Introducción A qué se denomina resistor lineal? Cómo es su característica volt- ampere? Elíptica? Hiperbólica?

Transcripción

1 Linealidad en los circuitos eléctricos Objetivos 1. Establecer el concepto de circuito lineal y sus principales propiedades, según los criterios dados en el texto. 2. Definir el concepto de función de red (FR) y establecer su clasificación al análisis de circuitos. 3. Explicar el método de los valores proporcionales y el teorema de la superposición, ilustrando la aplicación de ambos. Sumario: a) Concepto de circuito resistivo lineal. Principio de proporcionalidad. b) Función de red. Clasificación. c) Método de los valores proporcionales d) Principio de linealidad. Teorema de la Superposición. Bibliografía básica: Texto. Análisis de Circuitos en Ingeniería William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición Capítulo 5. Epígrafes 5.1 y 5.2. Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño y digitalizados por el Lic. Raúl Lorenzo Llanes. Introducción A qué se denomina resistor lineal? Cómo es su característica volt- ampere? Elíptica? Hiperbólica? Resistor lineal: resistencia constante e independiente del valor de la tensión aplicada entre sus terminales, v = i R. Su característica volt- ampere es lineal. (Página 23, Figura 2.23) A qué se denomina elemento lineal? A qué se denomina fuente dependiente lineal? Cuándo un circuito eléctrico es lineal? Se aclararán estas cuestiones en la presente actividad. a) Concepto de circuito resistivo lineal. Principio de proporcionalidad. Desde el inicio se ha aclarado que se trabajará con circuitos lineales en la asignatura. Ahora se detallará lo que se entiende por eso. Se trabajó con el resistor lineal el cual se acaba de rememorar. Elemento lineal: elemento pasivo que tiene una relación lineal de tensión-corriente o característica volt- ampere lineal. Por otro lado las fuentes con que se ha trabajado hasta ahora son lineales también: estímulos constantes o fuentes dependientes proporcionales a la variable de control (en función de la primera potencia de la variable de control o a la suma de tales cantidades) 1

2 Ejemplo 1 Cuáles de las fuentes dependientes mostradas son lineales? Cuáles no lineales? Circuito lineal: El circuito formado por fuentes independientes, fuentes dependientes lineales y elementos lineales. Consecuencia inmediata: En el caso de circuitos resistivos puros con resistencias constantes, estímulos constantes y fuentes dependientes lineales (si existen) la red se describe mediante un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales: Leyes de Ohm y las de Kirchhoff, divisores, ecuaciones de mallas y ecuaciones de nodos. No se puede perder de vista que el circuito lineal es un modelo y en la práctica solo como aproximación (en algunos casos muy buena aproximación) la red se comporta linealmente dentro de ciertos intervalos de valores de los estímulos aplicados. Principio de proporcionalidad: Sea f el estímulo aplicado a la red lineal (señal de entrada) y g la respuesta del circuito (señal de salida) Esto es: g = H f, siendo H una función característica del circuito entonces si el estímulo aumenta k veces la respuesta aumenta k veces Demostración: Para otro estímulo f 1 se cumple g 1 = H f 1 Si f 1 = k f entonces g 1 = H (k f)= k (H f)=k g Significado físico: En un circuito lineal si el estímulo se duplica, la respuesta se duplica, si el estímulo se triplica, la respuesta se triplica sin distorsión o sea sin cambiar de forma. En circuitos lineales cuando hay un solo estímulo, la respuesta tiene la misma forma de onda que el estímulo, y por tanto la respuesta a un estímulo constante es constante, si el estímulo es sinusoidal, la respuesta será sinusoidal etc. b) Función de red. Clasificación. Esta propiedad permitirá introducir el concepto de función de red (FR) el cual es modernamente esencial en aplicaciones de electrónica industrial, automatización, maquinaria II y que se estudiará a lo largo de toda la teoría de circuitos incluyendo a la asignatura Circuitos Eléctricos III. No es posible que aún se pueda comprender en toda su magnitud la importancia esencial de este concepto, pero es bueno aprenderlo desde ahora. 2

3 Basados en la figura anterior, se define la función de red como H = g / f, o sea, respuesta entre estímulo. Cuando se calcularon ganancias de tensión o corriente, se estaban calculando funciones de red, en circuitos resistivos. Propiedad esencial: La Función de Red (FR), H, es una característica de la red y no depende del valor particular que tome el estímulo. Utilidad que pueden comprender ahora (hay otras): Conocida la FR es posible conocer la respuesta del circuito a diferentes estímulos, sin necesidad de realizar todo el análisis de nuevo. Clasificación b.1) Funciones de entrada. En un mismo par de terminales: Resistencia de entrada V 1 /I 1, conductancia de entrada I 1 /V 1 b. 2) Funciones de transferencia. Entre diferentes pares de terminales: Resistencias de transferencia, conductancia de transferencia I 2 /V 1, relación de transferencia de tensiones H V = V 2 /V 1, y relación de transferencia de corrientes H i = I 2 / I 1. c) Método de los valores proporcionales Este un circuito lineal, resistivo puro con resistencias constantes y configuración de escalera, conexiones sucesivas serie - paralelo. Tiene un solo estímulo. El método, basado en el Principio de Proporcionalidad, parte de suponer valor uno (1) a la tensión o a la corriente en la red más alejada de la fuente, (I 1 * ), obtener el estímulo que la genera (E * ) y conocido el valor de E, calcular la verdadera respuesta I 1 mediante la constante de proporcionalidad entre E * / E que es la misma para I 1 * /I 1. Parece absurdo pero la mejor forma de comprenderlo es a través de un ejemplo. Ejemplo 2 Si E = 10v, calcule la corriente I 1 aplicando el método de los valores proporcionales Solución: I * 1 = 1 A valor supuesto 3

4 Retroceda aplicando sucesivamente las Leyes de Ohm y las de Kirchhoff y calcule E * = 8 V. Pero E no es igual a E *, por lo tanto, H = E / E * = 1/8= 1,25 = k Todos los valores calculados se verán afectados por esa constante de proporcionalidad. Por ejemplo I 1 = ki 1 * = 1,25 A. Cuál será el valor de V 1 si: a) E = 16V, b) E = 64V? Calculando V 1 para otra tensión de entrada, por ejemplo, E = 16V. En la red H v =V 1 / E = 1/8 de donde V 1 = H v (E) = (1/8) 16v = 2V Calcule V 1 con E = 64V como trabajo independiente d) Principio de linealidad. Teorema de la superposición Sea g la respuesta de la red a una combinación de estímulos. Puede demostrarse que g =H 1 f 1 + H 2 f 2 + +H n f n En esta expresión cada sumando es el aporte de cada estímulo considerado cuando actúa solo, siendo las H constantes. El Principio de linealidad establece la validez de la combinación lineal en sistemas lineales. Enunciado: La respuesta es una función lineal de los diferentes estímulos. La consecuencia más importante de la linealidad es la superposición. Es esencial desde el punto de vista conceptual y como método de cálculo. El texto establece en la página 112 el principio de superposición como: La respuesta (una corriente o tensión) en un circuito lineal que tiene más de una fuente independiente se obtiene sumando las respuestas ocasionadas por las fuentes independientes separadas que actúan solas. Esto es, la respuesta a la acción simultánea de varios estímulos es igual a la suma algebraica de las respuestas de cada estímulo individual. Pueden encontrarse otros enunciados (todos equivalentes) En la página 114 establece el teorema de superposición: En cualquier red lineal, la tensión o la corriente a través de cualquier resistor o fuente se calcula sumando algebraicamente todas las tensiones o corrientes individuales ocasionadas por fuentes independientes separadas que actúan solas, junto con todas las demás fuentes de tensión independientes sustituidas por cortocircuitos y todas las demás fuentes de corriente independientes sustituidas por circuitos abiertos. 4

5 Ejemplo 3 Calcule la corriente i aplicando el teorema de la superposición, si la tensión de la fuente es E 1 = 100 cos (t) y la corriente de la fuente de corriente es I 2 = 10 A Solución: Calcular i implica calcular los aportes de cada estímulo por separado y al final, sumarlos algebraicamente. En el segundo esquema se desactiva la fuente de corriente para calcular el aporte de la fuente de tensión cosinusoidal. Aplicando simplificaciones y divisores: i = - 2 cos (t) En el tercer esquema se desactiva la fuente de tensión para calcular el aporte de la fuente de corriente. Aplicando divisor de corriente: i = 4 A Resultado final: i = i + i = 4 2 cos (t) A Resumen: Resaltar la importancia de conocer cómo se desactiva una fuente y de la simplificación de circuitos aplicando las Leyes de Ohm y las de Kirchhoff, divisores, así como las transformaciones estudiadas en el análisis de circuitos. Conclusiones Rememorar los nuevos conceptos estudiados: Principio de proporcionalidad? Principio de linealidad? Principio de superposición? Resaltar que aplicar superposición supone DOMINAR TODA LA MATERIA IMPARTIDA Orientaciones para el trabajo independiente Capítulo 5. Epígrafes 5.1 y 5.2 (Linealidad y superposición). Ejemplos 5.1 y 5.2 (superposición), 5.3 (superposición con fuente dependiente). Prácticas 5.1 (superposición). Ejercicios 2 al 6. Estudie detenidamente el Ejemplo 5.2 pues se analiza un caso práctico donde se considera que los resistores en un circuito no pasen de su valor nominal de potencia y se sobrecalienten. Tarea 8. Realice el siguiente ejercicio. Calcule el aporte de cada fuente a la corriente I. Cuántas fuentes independientes hay? Cómo se desactivan? Es la FD un estímulo? Se desactiva? Respuesta: Aporte de I o : I = - I o R 2 /R 2 + R 1 (1 - k) Aporte de E: I = E/R 2 + R 1 (1 - k) Además del teorema de la superposición, existen otros teoremas muy importantes en la solución de circuitos lineales. Estos son: el teorema de Thévenin, el teorema de Norton y el de la máxima transferencia de potencia. Qué particularidades presenta el teorema de Thévenin? Cuáles el de Norton? Cuáles el de la máxima transferencia de potencia? Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, CUJAE. Cuba 5