PANDEO GLOBAL DE ESTRUCTURAS DE BARRAS 2D MEDIANTE CÁLCULO MATRICIAL NO LINEAL

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1 PADEO GOBA DE ESTRUCTURAS DE BARRAS D MEDIATE CÁCUO MATRICIA O IEA Mariano Cacho Pérez, Antolín orenzana Iban, José Pereda lamas, José María García Terán Grupo GIR de Mecánica de Sólidos y Estructuras, Universidad de Valladolid Resumen Se presenta una estrategia de obtención de la carga crítica y la deformada en problemas de pandeo de pórticos planos, con deformaciones de flexión, mediante un método de cálculo matricial. os elementos de la matriz de rigidez se obtienen integrando la correspondiente ecuación diferencial, cuya solución es distinta para esfuerzos axiles de compresión y de tracción. El resultado depende de funciones no lineales del esfuerzo axil de la barra. Se llega así a una matriz de rigidez altamente no lineal y con ella, tras ensamblar toda la estructura e imponer las condiciones de contorno, a un sistema no lineal de ecuaciones que se deben resolver mediante técnicas numéricas.. Introducción El objetivo de este trabajo es determinar de forma matemáticamente rigurosa el menor nivel de carga sobre una estructura plana de barras para el que pueden aparecer fenómenos de inestabilidad. Concretamente se formula el problema clásico de pandeo con deformaciones de flexión. Para determinar el mínimo valor de la carga que hace pandear la estructura, denominada carga crítica de pandeo, se emplea un método de cálculo matricial de estructuras conocido como método directo de rigidez (en adelante MDR), en su formulación no lineal. En la formulación que aquí se desarrolla, las matrices elementales que describen el comportamiento mecánico de cada barra dependen del esfuerzo axil

2 Mariano Cacho Pérez, Antolín orenzana Iban, José Pereda lamas, José María García Terán que desarrolla dicha barra, según funciones no lineales, cuya expresión matemática es distinta dependiendo de si el esfuerzo axil es de tracción o de compresión. Este documento se ha estructurado de la siguiente forma: a continuación, en el punto, se obtiene la matriz elemental que caracteriza el comportamiento mecánico de la barra estructural, seguidamente, se resume la estrategia de resolución de problemas no lineales con el MDR. En el punto, se expone cómo determinar la carga crítica de pandeo. Seguidamente, se comentan las simplificaciones más habituales. En el punto 6, se presenta un ejemplo de aplicación y por último se resumen las conclusiones que se consideran más interesantes.. Comportamiento mecánico de la barra estructural Para empezar, en primer lugar se plantea el equilibrio de la barra (asumiendo el modelo de avier-bernoulli) en la configuración deformada, figura. dx M dv V dm M d V Figura. Equilibrio en la configuración deformada. d dv dm V cos( ) sen( ) ()

3 Pandeo global de estructuras de barras D mediante cálculo matricial no lineal En segundo lugar, se adopta la hipótesis de pequeños desplazamientos, es decir, se asume: cos( ) sen( ) dx Combinando las ecuaciones de equilibrio y teniendo en cuenta las relaciones siguientes: dy dx d y M ( x) dx EI siendo y la flecha (o desplazamiento transversal) que experimenta cada sección de la barra, se llega a la siguiente ecuación diferencial: d dx EI d y d y dx dx con las condiciones de contorno siguientes: y( ) v ; y( ) v ; y'() ; y'( ) (5) a b cuya solución general se expresa en forma matricial en la figura. Para determinar las funciones C i (), resultado de integrar () es preciso conocer el signo del esfuerzo axil, según sea éste de compresión o de tracción. a b () () () EA a Va M a EA b Vb M b C EI ( ) C EI ( ) C ( ) EI C ( ) EI C EI ( ) C EI ( ) C ( ) EI EA SIMETRICA C EI ( ) C ( ) EI u a va a ub vb EI b C ( ) Figura. Matriz de rigidez elemental.

4 Mariano Cacho Pérez, Antolín orenzana Iban, José Pereda lamas, José María García Terán. Axil de compresión (>) En el caso de que el esfuerzo axil resulte ser de compresión (lo cual se conocerá una vez se haya resuelto el problema), la ecuación diferencial anterior se puede expresar como sigue: d y d y a ; a (6) dx dx EI cuya solución es de la forma: y( x) A sen( x) B cos( x) C x D (7) Imponiendo las condiciones de contorno dadas en (5) se obtienen las funciones no lineales para el caso de esfuerzo axil de compresión: a cos C ( ) sen( ) a cos( ) C ( ) a sen( ) (8) C ( ) a sen( ) C ( ) cos( ) sen( ). Axil de tracción (<) En el caso de que el esfuerzo axil sea de tracción, la ecuación diferencial se puede expresar como: d y d y a ; a (9) dx dx EI y su solución es ahora de la forma: y( x) A senh( x) B cosh( x) C x D () uevamente imponiendo las condiciones de contorno dadas en (5), los coeficientes son:

5 Pandeo global de estructuras de barras D mediante cálculo matricial no lineal 5 C C ( ( a C ( ) tgh cosh( ) senh( ) ) cosh( ) senh( ) ) senh( ) cosh( ) senh( ) () a C ( ) tgh a Es interesante comprobar cómo es la variación de estas funciones con el esfuerzo axil, y para ello se incluye la representación de la figura. C C C Tracción Compresión C Figura. Funciones de estabilidad C i (). Se puede comprobar que para valores nulos del parámetro a (es decir, sin considerar el efecto de segundo orden debido al axil) los dos conjuntos de funciones C i () toman los mismos valores numéricos, de tal manera, que la matriz de la figura se transforma en la matriz lineal clásica. En cambio, si se considera el efecto del axil de compresión, la mayoría de los C i (C, C y C ) disminuyen, revelando una pérdida de rigidez global de la barra, mientras que en tracción ocurre lo contrario. Es precisamente este comportamiento (en compresión) el que hace que para un valor concreto de dicha compresión la barra presente soluciones múltiples en deformaciones transversales, lo que físicamente se interpreta como pandeo o inestabilidad.

6 6 Mariano Cacho Pérez, Antolín orenzana Iban,. Método Directo de Rigidez o ineal José Pereda lamas, José María García Terán El planteamiento del cálculo matricial según el método directo de rigidez en base a la matriz de comportamiento obtenida en el apartado anterior nos lleva a un sistema de ecuaciones no lineal, con coeficientes que dependen de incógnitas del problema, los esfuerzos axiles en las barras. MDR ineal K() i K( i j MDR o ineal ) i j Corrección del axil o i j i j Si i j Solución final Figura. Estrategia de resolución del MDR no lineal. o anterior se traduce en que para la aplicación correcta de este método de equilibrio se requiere una estrategia iterativa para su resolución, tal y como indica el esquema de la figura.. Carga de pandeo global con deformaciones de flexión En primer lugar, se adopta como hipótesis de cálculo un estado proporcional de cargas (, factor único por el que se multiplican todas las cargas nominales). Es decir, el estado inicial de cargas crece monótonamente (figura 5).

7 Pandeo global de estructuras de barras D mediante cálculo matricial no lineal 7 q M cri MDR K Punto ímite q F ineal MDR o ineal K ( ) Figura 5. Estado proporcional de cargas. Figura 6. Estado límite de inestabilidad. El siguiente paso consiste en calcular mediante la aplicación del método directo de rigidez (con la matriz de rigidez no lineal) los esfuerzos axiles (de compresión o tracción) que desarrolla cada una de las barras de la estructura. Una vez conocidos los axiles de cada barra se puede evaluar la matriz de rigidez no lineal elemental de cada barra (que tal y como se ha visto en el apartado depende del valor y del signo del axil) y, posteriormente, imponer condiciones de compatibilidad y equilibrio para el conjunto de la estructura a través del ensamblaje de dichas matrices para formar la matriz de rigidez de la estructura: F K () u () est est Entonces, el fenómeno de pandeo de la estructura tiene lugar cuando se produzcan incrementos de los desplazamientos sin incremento de la carga (punto límite, figura 6). Dicho de otra forma, buscamos el valor mínimo de la carga que, tras aplicar las condiciones de contorno del problema, anula el determinante (para que la solución de () sea múltiple) del sistema de ecuaciones de equilibrio: * est est K ( ) () donde el asterisco indica que se han impuesto las condiciones de contorno de alguna forma adecuada, generalmente eliminando las filas y columnas con desplazamientos conocidos. ótese que los axiles dependerán de.

8 8 Mariano Cacho Pérez, Antolín orenzana Iban, 5. Desarrollos asintóticos José Pereda lamas, José María García Terán a exposición anterior, para el cálculo de la carga crítica de pandeo, conlleva un planteamiento iterativo del MDR no lineal y la búsqueda de raíces de la ecuación característica (), que en general resulta tener una expresión bastante compleja y con una gran dependencia no lineal del factor de carga (). Hecho que no supone mayor inconveniente con la potencia de los ordenadores actuales y el desarrollo de manipuladores simbólicos realmente eficientes para esta tarea, como por ejemplo, la aplicación Mathematica, que hemos empleado en el desarrollo de este trabajo. Sin embargo, es habitual en la literatura que versa sobre el fenómeno de pandeo, emplear desarrollos en serie truncados en torno a la configuración indeformada. 5. Orden cero Se llama aproximación de orden cero o simplemente teoría de primer orden al análisis de la estructura en el que las funciones de estabilidad son evaluadas en =, lo que implica que el equilibrio de cada barra de la estructura se plantea en la configuración indeformada o inicial. Entonces la matriz de rigidez elemental de cada barra se reduce a la primera de las matrices de la figura 7, que depende únicamente de las propiedades geométricas y mecánicas de la barra, y no de ningún esfuerzo. Dicha matriz de rigidez es la que se emplea habitualmente en el método directo de rigidez en su formulación lineal. Y como ya se ha comentado en el apartado, constituye el punto de partida de la técnica iterativa para resolver el MDR no lineal. 5. Orden uno Consiste en expresar las ecuaciones (8) y () en desarrollo en serie de Taylor alrededor de =, y considerar en el análisis únicamente los dos primeros términos. Con lo que resulta una expresión única, dependiente del valor del esfuerzo axil, y válida tanto para compresiones (>) como para tracciones (<). Así, los coeficientes son: C( ) 6 EI C ( ) () 5 EI C ( ) EI

9 Pandeo global de estructuras de barras D mediante cálculo matricial no lineal 9 C ( ) 6 5 EI EA EA EI 6EI EI 6EI 6EI EI 6EI EI EA EA EI EI EI EI 6 6 6EI EI 6EI EI K K G Figura 7. Matriz de rigidez elemental (aproximación de orden uno). Por lo tanto, obtenemos una doble ventaja: la ya comentada de tener unas expresiones únicas válidas tanto para tracción como para compresión, y la ventaja de que dependen linealmente del esfuerzo axil y por tanto es posible sacarlo fuera de la matriz. Sin embargo, también se tiene el inconveniente de que es necesario emplear una discretización mucho más fina para obtener resultados precisos, tal y como se comprueba en el ejemplo práctico que veremos más adelante. Con esta aproximación la matriz de rigidez elemental se calcula en base a la expresión de la figura 7, en función del esfuerzo axil que desarrolla la barra. a matriz que queda multiplicada por es conocida habitualmente en la bibliografía como matriz de rigidez geométrica. Un resultado importante, ya comentado anteriormente, es analizar el efecto del esfuerzo axil sobre la rigidez de la barra, concretamente se comprueba que un axil de compresión (>) reduce la rigidez a flexión de la barra, mientras que un esfuerzo axil de tracción (<) aumenta dicha rigidez. 6. Ejemplo Como ejemplo de aplicación, se pretende calcular la carga crítica de pandeo de un pórtico simple, formado por dos barras de igual longitud y propiedades, una de ellas vertical y la otra horizontal, solicitado por una carga concentrada de valor P, en la unión de ambas barras, tal y como se representa en la figura 8. Para analizar este pórtico mediante el método directo de rigidez, el primer paso consiste en discretizar la estructura en un número finito de barras o elementos. En este ejemplo, a la vista de la geometría, las cargas, las

10 Mariano Cacho Pérez, Antolín orenzana Iban, José Pereda lamas, José María García Terán propiedades de las barras y las condiciones de contorno del problema, será suficiente dividir la estructura en dos barras, la vertical (barra ) y la horizontal (barra ). P E,A,I E,A,I E. A 6 I m m 6 Pa m Figura 8. Pórtico simple. El siguiente paso es obtener una primera estimación de la carga crítica de pando, para ello se realiza un análisis lineal mediante el MDR para un nivel de carga exterior P =.. Análisis lineal cuya solución de esfuerzos axiles en las barras es la siguiente::.886 (5).667 A continuación, multiplicamos la carga por un factor y supuesto que los esfuerzos axiles se incrementan en la misma proporción, ya estamos en condiciones de plantear el sistema de ecuaciones de equilibrio no lineal en dado por la ecuación () y tras imponer las condiciones de contorno del problema, determinar la magnitud de la carga crítica de pandeo como el menor valor que anula el determinante (): P cri cri cri P (6) Pues bien, el valor que acabamos de obtener es sólo una primera estimación del valor límite que estamos buscando ya que entre otras

11 Pandeo global de estructuras de barras D mediante cálculo matricial no lineal consideraciones los esfuerzos axiles que desarrolla cada barra en general dependerán de manera no lineal del nivel de carga aplicada a la estructura. Por este motivo, vamos a suponer un estado de carga mayor, relativamente 8 próximo al valor crítico estimado, es decir, P.7 Pcri.5, y con este nivel de carga, llevar a cabo un análisis no lineal de la estructura para conocer los esfuerzos axiles que desarrolla cada barra. Para ello, se sigue el esquema representado en la figura, proceso iterativo cuyo paso inicial consiste en resolver el MDR lineal para obtener:.886 P (7).667 P Se toma esta estimación inicial de los esfuerzos axiles como dato de entrada, calculamos la correspondiente matriz de rigidez elemental de cada barra (según la figura, y las expresiones (8) u () que correspondan), resolvemos nuevamente el método directo de rigidez (ahora, en su formulación no lineal), que nos proporciona una nueva estimación de los esfuerzos axiles, los cuales comparamos con la estimación anterior (mediante norma euclídea, por ejemplo) para decidir sobre el final del proceso iterativo (tendrá lugar cuando la diferencia entre dos estimaciones consecutivas sea menor que una tolerancia). Por si acaso la tolerancia elegida es muy exigente es conveniente también fijar un número máximo de iteraciones, alcanzado el cual se detiene el proceso iterativo, indicando ausencia de convergencia. En nuestro caso se ha elegido una tolerancia. y un número máximo de iteraciones. El proceso iterativo converge después de iteraciones a la solución lineal, es decir:.9 P.75 P (8) Una vez que conocemos los esfuerzos axiles en las barras, se incrementa el nivel de carga exterior a P y de nuevo se plantea la anulación del determinante de la ecuación (). Resulta una ecuación en función de, cuya menor raíz es el valor límite que estamos buscando, la carga crítica de pandeo, P cri :.5 P cri P cri cri cri P 6. E I (.897 ) 8 (9)

12 Mariano Cacho Pérez, Antolín orenzana Iban, José Pereda lamas, José María García Terán Resultado que tiene en cuenta la deformación axil de las barras, y que parece lógico al tratarse de una barra a compresión (la barra vertical) con un apoyo fijo en la base y una unión semirrígida en el otro extremo. Así, el resultado estará acotado entre la situación con unión rígida (apoyadaempotrada) y la situación con giro libre (apoyada-apoyada): E I E I P cri () ( ) (.7 ) 5 8 P Figura 9. Desplazamiento de la sección central del pilar frente a la carga. P Figura. Deformada de pandeo (7% P cri ).

13 Pandeo global de estructuras de barras D mediante cálculo matricial no lineal Otro resultado interesante se obtiene al representar el valor de la carga frente al desplazamiento, concretamente en la figura 9 se ha dibujado la variación del desplazamiento de la sección central del pilar de la estructura según aumenta la carga desde cero hasta su valor crítico. Claramente se observa la dependencia no lineal del problema analizado. También se ha representado (figura ) la configuración deformada de la estructura para un nivel de carga limitado al 7% del valor de la carga crítica de pandeo para evitar la inestabilidad numérica que aparece a niveles más próximos a P cri. Se obtiene como resultado flechas del orden del % de la longitud de la barra. Para terminar, se ha resuelto el problema haciendo uso de la matriz de rigidez geométrica (desarrollo asintótico de orden uno), que tiene la ventaja de que se obtiene un polinomio en P como ecuación característica del problema de pandeo, pero tiene el inconveniente de que se obtiene un resultado preciso sólo si aumentemos en gran medida el número de elementos de la discretización. Por ejemplo, para un análisis con elementos por barra, mediante software comercial de elementos finitos, Cosmos/M, se obtiene: E I 8 P cri 6.88 () (.776 ) 7. Conclusiones Como ya es sabido, la determinación de la carga crítica de pandeo requiere un análisis de la estructura basado en la teoría de segundo orden, es decir, el equilibrio ha de plantearse en la configuración deformada. Dichas ecuaciones de equilibrio, junto a la hipótesis de pequeños desplazamientos, nos llevan a una solución de desplazamientos no lineal que depende del esfuerzo axil que desarrolla cada barra, y además, la solución es distinta según el esfuerzo sea de tracción o de compresión. a pregunta inmediata es saber qué efecto tiene en el comportamiento resistente de las barras un axil de tracción o de compresión. Pues bien, en la figura se comprueba que un axil de compresión reduce la rigidez a flexión de la barra, mientras que un axil de tracción la rigidiza. Resultado que también surge del desarrollo asintótico de primer orden (apartado 5). Por otra parte, como método de análisis se ha empleado el método directo de rigidez, que en teoría de segundo orden resulta un método matricial no lineal. a resolución del problema requiere aplicar un método iterativo como el descrito en el diagrama de la figura, lo cual nos permite estimar el nivel y tipo de esfuerzo axil al que trabajan cada una de las barras de la estructura. Posteriormente, una vez impuestas las condiciones de contorno del problema

14 Mariano Cacho Pérez, Antolín orenzana Iban, José Pereda lamas, José María García Terán objeto de análisis, se plantea el determinante del sistema de ecuaciones equilibrio (), cuya mínima raíz determina el valor crítico de la carga de pandeo. Esta técnica del MDR no lineal tiene todas las ventajas de un método matricial de análisis de estructuras, destacando sobre todo el hecho de que es totalmente sistemático. Y lo que era un inconveniente, trabajar con matrices de rigidez relativamente complejas, se solventa con la ayuda del ordenador y las aplicaciones de cálculo simbólico existentes hoy día en el mercado (o también aplicaciones específicas basadas en lenguajes de programación como Fortran, C, etc.). Como resultado de todo lo dicho, estamos en condiciones de determinar de forma suficientemente precisa la carga crítica de pandeo de cualquier estructura plana, incluso empleando una discretización muy grosera en su análisis (y por tanto a bajo coste computacional). Como alternativa, tenemos las formulaciones clásicas del pandeo global de pórticos, basadas en que la rigidez de las barras se modifica en función del esfuerzo axil y lo que se conoce como matriz de rigidez geométrica (figura 7). Pues bien, desde nuestro punto de vista implica cálculos más sencillos y el determinante a plantear para calcular la carga límite será un polinomio. Sin embargo, la obtención de resultados precisos requiere de una discretización de la estructura mucho más fina (alto coste computacional). Por lo tanto, resulta más conveniente plantear el problema de pandeo de la estructura mediante el método directo de rigidez no lineal. Su formulación no sólo no se complica sino que se complementa con una mayor información sobre el comportamiento de la barra, y su resolución no supone ningún inconveniente en la actualidad. 8. Bibliografía [] W.F. Chen y E.M. ui. Stability design of steel frames, 99. [] J.A. Garrido y A. Foces. Resistencia de materiales,. [] Software comercial de elementos finitos, Cosmos/M v.8. [] Software de cálculo simbólico, Mathematica v5..