrera de potencial que se le imponga. Ahora, cuánticamente existe la probabilidad de la partícula que tiene menor energía que el potencial pueda atravesarlo, a este fenómeno se le conoce como penetración de potencial. Dicha penetración puede ser calculada mediante la fórmula: ħ x = 2m(V 0 E) Donde a la variación de x se le conoce como la distancia de penetración. Figura 16. Densidad de probabilidad para el potencial escalón.

87 Caso II: EL potencial escalón para el cual la energía es mayor que el potencial V0: ahora vamos a considerar el caso mostrado en la parte (c) de la figura 12. La partícula se moverá con una energía E mayor (este valor es arbitrario) que la del potencial tal y como se muestra en la figura 17. Figura 17. Partícula que se mueve de izquierda a derecha, incidente en un potencial escalón, con energía total mayor que la altura del escalón. Clásicamente se tendría que la partícula sigue el trayecto de la línea punteada, puesto que la energía total de ella es mayor que el potencial y por tanto no se verá afectada. Vamos a mirar o a demostrar que cuánticamente existe la probabilidad de que la partícula se devuelva cuando se encuentre en el punto x=0. Al igual que en el potencial anterior vamos a tener dos regiones una para x>0 y otra para x<0, entonces tenemos una ecuación de Schrödinger para cada región: Para el caso donde x<0 se tiene: ħ2 2m d 2 ψ(x) dx 2 = Eψ(x) Y para el caso donde x>0 ahora la energía E>V0 se tiene que: ħ2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 + V 0 ψ(x) = Eψ(x) Entonces, para el caso donde x<0 tenemos nuevamente una partícula libre y la solución de la ecuación es:

88 Donde ψ(x) = Ae ik 1x + Be ik 1x k 1 = 2mE ħ Para la segunda región, es decir, x>0 tenemos que la ecuación la podemos escribir como: d 2 ψ(x) dx 2 Desarrollando la ecuación se tiene: = p 1 ħ + 2m ħ 2 (E V 0)ψ(x) = 0 ψ(x) = Ce ik 2x + De ik 2x Donde k 2 = 2m(E V 0) ħ = p 2 ħ Recuerde que el valor de K2 aquí también es positivo puesto hemos considerado que la energía E es mayor que el potencial V0, para el caso que x>0. Ahora, nuevamente debemos encontrar las constantes A, B, C, D, de tal manera que las soluciones cumplas las mismas condiciones que en el caso anterior. Entonces, analicemos que el segundo término de la última solución describe una onda que viaja en la dirección en que x decrece para la región x>0, lo cual indica que debe haber un punto más allá del punto x=0 que cause dicha reflexión de la onda, pero como en realidad no existe entonces se debe hacer a D=0 y por lo tanto tenemos que la solución para esta región es: ψ(x) = Ce ik 2x Ahora debe cumplirse que en el punto x=0 las funciones y sus derivadas deben ser continuas, por lo tanto y siguiendo el mismo procedimiento para el potencial escalón anterior se tiene que satisfacer que: Entonces se tiene la relación: ψ(x) x=0 (para x > 0) = ψ(x) x=0 (para x < 0) Evaluando Ce ik 2x x=0 = Ae ik 1x x=0 + Be ik 1x x=0

89 A + B = C Para el caso de las derivadas se debe cumplir que: Entonces dψ(x) dx x=0 = dψ(x) dx x=0 ik 1 Ae ik 1x x=0 ik 1 Be ik 1x x=0 = ik 2 Ce ik 2x x=0 Evaluando: Por lo tanto ik 1 A ik 1 B = ik 1 (A B) = ik 2 C k 1 (A B) = k 2 C A B = k 2 k 1 C Sumando y restando los resultados podemos llegar a encontrar a B y C en términos de A, así: Y B = k 1 k 2 k 1 + k 2 A C = 2k 1 k 1 + k 2 A Entonces, la función para toda la región la podemos expresar en términos de A: Ae ik1x + k 1 k 2 Ae ik 1x x 0 k ψ(x) = 1 + k 2 2k 1 Ae ik 2x x 0 { k 1 + k 2 La función de onda de nuestro potencial es: Ψ(x, t) = { ψ(x)φ(t) = (Aeik 1x + Be ik 1x )e ie ħ t = Ae i(k 1 x ie ħ t) + Be i( k 1 x ie ħ t) x 0 ψ(x)φ(t) = (Ce ik 2x )e ie ħ t x 0

90 Se observa que para la región x<0, el primer término corresponde a la onda viajera incidente y el segundo término representa la onda reflejada en el punto x=0, lo cual nos indica que cuánticamente existe la posibilidad de que la onda se refleje a pesar de que la energía E sea mayor que el potencial V0. El segundo término nos indica la onda transmitida desde la región x<0 hacia la región x>0. La probabilidad de que la partícula sea reflejada por el potencial escalón esta dada por el coeficiente de reflexión: R = v 1B B v 1 A A Recuerde que E>V0, remplazando tenemos que: R = B 2 B A A = (k 1 k 2 ) k 1 + k 2 De aquí se tiene que el coeficiente de reflexión es menor que 1 cuando la energía E es mayor que el potencial, lo cual nos indica tal y como se nombró anteriormente, existe la probabilidad de que la onda será reflejada, esto visto de una forma clásica es imposible que suceda ya que no existe ninguna barrera que cause dicho efecto. Ahora miremos que ocurre con la onda transmitida y para ello es necesario que analicemos el coeficiente de transmisión que indica la probabilidad de que la partícula sea transmitida desde la región x<0 hasta la región x>0, el cual esta dado por: T = v 2C C v 1 A A = v 2 ( 2k 2 1 ) v 1 k 1 + k 2 Donde ahora v 2 es la velocidad de la partícula en la región donde x>0. Entonces, escribiendo a las velocidades en términos de los números de onda: Y v 1 = p 1 m = ħk 1 m v 2 = p 2 m = ħk 2 m Remplazando en el coeficiente de transmisión:

91 T = v 2C C v 1 A A = v 2 ( 2k 2 1 ) = 4k 1k 2 v 1 k 1 + k 2 (k 1 + k 2 ) 2 Ahora tomando el resultado del coeficiente de reflexión y transmisión se tiene que: R + T = 1 Ahora, ya que vimos que el coeficiente de reflexión es menor que 1 o lo que es lo mismos mayor que cero, entonces el coeficiente de transmisión es menor que uno, lo que nos indica que existe la probabilidad de que la onda sea reflejada o de que no penetre la región x>0. Cabe resaltar que si tenemos potenciales escalón en el sentido contrario de la figura 12, los resultados expuestos en esta lección son los mismos. Lección 32: La barrera de potencial Ahora vamos a considerar una barrera de potencial tal y como se muestra en la siguiente figura 18. Figura 18. Barrera de potencial. De la figura se observa que vamos a tener tres regiones para la cual el potencial estará entre 0 y V0, así: 0 x < 0 V(x) = { V 0 0 < x < L 0 x > L

92 Clásicamente la partícula que se mueve de la región 1 hacia la región 2 al chocar con el potencial no tiene la probabilidad de atravesarla, es decir, la partícula no se puede encontrar en la región 2 o 3, claro esta, esto ocurre si la energía total de la partícula es menor que el potencial (V0>E). En caso contrario cuando la energía de la partícula es mayor que el potencial (E >V0), la física clásica nos predice que la partícula cruzará el potencial y se encontrará en la región 3. Cuánticamente vamos a mirar que lo pronosticado por la física clásica no es el comportamiento de la partícula. La cuántica predice que si la energía de partícula es menor que el potencial (V0>E) existe la probabilidad de encontrar a la partícula en la región 3, es decir, que la partícula puede atravesar la región 2, a esto se le conoce como tunelamiento. También se demostrará que cuando le energía es mayor que el potencial (E >V0) existe la probabilidad de que la partícula sea reflejada. Al igual que en las lecciones anteriores vamos a escribir las funciones o soluciones a las ecuaciones de Schrödinger de las tres regiones y según la gráfica 19:

93 Figura 19. A) Energía total de la partícula menor que el potencial. B) Energía total de la partícula mayor que el potencial. Observe la figura anterior, la región 1 y la región 3 para los dos esquemas representan una partícula moviéndose libremente y por lo tanto la función para estas dos regiones o las soluciones de las ecuaciones de Schrödinger independiente del tiempo son: ψ(x) = { Aeik Ιx + Be ik Ιx si x < 0 Ce ik Ιx + De ik Ιx si x > L Analicemos este resultado un poco, recuerde que estamos considerando una partícula que se mueve de izquierda a derecha, entonces para la región 3 el segundo término de la función nos expresa una onda que es reflejada, pero realmente no existe nada que provoque que la onda se refleje, por lo tanto es necesario que la constante D sea cero, por lo tanto tenemos: Y las funciones serán: D = 0 ψ(x) = { Aeik Ιx + Be ik Ιx si x < 0 Ce ik Ιx si x > L Donde k Ι = 2mE ħ Ahora analicemos la región 2: observe que vamos a tener dos casos tal y como lo muestra la figura anterior, el primero será cuando la energía de la partícula sea menor que el potencial, y el otro caso será cuando la energía sea mayor que el potencial, entonces para cada caso habrá una solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo de la siguiente forma: Caso I: E<V0 La función esta dada por: Donde: ψ(x) = Fe k ΙΙx + Ge k ΙΙx

94 Caso II: E>V0 (Figura 19. Parte B) La función esta dada por: k ΙΙ = 2m(V 0 E) ħ Donde: ψ(x) = Fe k ΙΙΙx + Ge k ΙΙΙx k ΙΙΙ = 2m(E V 0) ħ Analicemos lo obtenido hasta ahora, es necesario que lo hagamos para cada caso: Caso I: E<V0 (Figura 19. Parte A) La función para este caso será: Ae ikιx + Be ik Ιx si x < 0 ψ(x) = { Fe kιιx + Ge k ΙΙx si 0 < x < L Ce ik Ιx si x > L Como en las lecciones anteriores la función y su derivada deben ser continuas para los puntos x=0 y x=l, evaluando estas condiciones se pueden obtener las constantes en términos de A. La figura 20 muestra la densidad de probabilidad para este caso, la cual nos indicará que existe la probabilidad de encontrar a la partícula en la región 3. Figura 20. Densidad de probabilidad para el caso de penetración de barrera.

95 Para la región 1 la función de onda es estacionaria pero tiene una componente viajera debido a la reflexión de la onda con amplitud menor que la incidente, es por ello que la densidad de probabilidad en la región oscila. Para la región 2, la función de onda es una exponencial decreciente tal y como se observa en la figura o en la densidad de probabilidad. Para la región 3, la función de onda es netamente viajera y por tanto la densidad de probabilidad es una constante. La probabilidad de penetrar una barrera de potencial de longitud L por parte de una partícula de masa m y energía E menor que el potencial V0 esta dada por el coeficiente de transmisión T. Este fenómeno se le conoce como penetración de barrera y comúnmente se expresa, que la partícula realizo un túnel a través de la berrera del potencial. El coeficiente de transmisión que determina la probabilidad de que la partícula atraviese el potencial esta dada por: Donde T = υ 1C C υ 1 A A = [1 + (ekιιl e kιιl ) 2 16 E V (1 E ] 0 V ) 0 1 = [1 + sinh2 k ΙΙ L 4 E V (1 E ] 0 V ) 0 1 k ΙΙ L = L 2m(V 0 E) ħ Ahora si los exponentes son demasiado grandes, entonces podemos expresar el coeficiente de transmisión como: T 16 E V 0 (1 E V 0 ) e 2k ΙΙL 16 E V 0 (1 E V 0 ) e (2L ħ ) 2m(V 0 E) Donde L es el espesor físico de la barrera y recuerde que la energía es menor que el potencial. Caso II: E<V0 (Figura 19. Parte B) La función para este caso será: Ae ikιx + Be ik Ιx si x < 0 ψ(x) = { Fe kιιιx + Ge k ΙΙΙx si 0 < x < L Ce ik Ιx si x > L

96 Recuerde nuevamente que la función y su primera derivada debe ser continuas para los puntos x=0 y x=l, se pueden evaluar las condiciones y encontrar las constantes en términos de A, esto nos permite graficar la densidad de probabilidad, la cual se muestra en la figura 21. En esta se aprecia que para la primera región la densidad de probabilidad es oscilatoria debido a que la función de onda es estacionaria pero con una componente viajera debido al reflexión producida en el punto x=0, tal y como se expreso en la lección anterior. Para la región 2 la función de onda es estacionaria y con una componente viajera debido a la reflexión de la onda en el punto x=l y por lo tanto la densidad de probabilidad tiene nuevamente comportamiento ondulatorio. Y Finalmente, en la región tres la densidad de probabilidad es constante debido a que la función de onda es viajera pura. Figura 21. Densidad de probabilidad para cuando la E>V0 Para el caso estudiado el coeficiente de transmisión estará dada por: Donde T = υ 1C C υ 1 A A = [1 (eikιιil e ikιiιl ) 2 16 E V ( E ] 0 V 1) 0 1 k ΙΙΙ = 2m(E V 0) ħ = [1 + sin2 k ΙIΙ L 4 E V ( E ] 0 V 1) 0 1 Y recuerde que la energía de la partícula es mayor que el potencial. Ejemplo: Si un electrón de 2eV penetra una barrera de potencial de 3eV que tiene un ancho de 3 Å, calcule la probabilidad de que electrón atraviese la barrera del potencial. Solución:

97 Observe que la energía del electrón es mayor que la del potencial por lo tanto nos encontramos en el caso I estudiado, por lo tanto el coeficiente de transmisión esta dado por: T 16 E V 0 (1 E V 0 ) e (2L ħ ) 2m(V 0 E) Remplazando nuestras cantidades y teniendo en cuenta las correspondientes unidades, se tiene que: T 16 ( 2eV 2eV ) (1 3eV 3eV ) e ( m Js ) 2 ( Kg)(3 2)( J) T Este resultado nos indica que aproximadamente 16 electrones de 2eV de cada 100 penetran la barrera de potencial. Ejercicios 1. Demuestre que el valor esperado del momento es cero para una partícula que se halla dentro de una caja de longitud L, si su función de onda es: ψ(x) = i 2 sin (nπx ) L L 2. Encuentre el coeficiente de transmisión para un electrón de energía 2 ev que incide sobre una barrera de potencial de altura 4eV y de ancho de 1 Å. Rta: 93.38% 3. Para el ejercicio anterior realice el mismo cálculo pero si ahora el ancho de la barrera es de 10-9 m. 4. Calcule la probabilidad de que un deuterón cruce con éxito una barrera de potencial de 10MeV y de ancho de m si el deuterón tiene una energía de 3MeV. Rta: 2.32x10-7

98 Capitulo 6. Algunas aplicaciones de la Ecuación de Schrödinger Lección 33: Potencial de pozo cuadrado El potencial de pozo cuadrado tiene como principal característica ligar electrones y es uno de los potenciales más simples de estudiar. Cabe recordar que hasta el momento no se han tratado esta clase de potenciales capaces de ligar electrones. La figura 21 muestra el potencial de pozo cuadrado a estudiar.

99 Figura 21. Pozo de potencial y sus regiones de interés. De la figura anterior se observa que vamos a tener tres regiones de interés, la primera es la región 1 donde x<-l/2, la región 2 es para cuando x se encuentra entre L/2<x<L/2 y la tercera para cuando x>l/2. El potencial en el pozo esta dado por: V 0 si x < L/2 V(x) = { 0 si L/2 < x < L/2 si x > L/2 V 0 Cuando la E<V0 la física clásica establece que la partícula solo puede estar confinada dentro del pozo, es decir, solo se encuentra dentro de la región 2, esto significará que la partícula esta ligada a esta región, y su movimiento será producto de los choques elásticos entre las paredes. También, establece que la partícula puede tener cualquier valor de energía E>0. Vamos a observar que la cuántica estable que la partícula solo podrá tener ciertos valores permitidos de energía E. Establezcamos las soluciones de la Ecuación de Schrödinger para cada una de las regiones considerando que la energía de la partícula es menor que el potencial V0>E, ya que una energía mayor que el potencial establecería que existe cualquier valor de energía permitido, entonces se establece de la siguiente manera:

100 Para cuando la partícula se encuentra confinada o dentro de la región L/2<x<L/2 el potencial es cero y por lo tanto al igual que de nuestras lecciones anteriores la función es: donde ψ(x) = Ae ik Ιx + Be ik Ιx k Ι = 2mE ħ Utilizando los números complejos vistos a principios de la segunda unidad podemos rescribir la ecuación anterior: ψ(x) = Ae ik Ιx + Be ik Ιx ψ(x) = A(cos k Ι x + i sin k Ι x) + B(cos k Ι x i sin k Ι x) ψ(x) = A cos k Ι x + Ai sin k Ι x + B cos k Ι x Bi sin k Ι x Factorizando ψ(x) = (A B)i sin k Ι x + (A + B) cos k Ι x La cual la podemos escribir como: Donde ψ(x) = A sin k Ι x + B cos k Ι x A = (A B)i B = (A + B) k Ι = 2mE ħ Para cuando L/2<x<L/2. Para le región 1 la solución esta dada por: Y para le región 3 será: ψ(x) = Ce k ΙΙx + De k ΙΙx ψ(x) = Fe k ΙΙx + Ge k ΙΙx

101 Donde KII para las dos regiones es: k ΙΙ = 2m(V 0 E) ħ Como en los casos anteriores las funciones y sus derivadas deben ser continuas e todas las regiones, entonces observe que cuando: La función de la región 3 x + ψ(x + ) = Fe k ΙΙx + Ge k ΙΙx Para que no ocurra esto es necesario que F=0 que es el que introduce la discontinuidad. Ocurre algo muy similar en la región 1 cuando: La función de la región 1 x ψ(x ) = Ce k ΙΙx + De k ΙΙx Nuevamente para evitar la discontinuidad es necesario que D=0. Las funciones para estas dos regiones serían: ψ(x) = { Cek ΙΙx Ge k ΙΙx si x < L/2 si x > L/2 Un desarrollo más exhaustivo que no se desarrollará en esta lección nos demostrará que la energía de la partícula se encuentra cuantizada, es decir, que solo puede tomar algunos valores, un ejemplo típico se presenta en la figura 22, la cual nos muestra los valores permitidos E1, E2, E3 de la energía de partícula que se encuentra dentro del pozo.

102 Figura 22. Valores permitidos de la energía para el pozo de potencial. Lección 34: Potencial de pozo cuadrado infinito Ahora vamos a considerar otro ejemplo sencillo de la ecuación de Schrödinger de estado estacionario (ecuación independiente del tiempo), este será el pozo de potencial infinito tal y como se observa en la figura 23. La partícula se encontrará confinada dentro del pozo o comúnmente llamada caja moviéndose a lo largo del eje x y chocando con las paredes de forma elástica. Figura 23. Partícula moviéndose en pozo de potencial de paredes de potencial infinito. Como se observa en la figura 23 tendremos nuevamente tres regiones, entonces establezcamos el potencial para ellas:

103 si x 0 V(x) = { 0 si 0 < x < L si x L Debido a que la partícula se encuentra dentro del pozo y ya que no existe posibilidad de que este fuera de él, entonces podemos establecer para función o solución de la ecuación de Schrödinger las condiciones: ψ(x) = 0 para { x 0 x L Y la probabilidad de encontrar la partícula dentro de la región 2 será: L ψ ψ 0 dx = 1 Para la región donde se encuentra la partícula (V0=0) la solución de la ecuación de Schrödinger esta dada por: Donde ψ(x) = A sin kx + B cos kx k = 2mE ħ Recuerde que la función anterior nos representa una onda estacionaria. Ahora utilicemos las condiciones de frontera para encontrar las constantes A y B así: En las fronteras del pozo tenemos que Para y ψ(x) = 0 x = 0 x = L Evaluamos la función en las condiciones de fronteras anteriores tenemos que : Para x=0 ψ(x = 0) = A sin 0 + B cos 0 = 0

104 De lo cual tenemos que B = 0 Entonces la función la podemos escribir como: ψ(x) = A sin kx Para la segunda condición de frontera x=l y sabemos que B=0, se tiene que: ψ(x = L) = A sin kl = 0 De aquí podemos deducir lo siguiente: como A es diferente de cero entonces tenemos que: sin kl = 0 Para que se cumpla esta igualdad debemos hacer De lo cual tenemos que kl = nπ con n = 1,2,3,4 k = nπ L Con este resultado y a partir de la ecuación Se obtiene que k = 2mE ħ nπ L = 2mE ħ Y despejando E tenemos: E n = n2 π 2 ħ 2 con n = 1, 2, 3, 2mL2 Lo cual nos indica que la energía de la partícula se encuentra cuantizada en ciertos valores de forma discreta y la partícula puede estar en algún de estos valores, la figura 24 muestra algunos valores de la energía de un pozo de potencial cuadrado infinito, en ella se muestra un ejemplo de una partícula que se encuentra en el nivel de energía E3

105 Figura 24. Algunos de los valores permitidos para la energía de la partícula de un pozo de potencial cuadrado infinito. Finalmente podemos expresar la función en términos de L, así: ψ(x) = A sin ( nπ L x) Es de resaltar, que si la partícula se encuentra en el nivel de energía E3 como lo vemos en la figura 24 (ejemplo particular), para que esta pase a un nivel superior o inferior se debe recibir o perder energía y esta energía debe ser la suficiente para que pueda ocurrir dicho suceso. Además debemos resaltar que la partícula no pude tomar el nivel igual a cero, por lo tanto el mínimo nivel debe ser E1. A este valor de mínima energía que puede tomar la partícula se le conoce como energía del punto cero. Ahora, miremos que el momento de la partícula también se encuentra cuantizado. De lecciones anteriores teníamos que la energía la podemos expresar como: E n = p n 2 2m Igualando esta ecuación con el resultado anterior y despejando el momento tenemos:

106 2 p n 2m = n2 π 2 ħ 2 2mL 2 p n = nπħ L con n = 1, 2, 3,. Lo que demuestra que tanto la energía como el momento de una partícula se encuentran cuantizada. Otro dato importante que podemos calcular es la densidad de probabilidad de la partícula y para ello es necesario que recordemos que la densidad esta dada por: Entonces tenemos que la función es: ψ (x)ψ(x) ψ(x) = A sin ( nπ L x) Y su conjugado esta dado por: ψ (x) = A sin ( nπ L x) Entonces la densidad de probabilidad es: ψ (x)ψ(x) = [A sin ( nπ L x)] [A sin (nπ L x)] ψ (x)ψ(x) = A 2 sin 2 ( nπ L x) Ahora normalizando, es decir que Se tiene que: L ψ ψ 0 L ψ ψ 0 L dx = A 2 sin 2 ( nπ L x) 0 dx = 1 L dx = A 2 sin 2 ( nπ L x) 0 dx = 1

107 Resolviendo esta integral tenemos que: Y evaluando De lo cual A 2 [ x 2 L L sin (2nπ 4nπ L x)] = 1 0 A 2 L 2 = 1 A = 2 L Entonces la ecuación o la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo normalizada para nuestro pozo de potencial cuadrado infinito esta dada por: ψ(x) = 2 L sin (nπ L x) Finalmente podemos utilizar el resultado anterior para calcular la probabilidad de encontrar a una partícula dentro de un intervalo x=a y x=b que se encuentre dentro del pozo de potencial infinito como: b ψ ψ a b dx = 2 L sin2 ( nπ L x) a dx Lección 35: El potencial del oscilador armónico simple Ahora consideraremos el potencial del oscilador armónico simple ya que es una muy buena aproximación a cualquier sistema oscilatorio. Este tiene muchas aplicaciones como por ejemplo en el estudio de vibraciones de átomos en moléculas diatómicas, en las propiedades magnéticas de los sólidos, en las propiedades acústicas y térmicas de sólidos, entre otras aplicaciones. En general este se aplica a cualquier sistema donde hallan procesos de vibraciones alrededor de un punto de equilibrio. De la física clásica recordemos que un oscilador armónico simple se puede representar por una partícula que bajo la influencia de una fuerza restauradora

108 presenta un movimiento armónico simple cuando esta se desplaza fuera de la posición de equilibrio ocasionado por la fuerza. Clásicamente la fuerza esta dada por la ley de Hooke: F = k F x Y las oscilaciones presentes sobre el punto de equilibrio presentan una frecuencia de la forma: ν = 1 2π k F m Donde m es la masa y kf es la constante de fuerza. La energía potencial del oscilador esta dado por: Y la energía cinética es V = 1 2 k Fx 2 K = 1 2 mv2 Cuánticamente vamos a imponer que el potencial del oscilador armónico simple esta dado por: V(x) = 1 2 k Fx 2 Este potencial se encuentra representado en la figura 25. Entonces el problema es encontrar soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo que describan el movimiento de la partícula y las posibles energías que pueda tomar. Entonces, para nuestro potencial la ecuación de Schrödinger a resolver será: ħ2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 + ( k Fx 2 ) ψ(x) = Eψ(x) 2

109 Figura 25. Potencial del oscilador armónico simple. La solución de esta ecuación se presenta en el apéndice A, para que el estudiante indague un poco sobre ella. Solo vamos a presentar los resultados, los cuales establecen que la energía para el oscilador de esta clase se encuentra cuantizada, es decir, que los valores permitidos para la energía están dados por: E n = (n + 1 2)hν con n = 0, 1, 2, 3, Donde ν es la frecuencia de oscilación de la partícula. En la figura 26 se muestran los algunos estados de energía permitidos. Figura 26. Primeros 4 estados de energía permitidos para el potencial.

110 Observe que para este caso la energía mínima que puede tener el sistema, o expresado de otra manera, la energía mínima posible para una partícula ligada al potencial es cuando n=0 y equivale a E 0 = 1 2 hν que se conoce como la energía del punto cero para el potencial. Este resultado indica que la partícula no puede tener energía igual a cero. En la figura 27 se muestra la probabilidad por unidad de longitud de encontrar la partícula en una región cualquiera en el eje x, además, se muestran algunos niveles de energía permitidos que fueron mostrados en la figura 26. Figura 27. Densidad de probabilidad asociada a cada nivel de energía permitido.

111 Observe que en la figura 27, existe la probabilidad de encontrar la partícula mas allá o por fuera de la curva del potencial del oscilador armónico, algo que a nivel de la física clásica sería imposible de ocurrir. Lección 36: Átomos con un electrón A partir de este momento y en las lecciones siguientes vamos a estudiar átomos con un electrón, para este caso vamos a tener sistemas con dos partículas, cabe resaltar que hasta el momento solo hemos tratado sistemas con una sola partícula, para poder tratar esta clase de sistemas debemos considerar el átomo real como un sistema modelado en el cual el núcleo ahora pasa a tener masa infinita y su electrón tendrá una masa reducida (ver figura 27) establecida por: M μ = ( m + M ) m Donde m y M son las masas reales del electrón y del núcleo respectivamente. Dentro del sistema modelado se considerará al núcleo del átomo como estacionario y el único movimiento presente será el del electrón de masa reducida, esto conduce a la simplificación de nuestro trabajo puesto que nos consideramos dos partículas en movimiento sino solamente una. Ahora el primer paso será conocer la ecuación de Schrödinger tridimensional. Figura 27. A) Átomo real con un solo electrón de masa m y núcleo de masa M. B) Átomo sistema equivalente, la partícula de masa reducida μ se mueve alrededor del núcleo que se encuentra estacionario.

112 Lección 37: Ecuación de Schrödinger tridimensional. Utilizando conceptos anteriormente visto como los operadores, habíamos establecido que la ecuación de Schrödinger se expresaba en términos del operador Hamiltoniano como: Hψ(x) = Eψ(x) Ahora, si establecemos el operador Hamiltoniano pero tridimensional como: H = ħ2 2m ( 2 x y z2) + V(x, y, z) Entonces este operador actuando sobre la función de onda que depende de las coordenadas x, y, z, nos da como resultado: Entonces Hψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z) ħ2 2m ( 2 x y z2) ψ(x, y, z) + V(x, y, z)ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z) Lo cual obtendríamos ħ2 ψ(x, y, z) 2m ( 2 x ψ(x, y, z) y ψ(x, y, z) z 2 ) + V(x, y, z)ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z) Que es la ecuación de Schrödinger tridimensional independiente del tiempo. Ahora si introducimos el operador Laplaciano que esta dado por: 2 = 2 x y z 2 Entonces podemos finalmente escribir nuestra ecuación de Schrödinger estacionaria como: ħ2 2m 2 ψ(x, y, z) + V(x, y, z)ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z)

113 Esta ecuación es general, ahora vamos a considerarla para nuestro sistema equivalente, para ello el electrón de masa reducida se encuentra bajo el potencial de Coulomb dado por: Ze 2 V = V(x, y, z) = 4πε 0 x 2 + y 2 + z 2 Observe que este potencial se encuentra en tres dimensiones x, y, z, y donde e es la carga del electrón. El término de la raíz que aparece en el denominador es el radio de separación que hay entre el electrón y el núcleo y Z es él número atómico. Ahora como la masa es reducida nuestra ecuación de Schrödinger independiente del tiempo la podemos escribir en términos de esta nueva masa así: ħ2 2μ 2 ψ(x, y, z) + V(x, y, z)ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z) Observe que el único cambio que hicimos fue: m = μ Y por lo tanto encontramos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en términos de la masa reducida y las coordenadas rectangulares x, y, z. Para resolver esta ecuación es necesario transformar las coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas, este cambio nos permite separar la ecuación de Schrödinger en tres ecuaciones de variables independientes que a usa vez va a facilitar los cálculos para resolver la ecuación para átomos con un solo electrón, es decir, dos partículas. Lección 38: Separación de variables para la ecuación de Schrödinger tridimensional y estacionaria. Recordemos que el modelo atómico de Bohr no dio explicación satisfactoria a acontecimientos como: - transiciones entre ciertos valores de energía permitidos, - la no radiación electromagnética del electrón cuando cae hacia el núcleo por la perdida de energía, y el origen de los espectros atómicos del helio y el litio. El modelo de Schrödinger si satisface o da explicación a tales fenómenos.

114 Retomemos el potencial de la lección anterior y para hacer el cambio de coordenadas debemos expresarlo en términos del radio, así: V(r) = Ze2 4πε 0 r Donde ε 0 es la permitividad del vacío cuyo valor es 8.85X10-12 C 2 /Nm 2. Ahora vamos hacer le cambio de coordenadas rectangulares a esféricas (La figura 28 muestra la representación del sistema equivalente en coordenadas esféricas y rectangulares). Figura 28. Representación del sistema equivalente para un punto P cualquiera de las coordenadas esféricas y rectangulares. Las coordenadas esféricas son: r, radio del vector. θ, el ángulo polar. φ, el ángulo azimutal. Y están relacionadas por medio de las ecuaciones