Aplicaciones de la teoría de grupos, anillos y cuerpos: Teoría de la Codificación

Transcripción

1 Aplicaciones de la teoría de grupos, anillos y cuerpos: Teoría de la Codificación Como un ejemplo de aplicación de la teoría de las estructuras algebraicas vamos a ver en esta sección un aspecto de la teoría de la codificación: los códigos lineales. Introducción Cuando se trasmite un mensaje lo primero que se hace es codificarlo, es decir, convertirlo en una secuencia de ceros y unos, agrupados en palabras de una misma longitud. El que lo recibe tiene que descodificarlo y, para ello, conviene que tenga mecanismos para detectar y, si es posible, corregir los posibles errores que haya podido haber en la trasmisión. Denotamos por V n al conjunto de las 2 n palabras de longitud n. Por ejemplo, V 2 = {, 1, 1, 11} y V 3 = {, 1, 1, 11, 1, 11, 11, 111}. Definición 1. Llamaremos código binario de longitud n a cualquier subconjunto de V n. El siguiente ejemplo ilustra muy bien lo que vamos a ver en este capítulo. Ejemplo 2. Supongamos que queremos mandar un mensaje que tiene cuatro posibilidades: arriba, abajo, izquierda y derecha. Podemos emplear alguno de estos tres códigos para codificarlo: arriba abajo izquierda derecha C C C El código C 1, que es de longitud 2, es muy económico, porque emplea el mínimo número de dígitos necesario, pero tiene el inconveniente de que no tiene ninguna capacidad de detección (y mucho menos de corrección) de errores. Si se recibe la palabra 1 no se puede saber si la trasmisión ha sido correcta, o la palabra trasmitida era y se ha producido un error en el primer dígito, o era la palabra 11 con un error en el segundo. El segundo código, C 2, de longitud 3, es menos económico pero es mejor en el sentido de que si se produce un error en un dígito, el receptor lo sabe porque recibe una palabra que no es del código, pero no puede corregirlo. Por ejemplo, si se recibe 1, se sabe que hay un error porque esta palabra no está en el código, pero no se puede saber si es con un error en el tercer dígito, 11 con un error en el segundo o 11 con un error en el primero, y por tanto no se puede corregir. El último de los códigos, C 3, de longitud 6, es el menos económico, porque para cuatro mensajes emplea seis dígitos, pero tiene la propiedad de que, además de detectar errores en un dígito, los corrige. Por ejemplo, un error en el cuarto dígito de 111 da 11. El que recibe el mensaje sabe que hay un error y puede corregirlo porque la palabra más cercana es 111. Se trata entonces de buscar códigos que, sin emplear un número grande de dígitos, tengan buenas propiedades de detección y corrección de errores. 1

2 Distancia en un código binario Denotamos por a, b, c,... a las palabras del conjunto V n. Definición 3. La distancia de Hamming d(a, b) entre las palabras a, b V n es el número de bits en que difieren. Ejemplo 4. d(1, 11) = 1, d(111, ) = 3. Esta distancia, como cualquier otra distancia definida en términos matemáticos, cumple estas tres propiedades: (i) d(a, b) ; d(a, b) = a = b (ii) d(a, b) = d(b, a) (iii) d(a, b) + d(b, c) d(a, c) Definición 5. La distancia mínima de un código binario C V n es la menor de las distancias entre las palabras del código: δ = min{d(a, b) a, b C, a b} Ejemplo 6. Las distancias mínimas de los códigos C 1, C 2 y C 3 del ejemplo 2 son, respectivamente, 1, 2 y 3. Este parámetro δ de un código binario sirve para determinar la capacidad de detección y corrección de errores. En cuanto a la detección: si δ es la distancia mínima, el código puede detectar al menos δ 1 errores, porque puede haber δ 1 dígitos que cambien en una palabra sin que haya confusión con otra palabra del código. En cambio, una palabra con δ errores se puede convertir en otra palabra del código, en cuyo caso no se detectarían los errores. Por lo que se refiere a la corrección, señalemos primero que esta se hará según el principio del vecino más próximo: supondremos que la palabra trasmitida es la más cercana a la que se ha recibido. Si δ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7..., se pueden corregir,, 1, 1, 2, 2, 3... errores. En general, el número máximo de errores que corrige un código de distancia mínima δ es δ 1 2. Ejemplo 7. Con respecto a los códigos C 1, C 2 y C 3 del ejemplo 2: C 1 δ = 1 no corrige ni detecta ningún error C 2 δ = 2 detecta un error, pero no lo corrige C 3 δ = 3 detecta dos errores y corrige uno Ejercicio 8. Halla la distancia mínima del código C = {, 1, 11, 111} de V 5. Determina su capacidad de detección y corrección de errores. Ejercicio 9. Halla la distancia mínima del código C V 6 formado por las palabras, y las que tienen tres ceros y tres unos. Determina su capacidad de detección y corrección de errores. Cuántas palabras tiene este código? 2

3 Estructura algebraica de V n En el conjunto V n formado por las palabras de ceros y unos de longitud n, podemos definir una operación +. La suma de dos palabras a + b es la palabra cuyos bits se obtienen sumando los correspondientes bits de a y b módulo 2. Ejemplo = 1111 La operación + da a V n estructura de grupo: (g1) Es una clausura: a, b V n a + b V n. (g2) Es asociativa: a + (b + c = (a + b) + c). (g3) El elemento neutro es la palabra formada por ceros: =... V n. (g4) La palabra simétrica de a es ella misma, porque a + a =. Además tiene la propiedad conmutativa: a + b = b + a. Así pues, (V n, +) es un grupo conmutativo de orden 2 n. Como todos los elementos, salvo la palabra que tiene orden 1, tienen orden 2, este grupo es isomorfo a C n 2. Códigos lineales Definición 11. Decimos que un código C V n es lineal si la suma de dos palabras del código es otra palabra del código. Es decir, la operación suma es una clausura en C. Además, la asociatividad y la conmutatividad también se verifican, así como la existencia de elementos simétricos; finalmente, en cualquier código lineal está la palabra. Por tanto, C, + es un grupo conmutativo (se dice que es un subgrupo de V n ). Como sus palabras, salvo, tienen orden 2, su orden es 2 k, k =, 1,..., n. Es decir, el número de palabras de un código lineal es una potencia de 2. Definición 12. El entero k, el exponente de 2 en el número de palabras de un código lineal, se denomina dimensión del código. Ejemplo 13. De los códigos del ejemplo 2 podemos afirmar lo siguiente: C 1 es lineal (de hecho, C 1 = V 2 ) y n = k = 2. C 2 también es lineal y k = 2. El código C 3 no es lineal porque, por ejemplo, = 1111 / C 3. Así pues, un código lineal tiene tres parámetros importantes: n longitud las palabras de C tienen n bits k dimensión C tiene 2 k palabras δ distancia mínima C detecta δ 1 errores y corrige δ 1 2 3

4 De ellos depende la utilidad de un código. Interesa, por una parte, que k no sea mucho menor que n para que el número de bits que se tiene que emplear no sea muy grande. Por otra parte, cuanto mayor sea δ, mejor, porque la capacidad de detección y corrección de errores es mayor. Pero, lógicamente, cuando k aumenta, δ disminuye, y viceversa. Ejemplo 14. Vamos a estudiar el código C V 4 formado por las palabras que tienen un número par de unos. Hay una palabra con cuatro unos y una con ninguno. Con dos unos hay ( 4 2) = 6, que son las formas de escoger los sitios que ocupan los dos unos, sin considerar el orden y sin repeticiones. El código es, pues, el conjunto C = {, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 1111}. Sus parámetros son n = 4, k = 3, porque tiene 2 3 elementos, y δ = 2, con lo que detecta un error y no corrige ninguno. Se puede comprobar que es un código lineal porque la suma de dos palabras cualesquiera es otra palabra del código. Ejercicio 15. Halla las palabras del menor código lineal C que contiene las palabras 11, 11 y 11. Determina sus parámetros n, k y δ. Ejercicio 16. (generalización del ejemplo 14) Demuestra que las palabras de V n que tienen un número par de unos forman un código lineal. Halla el parámetro k de este código, en función de n. Cuál es su capacidad de detección y corrección de errores? La distancia mínima en los códigos lineales Vamos a ver en esta sección una forma sencilla de calcular la distancia mínima en un código lineal. Definición 17. Llamamos peso de una palabra a de un código C al número de unos que tiene. Lo denotaremos por ω(a). El peso de una palabra a se puede ver también como la distancia de a a : ω(a) = d(a, ). La distancia entre dos palabras a y b de un código lineal no cambia si les sumamos una misma palabra. Por tanto, tenemos: d(a, b) = d(a b, b b) = d(a b, ) = ω(a b) La distancia mínima será, entonces, el peso mínimo de las palabras no nulas del código. Construcción de códigos lineales Sea x = x 1 x 2... x n una palabra de V n que, como vector columna, denotaremos por x t, y H una matriz binaria de n columnas. El conjunto C = {x V n Hx t = t } es un código lineal, porque la suma de dos palabras de C es otra palabra de C: a, b C H(a + b) t = Ha t + Hb t = t a + b C Por tanto, para construir un código lineal de longitud n basta tomar una matriz binaria de n columnas y hallar las soluciones de la ecuación matricial Hx t = t. 4

5 Ejemplo 18. Si H = ( ) 1 1, la ecuación matricial es 1 1 ( ) x 1 x 2 x 3 que equivale al sistema de ecuaciones { x1 + x 2 = x 2 + x 3 = = ( cuyas soluciones en Z 2 son x 1 = x 2 = x 3 = y x 1 = x 2 = x 3 = 1, con lo que el código es {, 111}. Definición 19. La matriz H es la matriz de comprobación de la paridad del código, o, simplemente, la matriz de paridad. Para que la resolución de la ecuación Hx t = t, o del sistema de ecuaciones lineales equivalente, el caso más sencillo es cuando la matriz está en la forma estándar: 1 h 11 h 12 h 1,n r 1 h 21 h 22 h 2,n r h r1 h r2 h r,n r Es decir, las primeras r columnas forman la matriz identidad I. En este caso, podemos tomar las variables dependientes x 1,..., x r, que se pueden expresar directamente en función de las independientes x r+1, x r+2,..., x n : x 1 = h 11 x r+1 + h 12 x r h 1,n r x n x 2 = h 21 x r+1 + h 22 x r h 2,n r x n... x r = h r1 x r+1 + h r2 x r h r,n r x n El número de soluciones es 2 k, y podemos ver que k es el número de variables independientes, que viene dado por el número de columnas menos el número de filas. Ejemplo 2. Con la matriz H = , la solución viene dada por x 1 = x 5 + x 6 x 2 = x 4 + x 5 + x 6 x 3 = x 4 + x 6 Dando valores a las variables independientes resulta el código C = {, 1111, 111, 111, 111, 111, 1111, 1111} Su dimensión es 3, que es el número de columnas de la matriz menos el número de filas. ) 5

6 Si las primeras columnas no forman la matriz identidad, pero hay columnas en la matriz que, después de una reordenación la formarían, la resolución sería análoga. Deberíamos considerar como variables dependientes las que corresponden a estas columnas que formarían I, y despejar cada una de ellas de la ecuación en que esté. Ejemplo 21. En la matriz H = vemos que las columnas segunda, 1 1 cuarta y quinta, reordenadas, formarían I. Podemos tomar entonces x 2, x 4 y x 5 como variables dependientes, y, despejándolas de las ecuaciones segunda, tercera y primera, respectivamente, el sistema se podría expresar así: x 2 = x 1 + x 3 x 4 = x 1 x 5 = x 1 + x 3 Si no hay columnas que pudieran formar la matriz identidad, podríamos hacer trasformaciones en la matriz hasta conseguir que las haya. Ejemplo 22. En H = nos faltan las columnas 1 y 1. Para conseguirlas podemos seguir, por ejemplo, estos pasos: En el primero hemos sumado a la tercera fila la segunda, y en el segundo hemos sumado a la primera la tercera. Las variables dependientes son x 2, x 3 y x 4, y el sistema, x 2 = x 1 x 3 = x 1 + x 5 x 4 = x 5 Corrección de errores en códigos lineales Se puede comprobar que si la matriz de paridad de un código lineal no tiene una columna formada toda ella por ceros, no hay palabras de peso 1. Y si no hay columnas iguales, no hay palabras de peso dos. Es decir, si se cumplen estas dos condiciones, el peso de las palabras del código es, como mínimo 3: δ 3 y por tanto el código corrige al menos un error. Vamos a ver cómo se corrige un error en un código lineal que tiene δ 3. Podemos poner que una palabra a con un error en el dígito i es a = a + e i, donde e i es la palabra formada toda por ceros salvo un uno en el lugar i. Cuando aplicamos H a esta palabra resulta Ha t = H(a t + e i t ) = Ha t + He i t = t + C i 6

7 donde C i representa la columna i de la matriz. Así pues, si al aplicar H a una palabra que tiene un error el resultado es la columna i de la matriz, podemos decir que el error se ha producido en el dígito i, y podemos corregirlo simplemente lo cambiamos. Ejemplo 23. En el código del ejemplo 2 vamos a suponer que se recibe la palabra 11, que es una palabra del código que tiene un error. Multiplicando por H resulta = que es la tercera columna de la matriz, lo que indica que el error está en el tercer bit. Lo cambiamos y queda la palabra 111. Códigos de Hamming Definición 24. Un código de Hamming es un código lineal cuya matriz de paridad no tiene columnas de ceros ni columnas iguales y además, teniendo en cuenta estas limitaciones, consta del máximo número de columnas posible. En los siguientes ejemplos vamos a ver los casos mas sencillos: n = 2 y n = 3. Ejemplo 25. Si la matriz ( tiene dos ) filas, podemos poner tres columnas como máximo, 1 1 que ordenamos así: H =. Las columnas las hemos puesto en el orden 1, y 11, que son la representación binaria de 1, 2 y 3, por una razón que veremos al final de este apartado. El código es el del ejemplo 18: {, 111}. Sus parámetros son n = 3, k = 1 y δ = 3. Ejemplo 26. Con tres filas tenemos siete columnas no nulas, diferentes. Si las ordenamos siguiendo el criterio del ejemplo anterior resulta la matriz H = Para hallar las palabras del código tomamos como variables dependientes x 1, x 2 y x 4, porque sus columnas correspondientes están formadas por dos ceros y un uno, lo que facilita la resolución del sistema. x 4 = x 5 + x 6 + x 7 x 2 = x 3 + x 6 + x 7 x 1 = x 3 + x 5 + x 7 Para hallar las palabras del código damos valores a las variables independientes y hallamos los valores que toman las variables dependientes. 7

8 x 3 x 5 x 6 x 7 x 1 x 2 x 4 x Los parámetros de este código son n = 7, k = 4 y δ = 3 La razón de colocar las columnas de la matriz en este orden es que esto facilita la mecánica de corrección de errores. Hemos dicho que si se produce un error en una palabra, al multiplicarla por la matriz resulta la columna correspondiente al lugar donde está el error. Pero en estos códigos de Hamming para buscar el sitio en que está una columna no hay más que pasarla a decimal. Ejemplo 27. En el código del ejemplo 26 la palabra 111 tiene un error. Para buscarlo la multiplicamos por H: = El resultado es 11 que, pasado a decimal, es 5, con lo que el error está en el quinto bit. En general, si la dimensión de la matriz de un código de Hamming es r n (r filas y n columnas), sus parámetros son: La longitud es el número de columnas n. La dimensión es k = n r, que es el número de variables independientes. La distancia mínima es siempre δ = 3, porque se puede demostrar que la palabra está en cualquier código de Hamming. 8

9 Códigos cíclicos Vamos a representar una palabra a V n como a = a a 1... a n 1. A la palabra â = a n 1 a a 1... a n 2 la llamaremos primer desplazamiento de a. El segundo desplazamiento sería a n 2 a n 1 a a 1... a n 3, y así sucesivamente. Ejemplo 28. La palabra a = 111 V 5 tiene cinco desplazamientos diferentes, que son 111 = â, 111, 111, 111 y 111 = a. Ejemplo 29. Decimos que un código lineal es cíclico si los desplazamientos de cualquier palabra del código son también palabras del código. Ejemplo 3. {, 11, 11, 11} es un código cíclico. {, 1, 1, 1} no es cíclico porque no es lineal. {, 11, 1, 1} es un código lineal que no es cíclico. {... }, {..., } y V n son códigos cíclicos de parámetro k =, 1 y n respectivamente. Los códigos cíclicos están relacionados con la teoría de las estructuras algebraicas, concretamente con los anillos de polinomios, como vamos a ver a continuación. Vamos a representar la palabra a = a a 1... a n 1 como el polinomio a(x) = a + a 1 x a n 1 x n 1. Así, el conjunto V n será como el conjunto de polinomios de grado menor que n, que representaremos por V n [x]. El primer desplazamiento de a(x) es â(x) = a n 1 + a x + a 1 x a n 2 x n. Sumamos y restamos a n 1 x n para obtener lo siguiente: â)x = = a n 1 + a x + a 1 x a n 2 x n 1 = x(a + a 1 x a n 1 x n ) a n 1 (x n 1) = xa(x) a n 1 (x n 1) Esto lo podemos interpretar diciendo que hacer un desplazamiento en la â(x) es como multiplicar el polinomio a(x) por x módulo x n 1. Consideramos ahora el conjunto Z 2 [x]/(x n 1), es decir, V n [x], con la suma habitual de polinomios y el producto módulo x n 1. Como este polinomio no es irreducible, porque tiene una raíz x = 1, no es un cuerpo, sino un anillo. Definimos ahora un concepto importante de la teoría de anillos, estrechamente relacionado con los códigos cíclicos. Definición 31. Decimos que un subconjunto I de un anillo A es un ideal si cumple estas dos condiciones: i 1, i 2 I i 1 + i 2 I r A, i I ri I 9

10 Si lo interpretamos en términos de códigos, tomamos A = V n [x] y C V n [x], vemos que la primera condición equivale a decir que C es lineal: la suma de dos palabras del código es otra palabra del código. Y la segunda condición, si tomamos r = x y i = a(x) C, nos dice que xa(x) está también en C. O, en otras palabras, que C es cíclico. Así pues, los códigos cíclicos son los ideales del anillo V n [x]. De la teoría de anillos vamos a extraer una serie de resultados, sin demostración, que nos permitirán construir los códigos cíclicos. Estos son los pasos que vamos a seguir: Los ideales de V n [x], o los códigos cíclicos, están siempre generados por un polinomio. De los generadores que puede tener un código cíclico, hay uno, único, de grado mínimo, denominado generador canónico. Los generadores canónicos son los divisores de x n 1. En primer lugar, diremos que los ideales de V n [x] tienen siempre un generador. En nuestro caso, esto quiere decir que todo código cíclico C es de la forma C =< g(x) >, con g(x) V n [x]. El ideal generado por g(x) es el conjunto de sus múltiplos: < g(x) >= {g(x)a(x) a(x) V n [x]} Ejemplo 32. En V 3 [x] vamos a hallar el ideal generado por el polinomio g(x) = x + x 2. Para ello hacemos una tabla con los productos de g(x) multiplicado por todos los polinomios de V 3 [x]. a(x) a(x)(x + x 2 ) 1 x + x 2 11 x 1 + x x 1 + x 11 x x x x 2 11 x + x 2 x + x x + x 2 El código es {, 11, 11, 11}; sus parámetros son n = 3, k = 2 y δ = 2. Ejercicio 33. En el ejemplo anterior, demuestra que los polinomios 1+x 2 y 1+x generan el mismo código. Ejercicio 34. Halla el código de longitud 3 generado por 1 + x + x 2. Además, de los varios generadores que pueda tener un código cíclico existe uno único de grado mínimo, que llamaremos generador canónico de C. Ejemplo 35. En el ejemplo 32 el generador de menor grado, el generador canónico, es 1 + x, que es el único generador de grado 1. En cambio, hay dos generadores de grado 2, que son x + x 2 y 1 + x 2. Finalmente, diremos que los generadores canónicos de los ideales de V n [x] son los divisores de x n 1. 1

11 Ejemplo 36. Los divisores de x 4 1 = (x + 1) 4 son 1, x + 1, (x + 1) 2, (x + 1) 3 y (x + 1) 4. Lo que quiere decir que hay cinco códigos cíclicos de longitud 4. Ejercicio 37. Los cinco códigos cíclicos de longitud 4 son {} {, 1111} {, 11, 11, 1111} {, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 1111} V 4 Determina cuál es el generador de cada uno de ellos. Construcción de códigos cíclicos Para construir un código cíclico partimos de un polinomio g(x) V n [x] divisor de x n 1, que será el generador canónico. Hallamos el polinomio h(x) = xn 1. Este polinomio es h(x) = h g(x) + h 1 (x) h k x k. Con sus coeficientes formamos la matriz de paridad del código cíclico generado por g(x). H = h k... h 1 h... h k... h 1 h h k... h 1 h... h k... h 1 h Como h(x) tiene grado k, hay k + 1 coeficientes y por tanto hay que añadir n k 1 ceros en la primera fila, para que haya n columnas en la matriz. Después en cada fila hay que ir desplazando el bloque de dígitos de h(x) hasta que llege al final. En total habrá n k filas y la dimensión del código será k. Ejemplo 38. La descomposición de x 7 1 es (1 + x)(1 + x + x 3 )(1 + x 2 + x 3 ), por lo tanto x 7 1 tiene 8 divisores, que son x 1 + x + x x 2 + x 3 (1 + x)(1 + x + x 3 ) = 1 + x 2 + x 3 + x 4 (1 + x)(1 + x 2 + x 3 ) = 1 + x + x 2 + x 4 (1 + x + x 3 )(1 + x 2 + x 3 ) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 (1 + x)(1 + x + x 3 )(1 + x 2 + x 3 ) = x n 1 Cada uno de ellos es el generador canónico de un código cíclico, con lo que podemos decir que hay ocho códigos cíclicos de longitud 7. 11

12 Por ejemplo, si tomamos el divisor g(x) = (1 + x)(1 + x + x 3 ), el polinomio h(x) es (1 + x 2 + x 3 ). Tomamos sus coeficientes en orden inverso para colocarlos en la matriz: 111. Entonces la matriz de paridad del código C generado por g(x) es H = Resolvemos el sistema de ecuaciones y resulta el código x 1 + x 2 + x 4 = x 2 + x 3 + x 5 = x 3 + x 4 + x 6 = x 4 + x 5 + x 7 = C = {, 1111, 1111, 1111, 1111, 1111, 1111, 1111} Sus parámetros son n = 7, k = 3 y δ = 4. Ejercicio 39. Determina las palabras del código de longitud 7 generado por el polinomio 1 + x + x 3. Ejercicio 4. Factoriza el polinomio x 6 1 Z 2 [x] y halla todos los códigos cíclicos de longitud 6. 12