Modelos de ANOVA. Distinguir diferentes tipos de ANOVA

Transcripción

1 Modelos de ANOVA Distinguir diferentes tipos de ANOVA Modelos de efectos fijos Modelos de efectos aleatorios (Modelo II) Modelos 2- a multifactoriales Modelos mixtos, anidados.

2 ANOVA Situación básica Variables independientes y dependientes. Existe una dependencia de las variables cuantitativas (medias) según los grupos de las variables categóricas (tratamientos)? Si tengo solamente 2 grupos realizo un Test de Student (Test de t) Si los grupos son mayores a 3 realizo un ANOVA

3 ANOVA Variables independientes y dependientes. Existe una dependencia de las variables cuantitativas (medias) según los grupos de las variables categóricas (tratamientos)? Un factor con 2 tratamientos Procedimiento de Student (Test de t) Si el factor presenta más de 3 niveles ANOVA unifactorial Valor observado Media total Efecto del factor Error o residuo Es el que difiere entre los grupos. Si no se puede rechazar la Ho Todas la a i valen 0

4 Réplicas Anova unifactorial completamente aleatorizado balanceado Ejemplo: Concentración de Mn (µg g -1 ) diferentes muestras de sedimento. M1 M2 M3 M4 M5 19,2 18,7 12,5 20,3 19,9 18,7 14,3 14,3 22,5 24,3 21,3 20,2 8,7 17,6 17,6 16,5 17,6 11,4 18,4 20,2 17,3 19,3 9,5 15,9 18,4 22,4 16,1 16, ,1 Media 19,23 17,70 12,15 18,95 19,92 Variable categórica: Muestras 5 tratamientos Variable cuantitativa: concentración de Mn. Cinco réplicas en cada tratamiento Existen diferencias significativas entre los tratamientos? Es decir que se desea verificar si la concentración de Mn es similar entre las muestras (todas las muestras pertenecen a una misma población) o si al menos una difiere. H o : m 1 = m 2 = m 3 = m 4 = m 5 H 1 : Al menos un m i es diferente

5 Mn (µg g-1) REVISIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS: Cajas y bigotes (Box-plot) Puntos (Dot-plot) u otro gráfico de inspección de datos Muestras

6 Análisis de la varianza Cuando los tratamientos son diferentes niveles de un mismo factor empleamos ANOVA unifactorial. Sin embargo, muchas respuestas son afectadas por más de un factor y frecuentemente incorporamos en los experimentos más de un factor. Se emplea Anova factorial (2-, 3- multifactorial) cuando las experiencias involucran diversos factores. Un experimento factorial completo es aquel en el cual cada combinación de niveles del factor es empleado. Es decir, el número de tratamientos en la experiencia iguala la cantidad total de niveles de los factores.

7 Ejemplo: evaluar si la concentración de NH 4+ (mg/l) varía según las algas dominantes y la presencia de fósforo. Se emplearon 15 peceras distribuidas de la siguiente manera: Control Fósforo Diatomeas X = 4, X = 7,6 Cianobacterias X = 7,0 X = 14,6 Este es un Experimento Factorial completo 2X2: dos factores con 2 niveles por factor Factor A: presencia/ausencia de fósforo. Factor B: tipo de algas. Como ambos factores son fijos = ANOVA 2-Factorial (modelo I o de factores fijos)

8 Tabla de Anova De manera similar al ANOVA unifactorial debemos indicar las fuentes de variación Fuente de variación Suma de Cuadrados Grados de libertad Cuadrados Medios F Factor A (Fósforo) 156, ,8 46,12 Factor B (Algas) 125, ,0 36,7 Dentro (error) 58,4 17 3,44 TOTAL 340, ,095 Fenómeno de interacción: el efecto de un factor puede afectar al otro. Si hay una interacción en el modelo anterior entonces la interacción debe estar incluida en las variaciones Dentro (error). Fuente de variación Suma de Cuadrados Grados de libertad Cuadrados Medios F Factor A (Fósforo) 156, ,8 46,12 Factor B (Algas) 125, ,0 36,7 Interacción AXB 20, ,33 Dentro (error) 38,4 16 3,44 TOTAL 340, ,095 La significancia de cada fuente de variación se evalúa mediante F (ν numerador; ν denominador; α)

9 X X X X X B2 B1 B2 B2 B1 B1 A1 A3 A2 Niveles Factor A A1 A3 A2 Niveles Factor A A1 A3 A2 Niveles Factor A Sin efecto de A ni de B. Sin efecto de A. Con efecto de B. Con efecto de A. Sin Efecto de B. B2 B1 B1 B2 A1 A3 A2 Niveles Factor A Con efecto de A. Con efecto de B. Sin interacción A1 A3 A2 Niveles Factor A Con efecto de A. Con efecto de B. Con interacción

10 Ecuaciones para el cálculo cuando el Anova 2-factorial balanceado (mismo n para cada tratamiento) SC total = a b n i=1 j=1 l=1 X 2 ijl C SC Factor A = SC Factor B = SC celdas = i=1 a b n 2 j=1 l=1 X ijl bn j=1 b a n 2 i=1 l=1 X ijl an i=1 a b n 2 j=1 l=1 X ijl bn C C C SC interacción = SC celdas SC Factor A SC Factor B SC error = SC totales SC celdas a b C = n 2 2 i=1 j=1 l=1 X ijl

11 Componentes de la variabilidad Suma de Cuadrados del Factor A SC(A) gl= a-1 Suma de cuadrado para los tratamientos SCF gl = ab-1 Suma de Cuadrados del Factor B SC(B) gl= b-1 Suma de cuadrados totales SCT gl = N-1 Suma de la interacción SC(AB) gl= (a-1) (b-1) Suma de cuadrados del error SCE gl = n-ab Suma de cuadrados del error gl = n-ab Se realiza de nuevo el ANOVA eliminando los factores no significativos.

12 Modelos Multifactoriales Al incrementarse la cantidad de factores es más complejo el análisis y se dificulta la interpretación. Continuando con el ejemplo anterior: Factor A: presencia de fósforo Factor B: tipo de algas Factor C: temperaturas a 10 C y 20 C La tabla de ANOVA 3-Factorial 2x2x2 queda configurada de la siguiente manera Fuente de variación Suma de Cuadrados Grados de libertad Cuadrados Medios F Factor A Factor B Factor C Interacción AxB Interacción AxC Interacción BxC Interacción AxBxC Dentro (error) TOTAL Con cuántas pares de hipótesis se está trabajando?

13 ANOVA confactores aleatorios modelos II ANOVA modelo II o Componentes de la varianza: es una forma de evaluar la cantidad de variación en una variable dependiente que se asocia con una o más variables de efectos aleatorios. Ejemplo: examinar la contaminación en los árboles: 10 árboles donde se extrajeron 5 hojas en 3 ramas diferentes. Se busca verificar si hay una variabilidad entre árboles, ramas u hojas no si la rama A es diferente a la rama B o si el árbol C es similar al D. Generalmente, el resultado es una tabla de componentes de la varianza que muestra la proporción (%) de la variación atribuible a cada uno de los efectos principales y, opcionalmente, las interacciones de la variable aleatoria con los otros factores.

14 Anova de modelos mixtos Combinación de ambos tipos de modelos, fijo y aleatorio. Ejemplo: Se desea comparar el grado de contaminación entre los árboles de 2 ciudades, La Plata y Buenos Aires. Donde se tomaron hojas de diferentes árboles. Factor fijo = Ciudad Factores aleatorios = árboles que están en la ciudad y hojas que están en los árboles El Factor fijo es siempre de nivel superior a los otros factores. Cuando ciertos factores se hallan dentro de uno superior se denomina ANOVA ANIDADO o JERÁRQUICO El modelo mixto estaría compuesto por los siguientes factores: Ciudad x Árboles(Ciudad) x Hojas(Árboles) Fijo Aleatorio Aleatorio

15 Análisis de la concentración de metales pesados en aire Ejemplo de modelos de ANOVA empleados Bilos, C., J.C. Colombo, C.N. Skorupka, M.J. Rodriguez Presa Sources, distribution and variability of airborne trace metals in La Plata City area, Argentina. Environ. Poll. 111:

16 Análisis de metales pesados en material particulado aéreo Muestreadores de alto volumen (VHS)

17 Análisis de metales pesados en material particulado aéreo El área de estudio está ubicado alrededor de la ciudad de La Plata. La población de la region es aproximadamente de incluyendo las ciudad es cercanas Berisso y Ensenada. Cuatro estaciones de muestreo permanentes fueron establecidos a lo largo de una transecta de 25 km con dirección NE-SO: 1. Puerto de La Plata 2. Sector Petroquímico 3. Ciudad de La Plata 4. Residencial (menos urbanizado)

18 December September August July May April March February January Pb (ng/m3) Cu (ng/m3) Mn (ng/m3) Zn (ng/m3) Fe (ng/m3) Ca (ng/m3) Mg (ng/m3) Cr (ng/m3) Ni (ng/m3) Cd (ng/m3) TSP (mg/m3) D N D N D N D N D N D N D N D N D N D N D N Port Petrochemical <1.11 < < Downtown Residential <1.24 < Port <1.13 < Petrochemical < Downtown < Residential <1.12 < Port Petrochemical Downtown <1.17 < Residential <1.19 < Port Petrochemical Downtown Residential < Port Petrochemical Downtown < < Residential <3.35 < Port < Petrochemical < Downtown Residential Port Petrochemical Downtown Residential < Port < Petrochemical Downtown < < Residential Port <1.09 <1.10 < Petrochemical < Downtown Residential <1.07 <1.13 < Bilos, C., J.C. Colombo, C.N. Skorupka, M.J. Rodriguez Presa Sources, distribution and variability of airborne trace metals in La Plata City area, Argentina. Environ. Poll. 111:

19 Resultados Las concentraciones de los metales tienden a seguir el comportamiento del TSP con elevadas concentraciones durante el día y especialmente en la ciudad (cuadrados). Las diferencias espaciales también son evidentes con concentraciones altas en la ciudad y bajas en la zona residencial (triangulo). Puede agregarse además la variación temporal, observándose un incremento de las concentraciones en los meses correspondientes a otoño-invierno y disminución en los meses primaveraverano.

20 Con el fin de evaluar con mayor precisión la contribución de estas fuentes de variación, se emplearon análisis de la varianza factorial y componente de la varianza (modelo II). Para los análisis de mencionados, las concentraciones fueron transformadas a logaritmo para asegurar la normalidad de los datos y la homogeneidad de las varianzas. Los valores del mes de Julio fueron excluidos en el análisis por falta de datos (muestreo incompleto). Resumiendo, la variable dependiente, en este caso los metales, es analizada con una o más variables de efectos fijos y aleatorios. Se analiza la influencia de las variaciones espaciales (entre sitios de muestreo), las variaciones temporales (entre meses) y las diarias (día vs. noche) en la variabilidad de los metales traza.

21 Ejemplos de Anova 3-factorial modelo II Las salidas difieren entre los programas estadísticos Log Pb Fuente de Suma de Grados de Cuadrados variación Cuadrados libertad Medios F P Temporal 10, ,452 12,744 <, error 5, ,114 Espacial 4, ,491 13,091 <, Error 5, ,114 Diaria 0, ,006 0,054 0,818 error 5, ,114 Variación Temporal y Espacial Log Cr Fuente de Suma de Grados de Cuadrados variación Cuadrados libertad Medios F p Temporal 0, ,087 1,18 0,332 error 3, ,074 Espacial 1, ,529 7,141 <, Error 3, ,074 Diaria 0, ,083 1,12 0,295 error 3, ,074 Variación Espacial

22 Anova modelo II Además de la tabla de ANOVA se tiene tabla de componentes de la variación Efecto aleatorio Componente de la Varianza % del Total Temporal 0, ,28 Espacial 0, ,51 Diaria -0, ,92 Residual (error) 0, ,13 Total 0, ,00 Tabla resumen de Componente de la Varianza. Variable dependiente Log Pb. A partir de esta tablas se construyeron los gráficos de barras apiladas que se presentan a continuación.

23 Resultados generales A) Empleando los 3 factores Diagrama de barras apiladas indicando en porcentaje de variación de cada factor aleatorio significativo (p<0,05). TSP, Mn y Ca con un modelo de variación similar, significativo en las 3 fuentes de variación (p<0,001). Pb similar anterior pero la variación diurna no es significativa (p>0,05) Cu, Mg, Zn, Ni y Cd presentan alta variabilidad temporal (p<0,01).

24 Pb (ng/m3) Empleo de Test de comparaciones múltiples 200 A B B B 0 Ciudad Petroquímica Puerto Residencial Concentración media ± desviación estándar del Pb en las diferentes estaciones muestreas. A idéntica letra no se observan diferencias significativas (p>0,05), test de comparaciones múltiples S-N-K.

25 B) Considerando sólo la variabilidad diurna y espacial Las diferencias espaciales son más importantes que las diurnas Variaciones espaciales desde el 24% (Cd) al 67% (Pb). Variaciones diurnas desde 0,35% (Ni) al 35% (Mn). El Pb es quien presenta las diferencias especiales claramente las bien significativas.

26 C) Componente de la varianza Variación diurna vs. temporal para cada estación El análisis fue realizado para cada uno de las estaciones de muestreo empleando el procedimiento de componente de la varianza. Cabe destacarse la importancia de la variación diurna en la ciudad mientras que el resto de las estaciones es significativa la variación temporal.

27 Los datos muestran un grado de variabilidad importante donde se incluyen las variaciones diurnas (días vs. noche), espaciales (entre las estaciones de muestreo) y temporales (entre los meses). Estas variaciones observadas fueron corroboradas mediante análisis de la varianza de 2 a 3 factores y componentes de la varianza.