Algunos temas de Olimpiadas matemáticas

Transcripción

1 Algunos temas de Olimpiadas matemáticas Arturo Portnoy Departamento de Ciencias Matemáticas, Universidad de Puerto Rico en Mayagüez 22 de mayo de 2016

2 Filosofía Entrenamiento dirigido a jóvenes talentosos de Olimpiadas Matemáticas. Teoría se presenta de forma muy resumida y conforme se va necesitando. Siempre hay que decir la verdad, pero no se puede decir toda la verdad de un golpe. Idea: proponer problemas lo antes posible sin un desarrollo amplio y formal de teoría prerequisito. Sembrar una semilla que propicie el aprendizaje autodidacta. Problemas diferentes, atractivos, retadores, pero no imposibles. Motivar, no frustrar. Secuencias apropiadas de problemas: el orden de los factores es muy importante.

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4 Desigualdad triangular

5 Desigualdad triangular Encuentre el punto dentro de un cuadrilátero convexo tal que la suma de las distancias del punto a los vértices es mínima.

6 Desigualdad triangular Consideremos el cuadrilátero ABCD. El punto en cuestión tiene que ser la intersección de las diagonales, O, porque para cualquier desviación de este punto, llamémosle P, tenemos que AP + PC > AO + OC = AC y BP + PB > BO + OD = BD por la desigualdad triángular.

7 Desigualdad triangular Demuestre que la suma de las diagonales de un cuadrilátero convexo es menor que su perímetro, pero mayor que la mitad de su perímetro.

8 Desigualdad triangular Consideremos el cuadrilátero ABCD y sea O la intersección de las diagonales. Entonces tenemos que DB < DA + AB y DB < DC + CB, por la desigualdad triangular. Por tanto, 2DB < per«ımetro. Similarmente tenemos que 2AC < per«ımetro. Por lo tanto AC + DB < per«ımetro. Además, tenemos que DA < DO + OA, AB < AO + OB, BC < BO + OC y CD < CO + OD, por la desigualdad triangular. Por lo tanto, sumando las cuatro desigualdades tenemos que per«ımetro < 2(AC + DB). Por lo tanto per«ımetro/2 < AC + DB < per«ımetro.

9 Desigualdad triangular La casa de un pescador está en el interior de una península cuya forma es la de un ángulo agudo. El pescador debe salir de su casa, ir a una de las costas de la península, luego ir a la otra, y volver a su casa. Cómo puede encontrar la ruta más corta?

10 Desigualdad triangular Sea O la casa del pescador, sean A y B las reflexiones de O con respecto a los rayos que forman el ángulo respectivamente. Entonces cada ruta de O a una costa tiene su contraparte reflejada de igual longitud y vemos que el circuito O-costa 1-costa 2-O tiene su contraparte A-costa 1-costa 2-B de igual longitud. Entonces la ruta mas corta entre A y B, que es una linea recta (por la desigualdad triangular), tiene su contraparte en un circuito cerrado desde la casa y corresponde al circuito de mínima longitud.

11 Desigualdad triangular Demuestre que las suma de las distancias de un punto O a los vértices de un triángulo es menor que su perímetro si el punto está dentro del triángulo. Qúe ocurre si el punto O está fuera del triángulo?

12 Desigualdad triangular Sea O un punto interior del triángulo ABC y sea D la intersección de la recta AO con el lado CB. Luego AB + BD > AD y OD + DC > OC por la desigualdad triangular. Sumando ambas y restando OD a ambos lados obtenemos que AB+BC = AB+BD+OD+DC OD > AD+OC OD = AO+OC. Aplicando esto a a cada pareja de lados y sumando las desigualdades, obtenemos el resultado.

13 Desigualdad Fundamental (a + b) 2 0 (a b) 2 0

14 Desigualdad MA-MG (n = 2) a 2 + b 2 2ab = (a b) 2 0 a 2 + b 2 2ab a 2 + b 2 ab 2 con igualdad si y solo si a = b. x + y 2 con igualdad si y solo si x = y. xy

15 Desigualdad MA-MG (n = 2 m ) Por ejemplo, n = 4: x + y + w + z 4 = x+y 2 + w+z 2 2 xy + wz 2 4 xywz.

16 Desigualdad MA-MG (caso general) Por ejemplo, n = 3: Por tanto, x + y + z + 3 xyz 4 x + y + z 3 4 xyz 3 xyz = 3 xyz. 3 xyz.

17 Desigualdad MA-MG Considerando todas las soluciones positivas de 2a + b = 60, determine el valor máximo del producto ab.

18 Desigualdad MA-MG 30 = 2a + b 2 2ab con igualdad si 2a = b. Por tanto ab 30 2 y ab = 450 si 2a = b.

19 Desigualdad MA-MG Si x > 0, determine el valor mínimo de y = x x.

20 Desigualdad MA-MG y = x x + 1 2x 3 3 x ( ) ( ) 2x 2x = 3 3 ( 1 4 ) si x 2 = 1 2x.

21 Desigualdad MA-MG Encuentre el valor mínimo de a + b si a, b > 0 y ab 2 = 1.

22 Desigualdad MA-MG a + b/2 + b/2 3 3 ab 2 /4 = 3 3 1/4 si a = b/2.

23 Desigualdad MA-MG De todos los cuadriláteros de perímetro fijo dado, demuestre que el cuadrado encierra el área máxima.

24 Desigualdad MA-MG Sin pérdida de generalidad, limitemos la discusión a cuadrilaeros convexos. Consideremos el cuadrilátero ABCD. Entonces, el área del mismo es A = 1 2 AB DA sin(a) Similarmente, Por tanto, A AB DA + BC CD BC CD sin(c). 2 AB BC + CD DA. 2 4A AB DA+BC CD +AB BC +CD DA = (AB +CD)(BC +DA) (AB + BC + CD + DA)2 4 = P2 4. Por tanto, A ( P 4 ) 2, con igualdad en el caso del cuadrado.

25 Desigualdad MA-MG Si a + b = 1, entonces a 4 + b

26 Desigualdad MA-MG Observemos que 1 = a + b 2 ab, lo que implica que ab 1 4. Luego tenemos que 1 = (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, que implica a 2 + b 2 = 1 2ab 1 2. Finalmente, (a 2 + b 2 ) 2 = a 4 + b 4 + 2a 2 b 2 1 4, que implica a4 + b

27 Juegos

28 Juegos Tenemos tres montones de piedras: uno con 10 piedras, otro con 15 y un último con 20. En cada turno, un jugador puede elegir uno de los montones y dividirlo en dos montones con menos piedras cada uno. El perdedor es aquel jugador que no puede dividir ningún montón. Existe alguna estrategia ganadora para algún jugador, si juegan dos jugadores?

29 Juegos No existe estrategia ganadora alguna. No importa que decisiones tomen los jugadores, cada jugada aumenta un montón al juego, que terminará cuando haya 45 montones de una piedra, es decir, en 42 jugadas. Así, el segundo jugador siempre ganará.

30 Juegos Dos jugadores colocan dominos (1 2) en un tablero de manera que ninguna pieza colocada se encima en otra ni sale del tablero. El jugador que no pueda colocar una pieza pierde. Existe alguna estrategia ganadora para algún jugador?

31 Juegos El segundo jugador tiene una estrategia ganadora: jugar con simetría con respecto al centro del tablero en respuesta a la jugada del primer jugador. Siempre puede contestar la jugada así el segundo jugador, y el juego terminará cuando el primer jugador no pueda jugar.

32 Juegos Una caja contiene 300 palillos. Dos jugadores toman turnos sacando no mas que la mitad de los palillos. El jugador que no pueda jugar, pierde. Existe alguna estrategia ganadora para algún jugador?

33 Juegos La posición perdedora es de la forma 2 n 1 (enfrentarla implica perder), así que el primer jugador puede sacar 45 palillos y dejar el juego en 255 = 2 8 1, asegurando su victoria.

34 Juegos El juego comienza con el número 1. Dos jugadores toman turnos multiplicando el número del momento por cualquier entero entre el 2 y el 9 (inclusive los extremos). El primer jugador que genere un número mayor que 1000 gana. Existe alguna estrategia ganadora para algún jugador?

35 Juegos Las posiciones perdedoras son del 56 al 111 (porque al multiplicar del 2 al 9 producen números menores que mil pero en la siguiente jugada uno puede hacerlos pasar de mil) y del 4 al 6 (porque al multiplicar del 2 al 9 no llegan a las otras posiciones perdedoras, pero en la siguiente jugada se puede lograr una posición perdedora). Así que el primer jugador puede poner el juego en posición 4, 5 ó 6 y ganar.

36 Juegos Dos niños se turnan en romper una barra de chocolate que es de 5 10 cuadraditos. Solo pueden romper la barra usando las divisiones entre los cuadraditos. El jugador que primero rompa un cuadrito individual gana. Existe alguna estrategia ganadora para algún jugador?

37 Juegos El primer jugador tiene la oportunidad de partir la barra en dos barras iguales 5 5, y de ahí en adelante hacer jugadas simétricas al contrincante, hasta que una barra con base o altura 1 sea desprendida y ahí romper el cuadrito ganador.

38 Juegos Dos jugadores ponen, uno despues del otro, monedas en una mesa circular. Las monedas no pueden estar amontonadas una encima de la otra. Pierde el que ya no puede poner moneda. Existe alguna estrategia ganadora para algun jugador?

39 Juegos El primer jugador tiene una estrategia ganadora: pone la primera moneda en el centro de la mesa. Después de eso responde a la jugada del segundo jugador simétricamente (respecto al centro). El juego termina cuando el segundo jugador ya no puede poner moneda.

40 Juegos Un tablero 6x6 se llena de fichas 1x2. Gana el jugador solitario que lo logre llenar sin que exista una linea, horizontal o vertical, que divida el tablero en dos si partir ninguna ficha.

41 Juegos Es imposible. Primero, observemos que si una linea divisora parte una ficha, tiene que partir un número par de ellas; de otra forma, al remover las fichas partidas, quedaría una region impar cubierta por fichas pares. Ahora, por contradicción, asumamos que todas las lineas divisoras parten fichas. Hay 5 lineas divisoras verticales y 5 horizontales, que por la primera observación tendrían que partir al menos 20 fichas. Pero el tablero se cubre con 18 fichas: contradicción.

42 Juegos Juego de las cartas de la película X+Y / Beautiful young minds. Se colocan en fila horizontal n cartas. En cada movida se toma una carta boca arriba y se voltea boca abajo; se invierte tambien la carta que esta a su derecha. En este juego solitario, gana el jugador que pueda jugar más veces. Cuál es la estrategia para jugar indefinidamente?

43 Juegos Pensar en las cartas como representando un número binario, y observar que cada jugada lo hace disminuir estrictamente.

44 Juegos Juego de la pila de n piedras, sacando a lo más m piedras por movida (por ejemplo, gana quien se lleva la última piedra). Generalizar a dos pilas, tres pilas, etc.

45 Juegos Posición perdedora: m+1, 2(m+1), 3(m+1), etc.

46 Juegos Nim. Dos columnas. Tres columnas.

47 Juegos Dos columnas iguales: posición perdedora. Tres columnas: 1,2,3 posición perdedora. Suma nim 0 es común a las posiciones perdedoras. En una jugada no se puede ir de suma nim cero a suma nim cero. De suma nim distinta de cero siempre se puede ir a suma nim cero.

48 Juegos Hex: unir seis vérticas con aristas de dos colores. El primero en formar un triángulo pierde (o gana).

49 Juegos Considerar 4 vértices, 5 vértices. Simetría?

50 Fin