Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, CUJAE. Cuba

Transcripción

1 Teoremas de los circuitos lineales. Primera parte Objetivos 1. Explicar el Teorema de Thévenin para determinar el equivalente de Thévenin de cualquier red lineal, ejemplificando su aplicación en el análisis de circuitos, utilizando el procedimiento dado en el texto y en este material. 2. Explicar el Teorema de la máxima transferencia de potencia y ejemplificar su aplicación en circuitos eléctricos lineales, mediante la utilización del procedimiento dado en el texto. Sumario a) Teoremas de Thévenin y Norton. b) Ejemplos del Teorema de Thévenin. c) Teorema de la máxima transferencia de potencia. Bibliografía básica: Texto. Análisis de Circuitos en Ingeniería William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición Capítulo 5. Epígrafes 5.4, 5.5. Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, CUJAE. Cuba Introducción Después de haber estudiado las simplificaciones de los resistores, las transformaciones de fuentes, los métodos generales de análisis, se verán una serie de teoremas útiles, válidos para circuitos lineales e importantes no solo en esta asignatura sino también en Mediciones Eléctricas, Maquinaria Eléctrica, Electrónica Industrial, Sistemas de Energía, y Automatización. Entre estos teoremas se encuentran los teoremas de Thévenin, de Norton y de la máxima transferencia de potencia. Qué particularidades presenta el teorema de Thévenin? Cuál es el circuito equivalente de un dipolo activo respecto a un par de terminales? Cuál es el de Norton? Qué expresa el teorema de la máxima transferencia de potencia? Un dipolo es la parte de una red que se analiza con respecto a un par de terminales. Para calcular la corriente, la tensión o la potencia en un elemento de una rama de la red, por lo cual el resto, solo interesa desde el punto de vista de su acción sobre este par de terminales, de ahí que esa parte se simboliza como dipolo. A simboliza al resto del circuito como un dipolo activo. El teorema de Thévenin y el teorema de Norton dan respuesta a la siguiente pregunta Cuál es el circuito equivalente de un dipolo activo respecto a un par de terminales? 1

2 a) Teorema de Thévenin M. L. Thévenin. Ingeniero Francés. Publicó el teorema en Enunciado. Página 129 del texto. Dado cualquier circuito lineal, vuélvase a arreglar en la forma de dos redes A y B conectadas por dos alambres. Defínase una tensión v oc como la tensión en circuito abierto que aparece entre las terminales de A cuando se desconecta B. Así, todas las corrientes y las tensiones en B permanecerán invariables si todas las fuentes de tensión y de corriente independientes en A se suprimen o se hacen cero, y se conecta una fuente de tensión independiente v oc con polaridad apropiada, en serie con la red A muerta (inactiva). El circuito equivalente de la subred A está constituido por una fuente real de tensión. Se muestran los esquemas con los pasos para aplicar el Teorema. Observe la polaridad de V Th El circuito equivalente de Thévenin no depende de la subred B. Esto quiere decir que si A permanece inalterada y se cambia B, el circuito equivalente de Thévenin de la subred A es el mismo. Si la carga es cambiada y el equivalente de Thévenin está calculado entonces es muy fácil obtener cualquier variable en la nueva carga. El texto puntualiza estos aspectos en la página 131. Teorema de Norton Enunciado en la página 131 del texto. De acuerdo a este teorema, el circuito equivalente de la subred A está constituido por una fuente real de corriente. La fuente de valor i sc (sc: short circuit), que es la corriente de cortocircuito, en paralelo con R th. Como la subred A se puede representar mediante dos circuitos equivalentes (equivalente de Thévenin y equivalente de Norton), entonces estos tienen que ser equivalentes entre si y se cumple la relación de transformación para fuentes reales. v oc = i sc R th R th = v oc / i sc. El texto lo puntualiza en la página 131. Esta expresión nos brinda una idea de otro método de encontrar el circuito equivalente de Thévenin o de Norton de una subred que contiene a una fuente dependiente como veremos posteriormente. Ambos teoremas tienen importancia práctica pero en esta carrera el fundamental es Thévenin. 2

3 b) Ejemplos del Teorema de Thévenin Ejemplo 1 a) Halle el circuito equivalente de Thévenin entre los puntos a y b. b) Calcule la potencia que genera o consume la fuente de 4V. Solución: a) Respecto a los terminales a y b, el resto del circuito lo constituye un dipolo activo. La referencia de V th es arbitraria y luego se analiza el signo. 1) Cálculo de la tensión de circuito abierto V th = (V ab ) oc Se transforma la fuente real de corriente en fuente real de tensión. Se aplica un divisor de tensión. V th = (V ab ) oc = - 18 (3 / 9) = - 6V También se puede calcular la corriente I = (15 + 3)/ 9 = 2A y luego una trayectoria virtual: V th + 2(2+1) = 0 V th = V ab = - 6 V 2) Cálculo de la R th Conexión serie paralelo muy sencilla. R th = 3Ω 3) Circuito equivalente de Thévenin y circuito total con la subred que se había eliminado. Observe la polaridad de la fuente pues en V th el terminal b es positivo respecto al a. Puede calcular la corriente en el circuito (seleccione una referencia lógica) y después calcule la potencia pedida. P = 1,6W consumida 3

4 Ejemplo 2 Find the Thévenin equivalent circuit with respect to the terminals a-b for the circuit Solución: El circuito contiene una fuente dependiente la cual no se puede desactivar, y una fuente independiente real de tensión. 1) Cálculo de la tensión de circuito abierto V th = (V ab ) oc Se puede calcular i 1 planteando LKT: -10 i 1 + i 1 (20+40) + 50 = 0 i 1 = - 1 A Ahora, LKT en trayectoria virtual: -(V ab ) oc + (-1) = 0 (V ab ) oc = 10V Ahora la corriente que controla a la FD varió pues el circuito no es el mismo, por lo que el valor de la tensión de la FD ha cambiado y no se puede emplear el valor de i 1 anterior. Aplicando LKT en el lazo de la derecha: i(40) + 50 = 0 i = -1,25 A Aplicando LKT en el lazo de la izquierda: -10 i + i X (20) = 0 i X = 10(-1,25)/20= - 0,625 A Aplicando LKC en el nodo a: i SC = i X i = 0,625 A y R th = V th / i SC =10/0,625 = 16 Ω 3) El circuito equivalente de Thévenin es: 2) Cálculo de la R th Como no se puede desactivar la fuente dependiente, se cortocircuitan los terminales a-b y se calcula la corriente de cortocircuito, en el circuito mostrado a continuación: Observe la polaridad de la fuente: el terminal a es positivo respecto al b. 4

5 Ejemplo 3 Find the Thévenin equivalent circuit for the network shown in Fig Aplicando divisor de corriente y despejando I 1 : Solución: El circuito contiene una sola fuente que es dependiente. En este caso V th = 0 La fuente dependiente no se puede desactivar y para calcular R th podemos conectar una fuente independiente (por ejemplo fuente de voltaje de 1v) entre los terminales como se muestra en el esquema y entonces R th = V xy /I = 1/I Aplicando divisores de voltaje sucesivamente: V x 0,097V I 1 =1/193,75 = 5,16* 10-3 A Aplicando LKC: -I + 5, A - 0,01(0.097) = 0 I = 4, A Por tanto: R th = V/I = 1/(4, ) = 239Ω Se puede hacer el ejercicio empleando otra fuente de voltaje (de 2V, por ejemplo) e incluso una fuente independiente de corriente Como se ve, la aplicación del teorema de Thévenin puede resultar en diferentes variantes. c) Teorema de la máxima transferencia de potencia. Da respuesta a la pregunta Cuál es el valor de R L para que en la misma se disipe la mayor potencia posible? (L: load S: source) En el texto está demostrado en el Epígrafe 5.5. Estúdielo. Cuando R L = R S la transferencia de potencia de la fuente a la carga es máxima de valor P Lmax =(V 2 S )/4R S = (E 2 )/4R S (En el gráfico). Como la potencia es una función continua y positiva con dos mínimos P L =0 (en R L =0 y R L = ) y un máximo en R L =R S, como se muestra.. 5

6 Concepto de eficiencia η = (P L /P fuente ) *100% (adimensional) R L = 0 η= 0 R L = η 100% R L = R S η = 50% Para R L = R S se logra un 50% de eficiencia de la transmisión de potencia. Esto es incosteable para la transmisión con altos niveles de potencia empleados en el SEN aunque es importante y útil cuando los niveles de potencia transmitidos son bajos (mw), como es el caso en la transmisión de información (líneas telefónicas, recepción en antenas). Conclusiones Cuál es el enunciado del teorema de Thevenin? Cómo se calcula el voltaje de circuito abierto? Cómo se calcula la resistencia equivalente de Thevenin? Se ha visto que la aplicación del teorema de Thevenin, tiene diferentes variantes, a saber: Circuitos que contienen los tipos de fuentes resistores Método para calcular el circuito equivalente resistores fuentes independientes ejemplo 1 fuentes independientes fuentes dependientes ejemplo 2 resistores fuentes dependientes ejemplo 3 R th V th o I sc si no no V th y I sc posible si no V F = 1V I F = 1 A no posible si Nota: los valores de V F = 1V y de I F = 1 A, son en principio arbitrarios y se pueden seleccionar otros, por ejemplo, 1mV, etc. A partir del circuito de la figura del ejemplo 5.10 del texto, El circuito mostrado es activo? Cuál es el equivalente de Thévenin y cómo se calcula? 6

7 Orientaciones para el trabajo independiente Parte I, Capítulo 5. Epígrafes 5.4 (Thévenin y Norton) y 5.5 (máxima transferencia de potencia). Ejemplos 5.6, 5.7, 5.8, (Thévenin y Norton) 5.9, 5.10 (Thévenin con fuentes dependientes) y 5.11 (máxima transferencia de potencia). El ejemplo 5.6 es un caso sencillo donde se llega al equivalente de Thévenin y al de Norton directamente aplicando transformaciones de fuentes reales, transformaciones repetidas de fuentes como le llama el texto, y simplificaciones de resistores. Puntualice en el cálculo de la potencia que se entrega a la carga. Esta forma de llegar al dipolo activo el texto la pide utilizar en la práctica 5.5. Esta es una vía de llegar al dipolo activo. El ejemplo 5.7 ya utiliza el teorema de Thévenin para calcular el mismo circuito equivalente del ejemplo anterior., y lo utiliza en la práctica 5.6. En los ejemplos 5.8, 5.9 y 5.10 son analizados 3 casos diferentes de determinar el circuito equivalente de Thévenin y el de Norton: un caso típico con fuentes independientes, otro con fuentes independiente y dependiente y el último solamente con fuente dependiente. Prácticas 5.5, 5.6, 5.7 (Thévenin y Norton), 5.8 y 5.9 (Thévenin con fuentes dependientes) 5.10 (máxima transferencia de potencia). Resuelva los problemas de la Tarea 9. Vistos los teoremas del análisis de las redes lineales, se comenzará el estudio del inductor y el capacitor, elementos pasivos capaces de almacenar energía en campo magnético y eléctrico respectivamente, que pueden cederla al circuito pero no de manera indefinida como se verá posteriormente. Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, CUJAE. Cuba 7