Ketland vuelve a la carga

Transcripción

1 Ketland vuelve a la carga Lavinia María Picollo Universidad de Buenos Aires & GAF En su artículo publicado en 1993, Stephen Yablo presentó la lista infinita de oraciones que luego recibió el nombre de Paradoja de Yablo. Mediante un breve argumento formulado en inglés, Yablo llegó a una contradicción a partir de las oraciones de la lista. Sin embargo, en artículos posteriores 1, el carácter paradójico de la secuencia fue sometido a debate. Varias formalizaciones de la lista de oraciones en lenguajes de primer orden han mostrado que las reglas usuales de la lógica no son suficientes para deducir una contradicción de la lista, sino que otros principios como la regla ω o similares son necesarios 2. El problema aquí es que estos principios no son lógicamente válidos, esto es, no preservan la verdad en todo modelo. En un estudio más profundo de la cuestión, Jeffrey Ketland (2004 y 2005) formalizó las oraciones de Yablo en el lenguaje de la aritmética de Peano de primer orden y mostró que dicha teoría extendida por el conjunto de oraciones de Yablo tiene un modelo. Recientemente, Ignacio Ojea Quintana 3 demostró que Ketland llega a este resultado a partir de un supuesto interpretativo y extendió las conclusiones del autor, dando una explicación más general del carácter paradójico o noparadójico de la secuencia de Yablo. Ketland (2005) formaliza esta secuencia en el lenguaje de la aritmética de Peano de primer orden a través de oraciones bicondicionales del siguiente modo 4 : F(1) k > 1, F(k) F(2) k > 2, F(k) F(3) k > 3, F(k)... 1 Véase Ketland (2004) y Ketland (2005). 2 La adopción de la regla ω y la restricción de los modelos de la Aritmética de Peano de primer orden a modelos estándar son equivalentes, ya que la regla expresa precisamente que el dominio de los cuantificadores universales debe limitarse únicamente a números estándar. En lo que sigue las consecuencias de esta restricción arbitraria serán analizadas. 3 Ojea Quintana, I. (este número) 4 Nótese que el predicado de verdad no ha sido utilizado, debido a que no es un predicado de la Aritmética. De acuerdo con Ketland (2005) esto no representa un problema, puesto que las consecuencias son idénticas. No obstante, Eduardo Barrio (en este mismo número), entre otros, arguye que el predicado de verdad es una nota esencial de la Paradoja de Yablo y afecta directamente su carácter paradójico.

2 A continuación, Ketland llama a la unión de la Aritmética de Peano de primer orden con el conjunto de bicondicionales de Yablo {F(i) k > n, F(k) : n D F } 5, PA F, para luego mostrar que esta unión tiene modelo; un modelo no estándar. La teoría Aritmética de Peano de primer orden puede recibir modelos diferentes. En particular, los dominios de los mismos pueden variar sustantivamente en cuanto a su ordinalidad. El más conocido de ellos es aquel que toma como dominio el conjunto de números {0, 1, 2, } llamado ω y tradicionalmente se denomina modelo estándar. Sin embargo, existen otros dominios de interpretación posibles para la Aritmética, que incluyen a los conjuntos estándar pero agregan otros elementos. Como consecuencia de los axiomas de Peano (particularmente el que afirma que todo elemento tiene un siguiente y el que dice que existe un único elemento que carece de antecesor), si se agrega un elemento, deberá agregarse con él una infinidad (numerable) de listas de elementos cuya estructura es isomórfica a la de los números enteros; y cada uno de sus elementos es mayor a los números estándar. El conjunto de dichas listas en unión con los números naturales estándar constituye el dominio del modelo no estándar más pequeño de la aritmética: {0, 1, 2, -2*, -1*, 0*, 1*, 2*,, -2**, -1**, }. Considérese ahora la siguiente deducción a partir de la formalización de las oraciones de Yablo en el lenguaje de la Aritmética: 1. F(1) k > 1, F(k) Premisa (definida por la lista de Yablo) 2. F(2) k > 2, F(k) Premisa (definida por la lista de Yablo) 3. F(1) Supuesto 4. k > 1, F(k) Modus Ponens entre 1 y 3 5. F(2) Eliminación del cuantificador universal en 4 6. k > 2, F(k) Propiedad de Orden en 4 7. F(2) Modus Ponens entre 2 y 6 8.! Eliminación de la negación entre 5 y 7 9. F(1) Introducción de la negación de 3 a k > 1, F(k) Modus Tollens entre 1 y k > 1, F(k) Ley de negación del cuantificador universal en F(i) Eliminación del cuantificador existencial en 11 Hemos llegado a la existencia de un número i al cual se aplica el predicado F de Yablo; esto es, i es un elemento de la extensión de F. Ahora bien, si la Aritmética de Peano de primer orden es 5 D F es aquí un conjunto no interpretado de números naturales, es decir, de elementos del dominio. Su extensión dependerá de la interpretación que le asigne el modelo que se elija, y con ella variará a su vez la extensión del conjunto de bicondicionales de Yablo. Como se verá más adelante, las distintas extensiones posibles de D F darán lugar a diferentes paradojas o listas similares a las de Yablo

3 extendida por la lista de bicondicionales de Yablo, al momento de ofrecer un modelo para la primera, será preciso también dar una interpretación para la segunda; y, con ella, un conjunto de elementos del dominio que podrían ocupar el lugar de n en la fórmula general F(n) k > n, F(k), sean estándar o no. En otras palabras, debemos especificar la extensión de D F, ya que ésta será la interpretación del predicado F de Yablo. A partir de la PA, extendida por la lista de oraciones de Yablo, nos hemos visto llevados a concluir la existencia de al menos un número al cual se aplica el predicado F. Si elegimos un modelo en el que el dominio y D F resultan ser el mismo conjunto, este número deberá tener un bicondicional asociado en la lista (ya que cualquier elemento del dominio lo tiene) y lo siguiente sucederá: 13. F(i) k > i, F(k) Premisa 14. F(i+1) k > i+1, F(k) Premisa 15. k > i, F(k) Modus Ponens entre 12 y F(i+1) Eliminación del cuantificador universal en k > i+1, F(k) Propiedad de Orden en F(i+1) Modus Ponens entre 14 y ! Contradicción entre 16 y 18 Hemos arribado a una contradicción. Ahora estamos en condiciones de definir lo que llamaremos Principio 1 : se obtiene una paradoja de la Aritmética de Peano de primer orden extendida con los bicondicionales de Yablo si en el modelo elegido el dominio y D F coinciden. Como consecuencia, habrá varias paradojas, una por cada modelo de la Aritmética, siempre que D F y el dominio del modelo sean el mismo conjunto. Al contrario, si optamos por un dominio mayor a D F para nuestro modelo, es decir, si al menos una lista de números naturales (no estándar) en el dominio es dejada fuera de D F, el número aquel del cual el predicado F de Yablo resulta ser verdadero, de acuerdo con la deducción anterior (ver paso 12), debe ser uno de los números del dominio del modelo que fueron excluidos de D F. De lo contrario, como ha sido demostrado, surgen contradicciones. Dado que este número no tiene un bicondicional asociado en la lista, precisamente porque fue excluido de D F, la segunda parte de la deducción (pasos 13 a 19) no se sigue y, consecuentemente, no hay paradoja alguna. Nos vemos simplemente obligados a concluir que toda oración en la lista de Yablo es falsa y, por ende, podemos asignarles un valor de verdad estable (falso). Ahora estamos en condiciones de enunciar lo que

4 denominaremos Principio 2 : para evitar las paradojas es suficiente elegir un modelo cuyo dominio sea de grado mayor 6 al grado del conjunto D F 7. En este artículo me propongo i) a partir de lo dicho hasta aquí, hacer algunas consideraciones alrededor de Ketland 8 ; ii) argumentar a favor de una interpretación particular de la lista de oraciones de Yablo; iii) señalar un error en Bueno y Colyvan 9 respecto de su interpretación de la secuencia de bicondicionales de Yablo, y iv) concluir la unicidad de la referencia de la expresión Paradoja de Yablo y hacer algunas afirmaciones sobre la inconsistencia de otras (verdaderas) paradojas mencionadas con anterioridad. I.- La interpretación de Ketland En Yablo s Paradox and ω-inconsistency, Ketland prueba que la Aritmética de Peano de primer orden extendida por {F(n) k > n, F(k): n Ν} tiene un modelo mientras que lo que él denomina Esquema Uniforme Homogéneo de Yablo, esto es, n(f(n) k > n, F(k)), resulta ser inconsistente. De hecho, la estrategia de Ketland consiste en interpretar D F como el conjunto de todos los números naturales estándar y luego elegir un modelo no estándar para PA F. Como establecen los principios 1 y 2, la paradoja es evitada a causa de elegir un dominio para el modelo de PA F de grado mayor a D F. Al contrario, el Esquema Uniforme, al estar cuantificado universalmente, debe afirmar todas las instancias de los bicondicionales de Yablo; tanto las estándar como las no estándar y, de este modo, resulta inconsistente; el rango de interpretación de los bicondicionales y el dominio del modelo coinciden. Pero, por qué elegir esta interpretación particular para D F? Aparentemente, no hay razón alguna para asignar a D F el conjunto de todos los números naturales estándar como interpretación; o al menos Ketland no justifica de ningún modo su elección. Hasta donde sabemos, los bicondicionales de Yablo podrían aplicarse a cualquier conjunto de números naturales. Desde mi punto de vista, lo importante aquí es ser leales a la presentación original de Yablo e interpretar D F de la misma manera en la que él lo hizo. En lo que sigue, haré algunas consideraciones al respecto. II.- La interpretación correcta de la lista de Yablo 6 Decimos que un conjunto A tiene mayor grado que otro conjunto B, si y sólo si A tiene al menos una lista de números no estándar más que B y tanto A como B son segmentos iniciales de números naturales. 7 Ambos principios, 1 y 2, son introducidos por Ignacio Ojea Quintana (en este mismo número). 8 Ketland (2005); 9 Bueno, O & Colyvan, M. (inédito).

5 A pesar de que la elección de Ketland es arbitraria, sus resultados, esto es, que existe un modelo en el cual la lista de Yablo no es paradójica, siguen teniendo aquí mucho valor. Este modelo del que habla Ketland consiste en asignar a los bicondicionales de Yablo el conjunto ω como rango, y admitir dominios no-estándar. Así, se procede como indica el Principio 2 y, por ende, no surge una contradicción. Si bien la elección de este modelo no fue justificada, a continuación argumentaré a favor de su adecuación a la presentación original, dada por Yablo en Allí, la lista de Yablo es presentada como una secuencia de oraciones similares a los ya introducidos bicondicionales de Yablo. Una secuencia es un objeto matemático de la Aritmética de Peano de primer orden (complementada con Teoría de Conjuntos), donde se define como una lista de elementos cualesquiera, que cumple los siguientes requisitos: a) el conjunto de elementos que aparece en ella es numerable; y b) dicho conjunto está bien ordenado, lo que significa que hay una relación de orden entre sus miembros 10 y, todo subconjunto del conjunto de elementos que la componen tiene un primer elemento. Ahora bien, considerando la definición de secuencia dada, resulta imposible que los bicondicionales de Yablo instanciados por números no estándar encuentren su lugar en la secuencia. Los números no estándar de los modelos numerables de la Aritmética son mayores que los números estándar 11. Pero al mismo tiempo, como consecuencia de los axiomas de la Aritmética de Peano de primer orden, cuando son listados, la estructura de las listas de números no estándar resulta ser isomórfica a la de los números enteros en su orden usual, es decir, carece de primer elemento. Luego, si el propósito es listarlos a continuación de los números estándar, la lista resultante no constituirá una secuencia estrictamente hablando, debido a la falla en la condición b) de la definición de secuencia. Al menos uno de sus subconjuntos por ejemplo, el subconjunto de todos los elementos no estándar carece de primer elemento y, por tanto, la lista en su totalidad no está bien ordenada 12. Luego, la secuencia de Yablo, tal como su autor la presenta, no puede incluir elementos no estándar, y esa es la razón por la cual siempre existirá un modelo para la Aritmética, un modelo no estándar, que asigne a cada oración de Yablo un valor de verdad estable, o lo que es lo mismo, que dé cuenta del carácter no paradójico de la lista. Siempre que el dominio de interpretación de los bicondicionales se circunscriba al conjunto de números naturales estándar y no surjan razones para 10 En este caso, la relación de la cual estamos hablando es es menor que, porque así es el modo en el que Yablo (1993) presenta las cosas. Como me ha señalado Alberto Moretti, se podría definir otra relación de orden, en la cual los elementos no estándar de la Aritmética resulten bien ordenados, pero el objetivo aquí es ser leal a la presentación original de la lista. 11 Los modelos no numerables no serán considerados aquí ya que todas las oraciones de Yablo están numeradas. 12 Como Federico Pailos me señaló, mientras que el conjunto de todos los números naturales no estándar en su ordenamiento usual no está bien ordenado como aquí se requiere, cualquiera de sus subconjuntos infinitos con primer elemento lo está; tómese, por ejemplo, el subconjunto de los números naturales de cada lista no estándar isomórfico al conjunto de enteros positivos. Luego, éstos pueden ser listados. Si lo hacemos, asignando a cada elemento de este subconjunto un bicondicional, surgirán paradojas, debido a que no habrá ningún elemento mayor al resto en el dominio sin su bicondicional correspondiente. Esta alternativa no parece ser leal a la idea original de Yablo, donde los subíndices de dos oraciones consecutivas son números naturales consecutivos.

6 restringir el dominio del modelo, será posible elegir cualquier modelo no estándar, que en tanto no estándar tiene un grado mayor que el dominio de interpretación de los bicondicionales y, en virtud del Principio 2, la paradoja no aparecerá. III.- El error de Bueno y Colyvan En su artículo Yablo s paradox rides again: a reply to Ketland, estos autores argumentan en contra del trabajo de Ketland antes mencionado; particularmente, se oponen a la restricción arbitraria que éste hace del conjunto de aplicación de los bicondicionales de Yablo únicamente a los números naturales estándar. Su argumento para rechazarla está basado en la creencia de ambos en que los números naturales no estándar están bien ordenados y pueden, en consecuencia, formar parte de la secuencia de Yablo: The non-standard models of the natural numbers are also well ordered, and that is all that matters. 13. Hemos probado que la afirmación de Bueno y Colyvan es falsa, ya que el conjunto de números no estándar numerables en su ordenamiento usual (del menor al mayor) carece de primer elemento. Consecuentemente, la réplica que Bueno y Colyvan hacen a Ketland es errada; los resultados de Ketland recuperan su valor. IV.- La unicidad de lo que se ha llamado Paradoja de Yablo A lo largo de este artículo, se ha establecido que el dominio de aplicación de los bicondicionales de Yablo debe limitarse a ω, esto es, dado un modelo con su dominio y su función de interpretación, la última debe siempre ser la misma respecto de D F si se quiere tener una correspondencia adecuada entre la lista de bicondicionales y la presentación original de Yablo. Por supuesto, el dominio del modelo puede variar, mostrando que la así llamada Paradoja de Yablo no es realmente paradójica, es decir, no es inconsistente por sí misma en conjunción con la Aritmética de Peano de primer orden sino únicamente cuando se adopta al conjunto ω como dominio del modelo. En este sentido decimos que la lista de Yablo es ω-inconsistente, y no inconsistente a secas. En la medida en que se varíe la interpretación de D F de un modo u otro, no estaremos más frente a la secuencia de Yablo propiamente dicha. Al contrario, daremos con una infinidad de listas diferentes. Diremos que únicamente la secuencia de Yablo es ω-inconsistente, pues para probar la inconsistencia de las otras listas ya no será posible adoptar a ω como el dominio. Será necesario considerar un modelo cuyo dominio sea tan grande (y no más) como D F. Dado que el tipo ordinal de cualquier modelo numerable no estándar de la Aritmética es de la forma ω + n(ω* + ω), con n variando sobre ω, si elegimos D F como el conjunto no estándar con tipo ordinal ω + n(ω* + ω), diremos que el 13 Bueno & Colyvan (inédito), p. 4.

7 conjunto correspondiente de bicondicionales de Yablo es ω + n(ω* + ω) ω-inconsistente, con n variando sobre ω, el conjunto de los números naturales estándar. Concluyendo, la única interpretación de los bicondicionales de Yablo que merece el nombre de Paradoja de Yablo es aquella que asigna a cada bicondicional un número natural estándar y no otro; y en virtud de ello, es la única de la cual puede decirse con propiedad que es ω-inconsistente. Resumen El objetivo de este artículo es, por un lado, señalar, considerando las últimas investigaciones alrededor de la Paradoja de Yablo, algunos errores y supuestos injustificados en artículos previos respecto de estos temas y, por otro, limitar aquellos resultados, argumentando a favor de una interpretación particular de la lista infinita de oraciones de Yablo, leal a la presentación original. Abstract The aim of this paper is, on one hand, to point out, considering the very last investigations regarding Yablo s Paradox, some unjustified assumptions and mistakes in previous articles concerning this matter; and on the other, to limit those new results, arguing in favour of a particular interpretation of the infinite list of Yablo s sentences, loyal to the original presentation of it.

8 Bibliografía y Referencias - Beall, J. C. (2001) "Is Yablo's paradox non-circular?". Analysis 61 (3): Bueno, O. y Colyvan M. (2003) "Paradox without satisfaction". Analysis 63 (2), pp Bueno O. y Colyvan M. (Inédito) Yablo s paradox rides again. A reply to Ketland. En - Cantor, G., Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers, Dover Publications, Inc., Nueva York, Gamut, L. T. F., Introducción a la Lógica, Editorial Universitaria de Buenos Aires, Buenos Aires, Halbach, V. (2007) Axiomatic Theories of Truth Stanford Encyclopedia of Philosophy en - Ketland, J. (2004) "Bueno and Colyvan on Yablo's Paradox". Analysis 64 (2), pp Ketland, J. (2005). Yablo s Paradox and ω-inconsistency, Synthese, vol. 145, no. 3, Yablo, S "Paradox without self-reference". Analysis 53 (4), pp Yablo, S "Circularity and Paradox ".En Bolander, Hendricks, y Pedersen (ed.), Self- Reference, CSLI Publications.