Programa de Mecánica Racional

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1 Departamento: Física Aplicada III Mecánica Racional (Ingeniería Industrial) Curso Programa de Mecánica Racional Titulación: Asignatura: Mecánica Racional 1 (Obligatoria: 7,5 créditos) Curso: Segundo (Primer Cuatrimestre) Departamento: Física Aplicada III D. Jaime Gutiérrez Benítez (CEU) Dª. Blanca Gómez Tubío (TU) D. Manuel Toscano Jiménez (TEU) D. Pedro Sánchez Ferrero (PA) 1. Profesores 2. Objetivos Mecánica Racional es una asignatura cuatrimestral de carácter obligatorio, incluida en el segundo curso de la Titulación de (Plan de Estudios de 1998), que se imparte en la Escuela Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla. El objetivo inmediato de esta asignatura es dotar al alumnado de una adecuada formación en aspectos generales y fundamentales de la Mecánica, ofreciendo mediante sus contenidos una sólida base de conocimientos que facilite el desarrollo de otras materias de carácter más específico contempladas en la Titulación. En un plano de conocimiento más general, es conve-niente señalar la aportación de la asignatura a la formación científica global de los alumnos que, sin duda, ha de ser considerada como un aspecto esencial del proceso formativo de los estudiantes de Ingeniería. 3. Requisitos académicos El temario de Mecánica Racional se ha elaborado como la continuación de los contenidos de Mecánica programados en el primer cuatrimestre de la asignatura de Fundamentos Físicos de la Ingeniería, correspondiente al primer curso de la misma Titulación, e impartida también por el departamento de Física Aplicada III. En consecuencia, se presuponen conocidos por el alumno los siguientes contenidos: Álgebra Vectorial: Vectores libres y deslizantes. Cinemática: del punto, del sólido rígido, del movimiento relativo y del movimiento plano. Estática vectorial: del punto y del sólido indeformable. 1 Racional expresa aquí que se están tratando entes de razón (punto material, sólido rígido, medios elásticos lineales, etc.) y no cuerpos reales. Pag. 1 / 1

2 4. Criterios de Evaluación CRITERIOS GENERALES Como criterio fundamental de evaluación, se señala el conocimiento de los contenidos del temario y la formación propia de esta materia en cuanto a hábitos de razonamiento, métodos de cálculo, vocabulario apropiado, destreza en el análisis y resolución de problemas, aplicación correcta de las leyes de la Física, adecuado empleo del análisis dimensional y de las unidades de medida (Sistema Internacional). CRITERIOS ESPECÍFICOS La evaluación está basada en un sistema de exámenes, cada uno de los cuáles se halla sujeto a las siguientes normas: 1) El examen constará de ejercicios teóricos, prácticos, y de tipo test compuesto por preguntas y respuestas múltiples. 2) La puntuación del examen se realizará sobre diez y se obtendrá como suma de las puntuaciones obtenidas en cada uno de sus ejercicios. 3) En cada ejercicio del examen, se podrá incluir algún apartado de carácter elemental cuya completa superación sea imprescindible para obtener puntuación en dicho ejercicio. 4) Los ejercicios teóricos consistirán en el desarrollo y/o la elaboración de cuestiones teóricoprácticas, conceptuales o de aplicación de las leyes fundamentales. 5) La parte práctica consistirá en la resolución de problemas. 6) La valoración del ejercicio de tipo test se hará sumando los puntos debidos a las respuestas acertadas, y descontando las erróneas. 7) El examen se considerará superado, si la puntuación obtenida es cinco o superior a cinco, y no superado, en caso contrario. 5. Metodología Docente 6. Programa Breve descripción de los contenidos Los contenidos de la asignatura se estructuran a partir del siguiente esquema de bloques temáticos: Dinámica del punto y del sólido rígido. Mecánica Analítica. Dinámica impulsiva. Principios variacionales en Mecánica. Introducción a la Mecánica del Continuo Pag. 2 / 2

3 Temario de la Asignatura DINÁMICA VECTORIAL 1. DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL 2 Introducción. Postulados de la dinámica clásica: Leyes de Newton. Integrales primeras: Teoremas de conservación. El concepto de vínculo y sus clasificaciones. Dinámica del punto vinculado: Principio de liberación. Movimiento de un punto sobre una superficie y sobre una curva. Movimiento relativo a un sistema no inercial. 2. ALGUNAS APLICACIONES CLÁSICAS DE LA DINÁMICA DEL PUNTO Movimiento rectilíneo. Comportamiento cualitativo del movimiento conservativo. Efecto de un término disipativo pequeño. El oscilador armónico. Movimiento producido por una fuerza central. 3. EL TENSOR CARTESIANO DE SEGUNDO ORDEN SIMÉTRICO 3 El tensor como operador: vector ligado a una dirección. Teorema de Cauchy. Valores propios y direcciones principales. Propiedades de la ecuación característica. Interpretación geométrica: elipsoide de Lamé y cuádricas de Cauchy. 4. GEOMETRÍA DE MASAS 4.a) Centros de masas 2 Introducción. Centro de masas de un sistema de puntos materiales. Propiedades del centro de masas. Cuerpos continuos. Teoremas de Guldin. Cálculo del centro de masas. Centros de masas de figuras compuestas. 4.b) Tensor de Inercia Momentos y productos de inercia. Relaciones entre los distintos momentos de inercia. Tensor de inercia. Teorema de Steiner. Momentos principales y ejes principales de inercia. Propiedades de los ejes principales. Sistemas planos. 5. DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PUNTOS MATERIALES Teorema de la cantidad de movimiento. Teorema del momento cinético. Teorema de la energía. Teoremas de conservación. Relación entre los momentos cinéticos respecto de dos puntos. Teorema de König. 6. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO LIBRE Expresión del momento cinético. Expresión de la energía cinética. Trabajo de las fuerzas internas. Ecuaciones del movimiento para el sólido rígido libre. Transmisibilidad de las fuerzas aplicadas. 7. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO VINCULADO Principio de liberación. Estudio de algunos de los vínculos externos más usuales 2. Cadenas de sólidos rígidos vinculados: Principio de fragmentación 2. Rozamiento DINÁMICA DEL SÓLIDO CON UN EJE FIJO Ecuaciones del movimiento. Cálculo de las reacciones. Ejes permanentes y espontáneos de rotación. Equilibrado estático y dinámico. 9. DINÁMICA DEL SÓLIDO CON UN PUNTO FIJO Cinemática del movimiento polar (ángulos de Euler). Ecuaciones de Euler. Movimiento de Euler- Poinsot. Movimiento de Lagrange-Poisson: análisis cualitativo. Movimiento giroscópico. Teoría elemental del efecto giroscópico: aplicaciones. 2 Lección parcialmente conocida por el alumno 3 Se explica simultáneamente en Elasticidad y Resistencia de Materiales Pag. 3 / 3

4 MECÁNICA ANALÍTICA 10. COORDENADAS CURVILÍNEAS EN ESPACIOS EUCLÍDEOS Líneas y superficies coordenadas. Bases naturales: Matriz de Gram. Productos entre vectores. Derivada de los vectores de las bases naturales: Diferencial absoluta y derivada covariante de un vector. Velocidad y aceleración en coordenadas curvilíneas. 11. ESTÁTICA ANALÍTICA Introducción. Enlaces. Principio de liberación. Desplazamientos y velocidades virtuales. Enlaces perfectos. Principio de D Alembert. Teorema de los trabajos virtuales. Ecuaciones de equilibrio. Equilibrio de un sistema holónomo. Caso de fuerzas conservativas. Equilibrio de un sólido indeformable. Estabilidad del equilibrio. Teorema de Lagrange-Lejeune-Dirichlet. 12. DINÁMICA ANALÍTICA Ecuación simbólica de la Dinámica. Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos y no holónomos. Interpretación física de los multiplicadores de Lagrange. Sistemas conservativos y potenciales generalizados. Coordenadas cíclicas: Método de Routh. Invariancias y teoremas de conservación. Espacio de las fases. Transformaciones de Legendre. Ecuaciones canónicas. Interpretación física de la hamiltoniana. DINÁMICA IMPULSIVA 13. DINÁMICA IMPULSIVA Concepto de percusión. Leyes de la dinámica impulsiva del punto. Teoremas de la dinámica impulsiva para un sistema: Caso de un sólido rígido. Ecuación simbólica de la dinámica impulsiva. Ecuaciones de Lagrange para fuerzas impulsivas. Propiedades del movimiento impulsivo vinculado: Teoremas de Bertrand, Kelvin y Carnot. Percusiones en un sólido con un eje fijo: Centro de percusión. Choque puntual de sólidos: Coeficientes de restitución. PRINCIPIOS VARIACIONALES 14. CÁLCULO DE VARIACIONES 4 Introducción. Minimización de funcionales. Condición necesaria. Casos simples de integración de las ecuaciones de Euler. Extensiones del método de Euler-Lagrange. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange. Problemas variacionales con fronteras móviles. Variaciones en dominios acotados. Métodos directos: diferencias finitas; Rayleigh-Ritz; Kantorovich; elementos finitos. 15. PRINCIPIOS VARIACIONALES EN MECÁNICA Introducción. A) Principios variacionales diferenciales: Principio de Gauss; Principio de Hertz. B) Principios variacionales integrales: Principio de Hamilton. El principio de Hamilton y las ecuaciones de Lagran-ge. Deducción de las ecuaciones de Hamilton de un principio variacional. Variaciones asíncronas: Principio de Hölder; Principio de Voss. 16. TRANSFORMACIONES DE CONTACTO Geometría de las transformaciones de contacto. Relaciones en el espacio imagen. Corchetes de Poisson. Transformaciones de sistemas hamiltonianos. Transformaciones canónicas. Función generatriz. Ejemplos. Transformación infinitesimal de contacto. 17. ECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI Introducción. Teorema. Casos particulares: A) En la hamiltoniana no aparece explícitamente el tiempo; B) En la hamiltoniana no aparecen explícitamente algunas de las coordenadas; C) Caso en que las variables son separables. Variables angulares y de acción. Invariantes adiabáticos. Invariantes 4 Lección parcialmente conocida por el alumno de Ampliación de Matemáticas. Pag. 4 / 4

5 integrales de Poincaré. Propiedades de los corchetes de Lagrange. Paréntesis de Poisson. La formulación de Poisson de las ecuaciones del movimiento. Teorema de Liouville. MECÁNICA DEL CONTINUO 18. INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS Deformación de un medio continuo. Tensor de deformación. Campo de desplazamiento: Relación con el estado de deformación. Ecuaciones de compatibilidad. Conservación de la masa. Hipótesis de solidificación de Cauchy: Teoremas de la cantidad de movimiento y del momento cinético y tensor de esfuerzos. Trabajo virtual. Conservación de la energía. Caracterización del medio: Ecuaciones constitutivas. 7. Bibliografía RODRIGUEZ DANTA, M.; Cuadernos de Mecánica: Dinámica ; E.S.I.I. Universidad de Sevilla (1982). HERVAS, P.; RODRIGUEZ DANTA, M,; MARTINEZ, J.; Cuadernos de Mecánica: Cinemática y Tensores ; Universidad de Sevilla (1989). FANGER., C. G.; Mecánica (Tomo II: Dinámica); URMO (1979). SYMON, K. R.; Mecánica ; Ed. Aguilar (1968). GOLDSTEIN, H.; Mecánica Clásica ; Reverté. RAÑADA, A.; Dinámica Clásica ; Ed. Alianza Universidad Textos (1990). ÍÑIGUEZ, J. M.; CID, R.; Mecánica Teórica ; Dossat, S. A. (1965). BASTERO, J. M.; CASELLAS, J.; Curso de Mecánica ; EUNSA (1976). PRIETO ALBERCA, M.; Curso de Mecánica Racional (Tomo II: Dinámica); ADI (1994). GANTMÁJER., F. R.; Lectures in Analytical Mechanics ; Ed. Mir (1975). GONZÁLEZ, C. F. ; Mecánica del sólido rígido ; Ed. Ariel S.A.(2003). 8. Prácticas Pag. 5 / 5