José L. Zofío. Organización Industrial II. Licenciatura: Economía (2º semestre) Código Parte III: Los Mercados de Factores

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1 José L. Zofío Organización Industrial II Licenciatura: Economía (2º semestre) Código 570 Parte III: Los Mercados de Factores Tema 7. El Capital 7. La teoría del capital: demanda y oferta 7.2 Asignación óptima de los recursos a lo largo del tiempo 2

2 7.. La Teoría del Capital 7... Capital y Tasa de Rendimiento El stock de capital de una economía es la suma total de maquinaria, edificios, y otros recursos reproducibles que existen en un determinado momento de tiempo Estos activos representan una parte de la producción anterior que no fue consumida, sino que fue dejada de lado para producciones futuras Sacrificio actual a cambio de ganancias futuras Supongamos que la sociedad consume inicialmente c 0. En el momento t se decide retener parte de la producción (una cantidad s) del consumo actual durante un período A partir del período t 2 este consumo retenido se pone a producir consumo futuro La Teoría del Capital Tasa de rendimiento: La tasa de rendimiento de un período (r ) de una inversión es el consumo adicional obtenido en el período dos respecto al consumo renunciado en el período uno: x s x r = = s s La tasa de rendimiento perenne o continuo (r ) de una inversión es el incremento permanente del consumo futuro expresado como proporción del consumo inicial retenido. Es decir: r = y s 4

3 7.. La Teoría del Capital Consumo. En el período t, se decide retener una cantidad s del consumo actual 2. Esa cantidad s se utiliza para producir adicionalmente en el período t 2 x 3. La producción en t 2 se incrementa en la cuantía x c 0 s 4. El consumo retorna a su nivel de equilibrio a largo plazo (c 0 ) en el período t 3 t t 2 t 3 Tiempo La Teoría del Capital Consumo. En el período t, se decide retener una cantidad s del consumo actual durante un período 2. Esa cantidad s se utiliza para producir adicionalmente en los períodos futuros c 0 s y 3. Ahora el consumo se incrementa hasta c 0 + y en todos los períodos futuros t t 2 t 3 Tiempo 6

4 7.. La Teoría del Capital Cuando los economistas hablan de tasa de rendimiento de la acumulación de capital se refieren a algo intermedio entre estos dos extremos Hablaremos de la tasa de rendimiento como una medida de la relación a la que se puede convertir el consumo actual en consumo futuro Cómo se determina la tasa de rendimiento de una economía? A través de la oferta y demanda en el mercado de bienes futuros, que pasaremos a analizar a continuación La Teoría del Capital Tasa de Rendimiento y Precio de los Bienes Futuros: Supongamos que sólo hay dos períodos a analizar: el actual (t 0 ) y el siguiente (t ) y que la tasa de rendimiento entre dos períodos (r) se define como: r Δc = Δ c 0 Δc Δc 0 = + r El precio relativo de los bienes futuros (p ) es la cantidad de bienes actuales a los que se debe renunciar para aumentar el consumo futuro en una unidad. Es decir: p = Δc Δc 0 = + r 8

5 7.. La Teoría del Capital Demanda de bienes futuros: Se trata de una aplicación más del modelo de maximización de la utilidad En este caso, la utilidad del individuo depende del consumo actual y futuro: U = U(c 0,c ) Y el individuo debe decidir qué parte de su riqueza actual (w) quiere asignar a cada uno de estos dos bienes La riqueza que no se gasta en consumo actual se puede invertir a una tasa de rendimiento r para obtener consumo en el próximo período (luego p refleja el coste actual del consumo futuro) La restricción presupuestaria viene dada por w = c 0 + p c = c 0 + c /(+r) La Teoría del Capital Maximización de la utilidad: c w/p w = c 0 + p c El individuo maximizará su utilidad eligiendo consumir c 0 * actualmente y c * en el siguiente período c * Consume actualmente c 0 * y decide ahorrar w - c 0 * para consumirlo en el próximo período U Este consumo futuro será: p c * = w - c 0 * c 0 * w U 0 c 0 c * = (w - c 0 *)/p = (w - c 0 *)( + r) 0

6 7.. La Teoría del Capital Ejemplo 23.: Impaciencia intertemporal Las elecciones de maximización de la utilidad de los individuos en el tiempo dependerán de lo que piensan sobre las ventajas relativas de consumir ahora o esperar al futuro Supongamos que la función de utilidad de un individuo por consumir U(c) es la misma en ambos períodos pero la utilidad del período se descuenta a una tasa de preferencia temporal de /( + δ) (donde δ > 0) Si la función de utilidad es separable: U( c0, c) = U( c0 ) + U( c) + δ La maximización de esta función sujeta a la restricción presupuestaria intertemporal ofrece la siguiente expresión lagrangiana: c L = U( c0, c) + λ w c0 + r 7.. La Teoría del Capital Ejemplo 23.: Impaciencia intertemporal (cont.) Y las C.P.O. para un máximo son: L c 0 = U' ( c0 ) λ Dividiendo la primera y segunda ecuación y reorganizando términos: Se puede concluir que: si r = δ, c 0 = c si r < δ, c 0 > c = 0 L = w λ c L c = U'( c + δ + r U' ( c0 ) = U'( c) + δ c + r 0 = 0 λ ) + r = 0 si r > δ, c 0 < c 2

7 7.. La Teoría del Capital Efectos de variaciones de r: Cuando r aumenta (p disminuye), el efecto renta y el efecto sustitución harán que se demande más c (excepto en el improbable caso de que sea un bien inferior) Esto implica que la curva de demanda de c tendrá pendiente negativa Sin embargo, no se puede hacer una afirmación inequívoca sobre el signo de c 0 / p porque los efectos sustitución y renta se mueven en sentido opuesto Una disminución de p hará que el individuo sustituya c por c 0, pero elevará el valor real de la riqueza, aumentando tanto c 0 como c Luego no se puede predecir cómo afectan las variaciones de la tasa de rendimiento a la acumulación de riqueza en el período actual (ahorro) La Teoría del Capital Oferta de bienes futuros: Un incremento en el precio relativo de los bienes futuros (p ) probablemente inducirá a las empresas a producir más de estos bienes, porque el rendimiento de esta producción será mayor ahora Esto significa que la curva de oferta de bienes futuros tendrá pendiente positiva Reflejando los costes marginales crecientes (o los rendimientos decrecientes) que experimentan las empresas cuando intentan convertir bienes actuales en bienes futuros gracias a la acumulación de capital 4

8 7.. La Teoría del Capital Precio de equilibrio de los bienes futuros: p S El equilibrio se da a un precio de p * y un consumo de c * En este punto se encuentran en equilibrio las ofertas y demandas de los individuos de bienes futuros y se pondrá la cantidad necesaria de bienes actuales en acumulación de capital para producir c * en el futuro p * c * D c Esperamos que p < porque los individuos necesitan alguna compensación por esperar y la acumulación de capital es productiva ya que sacrificar un bien hoy producirá más de un bien en el futuro La Teoría del Capital Tasa de rendimiento de equilibrio y tipos de interés: El precio de los bienes futuros se define como: p * = /(+r) Como hemos asumido que p * debe ser menor que uno, la tasa de rendimiento (r) será positiva p * y r son formas equivalentes de medir la relación a la que se pueden convertir bienes actuales en bienes futuros Tanto la tasa de rendimiento como el tipo de interés real se refieren al rendimiento real que se puede lograr gracias a la acumulación de capital Se debe diferenciar del tipo de interés nominal que se puede encontrar en los mercados financieros 6

9 7.. La Teoría del Capital El tipo de interés nominal (R) viene dado por: donde p e + R= ( + r)( + p e ) refleja el crecimiento del nivel general de precios. La ampliación de la ecuación anterior permite obtener + R = + r + pe + r pe Y suponiendo que el último término es pequeño, tenemos la aproximación más sencilla R = r + pe La Teoría del Capital La demanda de capital de la empresa En un mercado perfectamente competitivo, una empresa elegirá contratar aquel número de máquinas para el que el valor del producto marginal sea igual al alquiler de la maquinaria en el mercado Los determinantes del precio de alquiler del mercado: Considérese el caso de una empresa que alquila maquinaria a otras empresas El propietario de la maquina tiene que asumir dos tipos de costes: La depreciación de la maquina Es un porcentaje constante (d) del precio de la maquina El coste de oportunidad de tener sus fondos invertidos en una maquina en vez de en una inversión que ofrece la tasa de rendimiento disponible en la actualidad Viene dado por el tipo de interés real (r) 8

10 7.. La Teoría del Capital Los costes totales para el propietario de la maquina en un período vienen dados por la expresión pd + pr = p(r + d) Si asumimos que el mercado de alquiler de maquinas es perfectamente competitivo, dicho alquiler no puede ofrecer beneficios a largo plazo El alquiler de la maquina por período (v) será exactamente igual a los costes en los que incurre el propietario de la maquina: v = p(r + d) Es la suma de los intereses perdidos y los costes por depreciación en los que debe incurrir el propietario de la maquina Si la maquina no se deprecia (d = 0), entonces v/p = r En equilibrio, una máquina con una larga indefinida (que no se deprecia) es equivalente a un bono perpetuo y debe rendir la tasa de rendimiento del mercado La Teoría del Capital Propiedad de las máquinas: Hasta ahora hemos supuesto que las empresas alquilan todas las maquinas que usan, pero lo más frecuente es que las empresas sean propietarias de las maquinas que utilizan Una empresa utiliza servicios de capital para fabricar sus productos Estos servicios son una variable flujo Generalmente, se asume que el flujo de servicios de capital es proporcional al número de maquinas Por eso la demanda de servicios de capital de la empresa es también la demanda de capital Una empresa maximizadora de beneficios en un mercado de alquiler perfectamente competitivo contratará más factor capital hasta el punto en el que el VPMg K sea igual al alquiler en el mercado (v) En competencia perfecta, el alquiler reflejará tanto los costes de depreciación como los costes de oportunidad en inversiones alternativas VPMg k = v = p (r + d) 20

11 7.. La Teoría del Capital Teoría de la inversión: Si una empresa necesita más servicios de capital que los que tiene actualmente (de acuerdo al principio de maximización anterior), tendrá dos opciones:. Alquilar más maquinas en el mercado de alquiler 2. Adquirir o comprar nueva maquinaria (más frecuente) Denominamos la adquisición de nuevos equipos por parte de la empresa como inversión Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo Valor Actual Descontado: Cuando una empresa compra una maquina está comprando realmente un flujo de ingresos netos en períodos futuros (inversión) Para decidir si debe comprar la maquina, la empresa deberá calcular el valor actual descontado de ese flujo, para tener en cuenta correctamente los efectos de los intereses perdidos Consideremos el caso de una empresa en el proceso de decidir si va a comprar una determinada maquina, que se espera vaya a durar n años y que ofrecerá al propietario un flujo de rendimientos monetarios (valores del producto marginal) en cada uno de los n años (R i ) El valor actual descontado (VAD) del flujo de ingresos netos de la maquina para sus propietarios viene dado por: VAD R R Rn r ( + r) ( + r) 2 = n 22

12 7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo Si el VAD de este flujo de pagos es superior al precio de la maquina, la empresa debería hacer la compra Si el precio supera este VAD, la empresa estaría en mejor situación si invierte sus fondos en alguna alternativa que prometa un tipo de rendimiento r En un mercado competitivo, el único equilibrio que prevalecerá es aquel en el que el precio de la maquina es igual al VAD de los ingresos netos provenientes de la maquina. Luego exige que: P R R Rn r ( + r) ( + r) 2 = VAD = n Ahora vamos a utilizar esta condición para ver dos situaciones en las que el criterio del valor actual descontado de las inversiones se reduce a las condiciones de equilibrio destacadas en el punto Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo Caso simple: Supongamos que la maquina tiene una vida infinita y que el valor del producto marginal (R i ) es el mismo cada año Este rendimiento uniforme también será igual al precio de alquiler de las maquinas (v) porque esta sería la cantidad que estaría dispuesta a pagar otra empresa por utilizar la maquina durante un período cualquiera Con estos supuestos, el VAD para el propietario de la maquina es: v v v VAD = r ( + r) ( + r) n + r VAD = v r En equilibrio P = VAD, luego: r = VAD = v r v P 24

13 7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo Caso general: Se pueden generalizar resultados similares para el caso en el que el precio de alquiler de las maquinas no sea constante a lo largo del tiempo y en el que hay cierta depreciación Suponga que el alquiler de una máquina nueva en un momento cualquiera s viene dado por v(s) La maquina se deprecia a una tasa d de forma exponencial El alquiler neto (y el valor del producto marginal) de una maquina disminuye a lo largo del tiempo a medida que la máquina se va haciendo más vieja En concreto, en el año s, el alquiler neto de una maquina adquirida en el año anterior (t) sería v (s)e d (s - t) Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo Si la empresa está considerando la compra de la maquina cuando es nueva en el año t, debería descontar todos estos alquileres netos hasta esa fecha. El valor actual del alquiler neto en el año s descontado hacía atrás hasta el año t es (si r es el tipo de interés) e r (s - t) v (s)e d (s - t) = e (r + d)t v (s)e -(r + d)s El valor actual descontado de una maquina adquirida en el año t es la suma (integral) de estos valores actuales: ( r+ d) t ( r+ d) s () = () = () t VAD t e v s e ds p t En equilibrio, el precio de la maquina en el año t [p(t)] será igual a su valor actual 26

14 7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo Esta ecuación se puede utilizar para derivar la relación v = p (r + d) Volvemos a escribir la ecuación de la forma Diferenciando respecto a t, y utilizando la regla de la derivada de un producto: Por tanto: p( t) = e ( r + d ) t t v( s) e ( r + d ) s ( r ( ) ( ) ( ) ( ) ) + d t ( ) + d s r + d t ( ) + d e v s e ds e v t e d t ( r d) p( t) v( t) t dp() t = + = + dt dp( t) v( t) = ( r + d) p( t) dt El último término de la derecha representa las ganancias de capital acumuladas por el propietario de la maquina ds Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo Ejemplo 23.2: Tala de un árbol Consideremos el caso de un silvicultor que debe decidir cuando talar un árbol Supongamos que el valor del árbol en cualquier momento de tiempo t viene dado por f(t) [con f (t)>0 y f (t)<0] y que se invirtieron inicialmente l euros como pago a los trabajadores que plantaron el árbol El tipo de interés de mercado (continuo) viene dado por r Cuando se planta el árbol, el VAD de los beneficios del silvicultor viene dado por: VAD (t) = e -rt f (t) l La decisión del silvicultor consiste en elegir la fecha de talar, t, para maximizar este valor 28

15 7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo Ejemplo 23.2: Tala de un árbol (cont.) dvad() t dt Dividiendo ambos lados por e -rt : rt rt = e f () t re f() t = 0 Por tanto: r = f '( t) f ( t) f (t) rf (t) = 0 Características de esta condición óptima:. El coste del factor trabajo inicial desaparece al derivar, luego se considera un coste hundido irrelevante para la decisión de maximización 2. Habrá que cortar el árbol cuando el tipo de interés sea igual a la tasa de crecimiento del árbol Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo Ejemplo 23.2: Tala de un árbol (cont.) Suponga que los árboles crecen siguiendo la ecuación f ( t) = e La tasa de crecimiento proporcional disminuye con el tiempo, ya que f '( t) 0. 2 = f ( t) t Cuanto mayor es el tipo de interés real menos se incentiva la inversión en árboles animando al silvicultor a elegir una edad más temprana para la tala Si el tipo de interés fuera, por ejemplo, del 4 por ciento, se puede calcular el momento óptimo para la tala como t* = 25 años Si el tipo de interés asciende hasta el 5 por ciento, la edad óptima pasaría a ser de t* = 6 años 0.4 t 30

16 7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo Asignación Óptima de los Recursos a lo largo del Tiempo: La teoría del capital que hemos visto afirma que los agentes económicos dejan de lado parte de la producción actual en concepto de acumulación de capital para producir más en los períodos futuros Los agentes económicos deben tomar decisiones sobre aumentar o reducir el nivel de algún stock, y estas decisiones afectarán tanto al bienestar actual como al futuro En el problema de asignar recursos a lo largo del tiempo hay dos variables de interés primordial:. El stock que se va a asignar (k): stock de capital 2. Una variable de control (c) que se utiliza para efectuar incrementos o reducciones de k: tasa de ahorro o inversión neta total Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo Las elecciones de k y c ofrecerán beneficios a lo largo del tiempo a los agentes económicos implicados, que se representarán como U (k,c,t) El objetivo de los agentes será maximizar donde T indica el período de tiempo en el que se están tomando las decisiones Por otra parte, hay dos tipos de restricciones en este problema.. Las reglas por las que k cambia a lo largo del tiempo dk = k = f ( k, c, t) dt T 0 U( k, c, t) dt 2. Las condiciones iniciales y finales especificadas para el stock k k(0) = k 0 k(t) = k T 32

17 7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo El problema de optimización dinámica que hemos descrito exige que encontremos una trayectoria temporal óptima para las variables k y c Para solucionar dicho problema, convertiremos el problema dinámico en un problema de un único período y luego demostraremos que la solución para cualquier momento arbitrario de tiempo resuelve también el problema dinámico Cualquier decisión actual sobre cómo debe cambiar el stock de k afectará tanto al bienestar actual como al futuro Introducimos un multiplicador de tipo lagrangiano λ(t), que se puede interpretar como la variación marginal de los beneficios futuros generados mediante la variación de una unidad de k Es una medida del valor marginal del stock k en el momento actual t Esta variable permite una solución que equilibra los beneficios y costes de las decisiones actuales Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo Desarrollo matemático: Una vez convertido el problema dinámico en uno de único período, hay que volver a formular la solución en un contexto dinámico, demostrando como varía λ(t) a lo largo del tiempo, para que. Los cambios de k se sigan produciendo de forma óptima 2. Se garantice que las condiciones puntuales finales de k se cumplen Esta solución final proporcionará una trayectoria temporal de valores de c y k que maximizan la utilidad, pero además también del multiplicador λ que mostrará cómo varía la evaluación marginal de k (su precio) en el tiempo El valor total del stock en cualquier momento t viene dado por λ(t)k La tasa de variación de este valor (ganancias o pérdidas experimentadas por el stock de capital) viene dada por d λ( t) k dt dk = λ dt + K dλ dt = λ k + k λ 34

18 7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo El valor neto total de la utilidad en cualquier momento viene dado por H = U( k, c, t) + λ k+ k λ donde el término H indica su parecido con la función hamiltoniana que se encuentra en la teoría formal de la optimización dinámica La C.P.O. para elegir c maximizando H es H c = U( k, c, t) k + λ c c = 0 porque λ y k no dependen del valor actual de c Volviendo a escribir esta primera condición U c k = λ c Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo Para que se elija un c óptimo se debe cumplir que el incremento marginal de U derivado de un incremento de c se vea perfectamente compensado por cualquier efecto que tenga este incremento para reducir la variación del stock de k Una vez elegido c para maximizar nuestra utilidad, es necesario centrarse en cómo cambia en el tiempo la valoración marginal de k (λ) Para ello buscamos el nivel de k que maximizará H La derivada de H respecto de k da lugar a H k como condición de primer orden para un máximo Reordenando términos: U( k, c, t) k = + λ k k U λ = k + λ = 0 k + λ k 36

19 7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo Cualquier reducción de la valoración marginal de k debe ser igual a la productividad neta de k cuando aumenta U o aumenta k Juntando estas dos condiciones del óptimo obtenemos: H U k = + λ = 0 c c c H U k = + λ + λ = 0 k k k Estas ecuaciones muestran cómo deben evolucionar c y λ a lo largo del tiempo de forma que k se mantenga en su trayectoria óptima Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo Ejemplo 23.3: Recursos agotables Suponga que la función de demanda inversa de un recurso (petróleo, carbón o mineral de hierro) es p = p(c), donde p es el precio de mercado y c es la cantidad total consumida durante un período Para cualquier nivel de consumo c, la utilidad total derivada es c Uc () = pcdc () 0 Si la tasa de preferencia temporal viene dada por r, el patrón óptimo de utilización del recurso será aquel que maximice T rt e 0 U( c) dt 38

20 7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo Ejemplo 23.3: Recursos agotables (cont.) Las restricciones de este problema son de dos tipos: Puesto que el stock del recurso es fijo, ese stock se reduce en cada período por el nivel de consumo: k = c Además, el stock de recursos también debe cumplir las restricciones puntuales finales k(0) = k 0 k(t) = k T Estableciendo la función hamiltoniana: rt H rt = e ( U) + λ k+ λ k = e ( U) λc + λ k Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo Ejemplo 23.3: Recursos agotables (cont.) Se obtienen las siguientes C.P.O. para un máximo: H c H k La segunda ecuación muestra que el precio sombra del recurso (λ) debe mantenerse constante a lo largo del tiempo Como U/ c = p(c), e -rt p(c) = λ rt U = e λ = 0 c = λ = 0 Esto exige que se elija una trayectoria para c de forma que el precio de mercado aumente a una tasa r por período Esta es la solución que surgiría en un mercado competitivo 40

21 7.2. Asignación Óptima de Recursos en el Tiempo Ejemplo 23.3: Recursos agotables (cont.) Para que un recurso cualquiera ofrezca una inversión que esté en equilibrio con otras alternativas, su precio debe aumentar al mismo ritmo que los tipos de interés Los mercados competitivos asignan los recursos naturales de forma eficiente a lo largo del tiempo Las restricciones del final del período se resuelven analizando las relacionadas con los stocks del período final Se requiere que el precio en el período final sea tal que la demanda sea igual a cero para ese precio Aunque no se ha supuesto que los costes de extracción son nulos, el consumo actual de recursos implica un consumo futuro menor Estos costes se denominan costes de uso o de escasez, y se miden mediante el precio sombra del stock del recurso, λ 4