CRIPTOLOGÍA II MIGUEL ADÁN

Transcripción

1 CRIPTOLOGÍA II MIGUEL ADÁN 1 INTRODUCCIÓN En la sesión anterior vimos algunos métodos criptográficos desarrollados en la antigüedad. Continuaremos en esta segunda sesión con algunos métodos desarrollados en los siglos XIX y XX, y acabaremos con una introducción a uno de los métodos actuales de cifrado. Recuerda que los métodos se basan en dos tipos de operación: SUSTITUCIÓN: Cambiando las letras del mensaje por otras distintas. Un ejemplo de este método es el cifrado de Julio Cesar. PERMUTACIÓN: Cambiando el lugar que ocupan las letras en el mensaje. Un ejemplo de este otro método era el utilizado en Esparta al rodear un palo con una cinta. Pues bien estas operaciones siguen siendo las que actualmente utilizamos en algunos de los sistemas más modernos, eso sí, combinadas y repetidas varias veces. 2 ALGUNOS MÉTODOS DE LA EDAD MEDIA Y MODERNA Uno de los métodos más usados en la edad media y moderna era el llamado Libro de Códigos. Estos consistían en auténticos libros en los que cada letra, cada sílaba o incluso muchas palabras, se codificaban con una o varias letras o números e incluso con nuevos símbolos. Un ejemplo de estos libros es el de la Figura 1. Figura 1: Ejemplo de una parte de un Libro de Códigos 1

2 CRIPTOLOGÍA II 2 La permutación es la base de dos de los métodos que vamos a ver a continuación. El primero de ellos parece haber sido usado en Rusia durante el siglo XIX y es conocido como el método de los nihilistas rusos. Se basa en la permutación de las columnas (y posteriormente de las filas) de un casillero en el que se ha escrito el mensaje. La forma de permutar dependía de una palabra denominada clave. Observa los gráficos siguientes en los que se codifica la frase: El fin politico de los nihilistas rusos era utilizando como clave la palabra: COMUNA. Para ello basta ordenar las letras de dicha clave según su orden alfabético, así la letra c que es la segunda, se le asigna un 2, la letra o que es la quinta se le asigna un 5, y así sucesivamente. Figura 2: Texto en claro (filas) e intercambio de las columnas Tras esa primera permutación se repetía el mismo proceso pero ahora con las filas: Figura 3: Segunda permutación: intercambio de las filas El texto final se leía por filas en el último casillero: LIICTOTRAUSSDOESLOORSAESILHIINLNFPIE. Como verás el texto es irreconocible. El segundo método está basado en una ingeniosa permutación de las letras del texto. Se sitúa una rejilla como la de la Figura 4 encima del casillero en el que hemos escrito el mensaje y escribimos las letras que quedan a la vista, se gira la rejilla 90 o y se vuelven a escribir las letras que están a la vista, y asi otras dos veces más, hasta que la rejilla vuelve a su posición inicial. De esta manera obtenemos el texto cifrado LRITRSLIO IAGAANTCS AELIUMOCD JLROEEDOA. La forma de la rejilla constituye en este método

3 CRIPTOLOGÍA II 3 lo que denominamos clave del método. Figura 4: Cifrado de la rejilla Actividad 8 Hemos pillado a un espía con un papel en el que ponía: NCSGNOIYOIMOREIIDOEETTTQNCMSAUE- BUMECIASMNNLEERREESITEUDPAAVAOVSATSAERDOJ. Además le hemos pillado en otro bolsillo un extraño objeto: Sabrías descifrar el mensaje? Una vez que hemos practicado un poco con este método te proponemos la siguiente actividad. Actividad 9 Para cifrar con este método vale cualquier rejilla?. Construye una cualquiera, al azar, y observa si te sirve para cifrar. Aparte de la que hemos visto, crees que habrá alguna más que sea válida?. Construye una nueva rejilla, distinta de la utilizada en los ejemplos anteriores, y piensa cómo se pueden confeccionar rejillas que sean válidas para cifrar.

4 CRIPTOLOGÍA II 4 3 CRIPTOLOGÍA EN EL SIGLO XX: MAQUINAS Y ORDENADORES Nada más comenzar el siglo XX aparecieron las primeras máquinas de cifrar. Su apariencia era la de una máquina de escribir, pero al teclear el texto del mensaje nos salía ya un texto cifrado, totalmente confuso que en apariencia era indescifrable. Su método de cifrado era la sustitución a partir de unas claves de cifrado. Se realizaban múltiples sustituciones cambiando continuamente el alfabeto de cifrado gracias a unas piezas especiales denominadas rotores. Estas máquinas fueron muy utilizadas en la II Guerra Mundial por los dos bandos, pero tuvo especial importancia la utilizada por el bando alemán, la denominada Enigma. Los trabajos matemáticos de criptografos polacos e ingleses, dirigidos por Mariam Rejewski y por Alan Turing, y la utilización de los primeros ordenadores hicieron posible el descifrado de los mensajes alemanes y este hecho contribuyó a adelantar el final de la guerra. Figura 5: Las máquinas Enigma (Alemania) y Segaba(U.S.A.) Denominamos Esteganografía al conjunto de los métodos que permiten ocultar un mensaje para que no sea descubierto. A diferencia de los métodos criptográficos que no ocultan el mensaje pero sí lo distorsionan para que no sea legible, los métodos de la esteganorafía no modifican el mensaje. Por ejemplo, desde antiguo son utilizados diversos métodos como el de la tinta invisible o el de escribir un mensaje y esconderlo en el propio cuerpo, pero hoy día podemos encontrar métodos que utilizan los ordenadores para esconder mensajes, por ejemplo en una fotografía. Para poder esconder un mensaje primero necesitamos convertirlo en una secuencia de números binarios y posteriormente cambiar algunos bits de la imagen por los nuestros de manera que no se note el cambio. Por ejemplo, si quiero ocultar la letra h en una imagen en blanco y negro (con tonos de gris) podemos hacerlo de la siguiente forma: primero observaremos que la letra h se corresponde en un ordenador con una cierta secuencia de dígitos binarios, por ejemplo Y como debo esconder estos 8 bits en la imagen, utilizaré ocho pixeles. Por su parte cada pixel tiene asignado un número (con ocho bits) que nos indica el tono de gris del pixel. Si sustituyo en cada pixel el bit de su derecha (el menos significativo) por uno de los bit de mi letra, quedará oculto y no se podrá detectar que la imagen ha cambiado. Los cifrados modernos, los que actualmente utilizamos, precisan de una matemática muy profunda para ser comprendidos. Son varios los sistemas que han tenido éxito y que son resistentes frente a los ataques de los criptoanalistas (las personas que se dedican a romper los métodos de cifrado): D.E.S., Triple D.E.S., A.E.S, R.S.A., etc. Acabaremos dando unas nociones del sistema R.S.A. El R.S.A. (nombre que procede de las iniciales de sus inventores: Rivest, Shamir, Adleman) es un método especial, de los llamados asimétricos. En la actualidad es uno de los métodos más utilizados para cifrar pequeñas cantidades de datos.

5 CRIPTOLOGÍA II 5 Figura 6: Esquema de sustitución de los bits en un grupo de 8 pixeles Los métodos criptográficos asimétricos utilizan dos claves, una para cifrar y otra para descifrar. Por el contrario los métodos simétricos utilizan la misma clave para ambas operaciones. Está basado en una idea muy sencilla: multiplicar números de cualquier tamaño es fácil, pero factorizar un número grande puede ser muy dificil. En efecto, multiplicar 107 por 113 es fácil y apenas nos llevará tiempo obtener la solución que es 12091, pero si te propongo que descompongas en factores primos el número tardarías muchísimo más porque sus únicos divisores son 107 y 113. De la misma manera, si nos dan un par de números grandes (de unas doscientas cifras decimales) multiplicarlos no nos llevará, en un ordenador, ni un segundo de tiempo y obtendremos un número de unas 400 cifras decimales. En cambio, si nos dan un número de cuatrocientas cifras decimales puede que sean necesarios millones de años para obtener su descomposición en factores primos. Veamos un juego muy sencillo que nos ayudará a entender el mecanismo de cifrado y descifrado. Actividad 9 Anota en tu cuaderno dos números primos, les llamaremos números azules y nadie debe conocerlos. Calcula ahora los siguientes números (llamaremos números rojos), algunos serán conocidos por todos, pero otros solo tú debes conocerlos: Rojo1= el producto de los azules (azul1 azul2) Rojo2= el siguiente del producto de los anteriores a los azules ((azul1-1) (azul2-1)+1) Descompón el Rojo2 como producto de dos números (Rojo2=Rojo3 Rojo4) Con lo anterior ya apuntado, toma una calculadora (mejor la del ordenador), elige un número cualquiera menor que el rojo1 y elévalo a la potencia del rojo3. Cuando ya tengas calculado esto, dividelo entre el rojo1 y apunta el resto de la división. En lenguaje matemático la operación de calcular el resto de una división se escribe como mod: por ejemplo, 23 mod 4 = 3. Este resto lo elevas ahora a la potencia del rojo4 y su resultado lo divides entre el rojo1 y apuntas el resto de dicha división. Qué número te ha dado?, coincide con el elegido al principio?. Haz esta prueba varias veces eligiendo en cada ocasión un número distinto.

6 CRIPTOLOGÍA II 6 Un ejemplo concreto nos ayudará a entenderlo mejor. Si has pensado en los números azul1=3 y azul2=11, entonces rojo1=3 11=33; rojo2=2 10+1=21; rojo3=7; rojo4=3. Tomemos ahora un número menor que 33, por ejemplo el 18 y lo elevamos a 7, nos da Ahora lo dividimos entre 33 y da de resto 6. Este resto lo elevamos a 3 y nos da 216. Por último dividimos 216 entre 33 y da de resto 18. En lenguaje matemático las operaciones serían las siguientes: elijo el 18 (18 7 )mod(33) = 6 (6 3 )mod(33) = 18 O sea que tras realizar un par de operaciones de potencia y de mod, obtenemos el mismo valor que elegimos al principio: 18. Ésta es la base de método. Para cifrar se utiliza la primera operación (que convierte el 18 en 6) y para descifrar utilizaremos la segunda (que convierte el 6 en 18). Después de hacer la actividad 9 comprobarás que siempre funciona bien. Es una idea basada en un teorema de un matemático muy importante del siglo XVII, Pierre de Fermat, que utilizaron ingeniosamente los inventores del método RSA. Supongamos que quiero recibir mensajes encriptados de manera que solo yo sea capaz de desencriptarlos. En primer lugar tomamos dos números primos (azules) de manera que R1 sea grande. Por ejemplo, azul1=107, azul2=113, con lo que R1=12091; R2=11873; R3=31; R4=383. En segundo lugar pongo en mi web, a la vista de todo el mundo, los números R1 y R3 (mi clave pública), sin embargo los números azules, R2 y R4 debo ocultarlos para que nadie los conozca (mi clave privada). Ya estamos preparados para cifrar y descifrar!. Sólo necesitamos una calculadora muy potente, o sea un ordenador, para hacer los calculos. Cualquier persona que quiera enviarme un mensaje, por ejemplo LE, en primer lugar tendrá que codificar numéricamentre las letras del mismo mediante una tabla, por ejemplo la siguiente nos puede servir Figura 7: Tabla de conversión de letras a números Utilizando esta tabla puede codificar las letras: A=11; B=12; C=13; etc. Una pareja de letras consecutivas se convierten en un número de manera similar. Por ejemplo, el mensaje: LE=2215. Para cifrar LE, o sea 2215, calculará , que nos da un número muy grande: y a continuación calculará el resto (mod) de la división de éste número entre El resto es 1157, y estas dos cifras se corresponden en la tabla con: 11=A; 57=u, así el mensaje cifrado es: Au. Ahora me puede enviar por internet dicho mensaje con la seguridad de que nadie podrá descifrarlo. Hemos cifrado con la operación: ( ) mod 12901, utilizando mi clave pública y 31. Únicamente yo conozco la potencia (R4) que hay que utilizar para obtener de nuevo el mensaje en claro. Para descifrarlo bastaría con calcular , que da (un número de

7 CRIPTOLOGÍA II 7 más de 1000 cifras) y que al dividirlo entre da de resto 2215, que es el número del texto LE que me quería enviar. Sólo quien conozca los números de mi clave privada podrá hacer los cálculos para desencriptar el mensaje, sin embargo todo el mundo podrá enviarme mensajes pues mi clave pública es conocida por cualquier persona. Hemos descifrado con la operación: ( ) mod 12901, utilizando mi clave privada 383. En el ejemplo anterior hemos publicado en la web nuestra clave pública: R1=12091 y R3=31. Estos números son aún muy pequeños pues cualquiera podría factorizar y así obtener los valores de los números azules, y con ellos calcular R2 y R4 para poder desencriptar. Para asegurarse de que esto no es posible hay que partir de unos números azules que sean primos muy muy grandes, más de ciento cincuenta cifras decimales cada uno, así R1 sería un número de más de trescientas cifras decimales que nadie podrá factorizar hoy dia en poco tiempo. La factorización de números enteros grandes está experimentando en la actualidad grandes avances. Se estima que podrían factorizarse enteros de más de 300 cifras decimales en el plazo de un año y a un coste cercano al millón de dólares. Por cierto para que no se te olviden las cifras de tus claves privadas y públicas tendrías que llevarlas grabadas en un pendrive o en tu movil. Y para terminar una última actividad, si consigues acabarla tendrás un gran premio económico y el reconocimiento mundial. Actividad 10 Descompón en factores primos el número llamado RSA-200 (puedes utilizar internet)