6. GAIA: ESTATIKA GORPUTZ ZURRUNEN OREKA

Transcripción

1 ..T.ko 1. maila: 6. GAA: ESTATKA GORPUTZ ZURRUNEN OREKA Saila: : NGENARTZA MEKANKOA, ENERGETKOA ETA MATERALENA

2 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Aurkibidea 6.1. Sarrera 6.2. Solido librearen diagramak Bi dimentsiotako euskarri eta lotura idealak Hiru dimentsiotako euskarri eta lotura idealak 6.3. Oreka bi dimentsiotan Bi indarretako gorputzak Hiru indarretako gorputzak Erreakzio hiperestatikoak eta lotura partzialak Ariketak ebaztea 6.4. Oreka hiru dimentsiotan - 2 -

3 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: 6.1 Sarrera 4. gaian ikusitakoaren arabera, gorputz zurrunaren kasuan, indar-sistemarik orokorrena R ondoriozko indarraren eta C ondoriozko parearen bidez adieraz daiteke. Beraz, gorputz zurruna orekan egoteko, R ondoriozko indarra eta C ondoriozko parea baliogabetu beharko dira. Bektoreen ikuspegitik: kuspegi eskalarretik: R = C = F x M F x M = 0 x i x = 0 i + + Fy F M y M j y = 0 y + j = 0 Fz + F k M z z = 0 k = 0 = 0 M z = 0-3 -

4 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Gorputz zurrunarengan egiten diren indarrak eta momentuak kanpokoak edo barnekoak izan daitezke. - Kanpoko indarrak: gorputz zurrunaren gainean beste gorputzak egindako indarra. Adibidez: pisua. - Barneko indarrak: gorputz zurrunaren partikulak elkartuta mantentzen dituzten indarrak. Gorputz interesgarri batek hainbat zati baditu, zati horiek elkartuta mantentzen dituzten indarrak. Kanpoko indarrak izan daitezke: - ndar aplikatuak: kanpoko eragileek gorputzaren gainean egindako indarrak. - Erreakzioko indarrak: euskarriek eta loturek gorputzaren gainean egindako indarrak. Barneko indarrek, binaka hartuta, modulu eta ekintza-lerro berdina dute, baina kontrako norantza. Beraz, guztira hartuta gorputz zurrunaren orekarengan ez dute eraginik izango. Hortaz, gai honetan kanpoko indarrak eta hauek sortutako momentuak besterik ez ditugu landuko

5 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: 6.2 Solido Librearen Diagramak Gorputz interesgarri baten gainean egiten diren indar guztiak identifikatzeko modurik onena Solido Librearen Diagramari dagokion metodoa jarraitzea da. Solido Librearen Diagramak gorputzarengan aplikatzen diren indar guztiak eta erreakzio lotesleak azaldu beharko ditu. Oinarrizko prozedura: Lehenengo urratsa: Solido Librearen Diagraman kontuan hartuko den gorputza edo gorputz-multzoa erabakitzea. Bigarren urratsa: aukeratutako gorputzaren profila marraztea. Hirugarren urratsa: gorputz librearen muga arretaz jarraitzea eta ukipenean nahiz elkarrekintzan diharduten gorputzen indar guztiak identifikatzea, horiek isolamenduaren prozesuan deuseztatu badira. Laugarren urratsa: ariketa ebazteko orduan, erreferentzi-sistema egokia aukeratzea eta SLDren gainean norabideak adieraztea

6 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Bi dimentsioko euskarri eta lotura idealak Ondoren euskarri eta lotura mota arruntak ikusiko ditugu. Hauek gorputz zurrunetan erabiltzen dira eta bi dimentsiotako indar-sistemak jasaten dituzte. Hauekin, Solido Librearen Diagrama egiterakoan lotura edo euskarri hauek gorputz bati eragiten dizkioten F indar eta M momentuak irudikatuko ditugu. Grabitatearen erakarpena Gorputzaren pisua: W. Ekintza-lerroa: gorputzaren grabitate- -zentrotik pasatzen da eta Lurraren erdirantz bideratuta dago. Haria, soka, katea edo kable malgua Betiere gorputzarengan R trakzio-indar bat egiten du. Ekintza-lerroa: hariaren, sokaren, katearen edo kable malguaren norabidea eustepuntuan

7 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Lotura zurruna Gorputzaren gainean R trakzio edo konpresio indarra egin dezake. Ekintza-lerroa: lotura-ardatzak bideratuta. Bola, arrabola edo zapata Gorputzaren gainean R konpresio indarra egin dezake. Ekintza-lerroa: euste-gainazalarekiko normala

8 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Gainazal leuna (laua edo kurboa) Konpresioko R indarra egin diezaioke gorputzari. Ekintza-lerroa: gainazal leunarekiko normala gorputza eta gainazala elkar ukitzen duten puntuan. Kabila leuna R modulu eta θ norabide ezezaguneko R indarra egin diezaioke gorputzari. Horregatik, R indarra SLD-n R x eta R y osagai ortogonalen bidez adierazten da

9 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Gainazal zimurra R t marruskadura-indar tangentziala eta R n konpresio indar normala eragin ditzake. Horregatik, R indarra konpresiokoa da eta θ angelu ezezagunak bideratuta dago. R indarra SLD-n adierazteko, R n eta R t osagai ortogonalak erabiltzen dira. Kabila gidari leun batetan Bakarrik gidariaren gainazalarekiko R indar elkartzuta eragin dezake. SLD-n R-rentzat norantza suposatuko da. rudian, beherantz eta ezkerrerantz edo gorantz eta eskuinerantz izan daiteke

10 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Garranga ardatz leun batetan Lotura kabilarekin Lotura finkoa Euskarri finkoa (enpotramendua) Gorputzaren gainean R indarra eta M momentua egin dezake. R-ren modulua eta norabidea ezezagunak direnez, indarra osagai ortogonalen bidez adierazi ohi da

11 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Malguki elastiko lineala Malgukiak gorputzaren gainean R indarra egiten du eta malgukiaren luzeraren aldaketarekiko proportzionala da. Norantza: aldakorra malgukia luzatuta edo estututa izatearen arabera. Ekintza-lerroa: euskarriaren ardatzarekin bat dator. Polea ideala Polea ideala eta adarra elkartzen dituen kabila gorputzaren gainean R indarra egin dezake eta modulua nahiz norabidea ezezagunak izango dira. Kabila leuna denez, kablearen T tentsioa konstantea izango da, polearen ardatzarekiko momentuen oreka mantentzeko

12 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: 6.1. ARKETA SLD

13 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: ARKETA SLD

14 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: 6.3. ARKETA SLD

15 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: ARKETA SLD

16 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Hiru dimentsioko euskarri eta lotura idealak Ondoren, gorputz zurrunetan erabilitako euskarri- eta lotura-mota arruntenak adierazten dira, horiek hiru dimentsioko indarren sistemak pairatzen badituzte. Halaber, SLD-n gorputz zurrunaren gainean egindako ekintzak irudikatzeko F eta M adierazten dira. Errotula R indarra transmiti dezake, baina ez momenturik. ndarra hiru osagai ortogonalen bidez adieraz daiteke

17 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Gontza Normalean gontzaren kabilaren ardatzarekiko norabide elkartzutean R indarra transmititzera bideratuta dago. Hala ere, bere diseinuak kabilaren ardatzean zehar indarraren osagai bat transmititzea onartu dezake (R y ). Zenbait gontzek kabilaren ardatzarekiko ardatz elkarzutetan momentu txikiak transmititu ditzakete (M z ). Dena den, gontz-bikoteak behar bezala lerrokatuta, bakarrik indarrak transmititzen dituzte erabilpen normaleko baldintzetan. Boladun kojinetea Boladun kojinete idealaren (leuna) zeregina kojinetearen ardatzarekiko norabide elkarzutean R indarra transmititzea da. Kojineteak y ardatzaren norabidea izanez gero, kojinetearen ekintza DSL-n R x eta R z osagaien bidez adierazten da

18 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Bultzada-kojinetea Kojinetearen ardatzarekiko indarren osagai paraleloak nahiz elkartzutak transmititu behar ditu. Zenbait bultzada-kojinetek momentu txikiak transmititu ditzakete bere ardatzarekiko ardatz elkartzutetan (M x eta M z ). Kojinete bikoteak behar bezala lerrokatuta, bakarrik indarrak transmititzen dituzte funtzionamenduaren baldintza normaletan

19 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Kabilaren artikulazio leuna R indarra transmititu behar du kabilaren ardatzarekiko norabide elkartzutean; dena den, indarraren osagai bat ardatz horretan transmititu dezake (F y ). Halaber, kabilaren ardatzarekiko ardatz elkartzutetan momentu txikiak transmiti ditzake. Euskarri finkoa edo Enpotramendua R indarra nahiz C parea jasan ditzake. ndarraren nahiz parearen moduluak eta norabideak ezezagunak dira, beraz, SLD-n bakoitzaren hiru osagai ortogonalak adierazten dira

20 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: ARKETA SLD

21 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: 6.3 Oreka bi dimentsioetan Bi dimentsioko ariketa: bertan indarrak plano batean daude eta pare guztien ardatzak plano horrekiko elkartzutak dira. R = Fx i + Fy j = 0 Oreka-ekuazioak ondorengo hauek dira: C = M k = 0 Honela, orekaren sei ekuazio eskalar independenteetatik hiru automatikoki betetzen dira: Beraz, gorputz zurrunaren orekan, gorputzak bi dimentsioko indar-sistema jasaten badu, bakarrik hiru ekuazio eskalar independente daude: Hirugarren ekuazioak z ardatzarekiko indar guztien momentuen batura aipatzen du eta ardatza edozein A puntutatik pasatzen da, gorputzaren barruan edo kanpoan. Azkeneko ekuazioak baldintza beharrezkoak eta nahikoak dira bi dimentsioko indarsistema jasaten duen gorputz zurrunen oreka lortzeko. F z 0 M x = 0 M y = = 0 F x 0 F y = 0 M A = = 0 z

22 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila 1..T.ko maila: Lehenengo irudian R ondoriozko indarra eta C ondoriozko parea ikus daitezke. Bi dimentsioko edozein indar-sistemaren ondoriozkoa osatzen dute eta gorputz zurrunari eragiten diote. Ondoriozkoa osagai ortogonalen bidez adieraz daiteke (2. irudia). M A = 0 baldintza betez gero: C = 0 Bestalde, F x = 0 baldintza betez gero: R F y j Honela, gorputzaren edo kanpokaldearen edozein B punturentzat, (y ardatzetik kanpo dagoena), M B = 0 ekuazioa beteko da baldin eta F y = 0 bada. Beraz, bi dimentsiotako oreka deskribatu dezakeen beste ekuazio sistema bat ondorengoa izan daiteke: Fx = 0 M A = 0 M B = 0 A eta B puntuek x koordenatu desberdinak izan behar dituzte. Bi dimentsioko indar-sistema bat duen gorputzari dagozkion oreka-ekuazioak adierazteko beste bi modu daude: =

23 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: 2 Bi dimentsioko indar-sisteman oreka- -ekuazioak momentuen hiru ekuazio erabiliz idatz daitezke. M A = 0 baldintza betez gero C = 0 Horrez gain, x ardatzaren edozein B punturentzat (A puntua kenduta), M B = 0 ekuazioa beteko da, baldin eta M A = 0 izanda F y = 0 bada. Honela, R = F x i Azkenik, x ardatzean ez dagoen edozein C punturentzat (gorputzarena edo kanpokoa), M C = 0 beteko da baldin eta F x = 0 bada. Honela, bi dimentsioko egoeren oreka deskribatzeko beste modu bat ondorengoa izan daiteke: M A = 0 M B = 0 M C = 0 non A, B eta C puntuak, lerrokatuta ez dauden edozein hiru puntu diren

24 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Bi indarretako gorputzak Bi indar jasaten dituen gorputz baten oreka maiztasun handiz adierazten da, beraz, arreta berezia jarriko diogu. Adibidea: pisurik gabeko lotura-barra (irudia). A eta B-n kokatutako kabila leunek barraren gainean egiten dituzten indarrak osagaietan deskonposatu daitezke barraren ardatzan eta horrekiko elkartzuta den ardatzan. Oreka-ekuazioak aplikatuz: F F x y = = 0 0 A A A y eta B y indarrek pare bat osatzen dute eta nulua izan behar du barra orekan izateko, beraz: A y = B y = 0 Honela, bi indarretako gorputzetan oreka izateko, indarrek modulu eta ekintza-lerro berdina baina kontrako norantza izan beharko dute. Gorputzaren formak ez du eraginik baldintza horietan. Gorputzen pisuek baztertzeko modukoak izan behar dute. x y B x B y = = 0 0 A x A y = = B x B y

25 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Hiru indarretako gorputzak Hiru indarren ekintzapean dagoen gorputz baten oreka egoera berezitzat har dezakegu. Adibidez: AB-ren SLD Gorputz bat hiru indarren ekintzaz orekan izanez gero, ekintza-lerroek konkurrenteak izan behar dute, hau da, puntu komun batetatik pasatzen dira. Baldintza hori betetzen ez bada, konkurrentea ez den indarrak beste bi indarrak gurutzatzen diren puntuarekiko momentua sortuko du. Kasu berezia: gorputzak hiru indar paralelo jasaten ditu. Ekintza-lerroak gurutzatzen diren puntua infinitua da

26 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Erreakzio hiperestatikoak eta lotura partzialak ndar planokide sistema bat jasaten duen gorputz bat daukagu. ndar-sistema baliokide batez ordezkatuko dugu: A puntu arbitrariotik pasatzen den ondoriozko indar bat eta pare bat. Gorputza orekan egoteko, euskarriek (loturek) indar-pare sistema berdina eta kontrakoa egingo diote gorputzari. Adibidea: a irudiko euskarriak A puntuan dagoen kabilak x ardatzan eta y ardatzan indarrak egin ditzake gorputzaren translazioa saihesteko, baina Aren inguruan biraketa saihesteko momenturik ezin du egin. B barrak y ardatzan indarra eragiten du eta A puntuarekiko momentua eratzen du gorputzaren biraketa saihesteko. Oreka-ekuazioak loturetako indar ezezagunak zehazteko nahikoak direnean, gorputza estatikoki zehaztuta dago lotura egokiekin. Kasu hontan, lotura isostatikoak ditugula diogu

27 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Gorputz batek indar planokide sistema bat jasaten badu, hiru erreakzio loteslek ez dute betiere bermatzen gorputza lotura isostatikoen bidez estatikoki zehaztua dagoenik. 1. adibidea: A puntuari dagokionez, kabilak x ardatzan eta y ardatzan indarrak egin ditzake gorputzaren translazioa saihesteko, baina B x -ren ekintza-lerroa A puntutik pasatzen denez, ez du momenturik sortzen A puntuaren inguruan biraketa saihesteko. Kasu hontan, oreka-ekuazioak ez dira nahikoak erreakzio ezezagun guztiak zehazteko eta gorputza lotura partzialak dituela esaten dugu. Gauza berdina gertatzen da hurrengo adibidean

28 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: 2. adibidea: hiru loturek edozein punturen inguruan biraketa saihets dezakete, baita gorputzaren translazioa y norabidean ere, baina ez gorputzaren translazioa x norabidean. Erreakzio-kopuru egokia dituen gorputz bat partzialki lotuta dago loturen kokagunea kontutan izanda euskarrietan sortzen diren erreakzio-indarrak konkurrenteak edo paraleloak direnean

29 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Partzialki lotuta dauden gorputzak orekan egon daitezke indar-sistema berezien ekintzapean. Adibidea: habearen R A eta R B erreakzioak honako ekuazioak erabiliz zehaztu daiteke: Hala eta guztiz ere, habea ez dago ongi lotuta (partzialki lotuta dago), x ardatzean aplikatutako edozein kargak, nahiz eta osagai txikia izan, x norabidean habea mugituko lukeelako. F y M = 0 A =

30 ..T.ko maila: Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila B puntuan lotura zurrunaren ordez kabila jarriz gero, B x erreakzioa lortzen da. Erreakzio hau ez da beharrezkoa gorputzaren mugimendua saihesteko. Honela, orekaren 3 ekuazio independenteek 4 ezezagun zehazteko ez dute informazio nahikoa eskeintzen. SLD SLD Behar baino lotura gehiagorekin lotutako gorputzak, estatikaren ikuspegitik zehaztu gabe daude, gorputzaren propietate fisikoei dagozkien harremanak beharrezkoak izango direlako (sistema hiperestatikoak). Adibideak:

31 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Ariketak ebaztea Ariketa teknikoak ebazteko lehenengo gaian ikusitako prozedura orekaren ariketei aplikatuz gero, honakoa izango dugu: Ariketak aztertu eta ebazteko urratsak: 1. rakurri arretaz enuntziatua. 2. dentifikatu eskatzen diren emaitzak. 3. Eskema bat eskalan prestatu eta informazioa tauletan jarri. 4. Erabili beharreko oreka-ekuazioak identifikatu emaitzak lortzeko. 5. Solido Librearen Diagrama egokia marraztu. 6. ndarren eta momentuen ekuazio egokiak aplikatu. 7. Erantzuna zifra esangarrien kopuru egokiarekin eta behar bezalako unitateak erabiliz erregistratu. 8. Erantzuna aztertu eta zehaztu ea arrazoizkoa den. Egiaztatzeko, beste orekaekuazioak idatzi eta ebazpenarekin betetzen direla frogatu

32 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: ARKETA SLD

33 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: ARKETA SLD

34 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: 6.8. ARKETAA SLD

35 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: 6.9. ARKETA SLD

36 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: ARKETA SLD

37 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: ARKETA SLD

38 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: ARKETA SLD

39 ..T.ko maila: Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila 6.4 Oreka hiru dimentsiotan GOGORATU Edozein indar-sistemaren ondoriozkoa Edozein indar-sistemaren (1. irudia) ondoriozko indarra, indar bakoitza O puntu batetatik pasatzen den norabide berdineko indar batetan eta pare batetan deskonposatzen zehaztu daiteke. Hasierako sistema beste bi sistemekin ordezkatuko dugu (3. irudia) : Planokideak ez diren indar konkurrenteen sistema bat (F 1,.., F n -k osatutakoa), non modulua, norabidea eta norantza jatorrizko sistemaren indarren berdina izango diren.. Planokideak ez diren pare sistema bat

40 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: Bi sistemetako indar bakoitza eta pare bakoitza osagaietan deskonposa daitezke koordenatuen ardatzetan (1. eta 2. irudiak) ndar konkurrenteen sistemaren ondoriozkoa R indarra da eta jatorritik pasatzen da. Planokideak ez diren pareen sistemaren ondoriozkoa, berriz, C parea da. Kasu bereziak: R = 0 C = 0 R = 0 eta C = 0 (Sistema orekan) Beraz, edozein indar-sistemaren ondoriozkoa R indarra, C parea edo indar bat gehi pare bat izan daiteke

41 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: 6.4 Oreka hiru dimentsiotan (jarraipena) n indar eta n parek osatutako 3 dimentsiotako sistema bat, planokideak ez diren indar konkurrente eta planokideak ez diren pare sistema batekin ordezkatu daiteke, honelako sistema bat lortuz: R = C = F x M i x i + + F y M j y + j F + R ondoriozko indarra, C ondoriozko parearekin batera, jatorrizko indar-sistemaren ondoriozkoa osatzen dute. Honela, edozein indar sistema jasaten duen gorputz zurrun bat orekan egongo da R = C = 0 betetzen badu, hortaz, F x M = 0 x = 0 F y M = 0 y = 0 F z = 0 M z = 0 z k M z k Oreka independienterako 6 ekuazio eskalarrak Hauek dira gorputzaren orekarako baldintza beharrezko eta nahikoak

42 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: ARKETA SLD

43 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: ARKETA SLD

44 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: ARKETA SLD

45 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales ngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila..T.ko maila: ARKETA SLD