En el tercero aparece la aplicación de las computadoras a la resolución de problemas de la dinámica de fluidos.

Transcripción

1 Capítulo 1 Introducción 1.1. Introducción y Objetivos Se redacta el proyecto fin de carrera Simulación numérica directa en paralelo de las ecuaciones de Navier-Stokes en flujos con capa límite desprendida. Aplicaciones en instalaciones deportivas con gradas cubiertas para el departamento de Ingeniería del Diseño de la Escuela Superior de Ingenieros de Sevilla y tutorado por don José Ángel González Pérez. El proyecto consiste, a groso modo, en aplicar una herramienta para resolver flujos de viento en ingniería civil, y emplear estos resultados para el cálculo de las cargas que el viento ejerce sobre las construcciones Este documento presenta dos partes claramente diferenciadas: una parte de introducción y aspectos relaccionados con el problema, y otra, dedicada a la aplicación de la herramienta en un modelo de edificio de viviendas de forma cúbica y en los modelos de estadio de fútbol de los dos equipos de la ciudad de Sevilla (el Sevilla F.C y el Real Betis Balompié). La primera parte consta de cinco capítulos: El primer capítulo incluye la introducción, los fundamentos de la mecánica de fluidos, el empleo del análisis dimensional, unas ideas básicas sobre las cargas de viento sobre edificaciones y la incomodidad que el viento genera en las personas. El segundo capítulo está dedicado a las ecuaciones de Navier-Stokes, las aproximaciones que se pueden realizar para simplificar las ecuaciones y el fenómeno de la turbulencia incluyendo sus modelos. En el tercero aparece la aplicación de las computadoras a la resolución de problemas de la dinámica de fluidos. El cuarto versa sobre el viento atmosférico y su modelado. Y por último un capítulo dedicado a los túneles de vientos y sus aplicaciones. Por contra, la segunda sólo consta de tres capítulos, que coinciden con cada una de las aplicaciones llevadas a cabo en el proyecto: El modelo de edificio de viviendas de forma cúbica. El modelo de estadio Ramón Sánchez Pizjuán. El modelo de estadio Manuel Ruiz de Lopera. El procedimiento llevado a cabo para la realización de cada una de las aplicaciones es: Crear un modelo geométrico del objeto que se desee modelar Definir un dominio (volumen fluido) alrededor del objeto a estudio 9

2 10 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Generar una malla de volúmenes finitos en el dominio definido, es decir, dividir el dominio en pequeños volúmenes. Discretizar las ecuaciones integrales completas de Navier-Stokes y aplicarlas para cada uno de los volúmenes definidos. Imponer las condicines de contorno e iniciales para las variables que gobiernan el problema. Resolución en paralelo de las ecuaciones: que consiste en la división del problema en varios procesos que se resuelven de forma independiente. Representar los resultados obtenidos Comparar los resultados con datos de ensayos experimentales de túnel de viento Fundamentos de Mecánica de Fluidos Introducción La mecánica de fluidos es la rama de las ciencias de la ingeniería que trata de las fuerzas y energías que los fluidos generan en reposo y en movimiento. El estudio de la mecánica de fluidos abarca la aplicación de los principios fundamentales de la mecánica y la termodinámica para desarrollar un entendimiento físico, y las herramientas analíticas que emplean los ingenieros para diseñar y evaluar equipos y procesos donde los fluidos están presentes. Toda la materia se encuentra en uno de los dos estados: sólido o fluido. Probablemente se tenga una idea cualitativa de la diferencia entre ellos: un sólido no cambia fácilmente su forma, mientras que los fluidos cambian con relativa facilidad. Este concepto incluye tanto a los líquidos, los cuales cambian fácilmente de forma pero no de volumen, como los gases, los cuales cambian fácilmente de forma y de volumen Conceptos Básicos Con objeto del estudio del comportamiento de los fluidos es conveniente fijar claramente una serie de conceptos y definiciones de gran interés, que ayudarán a la perfecta comprensión del proyecto. Estos conceptos pueden ampliarse en cualquier texto de Mecánica de Fluidos[13]. Fluidos. Fases: sólido, líquido y gas Un fluido, a diferencia de los sólidos, es una sustancia que cambia de forma con determinada facilidad. Los fluidos pueden estar en dos fases distintas: líquidos (tienen un volumen definido por el recipiente que lo contiene y una superficie libre) o gaseosos (se expanden para rellenar todo el volumen). Todas las sustancias se componen de un número extremadamente grande de partículas discretas denominadas moléculas. La fase de una muestra de materia (sólido, líquido o gas) es una consecuencia del espaciamiento y fuerzas intermoleculares. Las moléculas de un sólido se encuentran relativamente cerca y ejercen fuerzas intermoleculares grandes, mientras que las moléculas de un gas están muy alejadas y ejercen fuerzas intermoleculares relativamente débiles. Así, los gases cambian fácilmente tanto de forma como de volumen y por el contrario los sólidos tienen un volumen y forma definidos. Entre ambos se encuentran los líquidos, con fuerzas intermoleculares lo suficientemente fuertes para conservar el volumen pero no la forma. Mecánica de los medios continuos El movimiento de los fluidos se engloba dentro de la mecánica de los medios continuos. En un modelo continuo, un fluido se describe en función de sus propiedades, las cuales representan características promedio de su estructura molecular. Por ejemplo, se emplea la masa por unidad de volumen

3 1.2. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA DE FLUIDOS 11 o densidad, en lugar del número de moléculas y la masa molecular; la velocidad de un fluido se define como la velocidad del centro de masa del conjunto de moléculas cercanas a un determinado punto. Se debe hacer énfasis en que al adoptar el modelo continuo, se busca la solución de un problema de mecánica de fluidos en función de la variación de una serie de propiedades en todo el dominio fluido. Estas propiedades son funciones continuas en espacio y tiempo, que se definen para cada punto del fluido, considerando punto como un volumen lo suficientemente grande como para poder incluir en él un gran número de moléculas. Fluidoestática y dinámica de fluidos La fluidoestática se ocupa de los fluidos en reposo (la velocidad es nula en cualquier punto del dominio), mientras que la dinámica de fluidos trata de los fluidos en movimiento. Hidráulica y aerodinámica Se entiende por hidraúlica al estudio del flujo de líquidos (por ejemplo, agua) y, por el contrario, aerodinámica cuando se trata de flujo de gases (normalmente aire) Compresible e incompresible Todos los fluidos son compresibles salvo algunas excepciones, pero podemos considerarlo como incompresible; es decir, cambios de presión no originan cambios en la densidad del fluido (densidad constante) para velocidades mucho menores que la velocidad del sonido ( 1480 ms 1 en agua, 340 ms 1 en aire). Fluidos ideales y reales En los fluidos ideales no tenemos en cuenta los efectos viscosos. Esto nunca es cierto pero puede ser una buena aproximación en ciertas ocasiones como veremos más adelante (ver apartado 2.2.5). Flujos laminares y turbulentos Los flujos reales pueden ser laminares o turbulentos.enunflujo laminar tiene lugar un movimiento ordenado de las partículas que determinan el dominio fluido, al contrario que ocurre en los movimientos turbulentos, donde se dá lugar un movimiento caótico y aleatorio superpuesto, en cierto modo, al movimiento principal. Cuerpos romos y fuselados Se entiende por un cuerpo romo a los cuerpos con aristas vivas (por ejemplo: un edificio de viviendas), y por fuselados, aquellos que se encuentran redondeados (por ejemplo: alas y fuselajes de aeronaves) Fuerzas sobre los cuerpos. Coeficientes Como es sabido, cualquier sistema de cargas se puede reducir a una fuerza y a un momento aplicados en un punto cuyas componentes dependerán del sistema de ejes que se adopte como referencia. En el cálculo de las acciones del viento sobre un cuerpo sometido a una corriente incidente uniforme de velocidad U se suele adoptar un triedro de referencia ligado al cuerpo, de modo que el eje x tiene la dirección y el sentido de la velocidad incidente U,elejez está contenido en un plano vertical y forma un ángulo de π/2 con el eje x yporúltimo,elejey se define de modo que el sistema de ejes forme un triedro a derechas, tal como se indica en la Figura 1.1. Este sistema de referencia se denomina ejes viento y las proyecciones de la fuerza resultante sobre los ejes reciben los nombres de resistencia aerodinámica a la proyección sobre el eje x, sustentación la correspondiente al eje z y fuerza lateral la del eje y; de igual modo las componentes del momento se conocen con los nombres de momento de balance (eje x), momento de guiñada (eje z) y momento

4 12 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Figura 1.1: Sistema de ejes viento de cabeceo (eje y), sobre todo en las aplicaciones aeronáuticas[17]. En Aerodinámica, lo habitual no es utilizar directamente estas fuerzas y momentos, sino ciertos coeficientes adimensionales relacionados con los rnismos. La ventaja de la adimensionalización, uno de los conceptos más simples y a la vez más fecundos de la Mecánica de Fluidos, es que permite, a la hora de modelizar el movimiento fluido alrededor de un obstáculo, caracterizar e identificar el flujo con unos pocos parámetros adimensionales. Esto confiere una gran generalidad a los resultados, además de reducir el número de parámetros involucrados. (ver apartado 1.3) Para conocer el estado de cargas producido por el viento sobre un determinado obstáculo será preciso, en general, determinar primero cómo es la distribución de las presiones sobre las superficies del cuerpo para, mediante la integración de éstas, determinar las cargas globales. También aquí en vez de distribuciones de presión, p(x, y, z), se suelen manejar distribuciones de presión adimensional, lo quesedenominacoeficiente de presión c p (x, y, z). Paradefinir el coeficiente de presión es conveniente recordar la ecuación de Bernoulli en régimen incompresible, que relaciona, a lo largo de una línea de corriente, la presión, p, y la velocidad, U, en un punto del dominio fluido con las condiciones de presión y velocidad, P y U existentes corriente arriba, lejos del cuerpo: p ρu 2 = p ρu 2 = p R (1.1) donde p R es la presión de remanso. La expresión 1.1 es válida a lo largo de una línea de corriente en aquellas situaciones en las que el flujo del aire pueda ser considerado como potencial y la velocidad del fluido sea pequeña comparada con la del sonido, lo que ocurre, como ya se ha mencionado, en la mayoría de las aplicaciones de la Aerodinámica Civil. Una excepción son las capas límites y las estelas que se forman corriente abajo de los cuerpos, donde la viscosidad del aire, aun siendo muy pequeña en términos relativos, juega un papel importante y el flujo deja de ser potencial. Así pues, salvo en las capas límites que se forman en los obstáculos y en sus estelas, si las condiciones del flujo incidente, P y U, son uniformes y constantes corriente arriba, el valor de la presión de remanso, p R, será, de acuerdo con la expresión 1.1, constante en todo el dominio fluido. El coeficiente de presión en un punto, c p (x, y, z), sedefine como la diferencia entre la presión en el punto considerado, p(x, y, z), y la presión de referencia, p, dividida por la presión dinámica de la corriente incidente, 1/2ρU 2,esdecir: c p (x, y, z) = p p 1 2 ρu (1.2) 2 Volviendo al caso de un cuerpo que se desplaza a través de un fluido en reposo, en la Figura 1.2 se muestra una distribución de presiones típica sobre un perfil deala. Enestafigura, el sentido de las flechas indica la dirección en la que actúa la fuerza local y está relacionada con el signo del coeficiente de presión. Una flecha que sale del obstáculo significa que el coeficiente de presión es negativo, lo

5 1.2. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA DE FLUIDOS 13 que quiere decir que la corriente se acelera en esa zona (U es mayor que U ) y en consecuencia la presión local p es menor que la estática de la corriente incidente, p (en esas zonas el viento ejerce sobre el obstáculo una fuerza de succión); por contra, donde las flechas apuntan hacia la superficie del obstáculo se entiende que el coeficiente de presión es positivo y se produce sobrepresión, es decir, sobre esta parte del perfil lacorrientesedeceleraylapresiónlocalesmayorquelaestáticadelacorriente incidente. Figura 1.2: Distribución de coeficientes de presión, C p,sobreunperfil típico de ala y resultantes de las fuerzas aerodinámicas que actúan sobre el perfil según la dirección perpendicular a la corriente incidente no perturbada (sustentación, L) y en la dirección de la corriente (resistencia aerodinámica, D). Conocida la presión sobre el cuerpo, las componentes según un cierto triedro de referencia de la fuerza global sobre el cuerpo se obtienen integrando sobre el área la componente según el eje deseado de la presión y análogamente para el momento, integrando el producto de la proyección de la presión según el eje considerado por la distancia al punto donde se refiera el momento. También aquí, en vez de utilizar las magnitudes físicas, lo normal es utilizar coeficientes adimensionales de fuerzas y de momentos. En el caso de obstáculos tridimensionales, los coeficientes de fuerza se definen como el cociente entre la fuerza considerada y el producto de la presión dinámica por una superficie de referencia, que en cuerpos romos suele ser el área frontal del obstáculo, A. Así, por ejemplo, si son D y L las fuerzas de resistencia aerodinámica y de sustentación que actúan sobre el obstáculo, los coeficientes de resistencia aerodinámica ydesustentación serán: c D (x, y, z) = D 1 2 ρu A 2 c L (x, y, z) = L 1 2 ρu A 2 Análogamente, los coeficientes de momento se definen como (1.3) M c M (x, y, z) = 1 2 ρu (1.4) CA 2 donde M es el momento respecto al eje considerado y C una longitud característica del obstáculo Capa Límite. Tipos. Desprendimiento de la corriente Para explicar el concepto de capa límite y su desprendimiento se puede considerar un ejemplo sencillo de movimiento fluido: una corriente bidimensional que discurre paralelamente a un obstáculo plano (tal como se indica en la Figura 1.3). En la superficie del cuerpo la condición de contorno a

6 14 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN imponer es la no existencia de deslizamiento entre las partículas fluidas y el sólido (la velocidad del fluido ha de ser nula en la pared del cuerpo en un sistema de referencia ligado a éste), por tanto, existirá una región próxima al cuerpo en la que la velocidad pase de tener el valor nulo en la pared al valor correspondiente a la corriente exterior. En esta zona, que suele ser delgada si el número de Reynolds es suficientemente alto; los gradientes de velocidad son grandes, y en consecuencia, los efectos viscosos importantes. Así pues, a la hora de estudiar el flujo a altos números de Reynolds alrededor de un obstáculo, se puede considerar que el movimiento es potencial (no viscoso) en todo el campo fluido, salvo en una zona próxima al cuerpo en la que los efectos viscosos son predominantes. Esta zona próxima al cuerpo, normalmente delgada, se conoce con el nombre de capa límite. Figura 1.3: Cerca de la pared de un cuerpo, para cumplir la condición de velocidad nula en la superficie, la corriente se decelera progresivamente según nos acercamos a la pared; la zona donde ocurre la deceleración se conoce como capa límite. En la figura se muestra el desarrollo de una capa límite sobre una placa plana paralela a la corriente incidente; la capa límite nace laminar (a) y recorrida una cierta distancia se produce la transición de régimen laminar a régimen turbulento (b) y se transforma en una capa límite turbulenta (c). Las capas límites pueden ser laminares o turbulentas. En una capa límite laminar partículas fluidas contiguas siguen trayectorias casi paralelas, esto es, se mueven en láminas paralelas a la superficie del cuerpo. El fluido, debido al rozamiento con la pared, se va decelerando suavemente conforme nos acercamos a ésta; el perfil de velocidades en la capa límite laminar es suave. Los movimientos laminares son casi una curiosidad de laboratorio; la naturaleza enseña que en los fluidos las pequeñas perturbaciones tienden a amplificarse, generándose un complicado movimiento de agitación que se superpone al movimiento principal, lo que se conoce como movimiento turbulento. En un movimiento turbulento la velocidad de la partícula es la suma de la velocidad media y las componentes de agitación turbulenta y debido a las componentes transversales de agitación turbulenta en este tipo de movimiento se produce un mezclado muy efectivo entre las diferentes capas o láminas fluidas, por lo que la corriente resulta, en media, mucho más homogénea. La capa límite turbulenta presenta un perfil de velocidades medias mucho más unifonne que la capa límite laminar, lo que se traduce en que las mayores variaciones de velocidad se producen en una zona mucho más próxima a la pared del cuerpo. Un primer detalle de interés es que, en primera aproximación, en una capa límite (adherida) la presión es constante a lo largo de rectas perpendiculares a la superficie del obstáculo y otro es que toda capa límite se ensancha según avanza sobre la superficie del obstáculo, ensanchamiento que se explica por los dos motivos que se exponen a continuación. El primer motivo para el ensanchamiento de la capa límite está en las fuerzas de fricción; en efecto, cada lámina fluida dentro de la capa límite decelera por viscosidad a la lámina inmediata exterior y a su vez es decelerada por la lámina inmediata interior. La cantidad de movimiento que pierde el fluido se emplea en equilibrar la acción tangencial que la pared ejerce sobre él. El segundo motivo tiene que ver con el posible desprendimiento de la capa límite, el cual depende del campo de presiones que se va encontrando la capa límite en su avance a lo largo del cuerpo. Puede ser que la presión vaya disminuyendo al avanzar, lo que se denomina gradiente favorable de presiones, o que aumente a lo largo del camino, condición que se denomina gradiente desfavorable. Ya se ha dicho que si la presión aumenta (gradiente desfavorable), la velocidad disminuye y el fluido perderá cantidad de movimiento; lo contrario ocurrirá si la presión disminuye. En el caso de una capa límite que avanza en presencia de un gradiente adverso de presiones, la pérdida

7 1.2. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA DE FLUIDOS 15 de cantidad de movimiento se deberá a dos causas: parte de la pérdida de cantidad de movimiento se empleará en contrarrestar el rozamiento en la pared y parte en vencer el gradiente adverso de presiones. Por el contrario, cuando el gradiente de presiones sea favorable, la capa límite se acelerará y ganará cantidad de movimiento, lo que ayudará a equilibrar el rozamiento en la pared. Siguiendo con estos razonamientos es claro ahora que en presencia de un gradiente adverso de presión, las láminas fluidas más cercanas a la pared, que tienen menor cantidad de movimiento, se decelerarán comparativamente más que las más alejadas, ya que de acuerdo con lo dicho anteriormente, todas ellas están sometidas al mismo gradiente adverso, pero las más alejadas, que tienen mayor cantidad de movimiento, lucharán contra ese gradiente adverso en condiciones más favorables. A consecuencia de esta deceleración las partículas próximas a la pared terminan por retroceder en vez de avanzar y en la zona en la que ocurre este retroceso la capa límite está desprendida (ver Figura: 1.4). Figura 1.4: Perfiles de velocidad en diferentes secciones de una capa límite: en presen- cia de un gradiente adverso de presiones (P2 > P1) la capa límite se decelera, pudiendo llegar a invertirse el sentido del flujo en la misma, cerca de la superficie del obstáculo (capa límite desprendida). En resumen, la capa límite puede ser laminar o turbulenta. En el primer caso las láminas fluidas se mueven ordenadamente y entre ellas hay sólo un intercambio debido a las fuerzas viscosas de cantidad de movimiento, mientras que en el segundo caso las partículas fluidas, que inicialmente se movían paralelamente entre sí, se entrecruzan de forma caótica y el intercambio de cantidad de movimiento tiene lugar a escala macroscópica. Además, se sabe que la capa límite laminar es inestable y que se mantiene como laminar sólo en la parte delantera del obstáculo; una vez que aparecen y se amplifican las perturbaciones introducidas por el obstáculo, la capa límite pasa a turbulenta a través de un proceso de transición, no lineal y muy complicado. Para aclarar algo más el fenómeno del desprendimiento de la capa límite, supongamos el caso de un cilindro circular de radio a, sometido a una corriente incidente uniforme y constante de velocidad U. Supongamos también que se cumplen las condiciones necesarias para que este movimiento se pueda considerar como potencial, para así despreciar el efecto de la viscosidad. En las condiciones anteriores el campo de velocidades sobre el cilindro circular viene dado por las expresiones: U = 2U sin 2 (θ) (1.5) W = 2U sin(θ)cos(θ) donde U y W son las componentes horizontal y vertical de la velocidad y el ángulo θ está medido a partir del punto de remanso anterior. De la aplicación de la ecuación de Bernoulli (ver apartado 2.2.8) entre un punto situado en el infinito aguas arriba y otro situado sobre el cilindro circular se obtiene que la presión sobre el cilindro vale: p(θ) =p ρu 2 2ρU 2 sin 2 (θ) (1.6)

8 16 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Obsérvese que en la solución teórica obtenida aparece un punto de remanso (U = W = 0)en la cara anterior del cilindro y otro en la posterior (concretamente en θ = 0 y θ = π). Según la solución potencial, una vez sobrepasada la posición del punto de remanso anterior (θ =0), conforme una partícula fluida próxima al cilindro se va alejando de este punto de remanso, su velocidad va aumentando y en consecuencia, según la expresión 1.6, la presión disminuye. Esta situación se mantiene en la cara anterior del cilindro de modo que en esta zona, entre 0 y π/2, el gradiente de presión es favorable. En la solución potencial el máximo de la velocidad se alcanza en θ = π/2, donde la velocidad, de acuerdo con las expresiones 1.5, es el doble de la velocidad de la corriente incidente, U =2U. A partir de este punto de mínima presión, si siguiese siendo válida la solución potencial, la velocidad comenzaría a disminuir hasta que se anulara en el punto de remanso posterior. En esta solución potencial el campo de presiones sobre el cilindro de sección circular es simétrico tanto respecto al eje x como respecto al eje z y por tanto sobre un cilindro en una corriente potencial no aparecería fuerza vertical (sustentación) ni fuerza horizontal (resistencia aerodinámica). Al hecho de no aparecer resistencia sobre un obstáculo sumergido en una corriente potencial estacionaria que se conoce con el nombre de paradoja de D Alembert. Al comparar la solución potencial obtenida con la realidad, se observa que la solución anterior es válida en la parte de barlovento del cilindro, pero poco realista en la de sotavento debido al comportamiento de la capa límite. En la realidad, como se sabe, por muy pequeño que sea el valor de la viscosidad existe una capa límite ligada al obstáculo que es muy sensible a los gradientes desfavorables de presión. En un movimiento real la capa límite no es capaz de vencer este gradiente desfavorable de presión y se desprende cerca de θ = π/2, formándose corriente abajo del cilindro una estela turbillonaria (en las Figuras 1.5 y 1.6 se muestran las particularidades del flujo alrededor de cilindros de sección circular). El desprendimiento de la capa límite es muy diferente según sea ésta laminar o turbulenta. La capa límite nace en el punto de remanso anterior y se va desarrollando según avanza a lo largo de la superficie del cilindro. Si el número de Reynolds es bajo, lo normal es que la capa límite se desprenda en cuanto se empiezan a notar los efectos del gradiente adverso que habría en la cara posterior del cilindro si no hubiera desprendimiento (solución potencial). Cuando la capa límite se desprende, el campo de presiones en la zona desprendida es radicalmente distinto del que predice la solución potencial. En la realidad la presión en la cara posterior del cilindro es mucho menor que la que habría si fuera válida la solución potencial, y esta descompensación de las presiones a barlovento y a sotavento del obstáculo es la causa principal de la aparición de la resistencia aerodinámica (por supuesto, el rozamiento del fluido con la pared también contribuye a la resistencia aerodinámica del obstáculo, pero esta contribución es siempre mucho menor que el término debido a la descompensación de las presiones que se genera por el desprendimiento de la capa límite y la formación de una estela turbillonaria). Se ha dicho que la capa límite laminar es inestable cuando el número de Reynolds local supera un cierto valor crítico, además es sabido que el número de Reynolds local aumenta al aumentar la longitud recorrida por la capa límite, así si el cuerpo es suficientemente largo terminará por pasar a turbulenta. En un obstáculo de formas suaves y redondeadas, si el número de Reynolds es suficientemente alto la transición de laminar a turbulento se produce antes del desprendimiento 1. Esto provoca un retraso en el desprendimiento de la capa límite dando lugar a una estela más estrecha, que se traduce, en una disminución apreciable del valor del coeficiente de resistencia del cilindro (ver Figura 1.7). Esta dependencia del coeficiente de resistencia aerodinámica con el número de Reynolds, asociada a la interacción entre desprendimiento y transición de la capa límite, es característica de los cuerpos redondeados (cilindros, esferas, cuerpos fuselados y otros obstáculos parecidos, como se ha dicho); en un cuerpo con aristas la corriente se acelera extraordinariamente cuando se acerca a las esquinas y sufre una deceleración comparable después de sobrepasarlas. Antes de una esquina o de una arista el gradiente de presión es favorable y muy intenso, pero después de la esquina el gradiente es desfavorable y también muy intenso. En un obstáculo con estas características la capa límite se desprende siempre 1 Estehechoesbienconocidoenalgunosdeportescomoelgolfpuestoqueésteeselmotivoporelquealaspelotasde golf se les añade rugosidad en forma de pequeñas oquedades practicadas en su superficie para que la transición de capa límite laminar y turbulenta tenga lugar antes del desprendimiento de la misma; y no sólo eso, los jugadores de cricket consiguen lanzar la bola/pelota con efecto inclinando la costura, pues ésta produce el desprendimiento de la capa límite de forma excéntrica provocando una descompensación lateral de presiones

9 1.2. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA DE FLUIDOS 17 Figura 1.5: Líneas de corriente alrededor de un cilindro circular para distintos valores del número de Reynolds: (a) régimen de corriente no desprendida, Re < 5; (b) aparición de torbellinos desprendidos en la estela, 5 <Re<40; (c) formación de torbellinos alternados, configuración conocida como calle de torbellinos de Von Kármán, 40 <Re<300; (d) a valores más altos del número de Reynolds, Re > 300, la estela es turbulenta (aunque persiste el desprendimiento periódico de estructuras turbillonarias), variando el punto de desprendimiento según la capa límite sea laminar o turbulenta (la transición en este tipo de desprendimiento se produce a un número de Reynolds del orden de 3x105). en las aristas a números de Reynolds bajos (ver Figura 1.8), y una vez desprendida la capa límite la configuración fluida permanece inalterada cualquiera que sea el valor del número de Reynolds. El conocimiento de las zonas del obstáculo donde pueden aparecer gradientes adversos de presión proporciona una guía para situar las áreas proclives al desprendimiento de la corriente. Por ejemplo, se sabe que en un perfil de ala que se desplaza respecto al aire en calma a un cierto ángulo de ataque, al igual que ocurre en caso de un cilindro circular, ha de haber un punto de remanso anterior, próximo albordedeataquedelperfil, pues se entiende que parte del flujo habrá de pasar sobre el perfil yel resto por debajo del mismo, de modo que existirá una línea de corriente que separe ambos flujos (el que pasa por encima y el que transcurre por debajo), línea de corriente que incidirá sobre el perfil en el mencionado punto de remanso anterior. En ese punto nacen dos capas límites, una que baña al intradós (parte inferior) del perfil y otra al extradós (parte superior), como se indica en la Figura 1.9. La corriente que baña al intradós, en una situación normal como la descrita, se va acelerando, por lo que las partículas fluidas de la capa límite se mueven en una condición de gradiente de presión favorable, de modo que difícilmente podrá ocurrir el desprendimiento de la capa límite en esta zona del perfil. En el extradós la situación es muy diferente; en primer lugar lo normal es que, dependiendo del valor del ángulo de ataque, el punto de remanso esté por debajo del borde de ataque (el punto más

10 18 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Figura 1.6: Flujo alrededor de un cilindro circular a bajos (a) y a altos (b) números de Reynolds. A números de Reynolds bajos, Re < 105, la capa límite es laminar y el punto de desprendimiento se localiza corriente arriba del punto de velocidad máxima, e<π/2; cuando la capa límite es turbulenta el punto de desprendimiento se retrasa, e>π/2, y la estela es más estrecha. adelantado del perfil), de forma que una partícula fluida que llegue al perfil por encima de la línea de corriente divisoria tendrá que rebordear el borde de ataque del perfil antes de recorrer la zona del extradós. Se sabe que en este rebordeamiento la corriente se acelera extraordinariamente (tanto más cuanto menor es el radio de curvatura en el borde de ataque del perfil) de manera que la velocidad es muy alta cerca del morro, disminuyendo posteriormente en el extradós, una vez sobrepasado el borde de ataque[16], ver Figura 1.2. Lo anterior quiere decir que sobre el perfil suele aparecer un pico de succión más o menos intenso de forma que entre el punto de remanso anterior y este pico de succión el gradiente de presión es favorable y desfavorable una vez superado éste. En consecuencia, el extradós del perfil es la zona propensa al desprendimiento de la corriente, fenómeno que suele ocurrir cuando el ángulo de ataque sobrepasa un cierto valor, aunque el modo de desprendimiento puede variar enormemente de unos perfiles a otros según sea su espesor relativo. En el caso de cuerpos no fuselados, con aristas vivas, el comportamiento en el desprendimiento suele ser más predecible, pues en consonancia con lo dicho, los gradientes adversos de presión más intensos aparecen siempre a sotavento de la esquinas y es en éstas, por tanto, donde se desprenden las capas límites Análisis Dimensional Introducción.Notación El análisis dimensional es una forma de reducir la complejidad de un problema físico mediante la reducción del número de variables que intervienen en el mismo, siendo de gran utilidad para: Representar e interpretar datos experimentales Resolver problemas en los que es imposible una solución directa de las ecuaciones. Comprobar ecuaciones.

11 1.3. ANÁLISIS DIMENSIONAL 19 Figura 1.7: Variación con el número de Reynolds, Re, del coeficiente de resistencia, c D, de un cilindro circular (curva a) y de una esfera (curva b). Para adimensionalizar el coeficiente de resistencia aerodinámica se ha utilizado el área frontal, πr 2,en el caso de la esfera, y el diámetro, 2r, enelcasodel cilindro, donde, en ambos casos, r es el radio del obstáculo. Figura 1.8: Esquema de la configuración fluida alrededor de un cuerpo no fuselado. En este caso se trata del movimiento alrededor de la cubierta y la grada de un estadio deportivo. La corriente está desprendida tanto en el borde de ataque de la cubierta como en la parte posterior de la grada. Figura 1.9: Esquema del flujo en las proximidades de un perfil de ala. Las capas límites que nacen en el punto de remanso no están dibujadas a escala.

12 20 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Establecer la importancia relativa de un fenómeno físico respecto a otros dentro de la misma ecuación. Dimensiones Se denomina dimensión al tipo de medida con la que cuantificamos un fenómeno físico. Para que la dimensión tenga sentido se debe acompañar de la unidad que es la encargada de fijar la cantidad mediante un sistema unificado. (preferiblemente Sistema Internacional, S.I.). Las dimensiones fundamentales son: Masa, M Longitud, L Tiempo, T Temperatura, Θ En otras áreas de la física son necesarias otras unidades fundamentales; por ejemplo: Intensidad de corriente eléctrica, I El resto de dimensiones son una combinación de las anteriores: Magnitud Símbolo Dimensión Geometría Área A L 2 Volúmen V L 3 Inercia I L 4 Cinemática Velocidad U LT 1 Ángulo Θ none Velocidad angular ω T 1 Caudal Q L 3 T 1 Flujo másico ṁ ML 3 T 1 Dinámica Fuerza F MLT 2 Momento M ML 2 T 2 Enegía, trabajo E,W ML 2 T 2 Potencia P ML 2 T 3 Presión, tensión p, τ ML 1 T 2 Propiedades de los fluidos Densidad ρ ML 3 Viscosidad µ ML 1 T 1 Viscosidad cinemática ν L 2 T 1 Tensión superficial σ MT 2 Conductividad térmica k MLT 3 Θ 1 Calor específico c p,c v L 2 T 2 Θ Apliaciones del Análisis Dimensional. Teorema Pi de Buckingham Las principales aplicaciones del análisis dimensional son: La comprobación dimensional de las ecuaciones El teorema Pi de Buckingham. El principio de semejanza

13 1.4. CARGAS ESTÁTICAS PRODUCIDAS POR EL VIENTO 21 Comprobación dimensional de las ecuaciones dice: El principo de la homogeneidad dimensional Todos los términos pertenecientes a una ecuación deben tener las mismas dimensiones Ejemplos: s = ut at2 p ρv 2 + ρgz = p o todos los términos tienen dimensión de longitud, L todos los términos tienen dimensión de presión, ML 1 T 2 Este principio también es muy útil a la hora de comprobar ecuaciones. Sin embargo, con el análisis dimensional no podemos determinar los factores numéricos. Teorema Pi de Buckingham Para aplicar el teorema Pi de Buckingham se deben de tener en cuenta los dos puntos siguientes: Si un problema tiene n variables y m dimensiones independientes, se puede reducir en n m parámetros adimensionales (Π 1,...,Π n m ) Para construir los n m parámetros adimensionales, se: Eligen m variables dimensionalmente distintas que serán las basicas. Para cada una de las n m variables restantes construir un Π mediante la forma: Π = (variable)(básica 1 ) a (básica 2 ) b...(básica m ) i, donde a,b,...i son tales que hacen Π adimensional Grupos adimensionales en la mecánica de fluidos En la mecánica de fluidos se suelen emplear números adimensionales para la interpretación de las ecuaciones y resultados. Estos números adimensionales nos informan de la importancia relativa entre cada uno de los fenómenos que intervienen en las ecuaciones para así poder despreciar unos términos frente a otros. Los números adimensionales estándares empleados en mecánica de fluidos se muestran en la siguiente tabla: Nombre Símbolo Parámetro Relevancia Reynolds Re Froude Weber Rossby Mach Fr We Ro Ma ρul µ U gl ρu 2 L σ U ΩL ³ U c fuerzas de inercia fuerzas viscosas ³ 1/2 fuerzas de inercia fuerzas gravitatorias fuerzas de inercia tensión superficial fuerzas de inercia fuerza de coriolis 1/2 fuerzas de inercia fuerzas de compresibilidad 1.4. Cargas estáticas producidas por el viento Introducción Las cargas producidas por el viento sobre las edificaciones son, en general, no estáticas, debido tanto a la turbulencia de la corriente incidente como a la no estacionariedad de los fenómenos asociados al desprendimiento de las capas límites en los cuerpos romos. Sin embargo, en el caso de muchos edificios, particularmente en aquellos cuya primera frecuencia propia es elevada y la estructura tiene

14 22 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN un amortiguamiento alto, basta con una estimación precisa de las cargas aerodinámicas adecuadamente promediadas en el tiempo para determinar los esfuerzos generados por el viento sobre la estructura de la edificación. Además, el viento, aparte de generar fuerzas y momentos sobre las estructuras y sus cimientos, al interaccionar con las edificaciones, condiciona y distribuye el flujo de aire tanto en el interior como en el exterior de las construcciones. Este flujo exterior puede acarrear lluvia, nieve, contaminantes, polvo, etc., que a su vez pueden afectar a la ventilación interna. Por todo ello, en paralelo con el análisis de las cargas aerodinámicas sobre la estructura y los revestimientos, también debería tenerse en cuenta el movimiento del aire en el entorno de las edificaciones a la hora de planificar la construcción de un nuevo edificio. Cuando el viento incide sobre un edificio, la modificación del campo fluido genera sobre los elementos de la edificación (fachadas, techos y cornisas) áreas de succión o de sobrepresión, es decir, áreas donde la presión medida resulta ser menor o mayor que la presión barométrica. Así, en el caso de una construcción de geometría sencilla como la representada en la Figura 1.10, en la cara de barlovento, donde la corriente se remansa, habrá una zona de sobrepresión, en la que, consecuentemente, el coeficiente de presión es positivo, C pb > 0, mientras que en la cubierta o tejado y en la fachada de sotavento lo normal es que la carga aerodinárnica sea de succión, C pt < 0, yc ps < 0, respectivamente. Figura 1.10: Esquema de las cargas de presión en el exterior y en interior de un edificio de forma sencilla. En el dibujo las flechas que apuntan hacia la superficie indican cargas de sobrepresión (C p >O), mientras que las dibujadas en sentido contrario representan cargas de succión (C p < 0). De acuerdo con Sachs (1972)[11], de la experiencia acumulada sobre los modos de fallo frente al viento de las construcciones, se puede decir que los daños provocados por el viento se ajustan a las pautas siguientes: En los tejados, cualquiera que sea la pendiente, los daños más severos suelen ocurrir en las esquinas cuando el viento incide en direcciones próximas a las diagonales de la forma en planta del edificio y en los aleros cuando la corriente llega perpendicularmente a las fachadas. A causa de las bajas presiones que se generan en las proximidades de esquinas y salientes, en los tejados con pendientes más acusadas (por encima de 35 o ) se pueden producir daños en los planos a sotavento de los caballetes, cerca de estos y también corriente abajo de chimeneas y otras protuberancias. Las protuberancias y los salientes de los tejados, como es el caso de las chimeneas, son elementos particularmente sensibles a las acciones del viento, tanto por las acciones que éste ejerce directamente sobre estos elementos como por las que ejerce sobre otros cuerpos unidos a los mismos (tal es el caso de las antenas ancladas a chimeneas).

15 1.4. CARGAS ESTÁTICAS PRODUCIDAS POR EL VIENTO 23 El arranque de elementos de revestimiento de muros se produce por las fuerzas de succión que se generan cerca de las esquinas o en los pasajes entre edificaciones, donde la corriente se acelera. Estos daños son comunes en edificaciones y pueden ser previstos y explicados sin necesidad de considerar efectos dinámicos en las acciones del viento. En general la respuesta de las edificaciones medias y pequeñas a las ráfagas de viento es estática, pues suelen ser estructuras muy rígidas en comparación con las grandes estructuras, donde sí pueden jugar un papel importante los efectos dinámicos. La experiencia adquirida durante décadas, tanto con medidas en edificaciones reales como con ensayos con modelos rígidos a escala de las más variadas formas en túneles aerodinámicos, permiten evaluar en muchos casos las distribuciones de presión y las cargas globales producidas por el viento sobre las edificaciones, considerándolas como sólidos rígidos. Sobre esta experiencia acumulada se fundamentan los diversos códigos o recomendaciones de cálculo de las cargas del viento de aplicación en los diversos países. Ciertamente las normas para el cálculo de las acciones del viento son razonablemente conservadoras al fijar los niveles de las cargas aerodinámicas, lo que permite determinar las cargas de viento de diseño sin que sea necesario en muchas ocasiones conocer en detalle cómo son las distribuciones reales de presión sobre el obstáculo. Aun así, cuando se utiliza la información disponible en los códigos para el cálculo de las acciones del viento, hay que tener en cuenta que los valores medios de los coeficientes de presión recomendados son de aplicación a las fonmas estandarizadas recogidas en las normas y que pequeñas modificaciones de la geometría básica pueden dar lugar a cargas aerodinámicas de succión locales que sobrepasen los valores medios de referencia. En particular, como se ha dicho, habrá que tener cuidado con esquinas, aleros, salientes y protuberancias en los que la corriente se acelera localmente provocando cargas de succión importantes. En general se ha avanzado mucho en el conocimiento de la aerodinámica global de las edificaciones, por lo que hoy día es raro que se produzcan fallos estructurales provocados por el viento. No ocurre lo mismo con los revestimientos en tejados y fachadas, donde a veces los anclajes no están correctamente dimensionados para las elevadas cargas aerodinárnicas que ocasionalmente deben soportar estos elementos. En este segundo caso concurren dos factores ya señalados con anterioridad: por una parte las normas para el cálculo de las acciones del viento no pueden contemplar la gran variedad de formas que se pueden producir con las técnicas de construcción actuales y por otra, la incorporación de nuevos materiales para revestimientos, o las mejoras en la producción de los tradicionales (disminuyendo por ejemplo los espesores) obliga a revisar muchas ideas y procedimientos que la tradición parece haber consagrado como inmutables y que la realidad demuestra que no lo son. Si la construcción en estudio es de geometría singular y difícilmente comparable con las catalogadas en los manuales de cálculo de acciones del viento, o aunque el edificio sea de fonnas comunes, cuando se prevea que puede haber fuertes interferencias con otros edificios próximos, todavía queda el recurso de acudir a ensayos en túnel aerodinámico o al uso de métodos numéricos Cargas en edificaciones comunes: cubiertas y fachadas Los revestimientos exteriores de los edificios, sea en tejados o en superficies verticales, están sometidos a las cargas aerodinámicas de succión más intensas (raramente las cargas de sobrepresión son condicionantes en el diseño) y además son elementos que suelen presentar una amplia diversidad de formas. En los tejados se sabe y así se recoge en diversas normas de cargas de viento, que las acciones aerodinámicas pueden ser particularmente intensas en las esquinas, por lo que en general se recomienda un tratamiento diferenciado en las distintas partes del tejado: zonas de las esquinas, zonas cercanas a aleros y caballetes y el resto de la cubierta (véanse las Figuras 1.17 y 1.18). Para el caso de tejados a dos aguas, sin aleros, sobre edificios de planta rectangular la dependencia del coeficiente de presión mínimo (succión máxima) con los parámetros que definen la geometría del edificio: b/a, h/a y el ángulo de inclinación del tejado, α, se indica en la Figura Estas cargas de succión tan severas se producen en las esquinas y son consecuencia de los torbellinos cónicos que se forman en esta zona del tejado debido al desprendimiento de la capa límite. De acuerdo con la información presentada, la succión es más intensa cuando la pendiente del tejado es del orden de

16 24 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 15 o, pudiéndose alcanzar valores del coeficiente de presión de hasta Cp = 2,6 einclusocp = 3,0, dependiendo de lo acusadas que sean las aristas del borde del tejado y de otros detalles constructivos. Figura 1.11: Variación con la pendiente del tejado, α, delcoeficiente de presión mínimo, C p mín sobre tejados a dos aguas. Los números en las curvas indican los valores de la relación h/a (de Sachs 1972). En general, las altas cargas de succión que aparecen sobre muchos obstáculos están gobernadas por el desprendimiento y posterior readherencia de la capa límite, con la formación consiguiente de torbellinos que barren las superficies del obstáculo. En efecto, cerca de una esquina la corriente se acelera antes de llegar a la misma y se decelera pasada ésta. La presión, en consecuencia, disminuye según el fluido se acerca a la esquina (gradiente favorable) y aumenta corriente abajo, una vez pasada la esquina (gradiente desfavorable). El gradiente desfavorable existente pasada la esquina es tanto más intenso cuanto menor es el radio de curvatura del acuerdo entre las dos superficies que conforman la esquina y en un modelo potencial (sin viscosidad) el gradiente de presión es infinito cuando el radio de curvatura es nulo. Como la capa límite no puede vencer gradientes adversos de presión muy elevados, si el gradiente es alto la capa límite se desprende generándose una estela turbillonaria. La formación de estelas en un cuerpo con aristas es semejante a la formación de estelas en cuerpos redondeados, aunque hay algunas diferencias que es preciso resaltar. Consideremos el flujo de aire alrededor de un cuerpo bidimensional con aristas, como puede ser una placa plana situada perpendicularmente a la corriente incidente. A muy bajos valores del número de Reynolds (Re 0, 3) la corriente todavía rebordea las aristas y el flujoseajustaalcontornodelobstáculotantoensuparteanterior corno en la posterior (Figura 1.12a), pero cuando el número de Reynolds aumenta un poco (Re 10) la corriente se desprende en las esquinas, generándose dos grandes torbellinos, simétricos, anclados a la parte posterior del obstáculo (Figura 1.12b). Al aumentar todavía más el valor del número de Reynolds (Re 250), la anterior configuración de dos torbellinos anclados se convierte en la calle de torbellinos de Von Kármán (Figura 1.12c), desprendiéndose torbellinos alternativamente en uno y otro borde al tiempo que son arrastrados por la corriente; con valores del número de Reynolds aún más altos (Re 1,000) los efectos inerciales son dominantes, la estructura regular de torbellinos alternados desaparece y en su lugar se tiene una estela turbillonaria separada de la corriente exterior por sendas capas de cortadura (Figura 1.12d), si bien se siguen desprendiendo torbellinos que dan lugar a que se

17 1.4. CARGAS ESTÁTICAS PRODUCIDAS POR EL VIENTO 25 mantenga el estado de cargas alternadas sobre el obstáculo. Figura 1.12: Configuración fluida alrededor de un cuerpo con aristas para distintos valores del número de Reynolds: (a) Re 0, 3; (b)re 10; (c)re 250; (d)re > 103 (de Simiu & Scanlan 1996). La diferencia más notable entre el proceso descrito para un cuerpo con aristas y el que ocurre en el caso de un cilindro de sección circular es que en este último caso tiene lugar un cambio radical en la configuración de corriente desprendida al pasar la capa límite de laminar a turbulenta, pues entonces se retrasa el punto de desprendimiento, con lo que disminuye el ancho de la estela y por tanto el valor del coeficiente de resistencia aerodinámica. En el caso de cuerpos con aristas, desde valores del número de Reynolds relativamente bajos, el desprendimiento de la corriente ocurre siempre en las aristas (independientemente de que la capa límite sea laminar o turbulenta al llegar al punto de desprendimiento), de modo que la configuración de corriente desprendida es prácticamente independiente del valor del número de Reynolds. Debido a esta particularidad, en los cuerpos con aristas los coeficientes aerodinámicos suelen ser independientes del valor del número de Reynolds, lo que simplifica notablemente las condiciones para medir las cargas del viento ensayando con modelos a escala en túneles aerodinámicos. Si el cuerpo en consideración, bidimensional, no es una placa plana sino un prisma de sección rectangular con una de sus caras perpendicular al viento incidente (Figura 1.13), el comportamiento aerodinámico es semejante al descrito para una placa plana si el valor de la relación b/a entre la longitud de las caras orientadas en la dirección de la corriente, b y la longitud de las caras normales al viento, a, es menor o próximo a la unidad, pero si este cociente es más grande (b/a 2) la capa límite desprendida en las primeras esquinas puede readherirse a las paredes laterales del cuerpo, formando burbujas de recirculación que producen fuerzas de succión muy intensas en las paredes laterales, cerca de las aristas de barlovento. La capa límite readherida se desprende al llegar a las aristas de sotavento, formando una estela turbillonaria corriente abajo del cuerpo, más estrecha que la estela que se tendría si no hubiera habido readherencia, lo que disminuye el valor del coeficiente de resistencia aerodinámica. En la Figura 1.14 se muestra la variación del coeficiente de resistencia, C D, de prismas paralelipédicos con las relaciones b/a y h/a. Estos resultados han sido obtenidos mediante ensayos en túnel aerodinámico con simulación de capa límite terrestre, si bien en la fuente de información (Kolousek et al. 1984), no se indica el tamaño relativo de los prismas respecto al espesor de la capa límite. Si el valor de la relación h/a es elevado, el comportamiento de los obstáculos tridimensionales se asemeja mucho al bidimensional, como era de esperar, alcanzándose un máximo del coeficiente de resistencia para valores de la relación b/a próximos a 0, 7.

18 26 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Figura 1.13: Configuración fluida alrededor de un cuerpo de sección rectangular para distintos valores de la relación b/a donde b y a son, respectivamente, las longitudes de las caras orientadas al viento y perpendiculares a la corriente (de Simiu & Scanlan 1996) Cargas aerodinámicas en construcciones con elementos en voladizo Unos obstáculos que han suscitado un especial interés por conocer las cargas generadas por el viento sobre los mismos son las cubiertas sobre estadios deportivos o sobre edificaciones análogas. Este interés está en gran parte motivado porque en este tipo de estructuras, con grandes superficies en voladizo, pueden aparecer fuerzas de sustentación importantes, de consecuencias catastróficas si no se han tenido en cuenta en el diseño. En algunos casos las cubiertas pueden ser consideradas como marquesinas (cuerpos que sí se tienen en cuenta en muchas normas de cálculo), pero en general la comparación es dudosa y la mayoría de las veces imposible, pues las formas de las cubiertas, salvo las muy antiguas, distan mucho de ser una superficie plana con una cierta inclinación, empleándose además, cada vez con más frecuencia, técnicas de construcción que poco se parecen a las tradicionales (empiezan a ser frecuentes las cubiertas conformadas con un entramado de cables tensados que soportan un revestimiento en extremo liviano de material plástico o textil, con el resultado de una estructura sumamente ligera y flexible), como ocurre en el proyecto del futuro Estadio Ruiz de Lopera (Sevilla). La dificultad de sistematizar la información sobre las cubiertas para instalaciones deportivas está agravada además por el hecho de que los estadios deportivos suelen ser la mayoría de las veces edificaciones singulares y emblemáticas de las ciudades donde se ubican, de manera que a la diversidad de formas de las cubiertas hay que sumar la enorme variedad de los diseños de los estadios que recubren. En la Figura 1.15 se ha esquematizado la geometría de lo que puede ser un estadio deportivo típico, cuya cubierta queda definida por la cuerda, c, por su altura respecto a una cierta cota de referencia, h, y por las dimensiones, a y b, que caracterizan el hueco central sobre el terreno de juego (ciertamente este esquema representa un caso muy sencillo y simplificado de cubierta y estadio, y en un caso real y concreto son precisos muchos más parámetros geométricos que los cuatro señalados para definir la configuración). En el caso bidimensional es más fácil acotar el efecto de los distintos factores geométricos en las cargas aerodinámicas. Así, en la Figura 1.16, de Barnard (1981), se ha representado la variación con el ángulo de ataque, α, delcoeficiente de sustentación de la sección central de cubiertas planas, C l, situadas sobre gradas cuya altura viene a ser la mitad de su anchura. Las cubiertas, de forma en planta rectangular con una longitud igual a seis veces su cuerda, están situadas con el borde de salida a una altura igual a dos veces la altura de la grada, pudiendo estar el hueco posterior, entre la parte superior de la grada y el borde de salida de la cubierta, abierto, parcialmente cerrado (50 por 100) o completamente cerrado. Según este gráfico, la cubierta se comporta como un perfil delgado de ala cuyas características