Sistemas numéricos. Objetivos

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1 Java-Apen-C 3/31/01 12:26 PM Page 1195 C Sistemas numéricos Objetivos Comprender los conceptos acerca de los sistemas numéricos como base, valor posicional y valor simbólico. Aprender a trabajar con los números representados en los sistemas numéricos binario, octal y hexadecimal. Aprender a abreviar los números binarios como octales o hexadecimales. Aprender a convertir los números octales y hexadecimales en binarios. Aprender a realizar conversiones hacia y desde números decimales y sus equivalentes en binario, octal y hexadecimal. Comprender el funcionamiento de la aritmética binaria y la manera en que se representan los números binarios negativos, utilizando la notación de complemento a dos. He aquí sólo los números ratificados. William Shakespeare La naturaleza tiene un cierto tipo de sistema de coordenadas aritméticas-geométricas, ya que cuenta con todo tipo de modelos. Lo que experimentamos de la naturaleza está en los modelos, y todos los modelos de la naturaleza son tan bellos. Se me ocurrió que el sistema de la naturaleza debe ser una verdadera belleza, porque en la química encontramos que las asociaciones se encuentran siempre en hermosos números enteros; no hay fracciones. Richard Buckminster Fuller

2 Java-Apen-C 3/31/01 12:26 PM Page Sistemas numéricos Apéndice C Plan general C.1 Introducción C.2 Abreviatura de los números binarios como números octales y hexadecimales C.3 Conversión de números octales y hexadecimales a binarios C.4 Conversión de un número binario, octal o hexadecimal a decimal C.5 Conversión de un número decimal a binario, octal o hexadecimal C.6 Números binarios negativos: Notación de complemento a dos Resumen Terminología Ejercicios de autoevaluación Respuestas a los ejercicios de autoevaluación Ejercicios C.1 Introducción En este apéndice presentaremos los sistemas numéricos clave que utilizan los programadores de Java, especialmente cuando trabajan en proyectos de software que requieren de una estrecha interacción con el hardware a nivel de máquina. Entre los proyectos de este tipo están los sistemas operativos, el software de redes computacionales, los compiladores, sistemas de bases de datos y aplicaciones que requieren de un alto rendimiento. Cuando escribimos un entero, como 227 o 63, en un programa de Java, se asume que el número está en el sistema numérico decimal (base 10). Los dígitos en el sistema numérico decimal son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. El dígito más bajo es el 0 y el más alto es el 9 (uno menos que la base, 10). En su interior, las computadoras utilizan el sistema numérico binario (base 2). Este sistema numérico sólo tiene dos dígitos: 0 y 1. El dígito más bajo es el 0 y el más alto es el 1 (uno menos que la base, 2). Como veremos, los números binarios tienden a ser mucho más extensos que sus equivalentes decimales. Los programadores que trabajan con lenguajes ensambladores y en lenguajes de alto nivel como Java, que les permiten llegar hasta el nivel de máquina, encuentran que es complicado trabajar con números binarios. Por eso existen otros dos sistemas numéricos, el sistema numérico octal (base 8) y el sistema numérico hexadecimal (base 16), que son populares debido a que permiten abreviar los números binarios de una manera conveniente. En el sistema numérico octal, los dígitos utilizados son del 0 al 7. Debido a que tanto el sistema numérico binario como el octal tienen menos dígitos que el sistema numérico decimal, sus dígitos son los mismos que sus correspondientes en decimal. El sistema numérico hexadecimal presenta un problema, ya que requiere de dieciséis dígitos: el dígito más bajo es 0 y el más alto tiene un valor equivalente al 15 decimal (uno menos que la base, 16). Por convención utilizamos las letras de la A a la F para representar los dígitos hexadecimales que corresponden a los valores decimales del 10 al 15. Por lo tanto, en hexadecimal podemos tener números como el 876, que consisten solamente de dígitos similares a los decimales; números como 8A55F que consisten de dígitos y letras; y números como FFE que consisten solamente de letras. En ocasiones un número hexadecimal puede coincidir con una palabra común como FACE o FEED (en inglés); esto puede parecer extraño para los programadores acostumbrados a trabajar con números. Los dígitos de los sistemas numéricos binario, octal, decimal y hexadecimal se sintetizan en las figuras C.1 y C.2. Cada uno de estos sistemas numéricos utilizan la notación posicional: cada posición en la que se escribe un dígito tiene un valor posicional distinto. Por ejemplo, en el número decimal 937 (el 9, el 3 y el 7 se conocen como valores simbólicos) decimos que el 7 se escribe en la posición de las unidades; el 3, en la de las decenas; y el 9, en la de las centenas. Observe que cada una de estas posiciones es una potencia de la base (10) y que estas potencias empiezan en 0 y aumentan de 1 en 1 a medida que nos desplazamos hacia la izquierda por el número (figura C.3). Para números decimales más extensos, las siguientes posiciones a la izquierda serían: de millares (10 a la tercera potencia), de decenas de millares (10 a la cuarta potencia), de centenas de millares (10 a la quinta potencia), de los millones (10 a la sexta potencia), de decenas de millones (10 a la séptima potencia), y así sucesivamente.

3 Java-Apen-C 3/31/01 12:26 PM Page 1197 Apéndice C Sistemas numéricos 1197 Dígito binario Dígito octal Dígito decimal Dígito hexadecimal A (valor de 10 en decimal) B (valor de 11 en decimal) C (valor de 12 en decimal) D (valor de 13 en decimal) E (valor de 14 en decimal) F (valor de 15 en decimal) Figura C.1 Dígitos de los sistemas numéricos binario, octal, decimal y hexadecimal. Atributo Binario Octal Decimal Hexadecimal Base Dígito más bajo Dígito más alto F Figura C.2 Comparación de los sistemas binario, octal, decimal y hexadecimal. Valores posicionales en el sistema numérico decimal Dígito decimal Nombre de la posición Centenas Decenas Unidades Valor posicional Valor posicional como potencia de la base (10) Figura C.3 Valores posicionales en el sistema numérico decimal. En el número binario 101 decimos que el 1 más a la derecha se escribe en la posición de los unos, el 0 se escribe en la posición de los dos y el 1 de más a la izquierda se escribe en la posición de los cuatros. Observe que cada una de estas posiciones es una potencia de la base (2) y que estas potencias empiezan en 0 y aumentan de 1 en 1 a medida que nos desplazamos hacia la izquierda por el número (figura C.4). Para números binarios más extensos, las siguientes posiciones a la izquierda serían la posición de los ochos (2 a la tercera potencia), la posición de los dieciséis (2 a la cuarta potencia), la posición de los treinta y dos (2 a la quinta potencia), la posición de los sesenta y cuatros (2 a la sexta potencia), y así sucesivamente.

4 Java-Apen-C 3/31/01 12:26 PM Page Sistemas numéricos Apéndice C Valores posicionales en el sistema numérico binario Dígito binario Nombre de la posición Cuatros Dos Unos Valor posicional Valor posicional como potencia de la base (2) Figura C.4 Valores posicionales en el sistema numérico binario. Valores posicionales en el sistema numérico octal Dígito octal Nombre de la posición Sesenta y cuatros Ochos Unos Valor posicional Valor posicional como potencia de la base (8) Figura C.5 Valores posicionales en el sistema numérico octal. Valores posicionales en el sistema numérico hexadecimal Dígito hexadecimal 3 D A Nombre de la posición Doscientos cincuenta y seis Dieciséis Unos Valor posicional Valor posicional como potencia de la base (16) Figura C.6 Valores posicionales en el sistema numérico hexadecimal. En el número octal 425, decimos que el 5 se escribe en la posición de los unos, el 2 se escribe en la posición de los ochos y el 4 se escribe en la posición de los sesenta y cuatros. Observe que cada una de estas posiciones es una potencia de la base (8) y que estas potencias empiezan en 0 y aumentan de 1 en 1 a medida que nos desplazamos hacia la izquierda por el número (figura C.5). Para números octales más extensos, las siguientes posiciones a la izquierda sería la posición de los quinientos doces (8 a la tercera potencia), la posición de los cuatro mil noventa y seis (8 a la cuarta potencia), la posición de los treinta y dos mil setecientos sesenta y ochos (8 a la quinta potencia), y así sucesivamente. En el número hexadecimal 3DA, decimos que la A se escribe en la posición de los unos, la D se escribe en la posición de los dieciséis y el 3 se escribe en la posición de los doscientos cincuenta y seis. Observe que cada una de estas posiciones es una potencia de la base (16) y que estas potencias empiezan en 0 y aumentan de 1 en 1 a medida que nos desplazamos hacia la izquierda por el número (figura C.6). Para números hexadecimales más extensos, las siguientes posiciones a la izquierda serían la posición de los cuatro mil noventa y seis (16 a la tercera potencia), la posición de los sesenta y cinco mil quinientos treinta y seis (16 a la cuarta potencia), y así sucesivamente.

5 Java-Apen-C 3/31/01 12:26 PM Page 1199 Apéndice C Sistemas numéricos 1199 C.2 Abreviatura de los números binarios como números octales y hexadecimales En computación, el uso principal de los números octales y hexadecimales es para abreviar representaciones binarias demasiado extensas. La figura C.7 muestra que los números binarios extensos pueden expresarse más concisamente en sistemas numéricos con bases mayores que en el sistema numérico binario. Una relación especialmente importante que tienen tanto el sistema numérico octal como el hexadecimal con el sistema binario es que las bases de los sistemas octal y hexadecimal (8 y 16, respectivamente) son potencias de la base del sistema numérico binario (base 2). Considere el siguiente número binario de 12 dígitos y sus equivalentes en octal y hexadecimal. Vea si puede determinar cómo esta relación hace que sea conveniente el abreviar los números binarios en octal o hexadecimal. La respuesta sigue después de los números. Número binario Equivalente en octal Equivalente en hexadecimal D1 Para convertir fácilmente el número binario en octal, sólo divida el número binario de 12 dígitos en grupos de tres bits consecutivos y escriba esos grupos por encima de los dígitos correspondientes del número octal, como se muestra a continuación: Observe que el dígito octal que escribió debajo de cada grupo de tres bits corresponde precisamente al equivalente octal de ese número binario de 3 dígitos que se muestra en la figura C.7. El mismo tipo de relación puede observarse al convertir números de binario a hexadecimal. Divida el número binario de 12 dígitos en grupos de cuatro bits consecutivos y escriba esos grupos por encima de los dígitos correspondientes del número hexadecimal, como se muestra a continuación: D 1 Observe que el dígito hexadecimal que escribió debajo de cada grupo de cuatro bits corresponde precisamente al equivalente hexadecimal de ese número binario de 4 dígitos que se muestra en la figura C.7. Número decimal Representación binaria Representación octal Representación hexadecimal A B C D E F Figura C.7 Equivalentes en decimal, binario, octal y hexadecimal.

6 Java-Apen-C 3/31/01 12:26 PM Page Sistemas numéricos Apéndice C C.3 Conversión de números octales y hexadecimales a binarios En la sección anterior vimos cómo convertir números binarios a sus equivalentes en octal y hexadecimal, formando grupos de dígitos binarios y simplemente volviéndolos a escribir como sus valores equivalentes en dígitos octales o hexadecimales. Este proceso puede utilizarse en forma inversa para producir el equivalente en binario de un número octal o hexadecimal. Por ejemplo, el número octal 653 se convierte en binario simplemente escribiendo el 6 como su equivalente binario de 3 dígitos 110, el 5 como su equivalente binario de 3 dígitos 101 y el 3 como su equivalente binario de 3 dígitos 011 para formar el número binario de 9 dígitos El número hexadecimal FDA5 se convierte en binario simplemente escribiendo la F como su equivalente binario de 4 dígitos 1111, la A como su equivalente binario de 4 dígitos 1010, la D como su equivalente binario de 4 dígitos 1101 y el 5 como su equivalente binario de 4 dígitos 0101, para formar el número binario de 16 dígitos C.4 Conversión de un número binario, octal o hexadecimal a decimal Como estamos acostumbrados a trabajar con el sistema decimal, a menudo es conveniente convertir un número binario, octal o hexadecimal en decimal para tener una idea de lo que realmente vale el número. Nuestros diagramas en la sección C.1 expresan los valores posicionales en decimal. Para convertir un número en decimal desde otra base, multiplique el equivalente en decimal de cada dígito por su valor posicional y sume estos productos. Por ejemplo, el número binario se convierte en el número 53 decimal, como se muestra en la figura C.8. Para convertir el número 7614 octal en el número 3980 decimal utilizamos la misma técnica, esta vez utilizando los valores posicionales apropiados para el sistema octal, como se muestra en la figura C.9. Para convertir el número AD3B hexadecimal en el número decimal utilizamos la misma técnica, esta vez empleando los valores posicionales apropiados para el sistema hexadecimal, como se muestra en la figura C.10. C.5 Conversión de un número decimal a binario, octal o hexadecimal Las conversiones de la última sección siguen naturalmente las convenciones de la notación posicional. Las conversiones de decimal a binario, octal o hexadecimal también siguen estas convenciones. Suponga que queremos convertir el número 57 decimal en binario. Empezamos escribiendo los valores posicionales de las columnas de derecha a izquierda, hasta llegar a una columna cuyo valor posicional sea mayor que el número decimal. Como no necesitamos esa columna, podemos descartarla. Por lo tanto, primero escribimos: Valores posicionales: Luego descartamos la columna con el valor posicional de 64, dejando: Valores posicionales: A continuación, empezamos a trabajar desde la columna más a la izquierda y nos vamos desplazando hacia la derecha. Dividimos 57 entre 32 y observamos que hay un 32 en 57, con un residuo de 25, por lo que es- Conversión de un número binario en decimal Valores posicionales: Valores simbólicos: Productos: 1*32=32 1*16=16 0*8=0 1*4=4 0*2=0 1*1=1 Suma: = =53 Figura C.8 Conversión de un número binario en decimal.

7 Java-Apen-C 3/31/01 12:26 PM Page 1201 Apéndice C Sistemas numéricos 1201 Conversión de un número octal en decimal Valores posicionales: Valores simbólicos: Productos: 7*512=3584 6*64=384 1*8=8 4*1=4 Suma: = =3980 Figura C.9 Conversión de un número octal en decimal. Conversión de un número hexadecimal en decimal Valores posicionales: Valores simbólicos: A D 3 B Productos: A*4096=40960 D*256=3328 3*16=48 B*1=11 Suma: = = Figura C.10 Conversión de un número hexadecimal en decimal. cribimos 1 en la columna de los 32. Dividimos 25 entre 16 y observamos que hay un 16 en 25, con un residuo de 9, por lo que escribimos 1 en la columna de los 16. Dividimos 9 entre 8 y observamos que hay un 8 en 9 con un residuo de 1. Las siguientes dos columnas producen el cociente de cero cuando se divide 1 entre sus valores posicionales, por lo que escribimos 0 en las columnas de los 4 y de los 2. Por último, 1 entre 1 es 1, por lo que escribimos 1 en la columna de los 1. Esto nos da: Valores posicionales: Valores simbólicos: y por lo tanto, el 57 decimal es equivalente al binario. Para convertir el número decimal 103 en octal, empezamos por escribir los valores posicionales de las columnas hasta llegar a una columna cuyo valor posicional sea mayor que el número decimal. Como no necesitamos esa columna, podemos descartarla. Por lo tanto, primero escribimos: Valores posicionales: Luego descartamos la columna con el valor posicional de 512, lo que nos da: Valores posicionales: A continuación, empezamos a trabajar desde la columna más a la izquierda y nos vamos desplazando hacia la derecha. Dividimos 103 entre 64 y observamos que hay un 64 en 103 con un residuo de 39, por lo que escribimos 1 en la columna de los 64. Dividimos 39 entre 8 y observamos que el 8 cabe cuatro veces en 39 con un residuo de 7, por lo que escribimos 4 en la columna de los 8. Por último, dividimos 7 entre 1 y observamos que el 1 cabe siete veces en 7 y no hay residuo, por lo que escribimos 7 en la columna de los 1. Esto nos da: Valores posicionales: Valores simbólicos: y por lo tanto, el 103 decimal es equivalente al 147 octal. Para convertir el número decimal 375 en hexadecimal, empezamos por escribir los valores posicionales de las columnas hasta llegar a una columna cuyo valor posicional sea mayor que el número decimal. Como no necesitamos esa columna, podemos descartarla. Por consecuencia, primero escribimos: Valores posicionales: Luego descartamos la columna con el valor posicional de 4096, lo que nos da:

8 Java-Apen-C 3/31/01 12:26 PM Page Sistemas numéricos Apéndice C Valores posicionales: A continuación, empezamos a trabajar desde la columna más a la izquierda y nos vamos desplazando hacia la derecha. Dividimos 375 entre 256 y observamos que 256 cabe una vez en 375 con un residuo de 119, por lo que escribimos 1 en la columna de los 256. Dividimos 119 entre 16 y observamos que el 16 cabe siete veces en 119 con un residuo de 7, por lo que escribimos 7 en la columna de los 16. Por último, dividimos 7 entre 1 y observamos que el 1 cabe siete veces en 7 y no hay residuo, por lo que escribimos 7 en la columna de los 1. Esto produce: Valores posicionales: Valores simbólicos: y por lo tanto, el 375 decimal es equivalente al 177 hexadecimal. C.6 Números binarios negativos: Notación de complemento a dos La discusión en este apéndice se ha enfocado hasta ahora en números positivos. En esta sección explicaremos cómo las computadoras representan números negativos mediante el uso de la notación de complementos a dos. Primero explicaremos cómo se forma el complemento a dos de un número binario y después mostraremos por qué representa el valor negativo de dicho número binario. Considere una máquina con enteros de 32 bits. Suponga que se ejecuta la siguiente instrucción: int valor = 13; La representación en 32 bits de valor es: Para formar el negativo de valor, primero formamos su complemento a uno aplicando el operador de complemento a nivel de bits de Java (~): complementoaunodevalor = ~valor; Internamente, ~valor es ahora valor con cada uno de sus bits invertidos; los unos se convierten en ceros y los ceros en unos, como se muestra a continuación: valor: ~valor (es decir, el complemento a uno de valor): Para formar el complemento a dos de valor, simplemente sumamos uno al complemento a uno de valor. Por lo tanto: El complemento a dos de valor es: Ahora, si esto de hecho es igual a 13, deberíamos poder sumarlo al 13 binario y obtener como resultado 0. Comprobemos esto: El bit de acarreo que sale de la columna que está más a la izquierda se descarta y evidentemente obtenemos cero como resultado. Si sumamos el complemento a uno de un número a ese mismo número, todos los dígitos del resultado serían iguales a 1. La clave para obtener un resultado en el que todos los dígitos sean cero es que el complemento a dos es 1 más que el complemento a 1. La suma de 1 hace que el resultado de cada columna sea 0 y se acarrea un 1. El acarreo sigue desplazándose hacia la izquierda hasta que se descarta en el bit que está más a la izquierda, con lo que todos los dígitos del número resultante son iguales a cero. En realidad, las computadoras realizan una suma como: x = a - valor;

9 Java-Apen-C 3/31/01 12:26 PM Page 1203 Apéndice C Sistemas numéricos 1203 mediante la suma del complemento a dos de valor con a, como se muestra a continuación: x = a + (~valor + 1 ); Suponga que a es 27 y que valor es 13 como en el ejemplo anterior. Si el complemento a dos de valor es en realidad el negativo de éste, entonces al sumar el complemento de dos de valor con a se produciría el resultado de 14. Comprobemos esto: a (es decir, 27) (~valor + 1) lo que ciertamente da como resultado 14. RESUMEN Cuando escribimos un entero como 19, 227 o 63, en un programa de Java, suponemos que el número se encuentra en el sistema numérico decimal (base 10). Los dígitos en el sistema numérico decimal son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. El dígito más bajo es el 0 y el más alto es el 9 (uno menos que la base, 10). En su interior, las computadoras utilizan el sistema numérico binario (base 2). Este sistema numérico sólo tiene dos dígitos: 0 y 1. El dígito más bajo es el 0 y el más alto es el 1 (uno menos que la base, 2). El sistema numérico octal (base 8) y el sistema numérico hexadecimal (base 16) son populares debido a que permiten abreviar los números binarios de una manera conveniente. Los dígitos que se utilizan en el sistema numérico octal son del 0 al 7. El sistema numérico hexadecimal presenta un problema, ya que requiere de dieciséis dígitos: el dígito más bajo es 0 y el más alto tiene un valor equivalente al 15 decimal (uno menos que la base, 16). Por convención utilizamos las letras de la A a la F para representar los dígitos hexadecimales que corresponden a los valores decimales del 10 al 15. Cada uno de estos sistemas numéricos utilizan la notación posicional: cada posición en la que se escribe un dígito tiene un distinto valor posicional. Una relación especialmente importante que tienen tanto el sistema numérico octal como el hexadecimal con el sistema binario es que las bases de los sistemas octal y hexadecimal (8 y 16, respectivamente) son potencias de la base del sistema numérico binario (base 2). Para convertir un número octal en binario, sustituya cada dígito octal con su equivalente binario de tres dígitos. Para convertir un número hexadecimal en binario, simplemente sustituya cada dígito hexadecimal con su equivalente binario de cuatro dígitos. Como estamos acostumbrados a trabajar con el sistema decimal, es conveniente convertir un número binario, octal o hexadecimal en decimal para tener una idea de lo que realmente vale el número. Para convertir un número en decimal desde otra base, multiplique el equivalente en decimal de cada dígito por su valor posicional y sume estos productos. Las computadoras representan números negativos mediante el uso de la notación de complementos a dos. Para formar el negativo de un valor en binario, primero formamos su complemento a uno aplicando el operador de complemento a nivel de bits de Java (~): Esto invierte los bits del valor. Para formar el complemento a dos de un valor, simplemente sumamos uno al complemento a uno de ese valor. TERMINOLOGÍA base conversiones dígito notación de complementos a dos notación de complementos a uno notación posicional operador de complemento a nivel de bits (~) sistema numérico binario sistema numérico de base 2 sistema numérico de base 8 sistema numérico de base 10 sistema numérico de base 16 sistema numérico decimal sistema numérico hexadecimal sistema numérico octal valor negativo valor posicional valor simbólico

10 Java-Apen-C 3/31/01 12:26 PM Page Sistemas numéricos Apéndice C EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN C.1 Las bases de los sistemas numéricos decimal, binario, octal y hexadecimal son,, y, respectivamente. C.2 En general, las representaciones en decimal, octal y hexadecimal de un número binario dado contienen (más/menos) dígitos de los que contiene el número binario. C.3 (Verdadero/falso.) Una de las razones populares de utilizar el sistema numérico decimal es que forma una notación conveniente para abreviar números binarios, en la que simplemente se sustituye un dígito decimal por cada grupo de cuatro dígitos binarios. C.4 La representación (octal/hexadecimal/decimal) de un valor binario grande es la más concisa (de las alternativas dadas). C.5 (Verdadero/falso.) El dígito de mayor valor en cualquier base es uno más que la base. C.6 (Verdadero/falso.) El dígito de menor valor en cualquier base es uno menos que la base. C.7 El valor posicional del dígito que se encuentra más a la derecha en cualquier número, ya sea binario, octal, decimal o hexadecimal es siempre. C.8 El valor posicional del dígito que está a la izquierda del dígito que se encuentra más a la derecha en cualquier número, ya sea binario, octal, decimal o hexadecimal es siempre igual a. C.9 Complete los valores que faltan en esta tabla de valores posicionales para las cuatro posiciones que están más a la derecha en cada uno de los sistemas numéricos indicados: decimal hexadecimal binario octal C.10 Convierta el número binario en octal y en hexadecimal. C.11 Convierta el número hexadecimal FACE en binario. C.12 Convierta el número octal 7316 en binario. C.13 Convierta el número hexadecimal 4FEC en octal. (Sugerencia: Primero convierta el número 4FEC en binario y después convierta el número resultante en octal.) C.14 Convierta el número binario en decimal. C.15 Convierta el número octal 317 en decimal. C.16 Convierta el número hexadecimal EFD4 en decimal. C.17 Convierta el número decimal 177 en binario, en octal y en hexadecimal. C.18 Muestre la representación binaria del número decimal 417. Después muestre el complemento a uno de 417 y el complemento a dos del mismo número. C.19 Cuál es el resultado cuando se suma el complemento a uno de un número con ese mismo número? RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN C.1 10, 2, 8, 16. C.2 Menos. C.3 Falso. C.4 Hexadecimal. C.5 Falso. El dígito de mayor valor en cualquier base es uno menos que la base. C.6 Falso. El dígito de menor valor en cualquier base es cero. C.7 1 (La base elevada a la potencia de cero). C.8 La base del sistema numérico. C.9 Complete los valores que faltan en esta tabla de valores posicionales para las cuatro posiciones que están más a la derecha en cada uno de los sistemas numéricos indicados: decimal hexadecimal

11 Java-Apen-C 3/31/01 12:26 PM Page 1205 Apéndice C Sistemas numéricos 1205 binario octal C octal; D58 hexadecimal. C binario. C binario. C binario; octal. C =110 decimal. C *8+3*64= =207 decimal. C *16+15*256+14*4096=61396 decimal. C decimal en binario: (1*128)+(0*64)+(1*32)+(1*16)+(0*8)+(0*4)+(0*2)+(1*1) en octal: (2*64)+(6*8)+(1*1) 261 en hexadecimal: (11*16)+(1*1) (B*16)+(1*1) B1 C.18 Binario: (1*256)+(1*128)+(0*64)+(1*32)+(0*16)+(0*8)+(0*4)+(0*2)+ (1*1) Complemento a uno: Complemento a dos: Comprobación: Número binario original + su complemento a dos: C.19 Cero. EJERCICIOS C.20 Algunas personas argumentan que muchos de nuestros cálculos se realizarían más fácilmente en el sistema numérico de base 12, ya que el 12 puede dividirse por muchos más números que el 10 (por la base 10). Cuál es el dígito de menor valor en la base 12? Cuál podría ser el símbolo con mayor valor para un dígito en la base 12? Cuáles son los valores posicionales de las cuatro posiciones más a la derecha de cualquier número en el sistema numérico de base 12? C.21 Cómo se relaciona el símbolo con mayor valor en los sistemas numéricos que hemos descrito con el valor posicional del primer dígito a la izquierda del dígito que se encuentra más a la derecha de cualquier número en estos sistemas numéricos?

12 Java-Apen-C 3/31/01 12:26 PM Page Sistemas numéricos Apéndice C C.22 Complete la siguiente tabla de valores posicionales para las cuatro posiciones más a la derecha en cada uno de los sistemas numéricos indicados: decimal base base base C.23 Convierta el número binario en octal y en hexadecimal. C.24 Convierta el número hexadecimal 3A7D en binario. C.25 Convierta el número hexadecimal 765F en octal. (Sugerencia: Primero conviértalo en binario y después convierta el número resultante en octal.) C.26 Convierta el número binario en decimal. C.27 Convierta el número octal 426 en decimal. C.28 Convierta el número hexadecimal FFFF en decimal. C.29 Convierta el número decimal 299 en binario, en octal y en hexadecimal. C.30 Muestre la representación binaria del número decimal 779. Después muestre el complemento a uno de 779 y el complemento a dos del mismo número. C.31 Cuál es el resultado cuando se suma el complemento a dos de un número con ese mismo número? C.32 Muestre el complemento a dos del valor entero 1 en una máquina con enteros de 32 bits.